Svar och lösningar, mars 2011

Denna månad har vi fått lösningar från Vera Pavlovic på Lilla Adolf Fredrik 2A i Stockholm, Joel Adamah klass 3, Samuel Leskinen på Vessigebroskolan i Rönnen, Klas Gustavsson 11 år på Fritslaskolan samt från elever i klass 4 Castor & Pollux på Lillmons skola i Malung.

Maria viker ett papper fem gånger som figuren visar.

Sedan sticker hon hål genom det hopvikta papperet, så som sista bilden visar. Därefter viker
hon ut pappret igen. Hur många hål har det utvikta papperet, dvs hela det stora papperet?

Lösning
Svar: 32.
Samuel Leskinen i Rönnen Vessigebroskolan skriver:
Jag tog ett papper och vek det så som man skulle göra och sen stack jag hål i det. Det blev 32 hål så som jag gissade för det var dubbelt dubbelt hela tiden.
Vi tänkte nog på samma sätt som Samuel när han gissade. Nu försöker vi beskriva tankegången steg för steg:
När Maria för första gången viker sitt pappersark på mitten formar hon två likadana rektangulära delar. Det blir som blad i en bok som hänger samman och den ena rektangeln täcker den andra. När hon viker det för andra gången, så blir varje blad 2 blad, alltså 4 blad sammanlagt. Antalet blad fördubblas vid varje vikning, efter tredje vikningen är det 8, efter fjärde 16 och efter femte 32. När hon sticker hål genom det hopvikta papperet, så går nålen genom hela papperslagret, alla 32 blad, och gör ett hål i varje blad. Så det blir 32 hål och när hon viker ut papperet igen så kan man se alla 32 hålen.

Madame Dupont tar en 2 timmars promenad. Först går hon en sträcka på plan mark, därefter går hon uppför en backe. Sedan vänder hon och går tillbaka samma väg hem igen. Hennes hastighet är 4 km/h på plan mark, 3 km/h i uppförsbacken och 6 km/h nedför backen. Hur
lång sträcka går Madame Dupont sammanlagt?

Lösning
Svar: 8 km.
Det tar i snitt 15 minuter för Madame Dupont att gå en kilometer på plan mark och 15 minuter att gå samma sträcka tillbaka, sammanlagt 30 minuter. Det tar 20 minuter att gå en kilometer i uppförbacke och 10 minuter tillbaka. Det blir 30 minuter sammanlagt även där. Varje kilometer tur och retur tar alltså 30 minuter oavsett var hon går. På 2 timmar hinner hon gå 4 kilometers promenadväg fram och tillbacka. Hon går alltså 8 km sammanlagt på sin promenad.

Summan av fem på varandra följande heltal är lika med summan av de tre närmast efterföljande heltalen. Vilket är det största av dessa åtta tal?

Lösning
Svar: 11.
Lösning 1: Ett heltal följs alltid av ett heltal som är 1 större. Låt k vara det första av dessa åtta heltal. Då är de första fem talen: k, k+1, k+2, k+3 och k+4. De efterföljande tre talen är k+5, k+6 och k+7. Detta ger följande ekvation: k+k+1+k+2+k+3+k+4=k+5+k+6+k+7 vilket förenklas till 5*k+10=3*k+18 och ger lösningen k=4. Det största talet är k+7=11.

Lösning 2: Vi börjar med ett test: 1+2+3+4+5=15, 6+7+8=21. Alla andra serier av åtta på varandra följande heltal kan vi få genom att till samtliga termer addera ett och samma heltal. Om vi adderar 1 så ökar den första summan med 5 och den andra med 3 alltså den första summan ökar 2 mer än den andra. Nu är den andra summan 6 större än den första, alltså måste vi göra tre sådana ökningar med 1 för att göra summorna lika. Då blir det största talet 8+3=11.

Se även problem nr 2 i november 2010.