Eleverna ska så småningom kunna formulera en ekvation utifrån en problemlösningssituation, lösa ekvationen och sedan tolka resultatet i förhållande till det ursprungliga problemet. Detta innebär att eleven måste kunna uppfatta problemets struktur och uttrycka det algebraiskt samt kunna bearbeta uttrycket och lösa ekvationen. I detta delområde testas elevens förmåga att bearbeta algebraiska uttryck.

För att förstå algebraiska uttryck kan man t.ex. koppla detta till geometrin. Formeln för rektangelns area kan då skrivas A = b ∙ h. Här kan man börja med att sätta in värden på b och h. I nästa steg kan man betrakta följande rektangel.

För att bestämma rektangelns omkrets kan man först addera b + h + b + h. Men man kan även addera i ordningen b + b + h + h vilket kan skrivas 2 ∙ b + 2 ∙ h. Detta kan också skrivas 2b + 2h.
Man kan nu införa enkla parenteser. Detta kan återigen knytas till rektangelns omkrets genom att man först beräkna halva omkretsen alltså b + h. Detta kan skrivas som (b + h) för att markera att man betraktar det som ett tal. Hela omkretsen, som är dubbelt så
stor kan då skrivas 2 ∙ (b + h) vilket även kan tecknas 2(b + h). Eleverna bör nu också kunna utföra förenklingar såsom 3a + 4a = 7a. I ett första steg bör detta förtydligas som 3a + 4a = (a + a + a) + (a + a + a + a) = a + a + a + a + a + a + a = 7a. Även uttryck som 7a − 4a och 2a + 5b + 3a − 2b bör tas upp och diskuteras.

Arbetet med parenteser kan utföras i två steg. De enklaste varianterna är av typen 3x ± (4 + x). Står det + i parentesen kan uttrycken tolkas med ”både och”: 3x + (4 + x) tolkas som att man ska addera både 4 och x vilket ger 3x + 4 + x

3x − (4 + x) tolkas som att man ska subtrahera både 4 och x vilket ger 3x − 4 − x.

En förutsättning för att eleverna ska komma vidare inom algebran är att de har en förståelse för vad subtraktion med ett negativt tal innebär. Om eleven har förstått att a − b = a + (-b), alltså att en subtraktion av ett tal alltid kan ersättas med en addition av det motsatta talet kan 3x + (4 − x) tolkas som 3x + [4 + (−x)]. Detta ger 3x + [4 + (−x)] = 3x + 4 + (−x) = 2x + 4.
Vid förenkling av algebraiska uttryck i rationell form kan jämförelse med förenkling av bråkuttryck med naturliga tal göras.

Ett bråk som \(\frac{9}{15}\) kan skrivas som \(\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3}\), vilket kan förkortas med 3 till \(\frac{3}{5}\). Samma idé kan även användas för att visa att \( \frac{a^5}{a^3} = a^2 \). Man skriver då om \( a^5 / a^3 \) som a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a/a ∙ a ∙ a och förkortar med a tre gånger.

Man bör redan nu förbereda eleverna inför arbetet med binom. Ett binom som (2a + b) står för ett tal på samma sätt som a eller 7 gör det. Det betyder att (2a + b)(2a − b)/(2a+b)kan förkortas med (2a + b) eftersom samma tal (2a + b) finns i både täljare och nämnare. Detta ger resultatet (2a − b), på samma sätt som a ∙ b/a kan förkortas med a vilket ger resultatet b.
En multiplikation av typen a ∙ (b ± c) är relativt enkel. Innbörden är att både b och c ska multipliceras med a. Lika enkelt är det att utföra multiplikationen (−a) ∙ (b + c) som på motsvarande sätt ger (−a) ∙ b + (−a) ∙ c = (−ab) + (−ac) eller om man så vill −(ab + ac).
För att multiplicera två binom såsom (2x − 4) ∙ (x + 3) kan man först dela upp multiplikationen i två steg. Innebörden är att talet (2x − 4) ska multipliceras både med x och med 3. Den distributiva lagen ger då (2x − 4) ∙ x + (2x − 4) ∙ 3. Med hjälp av den kommutativa lagen kan detta också skrivas x ∙ (2x − 4) + 3 ∙ (2x − 4), som i sin tur ger \( 2x^2 − 4x + 6x − 12 = 2x^2 + 2x − 12\).

Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

För elever som behöver fler utmaningar inom algebra är ett ytterligare steg att arbeta med kvadreringsregeln och konjugatregeln och deras innebörd. Parallellt med att eleverna arbetar med att multiplicera binom kan de konstatera att produkten \( (a + b)(a – b) = a^2 – ab + ab – b^2 = a^2 – b^2\). Ett sätt att hålla konjugatregeln levande är att koppla den till huvudräkning. Multiplikationen 42 ∙ 38 kan skrivas om som (40 + 2)(40 − 2), vilket enligt konjugatregeln är lika med \(40^2-2^2\) eller 1 596. På motsvarande sätt kan man beräkna 73 ∙ 67 i huvudet som \((70 + 3)(70 − 3) = 70^2 − 3^2 = 4 891\).

I nästa steg bör eleverna även kunna gå bakvägen och faktoruppdela uttryck som \(4x^2 − 3^2 i (2x + 3)(2x − 3)\).
Därmed kan eleven lösa andragradsekvationer som \(4x^2 − 9 = 0\) genom att skriva om dem som (2x + 3)(2x − 3) = 0 vilket ger de två rötterna x = 1,5 och x = −1,5.
Kvadreringsreglera behandlas på motsvarande sätt:

\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab +ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\) och
\((a − b)^2 = (a − b)(a − b) = a^2 − ab − ab + b^2 = a^2 − 2ab + b^2.\)

Uppmärksamma eleverna på strukturen. De ska inte behöva räkna ut \((2x + 3)^2\) steg för steg utan direkt se att termerna är \((2x)^2 + 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\). Ännu viktigare är det att kunna gå bakvägen och känna igen att \(x^2 − 4x + 4 = (x − 2)^2\) och att \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).