Redskap för modellarbete

Mätning som utgångspunkt

För att utveckla matematiska förmågor och ett matematiskt tänkande, förespråkas i ED-programmet att den mest grundläggande matematikundervisningen behöver utgå från mätningar och jämförelser av kvantiteter (se texten om lärandeverksamhet). Till detta behöver eleverna få tillgång till redskap i form av exempelvis symboler, grafiska representationer eller språkliga handlingar (Davydov, 2008). Användningen av redskap syftar till att göra det möjligt att utforska och resonera om teoretiska begrepp, det vill säga begrepp som inte är direkt synliga (Schmittau, 2003, 2005). I ED-programmet förespråkas även att man arbetar med okända kvantiteter, det vill säga kvantiteter som inte har ett bestämt numeriskt värde, för att utveckla taluppfattning (Davydov, 1982). Istället för enbart numeriska symboler anges kvantiteter med bokstavssymboler på samma sätt som inom algebra. En sådan ingång gör det möjligt för elever att tillsammans med läraren gemensamt utforska och reflektera över generella relationer mellan kvantiteter och relationer mellan begrepp, istället för att enbart räkna och operera med konkreta numeriska exempel. Att, som i mycket av den traditionella undervisningen, fokusera på främst numeriska beräkningar riskerar att försvåra för eleverna att urskilja relationer och strukturer (Schmittau, 2003, 2005). I en lärandeverksamhet får eleverna istället möjlighet att gemensamt pröva olika redskap för att utforska generella relationer och strukturer för att därefter pröva dessa i olika numeriska exempel. Denna modell beskriver Davydov som “ascending from the abstract to the concrete” (Davydov, 2008, s. 106). Genom jämförelser av olika längder, antal, areor och volymer kan eleverna göra observationer och kollektivt reflektera över huruvida kvantiteter är lika, olika eller hur de relaterar till varandra.

Ett exempel på hur eleverna kan introduceras till arbetet med olika redskap finns i uppgift 1 i planeringskorten. I den uppgiften får eleverna jämföra olika volymer som de sedan representerar med sträckor där en längre sträcka representerar en stor volym och en kortare sträcka representerar en mindre volym. Eleverna jämför alltså kvantiteter med hjälp av sträckor i stället för med numeriska värden i form av siffror och tal. I arbetet benämner eleverna de olika volymerna med bokstavssymboler och använder matematiska symboler för olikhet för att underlätta den gemensamma reflektionen (se även Eriksson, 2024).

Redskap för att utveckla förståelse av positionssystemets uppbyggnad

För att urskilja och förstå positionssystemet behöver elever och lärare arbeta gemensamt med att utforska de relationer som systemet är uppbyggt av. Eftersom positionssystemet är av teoretisk karaktär går det inte att direkt erfara och urskilja denna uppbyggnad, varför det gemensamma arbetet behöver ske med hjälp av specifika redskap. I lärandeverksamhet benämns sådana redskap lärandemodeller.

Redskapen behöver ha potential att mediera de relationer som bygger strukturen för positionssystemet. Arbetet med redskapen avser att utmana eleverna i gemensamma reflektioner över denna uppbyggnad. För att urskilja strukturen behöver eleverna även urskilja att redskapen inte är själva strukturen utan att de representerar strukturella aspekter. En och samma aspekt kan urskiljas med olika redskap, varför flera olika redskap används i uppgifterna, i planeringskorten ofta både sträckor och bokstavssymboler. Uppgiftens karaktär och de resonemang som utvecklas i elevgruppen kan dock komma att påverka vilka redskap som i huvudsak kommer till användning. När redskapen används och en lärandeverksamhet utvecklas innebär det ofta att eleverna bearbetar redskapen och ibland kombinerar dem med andra redskap. I ett kollektivt reflektionsarbete med lärandemodeller kan eleverna låna och bygga vidare på varandras argument genom att peka och fortsätta utforska ett innehåll i en redan befintlig modell för att bidra till en ökad förståelse. Lärandemodellerna skapar på så vis en möjlighet för ett kollektivt utforskande och fungerar även som ett gemensamt minne och en gemensam tankemodell.

Här nedan beskrivs de redskap som elever och lärare möter i uppgifterna och som de tillsammans kan använda för att reflektera över positionssystemets struktur. Redskapen utgörs av enheter, sträckor, matematiska symboler och tabeller.

Enheter 

I arbetet med att utveckla taluppfattning utifrån jämförelser och mätningar av kvantiteter är olika typer av enheter centrala. Detta gäller all inledande matematikundervisning som har grund i lärandeverksamhet, alltså även i det grundläggande arbetet med att förstå positionssystemet. De enheter som eleverna behöver använda handlar dels om måttenheter som redskap för mätningar och jämförelser, dels om talenheter som beskriver en siffras värde beroende av vilken position som avses och vilken bas talet är skrivet i (se texten om Positionssystemet – undervisningsguidens innehållsliga fokus). 

Måttenheter

För att förstå hur måttenheter fungerar och kan användas som redskap för gemensamma reflektioner om mätningar och jämförelser är det enklast att beskriva hur de kan iscensättas i undervisningen. I planeringskortens uppgift 5 ges ett exempel på en volym som någon påstår är både 2, 4, och 20. Bredvid volymen finns ett antal olika stora mått. I uppgiften ombeds eleverna att reflektera över hur volymen kan bestämmas och hur alla dessa tre värden kan vara korrekta. Eleverna ska här urskilja hur storleken på måttenheten påverkar antalet (mätetal) som kan anges för att beskriva denna kvantitet. 

I det fortsatta arbetet med att utforska och urskilja hur en måttenhet både behövs och påverkar värdet för en kvantitet, får eleverna arbeta med hur måttenheter med olika utseende bestämmer hur många av dem en helhet består av. Sådana mätningar utgör innehållet i uppgift 2, 3 och 4 i planeringskorten. En måttenhet kan ha olika utseende eller utformning och kan även representeras av något som är skilt från värdet 1 (se exempelvis Figur 1). 

Figur 1

Exempel på måttenhet 

Kommentar. Uppgift 3 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym I, s. 46).

I Figur 1 visar enhetsbågen hur enheten som eleverna ska arbeta med kan se ut. Måttenheten utgörs av tre bollar. I uppgiften ska eleverna gemensamt komma fram till att de ska mäta A med E och se att det får plats tre stycken E i den mängd som utgör A, det vill säga A = 3E. I planeringskorten antar måttenheten oftast värdet ett (1), exempelvis en ruta eller en boll, dock ej i alla uppgifter. I uppgift 3 utgörs måttenheten av, som redan angetts, tre bollar och i uppgift 12a och b samt 19 utgörs måttenheten av två rutor.

Arbetet med att urskilja och förstå positionssystemets struktur fortsätter med att en och samma kvantitet kan behöva anges med flera olika måttenheter, exempelvis som i uppgift 6 i planeringskorten (se Figur 2).

Figur 2

Exempel på olika måttenheter

Kommentar. Uppgift 6 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym II, s. 32).

I arbetet med måttenheter är det viktigt att eleverna uppmärksammar att dessa aldrig får överlappa varandra. När en kvantitet har mätts med en måttenhet kan den inte mätas av ytterligare en måttenhet, det vill säga man kan inte lägga flera måttenheter ovanpå varandra, de måste dessutom ligga kant i kant. 

För att tydliggöra vad som utgör måttenhet används en symbol – en enhetsbåge (se Figur 3) – som markerar antingen en eller alla de måttenheter som eleverna ska arbeta med i en uppgift. Ett exempel på hur enhetsbågen kan användas finns i uppgift 7 i planeringskorten.

Figur 3

Enhetsbågens utseende till vänster och exempel på enhetsbågens användning till höger 

Kommentar. Uppgift 7 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym II, s. 48).

Enhetsbågen utgörs i de olika uppgifterna av den lilla “bågen” som visas i Figur 3. I figuren används enhetsbågen för att visa hur måttenheterna K, T respektive E ser ut som används i uppgift 7.

Talenheter

Från och med uppgift tio övergår arbetet till att fokusera talenheter i positionssystemet men fortfarande är fokus på elevernas behov av att reflektera över jämförelser och mätningar i olika baser. Benämningen talenhet, översatt från “numeration unit” (jfr. Chambris, 2018, s. 188) fungerar här som ett övergripande begrepp för talenheter i godtycklig bas. Talenheterna utgör grunden för en struktur för hur tal konstrueras (se texten om positionssystemet). Strukturen bygger på relationen mellan bastalet och övergången till successivt större talenheter “The base tells you how many times to use the unit” (Slovin & Dougherty, 2004, s. 213). Strukturen handlar om hur tal kan anges för olika kvantiteter där antalet siffersymboler som finns tillgängliga påverkar vilken bas ett tal ska anges i. En talenhet innehåller, som tidigare nämnts, information om värdet för de siffror som ett tal består av, exempelvis ental, tiotal och hundratal i bas tio och ental, tvåtal och fyrtal i bas två. Talenheternas värde är alltså beroende av vilken bas som används. Grupperingar behöver därför göras till successivt större (eller mindre) talenheter i grupper som bestäms till kvantitet av bastalet. När en grupp uppnått kvantiteten för bastalet måste en ny grupp konstrueras genom en växling, ibland kallad övergång, till en större talenhet. När antalet av dessa grupper i sin tur uppnått antalet för bastalet måste en ny växling till ytterligare nästa talenhet ske (se Figur 4).

Figur 4

Exempel på gruppering av talenheter

Kommentar. Uppgift 18 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym II, s. 58).

I Figur 4 visas kvantiteten 1 1 1 1₍₂₎ där först en gruppering av alla två-grupper, det vill säga talenheten K₂, gjorts med svart färg och. Därefter har alla två-grupper grupperats, eftersom dessa grupper inte kan utgöras av antalet två eller större utan behöver grupperas till talenheten K₃, i Figur 4 markerade med ljusblått. För den kvantitet som finns i figuren måste dessutom K₃ grupperas till K₄, markerad med orange. Antalet i en grupp får nämligen aldrig överstiga bastalet till antal. En följd av detta är regeln att vid mätning som ska ge ett tal måste så få talenheter som möjligt användas. Den här regeln är en följd av antalet symboler som finns tillgängliga i olika baser. För att notera tal behöver därför talenheter växlas mellan varandra. En växling förutsätter att eleverna beaktar flera detaljer samtidigt. En av detaljerna handlar om att när talenheter ska växlas kan enheterna behöva omgrupperas, vilket innebär att samma talenheter placeras intill varandra för att synliggöra antalet av de respektive talenheter som kan utgöra underlaget för en sådan växling. Det här gäller exempelvis i uppgift 17.

Figur 5

Exempel på elevarbete där en omgruppering gjorts för att enklare urskilja de tre olika talenheterna 

Kommentar. Uppgift 17 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym II, s. 56).

I Figur 5 framgår hur eleverna först mätt den gula sträckan med talenheter placerade på måfå, men där de sedan gjort en omgruppering och storlekssorterat för att slutgiltigt avgöra hur många av de respektive enheterna som behövs för mätningen.

Sträckor

Sträckor är ett, för lärandeverksamhet, typiskt redskap som kan utvecklas till lärandemodeller (se Figur 6). En sådan lärandemodell kan utgöra underlag för att exempelvis diskutera likhet och olikhet.

Figur 6

Uppgift ur ED-programmet 

Kommentar. Uppgiften hämtad ur Davydov (2012, volym I, s. 19). Denna uppgift finns inte med i planeringskorten, utan utgör endast ett exempel på hur sträckor kan användas för att reflektera över matematiskt innehåll.

I uppgiften som presenteras i Figur 6 ska eleverna tillsammans med läraren reflektera över burkarna utifrån de olika sträckorna. De ska reflektera över två detaljer som är lika utifrån de två sträckorna som visar likhet, och en detalj som är olika utifrån sträckorna som visar olikhet.

Ett annat sätt att använda sträckor i ED-programmet exemplifieras i uppgift 2 (se Figur 7) i planeringskorten. 

Figur 7

Exempel på sträckor

Kommentar. Uppgift 2 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym I, s. 41).

I uppgiften i Figur 7 ska eleverna istället för att jämföra och endast beskriva likhet eller olikhet även bestämma längden av den ena sträckan med hjälp av den andra sträckan. Den kortare sträckan utgör en måttenhet för mätningen. Enheten K ska alltså användas för att bestämma längden av sträckan B. Lösningen på uppgiften är B=6K.

Ett tredje sätt att använda en sträcka är att dela upp den i mindre delar där elever kan få möjlighet att reflektera över en additiv del-del-helhetsrelation; K+K+K…=T (se Figur 8). Lösningen noteras som T=7K. Eleverna ska också urskilja en kortare sträcka C som skrivs C=3K.

Figur 8

 Exempel på en sträcka som delats upp i mindre delar

Kommentar. Uppgift 4 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym I, s. 48).

De bågar som är inritade i Figur 8 utgör även de ett typiskt redskap inom lärandeverksamhet som kan användas för att utveckla lärandemodeller. I utforskandet av positionssystemet som det beskrivs i planeringskorten används dessa bågar uteslutande tillsammans med sträckor. Bågarna kan exempelvis användas för att markera antalet enheter på en sträcka som visar en bestämd kvantitet (se Figur 8). Bågarna kan se olika ut, de kan till och med vara ett nästan rakt streck. I den här uppgiften används två bågar för att visa kvantiteterna T respektive C. Bågarna visar att T=7K, och att C=3K.

En annan situation där bågar används som redskap är när talenheter markeras på en sträcka där kvantiteter i olika baser utforskas (se exemplet i Figur 9, som behandlar en kvantitet i bas tre). 

Figur 9

Bågar som visar relationen mellan entalet (T₁) och en successivt större talenhet (T₂) i bas tre

Kommentar. Uppgift 10 och 11 i planeringskorten, inspirerad av lärarhandledningen till Davydov m.fl. (2012, volym II, s. 29).

I den här uppgiften noteras entalen med de små bågarna (i Figur 9 under sträckan). På samma sträcka noteras även en större talenhet (T₂) med längre bågar (ovanför sträckan). De längre bågarna hjälper till att urskilja den större talenheten, i det här fallet tretalet. Tre ental växlades alltså till den successivt större talenheten (T₂) eftersom den situation som den utvecklade lärandemodellen användes i handlade om att utforska trebas. I Figur 9 ovan representerar alltså bågarna talet 2 2₍₃₎ det vill säga talet två två i bas tre. Sträckan i kombination med bågar kan som här utvecklas till en lärandemodell i det gemensamma arbetet på tavlan då ett tal i en annan bas än tio ska bestämmas.

Ytterligare ett exempel på hur en modell med en sträcka i kombination med bågar kan stötta elever i ett grupparbete visas i Figur 10. På eget initiativ konstruerade eleverna en sträcka som symboliserade det totala antalet kryss i uppgiften. Sträckan kombinerade de med bågar dels för entalet K₁ och dels för grupperingen av entalen till en successivt större talenhet i bas fyra K₂. Det här är ett exempel på hur redskap som elever spontant tagit i bruk utvecklats till en lärandemodell.

Figur 10

Elevernas användning av bågar på en sträcka för att ange talet 2 2 i bas fyra

Kommentar. Eleverna skriver dock svaret X = 2K₂ + 2K₁ = 10K₁, det vill säga de gör om noteringen av antalet kryss till tiobas.

En avslutande beskrivning av hur en sträcka kan utvecklas till en lärandemodell handlar om konstruktionen av en tallinje. En tallinje kan man förstå som en sträcka där markeringarna av de lika stora enheterna fått numeriska värden. För att utveckla en tallinje behöver eleverna urskilja att avstånden mellan markeringarna på linjen utgörs av en och samma måttenhet. De tallinjer som presenteras i uppgift 24 (se Figur 11) berör värden för tal i olika baser, det vill säga talen på tallinjerna återfinns i olika talbaser. I planeringskorten startar alla tallinjer med 0 och värdet 1 hamnar följaktligen vid den första markeringen efter denna nolla. De värden som finns markerade på tallinjerna i Figur 11 visar ökande värde i riktning mot höger.

Figur 11

Tallinjer med numeriska värden i olika baser 

Kommentar. Uppgift 24 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m. fl. (2012, volym II, s. 80).

Matematiska symboler

Symboler i matematik används för att representera någon form av innehåll. Matematiska symboler kan vara numeriska, exempelvis våra vanliga siffersymboler 1, 2, 3, algebraiska symboler, exempelvis bokstäver såsom A, C, X, Y eller symboler för matematiska relationer +, -, =. 

När det gäller att ange tal med numeriska symboler finns det lika många symboler att använda som det tal som anger basen. I bas tio finns det således tio olika symboler; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Två andra exempel är bas två där det finns två symboler; 0 och 1 och bas tre där det finns tre symboler; 0, 1 och 2. 

Bokstavssymboler representerar okända kvantiteter. Eleverna behöver uppmärksammas på att de här symbolerna inte är fonem som representerar ett språkljud så som i läsning och skrivning, och att de inte heller kan likställas med ett specifikt fenomen eller föremål. Det är viktigt att de inte får något specifikt värde kopplat till exempelvis placeringen i alfabetet eller kopplat till någon tidigare uppgift. Det är också viktigt att bokstavssymboler används på ett sådant sätt att eleverna får möjlighet att reflektera över vad symbolerna representerar. I planeringskorten används därför olika beteckningar för de olika talenheterna. I uppgifterna används exempelvis K₁ K₂ och K₃ ibland och E₁, E₂ och E₃ ibland, för att ange exakt samma talenheter. Vilka bokstäver som används spelar ingen roll, men det ska vara samma bokstav för alla måttenheter i en och samma mätning. I lärandeverksamhet kan bokstavssymboler även behövas för konstanter i ett uttryck, det vill säga konstanter kan utgöras av okända värden som är av mer generell natur än ett specifikt numeriskt värde. Ett exempel kan vara arbetet i uppgift 17, även beskrivet tidigare under avsnittet om enheter. Sträckan B i Figur 12 skulle kunna uttryckas som B=2K₃+1K₂+2K₁ där K₃, K₂ respektive K₁ är talenheter i talet som anger längden av sträcka B. Om talet som representerar längden av sträckan B ska lyftas ut ur tabellen blir de olika talenheterna inte i traditionell mening variabler som de blir i ett uttryck (likhet) för B, där de olika termerna kan anges i valfri ordning. Det är istället centralt att eleverna urskiljer att de olika talenheterna måste anges i ordningen från den största (sett från vänster) och i fallande storlek till den minsta för att resultatet av mätningen av längden B ska noteras 2 1 2₍₃₎. Det är i det här fallet inte möjligt att byta plats på de ingående talenheterna, inte ens då de utgör termer i uttrycket. Det är alltså centralt att eleverna noterar talet med siffrorna så att antalet av den största talenheten, sett från vänster, kommer först och sedan antalet för alla mindre talenheter i sjunkande ordning ner till K₁.

Figur 12

Uttryck med okända kvantiteter representerad med Cuisenairestavar

Kommentar. Uppgift 17 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym II, s. 56). 

Tabeller

Tabell som ett redskap för att utforska positionssystemets struktur används dels för att dokumentera resultat av mätningar, dels för att tydliggöra en siffras värde beroende av position i ett tal. Genom att dokumentera resultat av en mätning i en tabell kan elever få syn på hur måttenheter och talenheter är sammankopplade, det vill säga relationen mellan måttenhet och talenhet. Måttenheterna kan som tidigare skrivits bestå av antal, längder, areor eller volymer och de kan symboliseras med exempelvis K₃, K₂, K₁ eller E₃, E₂, E₁. Vilka bokstäver som används spelar, som nämnts, inte någon roll, men om ett resultat ska anges som antalet av olika måttenheter behöver tabellen använda samma symboler som för de respektive måttenheterna. I en tabell redovisas antalen av de olika måttenheterna som siffror i kolumnerna. Om dessa måttenheter relaterar till varandra i form av ett bassystem, som exempelvis tiobas-systemet eller det binära talsystemet (bas två), utgör de talenheter i det tal som som beskriver resultatet av mätningen (se Figur 13).

Figur 13

Tabell som visar talenheterna i godtycklig bas (n) i positionssystemet med exempel på hur de betecknas i planeringskorten

I uppgift 5 till och med uppgift 12 i planeringskorten där eleverna arbetar med mätningar och måttenheter är det samma beteckning i tabellhuvudet som de enheter eleverna arbetar med. Men från och med uppgift 13, då uppgifterna börjar fokusera tal, används endast romerska siffror i tabellhuvudet för att namnge de olika talenheterna. Detta skifte är viktigt för att eleverna ska fokusera talenheter bortom empiriska mätningar, vilket innebär att måttenheterna fasas ut och utforskandet av talenheter tar över. 

I tabellhuvudet presenteras, såsom beskrivits i texten om positionssystemet, kolumnen längst till höger entalet (t.ex. K₁), kolumnen därefter, (K₂), presenterar den enhet som även utgör basen, nästkommande kolumn åt vänster (K₃), anger enheten som representeras av bastalet i kvadrat och därefter bastalet upphöjt till 3, 4, 5 och så vidare (se Figur 13 och 14). Genom benämningarna som exempelvis K₁ K₂ K₃ K₄ går det för elever och lärare att i gemensamma reflektioner vara exakt med vilken av de olika talenheterna som avses. Observera att kolumnen med entalet, där bastalet upphöjt till 0 representeras, benämns som exempelvis K₁ eller en romersk etta. Elever som ännu inte räknar med potenser har vanligen inga problem med detta, men den som leder undervisningen kan behöva komma ihåg att potenser och beteckningen för talenheterna inte följer varandra. Tabellen och beteckningarna för talenheterna fungerar oavsett vilken bas som används eftersom talenheterna inte benämns med specifika namn (man säger till exempel inte ental, tiotal, hundratal osv.) som kopplas till en specifik bas. På så vis kan tabellen fungera som ett redskap för att generalisera strukturen i positionssystemet. 

I tabellhuvudet noteras alltså de olika talenheterna. I uppgifterna i planeringskorten benämns de olika talenheterna antingen i likhet med de måttenheter som används, gäller fram till och med uppgift 12, eller med romerska siffror, från och med uppgift 13. De två alternativen visas i Figur 14.

Figur 14

Tabellen som ett redskap i uppgifterna

Styrkan med en tabell är alltså möjligheten att reflektera över siffrornas positioner i ett specifikt tal. I exempelvis hela tal i bas två är första positionen alltid ental, den andra tvåtal, den tredje fyrtal, den fjärde åttatal och så vidare.

Lyfter man ut siffrorna ur tabellen och placerar dem bredvid varandra utgör siffrorna ett tal. I tabellen kan det saknas en talenhet (dvs. en kolumn kan vara tom), men i ett tal utanför tabellen måste varje position anges med en siffersymbol. Det innebär att om någon talenhet saknas i tabellen behöver den positionen markeras med en nolla i talet. För att utforska vilka siffror som kan finnas i de olika positionerna i olika baser, kan läraren skriva siffror i positionerna som eleverna kan godkänna eller förkasta. Det är bra att då börja med 0 och fråga eleverna om det är 0 av en specifik talenhet. Eleverna får diskutera och gemensamt komma överens om det stämmer eller inte.

Sedan tar man siffran 1 och frågar samma sak. Beroende av bas kan man alltså fråga eleverna om vilka siffersymboler som kan användas. När man kommer till bastalet behöver eleverna uppmärksamma att det sker en övergång till en större talenhet som konstrueras till vänster i tabellen. 

En tabell kan alltså vara bra att använda för att reflektera över siffrornas positioner i ett specifikt tal. Nedan ges dock två olika exempel på mindre effektiva sätt att använda en tabell i utforskandet.

Två mindre framgångsrika exempel på arbete med tabell som redskap

Här presenteras två mindre framgångsrika exempel på hur tabellen användes av eleverna för att konstruera tal. Det första exemplet handlar om att använda tabell för att utforska talen i en hel talramsa. I uppgift 24 i planeringskorten skulle några elever skulle reflektera över talramsan i bas fyra och konstruerade då en tabell som de menade kunde representera hela talramsan (se Figur 15). 

Figur 15

Elevarbete då de ramsräknar i bas fyra, det vill säga reflekterar över talramsan i bas fyra 

Kommentar. Se uppgift 24 i planeringskorten.

Tabellen i Figur 15 skulle alltså enligt eleverna kunna representera hela talramsan. Det de inte reflekterade över var att de behövde konstruera en tabell för varje enskilt tal i ramsan, alltså en tabell för vart och ett av talen (0 1 2 3;  1 0  1 1   1 2  1 3;  2 0  2 1  2 2  2 3;  3 0  3 1  3 2  3 3;  1 0 0  1 0 1  1 0 2 …). Tillsammans med läraren diskuterade de slutligen att tabellen inte var ett funktionellt redskap i den här uppgiften.

Det andra exemplet där arbetet med tabell som redskap inte fungerade är hämtat från en uppgift där eleverna skulle notera ett resultat i en tabell och sedan redovisa resultatet som ett tal utanför tabellen. Uppgiften finns presenterad i Figur 16.

Figur 16

Konstruktion av måttenheter i bas tre

Kommentar. Uppgift 20 i planeringskorten, inspirerad av Davydov m.fl. (2012, volym II, s. 59).

För att representera svaret skulle eleverna först konstruera enheterna K₁, K₂, och K₃, Därefter skulle de använda enheterna för att mäta figuren T.  Resultatet av mätningen skulle de representera i en tabell för att därefter lyfta ut de olika talenheterna i tabellen enligt Figur 17 och skriva det tal som utgjorde lösningen på uppgiften. 

Figur 17

Resultatet av mätningen av figuren T representerad som antalet talenheter i en tabell

Kommentar. Uppgift 20 i planeringskorten se Figur 17 ovan.

Eleverna föreslog då T=1K₁+1K₂+1K₃+2K₄ vilket som uttryck betraktat är helt korrekt. Men eftersom de hade för avsikt att utforska hur de olika talenheterna kan lyftas ur tabellen för att utgöra ett mätresultat för figuren T var detta inte effektivt. Eleverna behöver således urskilja att ordningen på talenheterna har betydelse för ett tal, vilket de inte har för ett uttryck. De behöver urskilja T=2K₄+1K₃+1K₂+1K₁. Utan talenheterna blir detta tal T=2 1 1 1₍₃₎, det vill säga, två ett ett ett i bas tre.

Referenser

Chambris, C. (2018). The influence of theoretical mathematical foundations on teaching and learning: a case study of whole numbers in elementary 68 school. Educational Studies in Mathematics, 97(2), 185–207. https://doi.org/10.1007/s10649-017-9790-3 

Davydov, V. V. (1982). The psychological characteristics of the formation of elementary mathematical operations in children. I T. Carpenter, J. Moser & T. Romberg, Addition and subtraction. A cognitive perspective (s. 224–238). Lawrence Erlbaum Associates Publishers.

Davydov, V. V. (2008). Problems of developmental instruction: A theoretical and experimental psychological study. Nova Science Publishers. (Originalutgåvan publicerad 1986)

Davydov, V. V., Gorbov, S. F., Mikulina, G. G., & Saveleva, O. V. (2012). Matematikka, volym I och II. Vita Press.

Eriksson, H. (2024). Collective reasoning and the use of learning models for relationships between quantities, as suggested by the El’konin–Davydov curriculum. I A. Veraksa & Y. Solovieva (Red.), Learning mathematics by cultural-historical theory implementation (s. 241–258). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-031-66894-4_14

Schmittau, J. (2003). Beyond constructivism and back to basics: A cultural historical alternative to the teaching of the base ten positional system. I B. Rainforth & J. W. Kugelmass (Red.), Curriculum and instruction for all learners: Blending systematic and constructivist approaches in inclusive elementary schools (s. 113–132). Brookes.

Schmittau, J. (2005). The development of algebraic thinking. A Vygotskian perspective. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 37(1), 16–22.

______
Forskningsprojektet Problemsituationer, Lärandemodeller och Undervisningsstrategier (PLUS) är finansierat av Skolforskningsinstitutet (dnr 2021-00006).

De flesta illustrationer som används här är konstruerade av Sami Hård af Segerstad med utgångspunkt i Matematikka I och II (Davydov m.fl., 2012, volym I och II).

Fotografierna är tagna av forskargruppen.