Svar och lösningar, april 2016

Lösning på problem 1

Svar: Carmen satt på talet 45.

Markera placeringarna för Alice och Bettan. Klipp av ett snöre precis så långt att det når från Alice till Bettan. Trä på en pärla. Vik och dra åt så att pärlan hamnar i mitten. Sträck ”pärlbandet” intill tallinjen igen mellan Alice och Bettan och pärlan markerar var Carmen sitter.

Metod 2:

Använd en stor tallinje (eller spelplan). Två elever placerar var sin spelbricka, en på 24 och en på 66. En tredje elev räknar, rabblar en ramsa eller bara klappar taktfast i händerna.






För varje stavelse flyttar de båda eleverna sina brickor i riktning mot varandra. Där de möts sitter Carmen.

Elever på Balingsnässkolan försökte göra något likadant, ser det ut som. Men de var kanske inte taktfasta nog och hamnade lite fel.

Tänker man på att 44 ligger på avstånd 20 från 24 och 46 ligger på samma avstånd från 66 så har man hittat en genväg: Carmen måste sitta mittemellan 44 och 46. Eller Alice har lika långt till 30 som Bettan till 60. Carmen sitter mittemellan 30 och 60.

De flesta försökte bestämma Carmens placering med hjälp av en beräkning.

Några räknade 66 – 24 = 42. – Det är avståndet mellan Alice och Bettan. Men var sitter Carmen? Max tog 42/2 = 21. Avståndet mellan Alice och Carmen eller mellan Bettan och Carmen. Först David och Aron ger svar på vår fråga. Carmens läge beräknas med 24 + 21 = 45 eller 66 – 21 = 45.

Jonathan använde formeln för medelvärde:

medelvärde = summan av värden/antalet värden

Carmens position är medelvärdet av Alices position och Bettans position

C = (A+B)/2 = (24 + 66)/2 = 45

Varför ger Davids och Arons A + (B–A)/2 och B – (B–A)/2 och Jonathans (A+B)/2 alla samma resultat? Det är något för både barn och vuxna att grubbla på.

Lösning på problem 2

Svar: Polly sitter längst till höger. Flickorna sitter i ordning från vänster till höger: Kelly, Dolly, Molly, Sally, Polly.




Linnéa ritade bänken med 5 platser, klippte ut 5 lappar med flickornas namn och testade sig fram. Många provade sig fram på ett eller annat sätt. I nästan alla inkomna svar står det att det är Polly som sitter längst till höger. Några försöker förklara varför man kan vara säker på att det måste vara just Polly.

Om en person står framför dig med ansikte mot dig, så ser du hans/hennes högra sida till vänster och vänstersida till höger. Sådant är viktigt att komma ihåg när man arbetar som tandläkare eller kirurg. I vårt problem kan vänster och höger tolkas på två sätt men samma svar gäller oavsett hur man tolkar. I texten nedan syftar vänster och höger på vänster- respektive högersida i bilder.

Nedan sammanställs alla premisser i en bild. D, K, M, P och S är de 5 flickorna. En tjock linje mellan två flickor betyder att de inte sitter bredvid varandra. En tjock linje mellan en flicka och en bänkände betyder att flickan inte sitter vid den. Två tunna linjer mellan D och P betyder att Polly sitter till höger om Dolly.

David och hans mamma har skrivit ett noggrant bevis där de delar upp problemet i tre enklare problem genom att först fråga var Sally sitter. Här följer deras lösning i ett sammandrag:

Sally sitter varken längst till höger eller längst till vänster. Vi har 3 möjligheter:

1. Sally sitter på plats 2

Kelly sitter inte bredvid Sally. Sally sitter inte bredvid Dolly. Alltså sitter Kelly och Dolly på plats 4 och 5. Samtidigt sitter Polly till höger om Dolly. Tre flickor på plats 4 och 5. Omöjligt!

2. Sally sitter på plats 3.






Dolly sitter inte längst till vänster och inte bredvid Sally och inte längst till höger eftersom till höger om henne ska finnas plats åt Polly. Dolly får inte sitta någonstans!

3. Sally sitter på plats 4.






Dolly måste sitta på plats 2 alltså Kelly på 1 och Molly på 3 och Polly på 5. Ja, det går men bara på ett sätt!

Svar. Polly sitter längst till höger.

Jonathan utesluter de andra flickor i tur och ordning från platsen längst till höger (plats nr 5). Molly, Sally och Dolly är lätta att utesluta. Sedan visar man att antingen Sally eller Dolly sitter på plats nr 4 och då kan inte Kelly sitta på plats nr 5.

Lösning på problem 3

Svar: 4 månader.

För att lösa problemet behövs förståelse för sannolikhetsteorins begrepp som man får ett hum om i skolmatematiken men som egentligen kräver högre matematik för att preciseras. Bernhard, som är civilingenjör och lärare kunde i ett samtal innan aprilproblem lades ut, direkt ge det rätta svaret. Han blev ensam om det.

Aron, Kastellegårdsskolan samt Gnesta matteklubb svarar: 6 månader. Trodde de att meteorerna kommer i jämna mellanrum? … eller kanske tänkte de bara på år då en meteor kommer under det första halvåret och en under det andra? Sådana år är den förväntade mellantiden 6 månader men lika ofta kan det hända att de kommer under ett och samma halvår både två, och då är den förväntade mellantiden två månader. Den förväntade tiden för alla år är ett medelvärde av de två ovanstående: E = (E_samma + E_olika)/2 = (6 mån + 2 mån)/2 = 4 mån. (Det är delar av en lösning men en annan lösning kommer lägre ner.)

Balingsnässkolan svarade 3 månader. Möjligen insåg de att tiden mellan två meteorer som kommer samma år bör vara kortare än mellan två som är åtskilda av ett årsskifte, i snitt i alla fall.

När man ska uttala sig om möjliga händelser i en viss situation, alltså händelser som man inte vet hur de blir just då, så brukar man ge en trolig, förväntad eller förmodat statistisk beskrivning av utfallen i ett tänkt stort antal liknande situationer. Då talar man om sannolikheter, väntevärden, konfidensintervall mm. Låt U vara ett stort antal år med exakt 2 stormeteorer. Vi vet att under alla dessa år kommer exakt 2 ∙ U stormeteorer.

Att sannolikheten för en stormeteor är jämnt fördelad över tid innebär att vi förväntar oss lika många stormeteorer under lika långa tidsperioder, att det t ex är lika sannolikt med en eller flera stormeteorer under april som under september. (Jämn fördelning var vårt antagande, för den som vet mer om rymden eller tror annat, så behöver det inte förhålla sig så.) Vid jämn fördelning är förväntat antal under en period proportionellt mot periodens längd.

Att ankomsttider dessutom är oberoende medför att om vi tar mängden av år då den största meteorn kommer under en viss tidsperiod, t ex maj månad, så förväntas fortfarande den näst största meteorens fördelning av ankomsttider inom mängden att bli jämn.

Tidpunkter A och B av två stormeteorers ankomster inom ett kalenderår är två oberoende, jämnt fördelade variabler med värden i intervallet 0 till 1 år. Låt C vara en tredje sådan variabel (som kan skapas genom lottning) och låt T vara tiden mellan A och B uttryckt som del av ett år. Då är sannolikheten att C hamnar mellan A och B lika med T ∙ 100 %. Antal år då C hamnar mellan A och B förväntas vara ungefär lika med summan av T under alla U år. Men å andra sidan måste detta antal vara U/3 därför att A, B och C har samma fördelning och det är lika sanolikt att A hamnar mellan B och C som att B hamnar mellan A och C och som att C hamnar mellan A och B, dvs i ett på tre fall. Summan av alla T under U år är U/3 alltså T är 1/3 år i snitt , dvs 4 månader.

Mera allmänt kan man visa att k oberoende jämnt fördelade variabler delar utfallsrummet i k + 1 delar med förväntade längder = (utfalsrummets längd )/(k + 1) i varje.

En liknande men mer komplicerad tes gäller för oberoende variabler även utan villkoret om jämn fördelning.

Innehåll: LR