E – Samband och förändringar

Skapad: 2010-12-16. Ändrad: 2013-05-20  

E – Samband och förändringar

Centralt innehåll
Samband och förändringar

Att identifiera och använda samband är något mycket generellt i matematiken (tänk t ex på sambandet mellan tal och geometri) men det som avses i denna rubrik är samband av typen funktionssamband. Det finns t ex ett samband mellan arean A och sidan s på en kvadrat nämligen att A=s*s. Vi kan säga att A är en funktion av s och skriva A(s)=s². Det finns också ett samband mellan dygnets längd i Kiruna och vilken tid på året det är, dvs vilket datum. Detta samband är svårare att skriva som en algebraisk formel, men kan enkelt representeras i en tabell och därmed också åskådliggöras av en graf i ett koordinatsystem. Utseendet på en funktionsgraf kan ofta berätta viktiga saker om funktionen.

Ett intressant typfall av funktionssamband är när en av variablerna är tid eller ett fenomen som beror av tiden. Om vi t ex planterar ett frö och sedan varje dag mäter höjden på den växande växten och ritar ut denna höjd på ett papper får vi en funktionsgraf som representerar växtens höjd, h, som en funktion av tiden t (t= planteringsdagen, 1 dag efter plantering, 2 dagar efter plantering osv). Grafen är en representation av en förändring, dvs växtens ändrade höjd. Grafen är å ena sidan ett statiskt geometriskt objekt. Vi kan se olika egenskaper som hur den lutar, om den går uppåt, nedåt osv. Å andra sidan representerar grafen ett dynamiskt förlopp, här tillväxten. Trots att grafen är statisk är den alltså som en slags film av hur växten har växt. Tillväxten, som inte vid en given tidpunkt är möjlig att direkt se genom att titta på växten, blir direkt observerbar på grafen. Frågor som "när växte växten snabbast" kan översättas till frågor om grafens lutning. Denna princip där ett förändringsförlopp tolkas i termer av utseendet på en graf går att överföra till samband där ingenting egentligen beror på tiden och där man följaktligen inte kan prata om hastigheter. Detta ligger till grund för begreppet derivata som studeras på gymnasiet. I de fall där funktionssambandet är givet algebraiskt kan man också tolka frågor om förändring, tillväxt, hastighet etc i algebraiska termer, utan att rita upp en graf.



Alla dokument som finns tillgängliga för nedladdning och utskrift på denna sida är i pdf-format. Läs gärna vår informationssida om PDF. Där finns också en länk till programmet Acrobat Reader som du behöver för att kunna läsa och få utskrifter från denna typ av dokument.


Creative Commons-licensWebbsidan inkl länkade aktiviteter är skapade av NCM och är licensierade under en Creative Commons Erkännande-Ickekommersiell-Dela lika 3.0 Unported-licens. Detta gäller inte länkade Nämnaren-artiklar vars copyright hålls av resp författare.

Innehåll: UD