Svar och lösningar, nov 2009

Lösningar kommer denna månad från Fredrik L och Eric K i 7C, Torslandaskolan samt från Linn Pettersson, Sofie Classon och Linn Ekberg på Ljungsbackenskolan i Götene.

Här är en karta över det område där Peter bor. Markeringarna i kvadraterna utgör Peters hem och hans skola. Varje kvarter är en kvadrat med sidan 100 m. När Peter går till skolan måste han gå på gatorna.
Hur lång är den kortaste vägen han kan gå till skolan?

Lösning
500 m.

Enklast är kanske att se det som att vi rör oss i x-led och y-led. I x-led måste vi röra oss tre hela kvarterslängder, dvs 300m och i y-led måste vi gå i sidled ett halvt kvarter, sedan tillbaka på andra sidan kvarteret och sedan upprepa proceduren, dvs fyra halva kvarter lika med 200 m. Svaret är alltså 500m. Det finns flera vägar som är ”kortast”. Detta beror bland annat på att bilden med kvarteren är symmetrisk längs en axel genom hemmet och skolan. Dessutom finns en vertikal symmetriaxel. En mer oregelbunden stadsbild skulle göra problemet svårare. En uppgift av denna typ kan vara en förberedelse för att introducera det rätvinkliga koordinatsystemet.

En didaktisk problematik i uppgiften är att man bortser från att gatorna har en viss bredd. Utgår man från figuren borde de vara cirka 15 meter breda. Frågan är om detta snarare stör vissa elever än hjälper dem, inte minst elever med svårigheter i ämnet. Framgångsrika elever som redan ”knäckt koden” antar genast att gatorna saknar bredd, vilket ju egentligen är befängt.
Ett sätt att göra uppgiften svårare och eleverna mer medvetna om skillnaden mellan verkligheten och en förenklad modell är att faktiskt låta dem räkna med att gatorna har en viss bredd. En annan fråga är om man då ska få gå diagonalt över gatan.

Stjärnan på bilden har sina spetsar precis i mittpunkterna på sidorna i en regelbunden sexhörning. Om stjärnans area är 6 cm&sup2, vilken area har då hela sexhörningen?

Lösning
12 cm².

Vi kan tänka oss att varje udd som sticker ut från stjärnan är en liksidig triangel. Det finns sammanlagt sex sådana uddar och den sexhörning som återstår inne i stjärnan består också av sex sådana liksidiga uddar. Hela stjärnan är alltså 12 ”triangelenheter”. De sex vita områdena mellan stjärnan och den stora sexhörningen består av vardera två sådana trianglar, dvs 12 triangelenheter. Hela den stora sexhörningen har alltså dubbelt så stor area som stjärnan, dvs 12 cm&sup2.
I vår tids geometri har man valt kvadraten som enhet för areamätning, vilket framgår av uttrycket ”kvadrat-centimeter”. Men i ovanstående fall hade det egentligen passat bättre att mäta i ”triangel-centimeter”, och ändrat om uppgiften. Till exempel så här: ”Stjärnan består av 12 triangelcentimeter, hur många triangelcentimeter är den stora sexhörningen?”
Skulle man kunna tänka sig en värld där det vore bättre att mäta i ”triangel-centimeter”?

Ett antal ringar har länkats ihop till en kedja som figuren visar. Kedjans längd är 1,7 m. Hur många är ringarna?

Lösning
Innerdiametern på varje ring är 4 cm och tjockleken 1 cm. Varje ring bidrar med 4 cm till kedjan och ytterringarna med ytterligare 2 cm. Det ger 4n + 2 = 170 med n=42.

Detta problem har två svårigheter, dels att inse hur mycket tillskott i längd varje ny ring ger, dels hur man ska kunna hantera en kedja med så många hopkopplade ringar. Här kan det vara enklare att först titta på en kortare länk med säg fem hopkopplade ringar och lägga en tänkt linjal längs med den kedja som då bildas. Vi ser då att de tre ringarna i mitten ger ett tillskott på 4 cm var, medan de två ytterringarna mäts på utsidan, dvs 1+1 cm extra för just dem. Kedjan med x = 5 ringar har alltså längden 4x +2 cm, dvs 22 cm.
Vi kan nu sätta upp en ekvation för den långa kedjan: 4x + 2 =170, vilket ger lösningen x = 42. Man kan också ”tänka baklänges” till exempel så här: ”Först tar vi bort de två ytterringarna, då har vi 160 cm kvar. Varje ring ger 4 cm i tillskott, så det måste nu vara 160/4 = 40 ringar kvar. Totalt är det alltså 42 ringar i kedjan.