4 – Resonemang

Skapad: 2010-12-16. Ändrad: 2013-05-20  

4 – Resonemang

Syfte
Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleven ges förutsättningar att utveckla förmågan att föra, följa och värdera matematiska resonemang.

Att kunna föra och följa resonemang är antagligen det mänskliga kognitiva verktyg som i högst grad möjliggjort utvecklingen av matematik. Den mest grundläggande aspekten av resonemangsförmåga är att förstå att all matematik är "konstruerad" med hjälp av matematiska resonemang och att den därför också kan "återupptäckas" genom att man resonerar sig fram. Antag t ex att man glömt bort hur man beräknar 4/(1/2) eller kanske aldrig stött på bråk med täljare som inte är heltal. Det finns då ett antal olika sätt att resonera sig fram till svaret med utgångspunkt från saker man faktiskt kommer ihåg.

Kanske minns man att ett sätt att förstå en division som t ex 6/2 är att tänka på den som "hur många 2:or får det plats i sex". Då betyder 4/(1/2) "hur många halvor får plats i fyra" och det är inte svårt att komma fram till att det blir 8. Om man endast tänker på division i termer av uppdelning, som att 6/2 motsvarar att dela upp sex saker i två högar, är det svårt att ge 4/(1/2) konkret mening. Men minns man att ett bråk behåller sitt värde om man multiplicerar, förlänger, både täljare och nämnare med samma tal, kan man utföra detta med talet 2 och få att 4/(1/2)=8/1=8.

Dessa båda resonemang är av olika karaktär. Det första bygger på att tänka på själva divisionsbegreppet på ett sätt som är "lämpligt" för uppgiften. Det andra är ett slags algoritmiskt resonemang. Man kan argumentera för att det första resonemanget gör det uppenbart att svaret blir 8. I det andra fallet blir det en konsekvens av de manipulationer man gör med uttrycket att svaret blir 8, men det är inte uppenbart varför.

I förmågan att föra, följa och värdera matematiska resonemang ingår att kunna skilja olika typer av resonemang från varandra. Om vi t ex vill bevisa att summan av tre på varandra följande heltal alltid är delbar med tre kan vi kalla det första talet för a. De följande talen blir då a+1 och a+2. Summan blir 3a+3=3(a+1), vilket uppenbarligen är delbart med 3 eftersom definitionen av att ett heltal är delbart med 3 är att det kan skivas som 3 multiplicerat med ett annat tal. Detta är ett formellt resonemang med inslag av symbolisk manipulation och duger som ett bevis för påståendet. I resonemanget ingår en referens till en formell definition.

Även intuitiva och informella resonemang är viktiga i det matematiska arbetet. Tänk t ex på alla rektanglar med omkretsen 4. Hur stor area kan en sådan rektangel ha? Vilken är den största area den kan ha? Ett sätt att resonera om detta: om rektangeln blir väldigt avlång så blir arean väldigt liten och om rektangeln blir väldigt hög och smal så blir också arean väldigt liten. Det ligger nära till hands att anta att av skäl som har med symmetri att göra borde kvadraten ge oss den största arean.


Alla dokument som finns tillgängliga för nedladdning och utskrift på denna sida är i pdf-format. Läs gärna vår informationssida om PDF. Där finns också en länk till programmet Acrobat Reader som du behöver för att kunna läsa och få utskrifter från denna typ av dokument.


Creative Commons-licensWebbsidan inkl länkade aktiviteter är skapade av NCM och är licensierade under en Creative Commons Erkännande-Ickekommersiell-Dela lika 3.0 Unported-licens. Detta gäller inte länkade Nämnaren-artiklar vars copyright hålls av resp författare.

Innehåll: UD