Svar och lösningar, april 2011

Denna månad har vi fått lösningar från Arvid Lunnemark, 5d Djupadalsskolan i Limhamn, klass 4-6 i Segrande Liv Grundskola, Höör samt Oscar i klass 5H, Öjersjö Brunn skola.

Sex tal står skrivna på korten här intill. Vilket är det minsta tal man kan bilda genom att lägga korten efter varandra?

Lösning
Svar: 2309415687.
Tvåmiljardertrehundraniomiljonerfyrahundrafemtontusensexhundraåttiosju.
Oskars lösning:
”Först tog jag 2. Det var minst så det var säkert först. Sedan tog jag 309. Jag var lite osäker i början men 309000000 är mindre än 410000000 så jag tog 309. Sedan var 41 minst och därefter 5. Man kan ju tro att man ska ta 7 nu men 2309415700 är ju mer än 2309415687 så kortet med 7 fick bli det sista.

Huvudregeln när man jämför tal är att det minsta talet är det som har det minsta antalet siffror. (Vi bortser från negativa tal eller decimaltal, det finns ju bara siffror på korten.) Det blir alltid lika många siffror, oavsett i vilken ordning man lägger korten, så vi går direkt till nästa regel.
Bland ”lika långa” tal är det som har den första siffran minst. Den första siffran kallar man ”den mest signifikanta siffran”. Bland siffror på korten finns både en nolla och en etta men ingen av dem kan vara först eftersom var av dem har en siffra framför sig på sitt kort. Därför får kortet med tvåan bli det första kortet.

Sedan får man se till att siffran som kommer efter ska vara så liten som möjligt. Som andra kort väljer man bland kvarvarande kort, kortet med lägst förstasiffra, det blir 309. Vi fortsätter enligt samma princip tills alla korten ligger efter varandra: 2, 309, 41, 5, 68, 7.

Boris är född 1 januari 2002 och han är 1 år och 1 dag äldre än Irina. Vilken dag föddes Irina?

Lösning
Svar: Den 2 januari.
Oskars lösning:
”Om Boris är född 1 januari 2002 och han är 1 dag och 1 år äldre en Irina så plussar man en dag och ett år så får du rätt svar. Svar: 2002+1=2003 och 1+1=2 = år 2003 och den andre januari.”

Ju senare man är född desto yngre är man. Vi blir äldre och äldre med tiden men alla blir lika mycket äldre, så det påverkar inga åldersskillnader. Irina är ett år och en dag yngre än Boris, därför att hon föddes ett år och en dag senare än Boris.
Här är det ingen tvekan om att svaret var rätt. Men om ett barn blev född den 28/2 2011, hur gammalt blir det den 1/3 2012? Ställer man frågan till en hel klass elever och alla får använda samma almanacka till hjälp, så kan svaren ändå bli lite olika.
Årtal är definierade för att tillsammans med datum och klockslag ange exakta tidpunkter. Men kalenderåren är ju ibland 365 ibland 366 dagar långa, inte så lämpliga för att exakt ange längd av ett tidsintervall(samma gäller längden av månaderna).

Talen 1, 4, 9, 16, 25 etc kallas jämna kvadrater. Hur många procent av de tio tusen första positiva heltalen 1, 2, 3, … , 9999, 10 000 är jämna kvadrater?

Lösning
Svar: 1 %.
Den första jämna kvadraten är uppenbarligen: 1×1=1, den andra: 2×2=4, den tredje: 3×3=9 o.s.v. Den hundrade blir då 100×100=10000 och nästa 101×101, och alla påföljande är större än 10000. Det finns alltså 100 jämna kvadrater. Egentligen har vi 100 olika uttryck som ger jämna kvadrater. Har de 100 olika värden? Ja, ju större ett tal är desto större dess kvadrat, så 100 olika tal ger 100 olika kvadrater. 100 är 1% av 10000, så svaret är 1 %.
Det är inte så säkert att vi har tolkat beskrivningen av jämna kvadrater rätt. Kanske även kvadrerade negativa heltal ger jämna kvadrater. Kvadrater av negativa tal är ju positiva, så kvadrater av samtliga heltal från -1 ner till -100 hamnar också i intervallet från 1 till 10000 och de har alla olika värden (fast för negativa tal gäller den omvända regeln: ju mindre tal desto större dess kvadrat). Har vi då 100 jämna kvadrater till? Nej, inte en enda. Det blir bara 100 nya uttryck men (-n) × (-n) = n × n, så de ger bara samma jämna kvadrater som motsvarande positiva tal.
Och det nästan glömda talet 0 ger 0 × 0 = 0 som hamnar utanför intervallet 1 till 10000.
Anm.: Man kan använda konjugatregeln: m2 – n2 = (m + n) × (m – n) för att bevisa att m2 = n2 om och endast om m = n eller m = (-n).