Svar och lösningar, feb 2011

Denna månad har vi fått lösningar från Madeleine och Katriina på Fritslaskolan, William Jenbratt och Nils Sandberg i klass 4b på Skärhamns skola samt från Simon Nystedt.

När tränaren visslade i sin pipa ställde cirkusaporna upp sig på 6 led. I varje led fanns det 4 apor. Sen blåste han igen och aporna flyttade sig så
att det blev 8 led istället. Hur många apor fanns det då i varje led?

Lösning
Svar: 3
Lösning 1: Aporna stod i 6 led med 4 apor i varje alltså de var 6•4 = 24 apor.
När dessa 24 apor ställde sig i 8 led så blev alla leden 24/8 = 3 apor långa.

Lösning 2: Antal led ökade från 6 till 8 dvs i proportion 4:3. Då minskade ledernas längd i omvänd proportion, från 4 till 3.

På två parallella linjer är sex punkter markerade. På den ena linjen ligger fyra punkter och på den andra linjen ligger två punkter. Hur många trianglar finns det som har sina hörn i tre av de sex punkterna?

Lösning
Svar: 16
Detta visade sig vara ett svårt problem. Några har försökt men det har inte kommit något rätt svar till oss.

Innan vi räknar: Vi skriver ”linjer” i stället för räta linjer och vi skriver att ”tre punkter bildar en triangel” om det finns en triangel med hörn i dessa punkter. (Det finns aldrig fler än en sådan triangel för givna tre punkter.)
Tre punkter bildar en triangel om de inte alla tre ligger på samma linje. Genom två olika punkter går alltid exakt en linje. Om man då drar en linje genom två punkter och en tredje punkt ligger utanför linjen så bildar dessa tre punkter en triangel.

Vi har två parallella linjer p och q. Punkterna A, B, C och D ligger på p medan E och F på q. Frågan i problemet är: På hur många sätt kan vi välja tre punkter bland dessa sex så att de bildar en triangel?

Lösning1: Om tre punkter ligger på två parallella linjer men inte alla tre på samma linje så måste två av dem ligga på den ena linjen och en på den andra. Vi får undersöka två fall.

Fall 1: två punkter ligger på p och en på q.
Två punkter på p kan vi välja på sex sätt: AB, AC, AD, BC, BD eller CD och en punkt på q på två sätt, E eller F. Det ger 6*2=12 valmöjligheter.

Fall 2: en punkt ligger på p och två på q.
De två på q måste vara E och F medan på p kan vi välja mellan A, B, C eller D. Det ger fyra valmöjligheter.
Sammanlagt fall 1 och 2: 12+4= 16 valmöjligheter alltså 16 olika trianglar.

Lösning 2: I första lösningen kunde vi välja två punkter av fyra på sex sätt och två av två på ett sätt. Det finns en formel som säger att ur en mängd på k element kan vi välja två olika element på k*(k-1)/2 sätt, tex då k=4 får vi 4*(4-1)/2= 6 och när k=2 får vi 2*(2-1)/2= 1.

Det finns också en formel för val av tre element ur en mängd på k element: k*(k-1)*(k-2)/6. Den formeln använder vi här.

Man kan på 6*5*4/6= 20 sätt välja tre punkter olika bland våra sex men alla dessa 20 bildar inte trianglar. Om tre av punkterna A, B, C, D, E och F ligger på samma linje, så ligger de alla på p. Vi kan på 4*3*2/6= 4 sätt välja tre punkter på p. De övriga 20-4= 16 val ger tre punkter som bildar trianglar.

En ny fråga: Skulle det bli ett annat svar om linjerna inte skulle vara parallella?

Alla invånare i en by har olika antal hårstrån. Ingen av dem har precis 2007 hårstrån. Kim är den bybo som har flest hårstrån. Antalet bybor är fler än Kims hårstrån. Vilket är det största möjliga antalet bybor?

Lösning
Svar: 2007

Betrakta följande antal:
B – antalet bybor
K – hur många hårstrån har Kim på sitt huvud
M – hur många olika antal hårstrån kan byborna ha så länge Kim har flest
A – hur många olika antal hårstrån på huvuden invånarna i byn verkligen har

Vi har följande samband:
A≤M Det verkliga antalet kan inte vara större än antalet av alla möjliga.
M=K+1 Det finns K+1 naturliga tal mindre eller lika K. (Även 0 räknas.)
A=B Alla invånare i byn har olika antal hårstrån.
B>K Antalet bybor är fler än Kims hårstrån.
De första två samband ger A≤K+1, de sista två A>K och eftersom A är ett heltal så A=B=M=K+1. Men A=M betyder att byborna måste ha alla möjliga antal hårstrån från 0 till K alltså K<2007 eftersom Ingen av byborna har precis 2007 hårstrån. Därmed B=K+1≤2007. Antalet bybor kan inte vara större än 2007. Men det är möjligt att K=2006 och antalet bybon B=A=M=2007.