B – Algebra

Skapad: 2010-12-16. Ändrad: 2013-05-20  

B – Algebra

Centralt innehåll
Algebra

Algebra förknippas ofta med bokstavsräkning, dvs det som aritmetiken övergår till när tal ersätts med symboler.

Algebran fokuserar på regler och relationer mellan abstrakta objekt. I avancerad algebra kan vi själva skapa dessa regler och relationer och studera olika typer av generella strukturer, men i skolsammanhang tänker vi oss oftast en variabel som representerar något okänt tal. Räknereglerna för sådana variabler blir då exakt desamma som räknereglerna för tal. En fundamental sanning som att det inte spelar någon roll för resultatet i vilken ordning vi adderar två tal kan sägas vara ett tidigt exempel på algebra. Symboliskt kan vi formulera detta som a+b=b+a för alla tal a och b. Motsvarande utsaga gäller om vi byter ut addition mot multiplikation men den gäller inte för subtraktion eller division.

Ytterligare ett exempel på en algebraisk formulering av en regel från aritmetiken är den distributiva lagen, dvs att x(a+b)=xa+xb för alla tal x, a och b. Även många geometriska fakta uttrycks effektivt i en algebraisk formulering. Den relation mellan sidorna i en rätvinklig triangel som kallas Pythagoras sats formuleras t ex oftast som a²+b²=c² , där a och b är katetrarnas längder och c är längden på hypotenusan.

Ett vanligt användningsområde för algebra är att formulera och lösa ekvationer. Om vi t ex vet att diagonalen i en rektangel är 5 meter och ena sidan 4 meter och vill veta längden på den andra sidan kan vi beteckna den med x och använda Pythagoras sats för att få ett algebraiskt uttryck x²+4²=5². Med hjälp av aritmetikens lagar kan vi manipulera denna ekvation och finna att endast x=3 eller x=-3 kan vara lösningar till ekvationen, varav endast x=3 kan vara en lösning till det geometriska problemet eftersom längder inte beskrivs av negativa tal.

Eftersom tal också används för att beskriva längder och positioner i ett koordinatsystem är det naturligt att det, som vi illustrerat ovan, finns en tät koppling mellan algebra och geometri. Om vi låter (x,y) beskriva positioner i ett koordinatsystem beskriver de punkter som löser den algebraiska ekvationen x²+y²=1 en cirkel med radie 1 och centrum i origo. Uttrycket y=2x+3 beskriver en rät linje med lutningen 2 som bland annat passerar punkten (x,y)=(0,3).


Alla dokument som finns tillgängliga för nedladdning och utskrift på denna sida är i pdf-format. Läs gärna vår informationssida om PDF. Där finns också en länk till programmet Acrobat Reader som du behöver för att kunna läsa och få utskrifter från denna typ av dokument.


Creative Commons-licensWebbsidan inkl länkade aktiviteter är skapade av NCM och är licensierade under en Creative Commons Erkännande-Ickekommersiell-Dela lika 3.0 Unported-licens. Detta gäller inte länkade Nämnaren-artiklar vars copyright hålls av resp författare.

Innehåll: UD