Nämnaren nummer 4, 2021 NpN

Inledaren

Det går som en dans
Connie Nielsen & Elisabeth Tang

Denna artikel är hämtad från Nämnarens danska systertidskrift Matematik. De spel som presenteras fungerar lika bra i svenska som i danska klassrum. Nämnarens redaktion har översatt och gjort en mindre bearbetning till svenska förhållanden.

Följande spel nämns:

3A3D Ettan

1A Tänk till tusen

2A3A Aktiviteter med kortlek

Landsvägen finns i häftet Tärningar – spel, aktiviteter, problem

Glupska grisen finns i boken Familjematematik

Ett av spelen som presenteras i ”Det går som en dans” finns här i en svensk variant.
Positionshusspelet

Keltiska knutar
Roger Antonsen

Keltiska knutar är en mängd olika knutar och stiliserade grafiska framställningar av knutar som bland annat används för dekoration. Här beskriver författaren konstruktion och kategorisering och han visar beräkningar för hur designen av keltiska knutar kan göras.

Categorizing Celtic Knot Designs

Roger Antonsens hemsida

Om Nämnarens adventskalender
Läs om Nämnarens adventskalender
Från och med 1 december presenteras ett problem varje dag på ncm.gu.se/adventskalender. (Observera att fram tills dess länkar adressen till förra årets kalender.)

Ökad matematisk förståelse genom problemlösning
Johan Sidenvall

Ett centralt skäl till elevers svårigheter med matematik är att undervisningen domineras av utantillinlärning och arbete med rutinuppgifter trots att vi vet att en undervisning som lyfter fram problemlösning är mer effektiv för att utveckla matematisk förståelse. Genom lärarens aktiva val av uppgifter och sätt att stödja elever kan lärandet förbättras.

Johan Sidenvalls avhandling

Utredning av dyskalkyli
Tu Phuong Persson Hua

Vilken är den rådande synen på dyskalkyli bland forskare? Vem gör utredningar och vilka riktlinjer finns? Frågorna fick en specialpedagog att göra en genomgång av aktuellt kunskapsläge genom kontakter med några instanser i Sverige där kunskap finns. En sammanställning av svaren presenteras i artikeln.

Länkar till rapporterna:

Dyskalkyli – finns det?

Kartläggning och utredning

Stödmaterial matematiksvårigheter. Del 1 Att upptäcka behov av stöd i matematik

Fokusrapport Dyskalkyli

Litteratur
Cohen Kadosh, R., Dowker, A., Heine, A., Kaufmann, L., & Kucian, K. (2013). Interventions for improving numerical abilities: Present and future. Trends in Neuroscience and Education, 2013(2), 85-93.

Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R., & Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to Intervention (RtI) for elementary and middle schools (NCEE 2009-4060). National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education.

Kaufmann, L., von Aster, M. (2012). The diagnosis and management of dyscalculia. Deutsches Ärzteblatt International, Int 2012; 109(45): 767–78. DOI: 10.3238/arztebl.2012.0767

Språkspalten: Matematikordens ursprung
Jöran Petersson

Det är relevant för lärare att fundera över matematikordens etymologi eftersom ordet i sig kan ha något att berätta om begreppets betydelse.

Mentorskap på distans – för särskilt begåvade barn i glesbygd
Linda Ekberg

Alla särskilt begåvade barn behöver ges möjlighet att utmanas och träffa likasinnade. Föreningen Intize gör det möjligt genom ett mentorskap som bedrivs både på plats i Göteborg och numera även på distans. Till elevernas stora glädje har de även kunnat träffas i Göteborg under tre sommarlovsdagar.

Intize
Intize: Särskild begåvning
Mattetalanger
Skolverket: Särskilt begåvade elever

Uppslaget 220 – En ska bort
Ulla Öberg

Det här uppslaget är hämtat från boken Sluta räkna – börja se, skriven och utgiven av Ulla Öberg. Aktiviteten går under många namn och för barn som vuxit upp i Sverige är den känd som En ska bort eller Brasses Lattjo Lajban-låda, på engelska kallas den Odd one out.

Språkstöd i matematik
Peter Nyström

På uppdrag av Skolverket har NCM tagit fram en lista med termer för matematikundervisning i grundskolan som sedan har översatts till över 30 språk. Språkliga aspekter är på flera olika sätt relevanta och intressanta för matematikundervisningen.

Skolverket: Termer för matematikundervisning – ett stödmaterial för undervisning i matematik och studiehandledning på olika språk

Programmering i skolmatematiken?
Cecilia Kilhamn, Kajsa Bråting & Lennart Rolandsson

I ett pågående forskningsprojekt tittar författarna närmare på programmering som innehåll i skolmatematiken sedan införandet i läroplanen 2018. Här redovisar de hur lärare tolkat uppdraget och vilken roll programmeringen har i de matematiklektioner med programmering som lärarna planerat och genomfört.

Programmering på gymnasiet
Claes Johansson, Alf Juhlin,Timo Tossavainen & Anna Wedestig

Författarna funderar över hur programmering kan vara ett verktyg för en fördjupad förståelse av matematiska begrepp i gymnasieskolan. Först diskuterar de frågan ur ett teoretiskt perspektiv och därefter rapporterar de om gymnasieelevers erfarenheter av att studera matematik med programmering.

Strövtåg: Rationella och irrationella tal i undervisningen
Pesach Laksman

En pensionerad matematiklärare tar oss med på ett vindlande strövtåg bland rationella och irrationella tal som börjar med pi och slutar med oändligheten.

Pedagorian News
I Pedagorien tas alla tillfällen för bildning av innevånarna och nu är orden kontronym och retronym aktuella.

Fina små kvadrater
Lasse Berglund

Författaren filosoferar över miniräknarens roll i dagens matematikundervisning. Även om den har varit en stor tillgång under snart 50 år gör den också tyvärr en del räknefel ibland, vilket han här ger exempel på.

Hållbar matematikentusiasm
Göran Emanuelsson

Matematikbiennalerna har sedan 1980 gett oss entusiasm för utveckling av svensk matematikundervisning. Nämnarens grundare reflekterar över biennalernas betydelse och andra nedslag från Veteranträffen 2020 i Växjö. Inbjudan till Veteranträffen 2022 finns på omslagets bakre insida.

Biennaler sedan 1980 – matematikentusiasm i världsklass

Problemavdelningen 220 – Problemkompott

Så här års kokas det kompotter på höstens nyskördade frukter. Här har vi samlat ihop en problemkompott, det vill säga en blandning av problem med höstanknytning.

Nämnaren nummer 3, 2020 NpN

Inledare: En annorlunda höst

Planera för matematiska samtal
Susanne Frisk & Christina Skodras
I sin andra artikel om matematiska samtal i klassrummet beskriver författarna hur viktigt det är att samtalet planeras noga. Författarna ger exempel på hur en planering kan se ut inför ett samtal om olika tankemodeller för subtraktion.

Hundkojan
Cecilia Christiansen & Anna-Carina Nilsson
I Nämnaren 2019:4 skrev författarna om projektet Algebra-artisten som görs i det webbaserade programmet Desmos. Här presenterar de ett mindre projekt som de kallar Hundkojan och där den räta linjens ekvation är i fokus.
Se ett autentiskt exempel på en elevs skärminspelning: Teds hundkoja
Rekommenderade länkar:
The Puppy House
Desmosprojekt
Desmos Pet House

Strövtåg: Lyssna på felen
Pesach Laksman
Matematikbiennalerna är stor källa till kunskap och inspiration för matematiklärare på alla stadier. Man kan tycka att varje matematiklärare någon gång under sin karriär borde få delta. Tyvärr är det väldigt få förunnat …

Lesson study i lärarutbildningen
Rimma Nyman, Christina Skodras, Eva-Lena Happstadius & Peter Fredriksson
Som ett moment i sin lärarutbildning får blivande lågstadielärare genomföra en Lesson study om likhetstecknet. Didaktiska kunskaper blir på så sätt direkt kopplade till praktiken och studenterna tränas dessutom i kollegialt arbete.

Våga släppa taget
Marielle Halltorp & Annalena Holm
Författarna beskriver den internationella didaktiska metoden Supplemental Instruction och hur den har omsatts på en gymnasieskola i Varberg – ett sätt för att nå samverkan i problemlösning.
Komplett litteraturlista

Arbeta som en matematiker
Ingvill Merete Stedøy
Denna översatta och lätt bearbetade artikel var publicerad i norska Tangenten 2019:4. Författaren beskriver positiva effekter och förändrade beteenden då elever får stå i smågrupper vid whiteboardtavlor när de arbetar med matematisk problemlösning.
Länk till originalartikeln inklusive referenser

Intensivundervisning i matematik
En presentation av boken Intensivundervisning i matematik.

Uppslaget: Spridningsmatematik för tidiga skolår
Jöran Petersson

Vi har läst
Historiska perspektiv på matematik av Anders Tengstrand och Bedömning i matematikens tjänst – i lärandets och undervisningens tjänst av Maria Nordlund och Astrid pettersson

Språkspalten: Jättar och utrop
Lasse Berglund
Vi ska här betrakta några företeelser som man ibland stöter på i det vardagliga språket – det skrivna och det talade – och som har sina paralleller inom matematiken. Detta ger anledning till en del matematiska så väl som språkliga reflexioner.

Sagt & gjort: Konstruera en pentagon

Priset för tystnad i undervisning
Tuula Maunula
Tuula Maunula har disputerat på en avhandling om elevinteraktion. Hon visar hur viktiga elevers inspel i lektionen är och hur lärandemöjligheterna påverkas av det sätt lärare väljer att bemöta dessa. Lektionerna hon studerat handlade alla om den räta linjens ekvation.

Carl Friedrich Gauss – en gigant i vetenskapshistorien
Bengt Ulin
Media berättar emellanåt om särbegåvade barn och ungdomar, speciellt när det gäller matematik. Här handlar det om en alldeles särskilt begåvad elev som efterhand utvecklades till en fullfjädrad matematiker.

Hur tänkte du?
Miguel Perez
I denna artikel presenteras resultat från en forskningsstudie som beskriver de svårigheter och möjligheter som matematiklärare på högstadiet och gymnasiet upplevt när de har arbetat med det digitala verktyget Geogebra.

Kängurusidan
Åsa Nilsson & Rosanna Sköldvinge
Den extraordinära situationen med coronapandemin påverkar Sverige och världen i stort, liksom två lärarstudenters ursprungliga plan med aktionsforskning i klassrummet. Istället fick de möjlighet granska problem i den nationella delen av Kängurutävlingen.
Examensarbete: Framgångsrik iscensättning genom Kängurun

Problemavdelningen: Problem med geometri
Russell Hatami

Pedagorien News
Äntligen kommer det nya rapporter från Pedagorien!

Nämnaren – nummer 3, 2021, NpN

Inledare

Visualisering av problemlösning
Lei Yu Jiang
När lärare presenterar en matematikuppgift kan det vara svårt att bara genom talade ord få eleverna att förstå innehållet. Här ger författaren förslag på hur visualiseringar kan hjälpa eleverna både att förstå uppgiften och att utveckla sin tankegång för att lösa den.

Vi har läst
Vi har läst två nyutkomna böcker som båda behandlar elever med särskilda utbildningsbehov i matematik (SUM). Båda böckerna är forskningsbaserade och lyfter vikten av pedagogiska åtgärder för att möta dessa elever, oavsett om orsaken till svårigheterna ligger hos eleven eller skapas av den sociala situationen.
Inkluderande matematikundervisning – tidiga insatser i Fk–6, Helena Roos
Elever i matematiksvårigheter. Förklaringar och förslag till åtgärder, Ingemar Karlsson

Vi har också läst
Tio ekvationer som styr världen, David Sumpter
De yngsta barnens matematik, Camilla Björklund & Karin Franzén (red)

Skriftlig kommunikation – Hur undervisar man om det?
Linda Marie Ahl & Lina Svensson
I denna artikel beskriver en förstelärare i matematik och en forskare ett samarbete och de insikter de har fått i inledningen av ett skolforskningsprojekt. Syftet med projektet är att utveckla ett ramverk som beskriver kvalitet och progression i skriftlig kommunikation i matematik.

Grafernas abcd – transformation i ett nötskal
Kersting Glimmerfors & Cecilia Christiansen
Författarna ger en sammanfattande introduktion till hur grafer kan stretchas och förflyttas med hjälp av fyra variabler.

Use-modify-create: ett arbetssätt för programmering
Susanne Koch Stigberg, Marianne Maugesten & Henrik Stigberg
Att knyta samman programmering och matematik är en utmaning för matematiklärare. Författarna beskriver en arbetsmetod som hjälper lärare att undervisa programmering tätt kopplat till ett matematiskt innehåll. Det utprovade upplägget ingår i en fortbildningsinsats för matematiklärare i Norge.

Relaterade länkar
Blogg
Scratch
Susanne Stigberg

Lärartankar: Mitt möte med en särbegåvad elev
Berthold Nilsson
”Jag skulle vilja berätta om den fascinerande kunskapsresa som en elev gjort på egen hand med viss inspiration och stöttning från omgivningen. Man kan säga att det handlar om Skolverkets formulering: ”Alla elever har rätt att utvecklas så långt som möjligt utifrån sina egna förutsättningar” – och i detta fall handlar det om en elev som nått långt, mycket långt!”

Buffons nålar gymnasiearbete av Amir Tresnjic

Uppslaget: Mattemagi från delbarhet
Björn Runow
Författaren beskriver hur ett mattetrick som är baserat på delbarhet fungerar och kan användas som bas för en lektionsaktivitet. I tricket ska sju godtyckliga tal multipliceras, en siffra väljas bort från produkten, och trickutföraren ska gissa vilken siffra som utelämnades efter att få höra de övriga i produkten. Vidare lyfts hur det även är möjligt att få in en programmeringsaspekt i aktiviteten för elever som behöver extra utmaning, och är programmeringsintresserade. De kan till exempel få som uppgift att undersöka hur fördelningen mellan nollor och nior ser ut bland alla tal x som kan skapas med de sju faktorerna (det vill säga 27 ≤ x ≤ 97), och som är jämnt delbara med 9. Utifrån denna undersökning kan de eventuellt motivera empiriskt varför 0 eller 9 är en bättre gissning om man som trickutförare hamnar i det problematiska läget där man inte vet säkert.


En tillhörande videoförklaring till tricket kan också hittas här:
Se film


Ett helhetsgrepp för en likvärdig skola
Iiris Attoprs & Eva Kellner
Författarna beskriver hur tre skolor i Huddinge arbetar med utveckling av undervisning och lärande i matematik och naturvetenskap. Studien ingår i ett större projekt vars syfte är att synliggöra skolors erfarenheter av att arbeta kollegialt för att utveckla ämnesundervisningen.

Primtal i Strävorna
2A Primtal
7A7F Erathostenes såll

Språkspalten: Två olika synsätt på begrepp
Lotta Wedman
Enligt våra kursplaner ska elever få möjlighet att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och det märks att begreppsförmågan är viktig för att vi ska lära oss matematik. Därför kan man tycka att det borde finnas en tydlig definition av vad begrepp är inom det matematikdidaktiska fältet, men det gör det inte. Att det finns olika synsätt beror på att matematikdidaktik som fält har hämtat influenser från så skilda håll som matematik, kognitionsvetenskap, filosofi, lingvistik och semiotik.

Visualisering av vattenflöden med hjälp av Geogebra
Anders Karlsson, Yuriy Medovar, Igor Yushmanov & Svetlana Yushmanova
Geogebra är ett användbart verktyg i matematikundervisningen, men det är också utmärkt för att visualisera fenomen i naturen och världen utanför klassrummet. Här ger författarna ett exempel på visualisering av vattenflödet i Volgas biflod Nemda som kan leda till diskussioner om klimatpåverkan.

Litteratur och länkar:

Ternynck, C., Ben Alaya, M. A., Chebana, F., Dabo-Niang, S., and Ouarda, T. B. M. J. (2016). Streamflow Hydrograph Classification Using Functional Data Analysis. Journal of Hydrometeorology 17, 1, 327-344, available from: Streamflow Hydrograph Classification Using Functional Data Analysis [Accessed 16 May 2021]

Geogebra-konstruktion
Konferenshemsida

Gyllene snittet med Geogebra
Thomas Lingegjärd & Güner Ahmet
Alla elever har säkert hört sina matematiklärare säga att matematik är mer än att bara räkna, det finns vackra mönster och spännande samband att upptäcka. Det gyllene snittet och Fibonaccis talföljd hör till de exempel som är just vackra och spännande. Länkar till de digitala konstruktionerna finns på Nämnaren på Nätet.

Gyllene snittet
Gyllene triangel
Gyllene rektangel

Sophie Germains identitet
Per-Eskil Persson
Algebraiska förenklingar och faktoriseringar är en del i gymnasiekurserna som kan behandlas på flera intressanta sätt. Ett inslag kan vara att titta bakåt på matematikers arbeten och se hur deras resultat kan komma till användning i nutid.

Sophie Germain identity
Kompletterande bevis på sidan 56

Sagt & gjort: RSA-kryptering i Ma5
Jonas Hall
Att skriva hemliga meddelanden som bara den tänkta mottagaren kan läsa är en konst lika gammal som skriftspråket.

Elevuppgift

och en länk till autentiska elevrapporter. Eventuella namn har ersatts med Bob och Alice som är vanliga namn i krypteringsssammanhang.

Elevrapporter

Givetvis är det bäst om ni plockar det ni vill ha och lägger upp på er egen webbplats. Hör av er om det är några frågor eller om något saknas eller inte fungerar.

Primtal
Bengt Ulin
Ett av de viktigaste kapitlen inom aritmetiken handlar om primtal. De har varit och är fortfarande ett motiv för många matematiker att fördjupa kunnandet om. Författaren gör några nedslag bland upptäckter som olika matematiker gjort om primtal och formulerar några av de frågor som lett till dessa upptäckter.

Pedagorien News

Problemavdelningen 219 – Problem om delbarhet, rest och primtal
Ulrica Dahlberg
I detta nummer kom primtal att framstå som ett minitema. Av den anledningen har vi valt problem från avsnittet Delbarhet, rest och primtal i häftet Taluppfattning med Känguruproblem. Arbetet med häftet pågår och beräknas vara klart senast till Matematikbiennalen mars 2022.

Nämnaren – nummer 2, 2021 NpN


Inledaren

Matematik med elefantsången
Lena Landgren
Elefantsången är en sång som ofta sjungs på förskolan, kanske med syfte att lära barnen matematik. I den här artikeln benar författaren ut vilken matematik som kan göras synlig genom sången.

Brygga kaffe – ett matematiskt samtal om uttryck, samband och formler
Rimma Nyman
Författaren återberättar ett långt samtal med elever i årskurs 1. De diskuterar vilket samband som finns mellan rätt mängd vatten och antal mått kaffe för att det ska bli ett gott starkt kaffe – och hur det kan uttryckas matematiskt.
Bokstäver som obekanta tal

Lärartankar: Gripa och begripa begreppet
Eva-Stina Källgården
Det finns många elever som lätt lär sig utantill, som lätt kommer ihåg. För dessa är matematikboken oftast uppskattad både av lärare och elever. Men några elever har svårt att lära sig utantill och glömmer lätt även om de tränar hårt. De vill förstå först och träna sedan. Det är då viktigt att eleven kan uppfatta ett begrepp på sin nivå och därifrån också kunna beskriva och använda det.

Litteraturlista

En särbegåvad matematikelev
Rianne Jeroense
Författaren bygger vidare på Nämnarens artikelserie Mattetalanger. Här får vi inblick i en specialpedagogs första möte med en särbegåvad elev redan på förskolan, och hur arbetet med honom sedan har utvecklats.

Läs mer om Mattetalanghäftet här

Spel som läxa – med eller utan dator
Jöran Petersson
Spel kan vara en källa till både nöje och inlärning, men ska de fungera optimalt som läxa i matematik behöver de väljas med omsorg. Författaren visar en tabell som lärare kan använda som utgångspunkt för beslut om lämpliga spel.

Tux math
Ett förslag på spelsida där det finns drillspel

Matematik med en kortlek
Lasse Berglund
En vanlig kortlek kan ge inspiration till många intressanta problem och matematiska upptäckter. Här visar författaren bland annat hur ett enkelt korthus kan vara en ingång till rekursiva mönster, ekvationssystem och matriser, och kopplar dessutom detta till programmering i Python.

Uppslaget: SCHACK MATTE
Anders Månsson
Schack har under senare tid fått ett nytt uppsving, kanske tack vare flera nyproducerade filmer och serier om schack. Denna trend är värd att fånga upp i skolan!
Uppslaget 218 – SCHACK MATTE
Anders föreläser i ”Mathematics for teacher students” med innehåll som många av Nämnarens läsare känner igen från tidigare artiklar.

Språkspalten: Matematikord på 26 olika språk
Cecilia Kilhamn
I skolan måste vi göra allt vi kan för att stötta de elever som kommer hit med ett annat modersmål än svenska. För dessa elever är varje matematiklektion en dubbel ansträngning där de ska lära sig både svenska och matematik. Som en liten hjälp till såväl lärare som elever och deras föräldrar har Skolverket initierat arbetet med en ordlista för matematikklassrummet. Det var med stor glädje som jag tog mig an att leda projektet och har under det gångna året samarbetat med 50 fantastiska översättare runt om i landet.

Ett ramverk för progression
Linda Marie Ahl & Ola Helenius
Författarna presenterar ett ramverk som lärare och studerande kan använda då de vill se närmare på hur progressionen i begreppsutveckling ser ut i matematikläromedel. I följande artikel Läroboksbråk beskriver en lärarstuderande hur hon har använt ramverket i sitt examensarbete.

Litteraturlista
Ett ramverk för progression

Läroboksbråk
Johanna Hedlund
I sitt examensarbete analyserade författaren fem läroböcker med hjälp av det ramverk som finns beskrivet i den föregående Nämnarenartikeln Ett ramverk för progression. Eftersom tal i bråkform är ett kritiskt område för många elever gjordes begränsningen till det området.

Referenslista
Johanna Hedlunds exjobb

Djupare matematik med elementära metoder
David Taub

Genom att tänka lite djupare kring ett till synes ganska enkelt taluppfattningsproblem kan elever redan i årskurs 7 ges möjlighet att föra algebraiska resonemang och utveckla sin förståelse för tal i bråkform.

Vi har läst: Matematikvejledning i gymnasiet – anvendelse af teori i praksis.
Linda Marie Ahl

Lärartankar: Komplexa jämna kvadrater
Håkan Lennerstad
Vad sjutton gör studenterna? Jag sitter och rättar tentor och ser hur studenterna har försökt lösa den komplexa ekvationen z2 = ¾ + i. Många skriver z = ± √¾ + i och tappar då genast poäng, för man bör inte skriva rötter av komplexa tal. Men sedan lyckas flera ändå med att räkna ut att ¾ + i = ((2 + i)/2)2 med någon sorts kvadratkomplettering som jag inte sett förut. Och de får fram rätt svar. Vad pågår? Jag kunde inte släppa det!

Problemavdelningen 218 – Problem med spel
Ulrica Dahlberg

I detta nummer av Nämnaren handlar några av artiklarna om spel. Då vi precis avslutat arbetet med årets Kängurutävling fick vi inspiration därifrån till problem som rör spel, turneringar och antal vunna eller insamlade poäng.

Nämnaren – nummer 1, 2021 NpN

Inledning

Fokus på elevers uträkningar
Elin Sandström
Har du funderat på hur du ska få dina elever att fokusera på kvalitet i sina redovisningar i matematik? I den här artikeln visar författaren hur hon arbetar med elevernas uträkningar digitalt med hjälp av Matteappen.

Vi har läst

Rörliga bilder med Desmos
Cecilia Christiansen & Anna-Carina Nilsson
I tidigare nummer av Nämnaren har författarna beskrivit hur man kan använda det digitala och webbaserade verktyget Desmos för att öka elevernas förståelse av bland annat räta linjens ekvation. Här presenterar författarna ytterligare ett projekt som utvecklats med inspiration från andra matematiklärare.

Desmos calculator
2D Motion with Desmos video

Konstverket
Video där Fredrika förklarar sin bild

Desmos projekt
Video där Celine förklarar sin bild.

Star Wars Wille
Video där Wille förklarar sin bild.

Biet och blommorna
Video där Linn förklarar sin bild.

Teknikens tal
Göran Grimvall
Skolans teknikämne kan ge många uppslag till problem att lösa på matematiklektioner. Här visar författaren tre exempel. Problemen handlar om antalet hjulmuttrar på en personbil, tillåten last i personhissar och antal lastpallar som får plats i en container. Fler idéer finns i slutet av artikeln.

Det ökar med samma hela tiden
Bo Sjöström & Jacob Sjöström
Författarna, som har erfarenheter som matematiklärare i grundskolan och inom lärarutbildningen, ger här en kommentar till artikeln Att undervisa matematik för kreativa resonemang i Nämnaren 2019:4 och presenterar en aktivitet som de har genomfört med många elever på olika kunskapsnivåer.

Uppslaget: Ett problem med två olika lösningar – lika rätta men med olika resultat
Calle Flognman
Det händer ibland att elever överraskar med lösningsmetoder som inte är de som lärare har förväntat sig. I en provuppgift inom geometri var tanken att undersöka elevernas kunskaper om likformighet och Pythagoras sats. Uppgiften visade sig ge lite olika resultat, vilka var korrekta på sitt sätt.

Språkspalten: Kom låt oss bråka
Cecilia Kilhamn
”Den vackra linblommans stjälk innehåller en fiber som kan användas till att göra kläder, men vägen från blommande ört till färdigt linnetyg är lång.” Så inleds språkspalten som tar oss från att linet bråkas till tal i bråkform och alla ord som förknippas med det matematiska bråkbegreppet.

Förståelse för konens volymformel
Pål-Erik Eidsvig
För att elever inte bara ska memorera matematiska formler utantill behöver de få förståelse för varför formler ser ut som de gör. Här visar författaren hur han genom att utgå från konkret material ger eleverna möjlighet att resonera om och få en djupare förståelse för konens volymformel.

Avstånd med olika metriker
Mikael Cronhjort & Maria Hagemann-Jensen
Författarna beskriver en lektion om avståndsberäkningar med olika metriker som de tror att kan vara inspirerande både för elever och matematiklärare på gymnasiet. Lektionen utvecklades i ett samarbete mellan fem lärare under Kleindagarna i januari 2020.

Lärartankar: Procent via prodec
Anders Månsson
En procent är en hundradel och betecknas med symbolen %. På samma sätt är en promille en tusendel, som betecknas med symbolen ‰. Motsvarande symbol för tiondel finns inte, men här definierar författaren ordet prodec som en tiondel och betecknar den med en egen symbol. Den huvudsakliga orsaken till att introducera begreppet prodec är att föreslå det som ett pedagogiskt verktyg för att lära sig procent.

Bestämma π med Python
Lasse Berglund
I den här artikeln får vi se en rad exempel på hur värdet på pi kan bestämmas. Artikeln tar avstamp i Arkimedes geometriskt grundade ansats och avslutar med modern Python-programmering – en kod på bara några rader!

Problem från NRICH
Ulrica Dahlberg
NRICHs webbplats har mycket material för matematikundervisningen. De utvalda problemen fanns i två kalendrar, en för yngre elever (nrich.maths.org/advent-primary) och en för de lite äldre (nrich.maths.org/advent-secondary).

Pedagorien News
Aktuell rapport från Pedagorien där bland annat beslutet att införa krav på munskydd är baserat på variationsteorin.

Nämnaren nr 2, 2018 NpN

2019:1
Omslagsbild av Guy Petzall.

Möjligheter med analog klocka i geometriundervisning
Christel Svedin & Christina Svensson
På Dammfriskolan i Malmö ledde lärares ifrågasättande av slentrianmässigt förekommande material och innehåll i undervisningen till att nya vägar till kunskap uppmärksammades. Lärarna såg vilka goda möjligheter undervisning om den analoga klockan kan ge i en fördjupad geometriundervisning.
I Strävornas ruta 4C finns aktiviteten Två konstiga klockor som ansluter till artikeln.

Vad kan vi lära av Singapores matematikundervisning?
Pia Agardh & Josefine Rejler
Med intryck från internationell forskning utvecklade Singapore landets matematikundervisning från och med 1980-talet. Nu visar resultat från undersökningar som PISA och TIMSS att undervisningsmodellen är framgångsrik. Artikelförfattarna har besökt skolor i Singapore och intervjuat Dr Yeap Ban Har som är en av de mest framträdande experterna.
Utökad referenslista.
Singaporematte.se.

Steget före-undervisning på Bodaskolan i Borås
Sara Andersson
Artikelns författare deltog i kompetensutvecklingsprojektet Matematik för nyanlända som genomfördes förra läsåret och som har beskrivits i två tidigare artiklar i Nämnaren. Steget före-undervisning blev ett litet försök i projektet i form av en anpassning av så kallad intensivundervisning.

Klassrummets väggar
Stina Marklund
I sitt examensarbete Klassrummets väggar ur ett matematiskt perspektiv ville författaren undersöka hur elever och lärare använder uppsatt material. Undersökningen preciserades till tre frågeställningar och resultatet visar bland annat att den fysiska miljön påverkar elevernas inlärning och att det är viktigt att lärare tänker igenom utformningen av sitt klassrum.
Uppsatsen i sin helhet.

Vi har läst
Unga matematiker i arbete – taluppfattning och de fyra räknesätten av Catherine Twomey Fosnot & Maarten Dolk
Handling och tanke med matematik av Eva-Stina Källgården

Vad är egentligen ett matematiskt begrepp?
Linda Marie Ahl & Ola Helenius
Begrepp är matematikens byggstenar. Ordet begrepp är rikt förekommande i kursplaner och ämnesplaner, men det är svårt att säga vad ett begrepp är. Här ger författarna förslag på en i undervisningssammanhang användbar och teoretiskt förankrad tolkning av begreppet begrepp.

Uppslaget:Analog programmering med en boll

Ett värdigt 400-årsjubileum
Bengt Ulin
Den 8 mars 1618 dyker en idé upp i Johannes Keplers huvud men han förkastar den som falsk. Drygt två månader senare kommer idén oförändrad tillbaka och det visar sig vara en upptäckt – men vilken?

Begåvade elever i matematikklassrummet
Attila Szabo
I den nionde artikeln i Nämnarens serie om elever särbegåvade i matematik får vi ta del av en forskningsöversikt om undervisning av dessa elever och deras sociala situation i matematikklassrummet. I översikten ges flera förslag på åtgärder på olika nivåer som kan ha goda effekter på begåvade elevers kunskapsutveckling och hur de vill bli bemötta.

Linjär optimering
Exempel på användning av analoga och digitala verktyg i undervisningen
Anders Johansson
Kursavsnittet linjär optimering i Matematik 3b kan introduceras med såväl analoga som digitala verktyg. I artikeln beskriver artikelförfattaren utöver en traditionell presentation på tavlan även en fysisk trämodell samt datorbaserad visualisering och programmering.

Symbolen π och tredimensionellt arbete med Geogebra
Güner Ahmet & Thomas Lingefjärd
I grundskolans geometriundervisning möter elever oftast tvådimensionella former trots att de har störst vardagserfarenhet av tredimensionella föremål. När eleverna ska börja bestämma area och volym av kroppar är Geogebra ett användbart digitalt verktyg för att åskådliggöra beräkningarna.

Algoritmer + datastrukturer = program
Jöran Petersson
Gymnasieelevers fråga om hur miniräknaren beräknar ”roten ur” kan fördjupa deras matematikkunskaper om exempelvis iterationsformler, stoppvärden och intervallhalvering. Författaren visar hur programmering kan användas som ett medel för att ge eleverna svar på frågan och hur svaret både kan förfinas och leda till generaliseringar.

Kängurusidan 206

Problemavdelningen 206: Sommarproblem


Nämnaren nr 3, 2019 NpN

2019:3
Omslagsbild av Kris Emting-Oberland.

Räkna upp och räkna ut
– taluppfattning och aritmetik i förskolan
Camilla Björklund
Innebörden av de räkneord som barn använder kan vara distinkt olika. I artikeln problematiseras detta för att visa att det dels är skillnad på att räkna upp och att räkna ut, dels att förskolan kan och bör arbeta med båda innebörderna tillsammans med barnen.

Språkspalten: Att räkna eller beräkna – det är frågan
Cecilia Kilhamn
Det finns många ord och språkliga uttryck som skapar osäkerhet och missförstånd i matematikundervisningen. Här diskuteras ordet ’räkna’. Vad kan det innebära?
Extra: Strövtåg om ’tally’ och bananer.

Språkets roll i matematiken
Maria Engmark & Carolina Öystilä
I artikeln beskriver författarna ett samarbete med Stockholms universitet kring flerspråkighet som en resurs i matematikundervisningen.
Utökad referenslista

Resa i ett lärandelandskap
Pia Eriksson & Cecilia Kilhamn
Hur vi talar om lärande kan få stor betydelse för vilken sorts lärandesituationer som erbjuds i skolan. I den här artikeln beskriver författarna hur lärandet kan te sig när det beskrivs som en resa i ett lärandelandskap.

Progression i undervisning av tal i bråkform
Caroline Nagy
I denna artikel presenteras hur progression av tal i bråkform kan komma till uttryck i kursplan, i läromedel och i undervisning från förskolan till högstadiet. Författaren beskriver också utifrån en egen studie hur lärare kan arbeta för att skapa progression i den undervisning som eleverna möter.

Vi har läst:
Att skapa en språkrik matematikundervisning, av Sandra L Atkins
Hjärnan i matematikundervisningen, av Craig Barton

Multiplikation med negativa tal
Anders Månsson
Varför är ”minus gånger plus minus” och ”minus gånger minus plus”? Det är en fråga som författaren ger en förklaring till samt funderar över möjliga alternativa definitioner av multiplikation med negativa tal.

Uppslaget: Skalenliga leksaker?
Peter Nyström

Tänka, resonera och räkna i förskoleklass – nu till och med årskurs 3

Stenrika problem
Russell Hatami & Rimma Nyman
Begreppet stenrika matematiska problem presenteras för att beskriva rika problem som erbjuder möjlighet till progression vad gäller lösningsmetoder och matematiskt innehåll. Författarna visar hur ett stenrikt problem kan anpassas från årskurs 3 och upp till gymnasiet.

Kängurusidan 211

Twice exceptional
Att ha särskild begåvning med samtidig funktionsnedsättning
Pia Rehn Bergander
I denna artikel i serien Mattetalanger riktar författaren in sig på de elever som många gånger kan upplevas som att ”de kan egentligen”. Läraren ser att hög begåvning finns, men att den inte kommer till sin rätt eftersom det även finns en funktionsnedsättning.

Nytt från NCM: Algebra i grundskolan

Strövtåg: Punkter och cirklar
Thomas Lingefjärd

Kruxet med sammansatta enheter
Vad är egentligen proportionellt mot vad?
Linda Marie Ahl & Ola Helenius
Det är skillnad mellan de två engelska begreppen ’ratio’ och ’rate’ som båda översätts till förhållande på svenska. ’Rate’ är benämningen på förhållanden som mäts med sammansatta enheter, vilket gör dem betydligt mer komplexa än enkla proportionella förhållanden.

Räkneöfningsexempel – en donation

Problemavdelningen 211: Problem från förr


Nämnaren nr 2, 2019 NpN

2019:2
Omslagsbild av Jonas Jacobsson.

Vad som är lagom i sagan om Guldlock och de tre björnarna
Camilla Björklund & Hanna Palmér
Författarna diskuterar vilken matematik som synliggörs i sagan om Guldlock och vilka möjligheter och svårigheter den ger för förskolans matematikundervisning.

”Jag räknade med fingrarna”
Britt Holmberg
Genom intervjuer med elever i åk 3 har författaren fått syn på olika sätt som elever använder sina fingrar på när de räknar.

Vi har läst:
Unga matematiker i arbete – bråk, decimaltal och procent, av Catherine Twomey Fosnot & Maarten Dolk
Unga matematiker i arbete – algebra, av Catherine Twomey Fosnot & Bill Jacob

Garagebyggen
– Matematisk progression i mönsterproblem
Peter Fredrikson & Rimma Nyman
En serie uppgifter om växande mönster som bygger på varandra erbjuder rika lärandemöjligheter i matematik på låg- och mellanstadiet.

Sagt & Gjort: Ett startskott för kreativa problemformuleringar
Caroline Nagy
Om räknehändelser i årskurs 2.

Ensam hemma – om vikten av problemlösning
Per Nygaard Thomsen
I filmen Ensam hemma hamnar åttaårige Kevin i en situation som kräver rådiga ingripanden och finurlig problemlösning. Att vara kreativ och nytänkande är egenskaper dagens skolelever högst sannolikt kommer att ha god användning för i framtidens samhälle.

Uppslaget: Robusta och mjuka konstruktioner i dynamisk geometri
Jöran Petersson

Vad är procedurkunskap?
Linda Marie Ahl & Ola Helenius
Författarna diskuterar matematiska metoder och procedurer utifrån kurs och ämnesplanernas formuleringar. De vill visa att procedurkunskap är ett nödvändigt komplement till problemlösningsförmågan och en mer komplex kompetens än vad många tror.

Matematik – en nyckel till Junior Academy: Ungdomar löser globala problem

Hurra för roten ur a
Lasse Berglund
Författaren tar sig an talmängder med hjälp av klassisk geometrisk konstruktion.

Förträffligheten med tal i bråkform
Pesach Laksman
Författaren resonerar om nackdelar med att låta elever enbart möta rationella tal i decimalform eller som tal i procentform med exempel från fåravel(!).

Lärartankar: Matematikens sjätte sinne – en praktisk förmåga
Russell Hatami

Kängurusidan 210

Problemavdelningen 210
Bengt Ulin

Inbjudan till konferens om begåvade elever.

Inbjudan till talangkonferens om artificiell intelligens.

Exklusivt för Nämnaren på nätet:
Talens grammatik – grupper, ringar och kroppar

Linda Marie Ahl & Ola Helenius
I Lasse Berglunds artikel Hurra för roten ur a finns underrubriken Kroppsutvidgning och det gav upphov till denna uppföljande artikel som inte bara handlar om kroppar utan även om ringar och grupper.


Nämnaren nr 4, 2018 NpN

2018:4
Omslagsbild av Corinna Beuermann-Kulp.
Konstnärens webbsida.

Räkneflytskompetens i årskurs 1
– från 18 % till 97 % på två läsår
Marcus Nordin
Artikelförfattaren beskriver hur god räkneflytskompetens utvecklas genom precisionsträning. Målet är att alla elever, utifrån förståelse och med möjlighet till utmaningar, ska få automatiseringskompetens i de fyra räknesätten. För årskurs 1 handlar det om addition och subtraktion i talområdet 1–9.

Grundläggande vinkelbegrepp
Berit Bergius
Inför ett projekt samlade och läste artikelförfattaren forskningslitteratur som undersöker hur elever tillägnar sig ett grundläggande vinkelbegrepp. Här ges en sammanfattning som beskriver några vanliga svårigheter och förslag på korta lektionsaktiviteter som kan förebygga att missuppfattningar av vinkelbegreppet uppstår.
Referenser till artikeln.

Grodhopp – algebra i femte klass
Kirsti Tangen
Denna något förkortade artikel var publicerad i norska Tangenten 2018:2 under rubriken Froskehopp – algebra på sjette trinn. På svenska väljer vi att skriva i femte klass eftersom det stämmer bättre med elevernas ålder.

Sagt och gjort: Hur en kub kan bli en hexagon >>
Med en tom mjölkkartong (återbruk!), sax och tejp kan du tillverka en kub som enkelt kan vikas bland annat till en hexagon. En liknande aktivitet finns också i Strävorna: Måla kuber.

Skalor av olika slag
Bengt Ulin
Sommaren 2018 har Portugal värmerekord med temperaturer upp emot + 50 °C, vilket förorsakar dödsfall och skogsbränder. I Indonesien inträffar samtidigt ett svårt jordskalv med magnitud 7,0 som förorsakar hundratals dödsoffer och svåra materiella skador. Dessa händelser fick artikelförfattaren att fundera på olika skalor.

Uppslaget: Växande rektanglar >>
Underlag att skriva ut och kopiera finns bland våra matematikpapper.

Om adventskalendern >>

Rika lösningar på rika problem – Tornet
Rimma Nyman & Anna Ida Säfström
I denna tredje del i serien om rika problem har författarna valt ett mönsterproblem i en elevnära kontext. Här utgår resonemangen från insamlade elevlösningar i årskurs 3.

Ett sätt att tänka om undervisning av relevansförmågan
Linda Marie Ahl & Ola Helenius
När en av författarna ställde en fråga till lärare i facebookgruppen ”Matematikundervisning” om hur de arbetar med relevansförmågan öppnades en dörr till en lavin av starka åsikter. Två saker i tråden var särskilt intressanta att ta del av. Det ena var att förmågan är svår att bedöma och det andra att relevansförmågan inte är särskilt relevant.

Vi har läst >>
Unpacking fractions av Monica Neagoy
Children’s errors in mathematics av Alice Hansen

Strövtåg: Räta linjer och täta punkter
Lasse Berglund

Att undervisa om gränsvärden med Geogebra
Thomas Lingefjärd, Güner Ahmet & Djamshid Farahani
I denna artikel presenteras två typer av gränsvärden som gymnasieelever möter i de senare kurserna. Gränsvärdena kan visualiseras genom grafisk eller geometrisk representation i Geogebra.

Se din undervisning genom elevernas ögon
Eva Pennegård
Artikelförfattaren sammanfattar här en föreläsning för intresserade kollegor i Ängelholm. Genom att filma lektioner och sedan låta lärare och elever titta på de handlingar som sker i undervisningen kan elevernas reflektioner bidra till professionell utveckling för läraren.

Kängurusidan 208 >>

Kort rapport från Bridges 2018 >>

Bilderna på sidan finner du i konferensens utställningsgalleri.

Problemavdelningen 208 >>


Nämnaren nr 3, 2018 NpN

2018:3
Omslagsfoto: Jonas Jacobsson.
Fotografens webbsida.

Skoj med tvättsvampar!
Rimma Nyman
Författaren beskriver en didaktisk situation som hon har genomfört tillsammans med en grupp 3–5-åringar i förskolan. Färgglada och mjuka tvättsvampar användes så att förskolebarnen gavs möjlighet att upptäcka, beskriva, konstruera och generalisera upprepade mönster.

Mattecirkus
Kerstin Larsson & Sofia Larsson
I artikeln får vi möta en mattelärarmamma som alltid testat sina undervisningsidéer på sina barn och en dotter som är cirkuskonstnär. Med utgångspunkt i cirkusdiscipliner har mamma Kerstin synliggjort matematiska begrepp, tankesätt, problem och termer och dottern Sofia har utvecklat cirkusuppgifter där matematiken lyfts fram. Resultatet är jonglering och mänskliga pyramider som är fyllda av upplevd matematik.

Forskning om läxor i matematik
Jöran Petersson, Judy Sayers & Paul Andrews
När författarna intervjuade lärare nämnde de ofta läxor. Därför beslöt artikelförfattarna att fördjupa sig i vad en läxa är och vilka syften som motiverar lärare både i Sverige och utomlands att ge – eller inte ge – läxor i matematik.

Särbegåvning och högkänslighet
Else Marie Bruhner
I denna tionde artikel i serien om särbegåvning i matematik får vi en inblick i vad högkänslighet är och vad det kan innebära i praktiken för högkänsliga elever. Artikelförfattaren ger förslag på vad som kan göras så att dessa elever får en bättre vardag i skolan.

Komplettering till artikeln, inkl ref.

Vi har läst
Högkänslig … än sen då? av Else Marie Bruhner
Skolan i en digital omvärld av Anders Thoresson

Näringslära med kroppen och knoppen – att experimentera naturvetenskapligt och modellera matematiskt
Jöran Petersson
Artikeln beskriver hur elever kan göra dels ett konkret experiment av hur blodsockernivån reagerar då olika livsmedel äts och dels en enkel matematisk modell för att simulera mängden socker som då frisätts i blodet.

Science on stage
Teresia Brzokoupil
Det sker mycket som är bra i våra klassrum. Entusiastiska lärare utvecklar undervisningen och får fler elever intresserade och kunniga. För läraren är det utvecklande att både dela med sig av egna erfarenheter och att ta del av vad andra har gjort, både i Sverige och utomlands. STEM-konferensen Science on stage kan ge många nya intryck, idéer, kontakter och erfarenheter.

Uppslaget: Tangerande cirklar >>
Tomas Fridström

Sagt & gjort: Parallellprocessering
Under våren 2018 fick Nämnarens redaktion mail där lärare efterfrågade ”den där artikeln med en presenning”. Ganska snart förstod vi att den efterfrågade artikeln var Från datorernas värld som Bengt Aspvall och Eva Pettersson skrev 2007. Vi förstod också att orsaken till det nyväckta intresset för artikeln beror på kursplanetillägget med programmering. En av lärarna, Margareta Dalsjö på Skärsätra skola, Lidingö, berättade att hon inte skulle använda en presenning utan måla direkt på skolgårdens asfalt. Vi bad henne återkomma och vi fick då en lång rad inspirerande foton och en beskrivning av aktiviteten.

Artikeln Från datorernas värld
och kompletterande material finns här >>

Ett sätt att tänka på progression i begreppskunskap
Linda Marie Ahl & Ola Helenius
I författarnas förra Nämnarenartikel beskrev de ett matematiskt begrepp som bestående av tre delar: en matematisk definition, ett antal situationer som ger mening åt begreppet och ett antal representationer för begreppet. Begrepp är en mental konstruktion som tar sitt stöd i dessa tre ben. Här beskriver de hur det går att tänka på progression i begreppskunskap med bråkbegreppet som exempel.

Sagt & gjort: Rätt vad det är lär man sig något nytt i klassrummet
Carsten Magnusson
Det är inte alltid lektioner faller ut exakt som planerat när lärarens förväntningar inte riktigt överensstämmer med verkligheten.

Ekvationen xy = yx – exempel på problemlösning med hjälp av programmering
Anders Johansson
Ekvationen xy = yx kan studeras med hjälp av algebra, numerisk analys och programmering. Författaren demonstrerar bland annat de klassiska numeriska metoderna interpolation, ekvationslösning och kurvanpassning. Länkar ges till tio programmeringslösningar i Python 3 via webbplatsen repl.it.

Systematisk prövning i grundversion och i förbättrad version.
Visualisering av lösningar i grundversion och i förbättrad version.
Intervallhalvering.
Newton-Raphsons metod.
Linjär interpolation.
Kurvanpassning.
Rationella lösningar.
Gränsvärde.

Kängurusidan 207 >>

Lärartankar: Problematisering av problemlösning
Russell Hatami
Författaren diskuterar sin syn på problemlösning i dagens skola, varför det ser ut som det gör och han ger förslag på hur det skulle kunna förbättras. Han exemplifierar med tre uppgifter hämtade direkt från en matematiklärobok. Tillsammans med sina elever för han långa dialoger där de i många små och resonerande steg löser ett problem i taget.

Problemavdelningen 207 >>
Valentina Chapovalova


NCM:s och Nämnarens webbplats