Positionssystemet – undervisningsguidens innehållsliga fokus

Positionssystemets struktur

Positionssystemets struktur kan beskrivas utifrån en godtycklig bas (b) där siffrorna i ett tal anger ett antal av varje talenhet. Exempelvis betyder talet 212, i en godtycklig bas, 2·b² + 1·b¹ + 2·b⁰ (jfr Kiselman & Mouwitz, 2008). Detta innebär att talet 212 i bas tio betyder 2·10² + 1·10¹ + 2·10⁰, det vill säga 2·100 + 1·10 + 2·1. Till vänster om entalet ökar alltså talenheternas storlek successivt i stigande ordning i form av det vi i tiobassystemet benämner: tiotal, hundratal, tusental och så vidare. Till höger om entalet minskar talenheternas storlek i form av tiondelar, hundradelar, tusendelar och så vidare. I bas tre däremot innebär strukturen att talenheter till vänster om entalet utvecklas i form av ”tre-tal”, ”nio-tal”, tjugosju-tal” och så vidare. Till höger är motsvarande utveckling tredjedelar, niondelar, tjugosjundedelar och så vidare (jfr Latif m.fl., 2011).

Detta innebär att för bas tre anger en siffra på motsvarande tiotalspositionen (i bas tio) ett antal grupper av tre och på motsvarande hundratalspositionen ett antal grupper av tre-grupper och så vidare. Talet 212 i bas tre betyder alltså 2·3² + 1·3¹ + 2·3⁰, det vill säga 2·9 + 1·3 + 2·1, skrivet i tiobasnotation. Den siffra som står på entalspositionen visar ett antal ental oavsett vilken bas man använder eftersom ett tal upphöjt till noll är lika med ett (1). Talenheter utvecklas således enligt en övergripande struktur, både till vänster och höger om entalet.

Andra baser än tio som används i olika sammanhang är exempelvis bas två (det binära talsystemet) och bas sexton (det hexadecimala talsystemet), vilka båda används i datorer^.* 

För att visa vilken bas som används skriver man den aktuella basen efter talet, inom en nedsänkt parentes, till exempel: 1 2₍₃₎. 

Undervisning om positionssystemet

Elever behöver urskilja att strukturen är uppbyggd av talenheter (jfr Chambris, 2018; Houdement & Tempier, 2019; Howe, 2019). Begreppet talenhet är översatt från engelskans numbers unit (Chambris, 2018). I bas tio benämns talenheter: ental, tiotal, hundratal, tusental och så vidare, men i andra baser finns inte namn för specifika talenheter. I undervisningsmaterial benämns ibland talenheter som talsorter, vilket kanske felaktigt leder tankarna till att de har olika beskaffenhet, snarare än att de representerar ett värde.

Enligt Ross (1989) behöver eleverna, för att förstå positionssystemet, urskilja att:

• Siffrans position i ett tal bestämmer vad den betyder eller vilket värde den representerar, exempelvis betyder siffran tre på tiotalspositionen trettio och på hundratalspositionen betyder den trehundra (positionsprincipen).
• Det värde som siffrorna representerar ökar med potenser av tio från höger till vänster (tiobasprincipen).
• Det värde en siffra representerar erhålls genom att multiplicera dess siffervärde med det värde som är knutet till dess position, exempelvis erhålls det värde siffran 3 representerar vid hundratalspositionen genom att multiplicera tre med etthundra (den multiplikativa egenskapen).
• Ett tal är summan av de olika värden som siffrorna representerar, exempelvis 362 = 300 +60 + 2 (den additiva egenskapen).

En förutsättning för att elever ska urskilja den övergripande strukturen i tiobassystemet är att de får arbeta med andra baser än bas tio (Schmittau, 2003). I flera av materialets uppgifter får eleverna använda andra baser. En diskussion kan gärna föras tillsammans med eleverna om att andra baser än bas tio kan användas för olika ändamål. För att skapa förutsättningar för en lärandeverksamhet riktad mot den övergripande strukturen i tiobassystemet behöver eleverna urskilja bastalet, hur entalet representeras i lärandemodellen och att tal används för att precisera en mätning (tal som mätetal) och inte endast för att ange ett antal uppräkningsbara föremål (Björk & Berthén, 2024).

I undervisningsguiden används olika generella beteckningar för talenheter exempelvis K₁, K₂, K₃ eller T₁, T₂, T₃ och så vidare, för motsvarande ental, tiotal och hundratal (bokstavssymbolerna varierar och har ingen betydelse). Det går bra att använda vilka bokstavsbeteckningar som helst, huvudsaken är att eleverna förstår att beteckningarna representerar talenheter vid specifika positioner och att beteckningarna går att använda oavsett vilken bas man arbetar i. Tabeller (se Figur 1) används för att notera resultat av olika mätningar, i olika baser. 

Figur 1 

Exempel på tabell som används i uppgifterna

De tabeller som används för hela tal i uppgifterna är konstruerade så att platsen längst till höger används för att notera ental, det vill säga bastalet upphöjt till noll. Till vänster om entalets position följer kolumner för successivt större talenheter vilka erhålls genom att upphöja bastalet till 1, 2, 3 och så vidare. I bas tio innebär det att tiotal (tio upphöjt till ett) placeras till vänster om entalet, därefter hundratal (tio upphöjt till två), tusental (tio upphöjt till tre) och så vidare. 

Tabellens konstruktion och användning underlättar processen med att skriva tal utanför tabellen, det vill säga att “lyfta ut” tal och samtidigt se vilka talenheter som talet består av. Till en början kan det upplevas som kolumnerna anges i bakvänd ordning, då tabellen expanderas från höger till vänster med ökande storlek på talenheterna.