Svar och lösningar, okt 2009

Lösningar till månadens problem har skickats in av Cherie och Axel i 8C, Olof och Alma i 7A samt Mikaela och Johanna i 8B på Nygårdsskolan i Billdal. Dessutom från Margareta Skansing i Mölndal och Ludvig Holst (5 år) på Montessoriförskolan Barnens Hus i Täby. Tänk vad kul att förskolan också kan vara delaktiga i månadens problem!

A+B=43. Hur mycket är A+B+2?

Lösning
45.
Eftersom A+B = 43, så måste A+B+2 vara lika med 43+2=45.

När det är flera obekanta inblandade tänker man ibland rutinmässigt att man måste ta reda på värdet för varje obekant, i detta fall värdet för både A och B. Men just i denna uppgift behövs inte det eftersom summan A+B förekommer både i vad som är känt och vad som frågas efter. Vi skulle till och med kunna betrakta (A+B) som enenda obekant och sätta A+B = C. Uppgiften blir då att beräkna C + 2 om vi vet att C = 43.

Vilket av talen A, B, C, D och E är störst? Minst?

A-1 = B+2=C–3=D+4=E–5
Förklara hur du tänker.

Lösning
Enklast är kanske att resonera: Eftersom man måste dra bort mest från E för att få uttrycken lika stora, måste E vara störst, och eftersom man på motsvarande sätt måste lägga till mest på D, så måste D vara minst. Samma resonemang kan fortsätta för att rangordna A, B och C.

Alternativt om vi lägger till 5 i varje led får vi:
A+4 = B + 7 = C + 2 = D + 9 = E + 0. Vi ser då att E måste vara störst och D minst.

Vi kan nu lätt rangordna från störst till minst: E, C, A, B, D. (Anledningen till att man bör lägga till just 5 är att det är det minsta talet som förvandlar alla led till additioner, så att de lätt kan jämföras.)

En annan metod är att lösa ut en variabel (vi kan välja A, eller någon annan) och använda den som “måttstock”:
A-1 = B +2, dvs B = A-3
A-1= C-3, dvs C = A+2
A-1 = D+4, dvs D = A-5
A-1 = E-5, dvs E = A+4

Vi ser då att uttryckt med “måttstocken” A, så får vi ordningsföljden: E, C, A, B, D.

Vilket är störst, 2n eller n+2? Förklara.

Lösning
Ekvationen 2n = n+2 ger n=2. För större n är vänsterledet störst och för mindre n är högerledet störst.

När man ska jämföra storleken på olika uttryck kan det vara effektivt att först fundera på när de kan vara lika stora. Det finns ju tre alternativ: större än,. lika med, respektive mindre än. Just “lika med” anger ofta (men inte alltid!) när ett av leden skiftar från större än till mindre än. Hur skulle ett undantag kunna se ut?

För n = 3 ser vi att vänsterledet är större och för n = 1 är högerledet större. Nu framgår inte direkt att n måste vara ett naturligt tal, även om just symbolen n vanligen används för sådana. Vi bör därför skriva: För n större än 2, är 2n störst. För n mindre än 2, är n+2 störst. För n = 2 är de lika stora.

Frågan är om det kan finnas andra värden på n där 2n åter blir mindre än n+2? Men detta är inte möjligt ty då måste ekvationen 2n = n+2 ha gett minst två lösningar. Varje “växling” kräver att leden däremellan varit lika.

Ett åskådligt sätt att visa detta är att betrakta respektive led som en funktion och rita deras grafer i ett koordinatsystem. Vi kan namnge leden så här: f(n) = 2n och g(n) = n+2 , och rita in dem.

Ett sätt att göra den här typen av problem lite mer komplexa är att låta uttrycken vara av 2:a eller 3: graden. Då kan den grafiska framställningen vara mycket givande. (Det finns undantag i det algebraiska resonemanget ovan. Om någon funktion inte är definierad i den “kritiska punkt” då VL och HL borde varit lika, fungerar inte metoden så bra.)