FAQ

8/21 – åtta tjugoendelar, åtta tjugoförstedelar eller åtta tjugoförstadelar?
13/41 – trettioen fyrtioandradelar, trettioen fyrtiotvådelar eller trettioen fyrtiotvåondelar?

Svar: Jag vet inte riktigt vad språkkonventionerna säger, men från en didaktisk synpunkt menar jag att det är bäst att säga åtta tjugoendelar eftersom det på det tydligast möjliga låter höra talet tjugoett. Man skulle rent av kunna säga åtta tjugoettdelar, eller i alla fall låta de som vill säga så.

I själva verket är den gängse bråkbenämningskonventionen lite olycklig, dvs att man tex säger tredje-del. Tredje är ju termen för ordningstalet medan tredjedel snarare har att göra med en uppdelning i tre stycken delar, dvs har att göra med antalet tre. Men detta kan vi knappast göra mycket åt.

En annan sak som jag alltid tar chansen att påpeka när den erbjuds. Bråktal, liksom decimaltal, är termer man aldrig bör använda. Ibland slinter även min tunga, men det är viktigt att hålla isär vad som är talområden, som t ex rationella tal eller reella tal, och vad som är representationsformer som t ex 1/4 eller 0.25. 0.25 och 1/4 är samma (rationella) tal (som även är ett reellt tal eftersom de reella tallen innehåller de rationella). 1/4 är dock skrivet (representerat) på bråkform och 0.25 på decimalform. Pi/6 är också skrivet på bråkform, men är inget rationellt tal.

En anekdot: När jag var lite lyssnade jag på Dan Hylander. Det fanns en låt som hette 21/3. Tjugoen tredjedelar. Jag tyckte det var ett skumt namn, särskilt när jag hade insett att 21/3 = 7. Inte förrän decennier senare när jag återigen hörde låten och lyssnade på texten insåg jag att 21/3 representerade vårens första dag, tjugoförsta mars, i Hylanders lyrik.

Ola Helenius

Svar: En omkrets är en längd (hos en sluten kurva, som t ex en cirkel eller rektangel). När man tänker på omkretsen som en längd (vilket är bra att man gör) så är det naturligt att säga att omkretsen är lång.

En längd anges dock med ett tal. När man pratar om tals storlek säger man aldrig lång. Däremot används ofta termen stor – ett stort tal. När man säger ”en stor omkrets” kan man dessutom mena att t ex den geometriska figuren som man refererar till är stor, på ett rent intuitivt plan. Så att säga en stor omkrets har så att säga en dubbelt relevant referens, till det underliggande geometriska objektet som man vill mäta omkretsen av, samt till talet som anger omkretsen.

Sammanfattningsvis skulle jag rekommendera att växelvis använda både stor och lång. Det är bra att använda stor i samband med att man poängterar själva kvantifieringen, dvs att omkretsen är ett tal. Det är bra att använda lång för anknyta till den geometriska aspekten: att det faktiskt är längden av en kurva som är det vi mäter.

Ola Helenius

Svar: Jag skulle vilja säga att båda uttrycken är korrekta. Tal är abstrakta men används ju för att beskriva olika saker och därför skapas vad vi kallar olika metaforer för tal.
När vi pratar om antal känns det naturligt att prata om små tal och stora tal för att vi tänker på små mängder och stora mängder.
När vi pratar om mätetal är det mer naturligt att prata om låga tal och höga tal eftersom vi kanske tänker på en skala där ett lågt värde är litet och ett högt är stort.
Tal kan därför både vara låga/höga och små/stora.
När man kommer in på negativa tal blir det ibland komplicerat med begreppen små och stora eftersom exempelvis -8 är mindre än -2 samtidigt som det är lätt hänt att det beskrivs som ett ”större negativt tal” eftersom absolutbeloppet är större (8>2). Då kan det vara mer begripligt att säga ett -8 är ett lägre tal än -2.

Det kan ju vara bra att hålla sig inom samma metafor vid samma tillfälle så att man inte ställer det lägsta värdet mot det största eller det minsta mot det högsta utan håller sig till jämförelsen:
lägsta/högsta eller minsta/största.

Cecilia Kilhamn

Fråga: Min fundering: I Tyskland (och även i andra länder) läses decimaltalet 3,14 som “tre komma ett fyra” och inte som “tre komma fjorton” som här i Sverige. Enligt min uppfattning så underlättar sättet jag lärde mig förståelsen för positionerna, t.ex. om man vill jämföra 3,7 med 3,14. Forskningen och erfarenheten visar att många elever i Sverige uppfattar att tre komma fjorton är större än tre komma sju (eftersom 14 > 7). Jag läste också om förslaget att läsa decimaltal med tiondelar och hundradelar, som 3,14 är tre och 1 tiondel och 4 hundradelar. Visserligen underlättar det förståelsen, men samtidigt är det rätt krångligt att läsa och jämföra decimaltal.

Jag hittade inget ställningstagande över att läsa decimaltal som jag lärde mig i Tyskland så jag är nyfiken på er åsikt. Kan eller bör man läsa decimaltal som 3,14 som tre komma ett fyra?

Svar: Det är en intressant fråga du lyfter. Man ser ofta varningar för att säga exempelvis ”tre komma fjorton”, och med all rätt. Precis som du skriver är det en väldokumenterad missuppfattning som kan uppstå. I ett första inlärningsskede föreslås därför att man, som du också påpekar, säger ”tre hela, en tiondel och fyra hundradelar” för att betona vad det är för talsorter man har. Detta blir krångligt att fortsätta med och då finns det två vägar att gå. Antingen att uttala varje siffra för sig: ”tre komma ett fyra”, eller att sätta samman decimalerna och uttala dem som en klump: ”tre komma fjorton”.

I Sverige är vi inte konsekventa. Fråga en som har lärt sig många decimaler på pi så kommer du att se att hen tar en siffra i taget. Ingen skulle utläsa 3,14592 som ”tre komma fjortontusenfemhundranittiotvå”. Nej, så fort det blir mer än tre decimaler skulle jag nog vilja säga att vi, även i Sverige, uttalar varje siffra för sig. Ett intressant fenomen är också att vi har en tendens att gruppera siffrorna två och två. Många skulle utläsa 3,1415 som ”tre komma fjorton femton”. Vad det beror på vet jag inte, men det är samma fenomen som med telefonnummer, där de flesta säger siffrorna parvis.
Är det två decimaler (och ibland tre) utläser vi dem alltså ofta ihop eller parvis.

Nu gissar jag bara, men jag tror att det finns en förklaring till varför vi gör så. I Sverige är matematiken av tradition ett tillämpat ämne. Fokus i läroplanen är mer på användning av matematik än på matematik som abstrakt vetenskap. Även i högre utbildning syns denna tendens. Vid Göteborgs universitet är institutionen för matematiska vetenskaper ett samarbete med Chalmers tekniska högskola. Matematik, som på antikens tid var ett filosofiskt ämne, betraktas här som ett tekniskt ämne. Vad spelar det för roll då?
Jo, i alla tillämpningar representerar tal ofta mätvärden, där vi vanligtvis växlar till en mindre enhet när det blir mindre än en hel.
Exempelvis är 3,14 meter detsamma som 3 meter och 14 centimeter. 3,14 kronor är 3 kronor och 14 öre.
Jag skulle kunna tänka mig att det är den här användning av decimaltal som ligger bakom att det känns mer naturligt att säga som vi gör.

En annan förklaring kan manhitta om man tittar i gamla skolböcker där decimaltal infördes som decimalbråk. I en bok från 1916 hittar jag exempelvis många uppgifter av den här typen:
Teckna med användning av decimalkomma:
45 tiondelar
63 hundradelar
875 hundradelar
55 tusendelar
4 367 tusendelar
Jag tror att det är viktigt att man vet vad det är för sorts tal man har att räkna med och att man kan omvandla mellan talsorter.
0,14 kan utläsas som ”en tiondel och fyra hundradelar” eller som ”fjorton hundradelar”. Vill man säga hur många tusendelar det är blir det 0,140 det vill säga ”etthundrafyrtio tusendelar.” I det sammanhanget är det rimligt att säga att det är ”noll komma fjorton hela”.

Efter denna långa utläggning kommer jag fram till att det inte finns ”ett rätt sätt” att säga decimaler på utan att det beror på situationen hur vi gör. En bra ingång i undervisningen är därför att be eleverna uttrycka samma tal på olika sätt. När det handlar om enhetslösa tal, som exempelvis pi, skulle jag själv föredra att säga ”tre komma ett fyra”. Har jag många decimaler skulle jag absolut göra det.

Cecilia Kilhamn

Svar: Termer för matematikundervisning – ett stödmaterial för undervisning i matematik och studiehandledning på olika språk. skolverket.se/skolutveckling/inspiration-och-stod-i-arbetet/stod-i-arbetet/resurser-for-undervisning-i-modersmal

Fråga:

Term + term = summa
Term – term = differens

Men vad kallas ”svaret” om man blandar räknesätten?

Svar:

Du ställer en bra och relevant fråga.
I boken Matematiktermer i skolan av Kiselman och Mouwitz står det så här:

summa

definition
resultat av en addition

kommentar
Termen summa används även för additionsuttrycket eller för ett kombinerat additions- och subtraktionsuttryck.

Man använder alltså ordet summa om det finns flera termer i en additiv struktur.
Jag skulle tro att förklaringen hänger samman med hur räknesätten definieras rent matematiskt där subtraktion är en del av en additiv struktur och kan definieras som addition av inversen: 7 – 3 = 7 + (-3)

På samma sätt kan man säga produkt om ett multiplikationsuttryck även när det innehåller en division eftersom divisionen kan ses som en multiplikation med inversen: 6 · 7 / 2 = 6 · 7 · ½

// Cecilia Kilhamn

Fråga: På min skola har jag ofta hört lärare säga till eleverna, ”Ni ska skriva ner ett tal där svaret blir 2.”
Jag har lagt märke till att många elever blir förvirrade när de hör lärare säga att ett ”tal” är något som består av siffror, samtidigt som de lär sig om begrepp som jämna tal, udda tal, hela tal, och så vidare. Eleverna förväntas kunna skriva ner ett ”tal” där svaret är 2, vilket kan skapa förvirring eftersom till exempel talet 103 inte ger svaret 2.

Hur bör lärare formulera sig under matematikundervisningen för att undvika denna förvirring? Ska man använda ordet ”tal” i olika sammanhang med två olika betydelser, eller finns det ett bättre sätt att kommunicera dessa begrepp?

Svar: Svaret är enkelt. Lärare bör inte använda termen ”tal” när det refererar till en uppgift, t ex en uppgift i boken (trots att det i det ibland görs så i vardagsspråk). Som du skriver är det gravt förvirrande för eleverna.

Det är mycket bättre att vara terminologiskt specifik och fråga efter det man är ute efter. Till exempel:

• Skriv en beräkning med svaret 2
• Skriv en addition med svaret 2
• Skriv en subtraktion med svaret 2
• Skriv ett uttryck som innehåller alla fyra räknesätt och som är lika med 2.
• Beskriv en händelse som leder till en beräkning med svaret 2.
• Hitta på en uppgift med svaret 2.

Numera säger vi oftare växla än låna vid subtraktion. Det beror på att låna är lite missvisande, då man kan få uppfattningen att något ska lämnas tillbaka. Vi har hela tiden samma antal, inget lånas och inget lämnas tillbaka, men man växlar talsort.

I subtraktionsalgoritmen när man räknar talsorterna för sig räcker inte alltid den sort man har. I dessa fall tar man av en större talsort och växlar den (ett tiotal växlas till tio ental osv). Det finns olika sätt att prata om det här. Ta subtraktionen 543 – 258. Ställer du upp beräkningen och börjar med entalen behöver du växla. Här är två olika förslag på hur du då kan säga som också medför lite olika sätt att tänka. Jag tror att det viktigaste för eleverna är att de hela tiden håller ordning på vilken talsort de arbetar med, så var gärna övertydlig med att säga ” 3 ental”, ”4 tiotal” , ”5 hundratal” osv. 

Alternativ 1 (traditionell):

3 minus 8, det räcker inte så vi får växla ett tiotal till tio ental och får 13 minus 8.

13 – 8 = 5. Vi noterar 5 ental.

(hur detta bokförs är lite olika, traditionellt drar man ett streck över fyran för att markera att ett tiotal är borta, och skriver 10 lite mindre ovanför trean i entalsspalten. Men det finns andra sätt och har man elever från olika skolor eller kulturer så gör de kanske olika. Det finns inget ”rätt” här, det viktiga är att man bokför på ett sätt som hjälper till att hålla ordning. Helst att ni i klassen enas om ett sätt att bokföra minnessiffror.) 

Nästa steg:

Nu har vi 3 tiotal kvar och ska beräkna 3 (tiotal) minus 5 (tiotal). Det räcker inte så vi får växla ett hundratal till tio ental (bokförs på samma sätt som vid den förra växlingen). 

Vi får då 13 (tiotal) minus 5 (tiotal).

13 – 5 = 8. Vi noterar 8 tiotal. 

Nästa steg:

Nu har vi kvar 4 hundratal och ska ta 4 (hundratal) minus 2 (hundratal).

4 – 2 = 2. Vi noterar 2 hundratal. 

Differensen är 285

Alternativ 2:

3 minus 8, det räcker inte så vi subtraherar de 8 entalen från ett tiotal.

10 – 8 = 2. Det blir 2 ental kvar och vi hade 3 från början. 2 + 3 = 5. Vi noterar 5 ental.

(Här ska man inte skriva tio ovanför trean eftersom man aldrig ska lägga ihop 10 + 3. Notera bara med ett streck över fyran att du tagit bort ett tiotal.) 

Nästa steg:

Nu har vi 2 tiotal kvar och ska beräkna 2 (tiotal) minus 5 (tiotal).

Det räcker inte så vi subtraherar de 5 tiotalen från ett hundratal.

100 – 50 = 50. Det blir 5 tiotal kvar och vi hade 3 tiotal kvar i tiotalsspalten.

5 + 3 = 8. Vi noterar 8 tiotal. 

Nästa steg:

Nu har vi kvar 4 hundratal och ska ta 4 (hundratal) minus 2 (hundratal).

4 – 2 = 2. Vi noterar 2 hundratal. 

Differensen är 285

Nackdelen med alternativ 1 är att eleverna måste vara trygga i stora subtraktionstabellen, dvs kunna subtrahera över tiotalet (här 13 – 5).

I alternativ 2 blir det aldrig en subtraktion över tiotalet utan alltid ”10 minus något”. Nackdelen är att efter subtraktionen ska man addera med det ursprungliga antalet av den talsorten, vilket kan kännas bakvänt och glömmas bort. Alternativ 2 är mer kompatibelt med hur man säger om man betalar i en affär och ska få tillbaka pengar, men idag använder vi inte kontanter lika ofta som längre, så det är kanske inget eleverna är vana vid. 

Redan i boken Matematikterminologi i skolan, utgiven av skolöverstyrelsen 1979, står växla som första begrepp med tillägget att uttrycket ”låna” kan användas (boken finns på bibliotek men ges inte ut längre). 

När det gäller additionsalgoritmen är det enklare, där lånar vi aldrig. Däremot växlar vi  mellan talsorter. Så snart man kommer över 9 i en talsort så sker växlingen genom hur vi använder positionssystemet. Det syns i talet 69 att det är 6 tiotal och 9 ental. Om vi räknar upp 2 till 71 har vi 7 tiotal och 1 ental utan att vi egentligen pratar om växling. Men när man lär sig om positionssystemet från början, kanske med hjälp av tiobasmaterial, så är det just växlingar man gör. Tio entalskuber växlas mot en tiotalsstav osv. Om man konkretiserar med ”saker” så får man bunta ihop tio saker och börja kalla en bunt för ”ett tiotal”, eller samla ihop tio tiotalsbuntar och kalla samlingen för ”ett hundratal”. Använder vi pengar så växlar vi tio enkronor till en tia och tio tior till en hundralapp. Det viktiga är att hålla rätt på vilken talsort man håller på med.  

Exempel: beräkna 268 + 179.

Börja med entalen. Addera 8  + 9 = 17.

17 betyder här 1 tiotal och 7 ental. Vi skriver tiotalet högst upp i tiotalsspalten och noterar 7 ental i svaret. 

Nästa steg:

Addera tiotalen: 1 tiotal (från entalen) plus 6 tiotal plus 7 tiotal. 1 + 6 + 7 = 14.

14 betyder här 1 hundratal och 4 tiotal. Vi noterar hundratalet högst upp i hundratalsspalten och noterar 4 tiotal i svaret.

Nästa steg:

Addera hundratalen: 1 hundratal (från tiotalen) plus 2 hundratal plus 1 hundratal. 1 + 2 + 1 = 4.

4 betyder här 4 hundratal. Vi noterar 4 hundratal. 

Summan är 447

Cecilia Kilhamn

Det var den franska matematikern René Descartes som började använda symbolen x. I den framväxande symboliska algebran användes bokstäver för tal som man inte behövde eller kunde precisera i sina beräkningar. Konstanter och kända storheter betecknades med bokstäver ut alfabetets början (a, b, c…), men Descartes ville även markera obekanta tal och började därför använda bokstäverna i slutet av alfabetet (x, y, z) för dessa. Descartes böcker trycktes på franska och både z och y är ganska vanliga bokstäver i franska språket, så typsättarna tyckte kanske att det var bra att oftast använda x. 

Jan Unenge skriver på sida 43 i boken Människorna bakom matematiken om Descartes: ”Vad var det som var så epokgörande? Jo, Cartesius gav världen koordinatsystemet (som stundom kallas cartesiskt) och han slog bokstavligen ihop algebra och geometri. Av bara farten blev det Cartesius som gav oss konventioner för att beteckna konstanter med a, b, c osv – och variabler med x, y, z.

Det nya beteckningssättet underlättade skrivarbetet och bidrog till matematikens explosionsartade utveckling under 1600-talet. Men varför det blev just x förefaller vara lite av en slump.” 

Jan Thompsson skriver på sida 557 i boken Historiens matematik vad de tal vi idag betecknar med x kallades under den retoriska algebrans tid: 

Det finns en teori om att x skulle hänföras tillbaka till det arabiska ordet frö ”ting”, men den teorin har lite stöd. I Oxford English Dictionary (2nd ed.) står att läsa följande:

”The introduction of x, y, z as symbols of unknown quantities is due to Descartes (Géométrie, 1637), who, in order to provide symbols of unknowns corresponding to the symbols a, b, c of knowns, took the last letter of the alphabet, z, for the first unknown and proceeded backwards to y and x for the second and third respectively. There is no evidence in support of the hypothesis that x is derived ultimately from the mediaeval transliteration xei of  shei ”thing”, used by the Arabs to denote the unknown quantity, or from the compendium for Latin res ”thing” or radix ”root” (resembling a loosely-written x), used by mediaeval mathematicians”.

Vill du veta mer föreslår jag Florian Cajoris bok A history of mathematical notation.

Cecilia Kilhamn