Nämnaren

Svar och lösningar, november 2007

Problem 1



Hur stor del av figuren är blå?

Lösning
Förflytta den vita triangeln längst ner i högra hörnet parallellt med baslinjen så att hypotenusorna för trianglarna i rutan sammanfaller med varandra (Alt spegla den vita triangeln) Det framgår då enklare att det blå området upptar halva arean av en kvadrat.

Resultat: 5 1/2 ruta är vit och 1/2 ruta är blå, dvs 1/12 är blå



Problem 2

Hur många timmar är en halv tredjedel av ett kvarts dygn?

Lösning
Ett kvarts dygn: 24/4 = 6
En tredjedel av ett kvarts dygn: 6/3 = 2
En halv tredjedel av ett kvarts dygn: 2/2 = 1 timme



Problem 3

Om både a och b är tal större än 1, vilken av följande kvoter är störst?




På Carlsons skola i Stockholm finns möjlighet att ägna sig åt matematisk problemlösning som elevens val. Från Enigma-gruppen, som den kallas, har vi fått en lösning på problem 3, (pdf) ...


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-12-03. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, oktober 2007

Skicka in era lösningar!

Den här månaden har vi fått lösningar från Carlsons skola i Stockholm, till uppgift 1 och 2 har vi fått olika lösningar gjorda av skolans elever samt till uppgift 3 en lösning av en av lärarna. Tack för det! Vi hoppas att detta kan stimulera er andra att också skicka in era lösningar.

Problem 1

Jorma har fått pengar för att köpa tennisbollar. Om han köper fem bollar så får han 10 kronor kvar, men för att köpa sju bollar måste han låna 20 kronor.
Hur mycket kostar en tennisboll?

Lösning
Ett sätt att fördjupa förståelsen för problemställningen är att variera priser och antal och gör egna liknande problem. Reflektera över vad det finns för nödvändig information i problemet.

Från Carlsons skola
Jag har fem bollar och 10 kr. När jag köper 7 bollar måste jag låna 20 kr. Dvs jag har mina 5 bollar från tidigare och 10 kr och lägger till 2 bollar och 20 kr. Jag har fem bollar i båda fallen. Det som är annorlunda är 2 bollar, 10 kr och 20 kr. Då måste 2 bollar kosta 30 kr, dvs en boll kostar 15 kr.





Eller med hjälp av en ekvation: Antag att en boll kostar x kr
5x + 10 = 7x - 20
5x + 10 - 5x = 7x - 20 - 5x
10 = 2x - 20
10 + 20 = 2x - 20 + 20
30 = 2x
15 = x
Svar: En boll kostar 15 kr



Problem 2

Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade rektanglar.



Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm.
Hur stor area har kvadraten KLMN?

Lösning
Observera att halva omkretsen av en rektangel är lika med längden på den yttre kvadratens sida. Intressant att undersöka är vilken längd och bredd som rektanglarna kan ha? Hur stor area kan den inre vita kvadraten ha?

Från Carlsons skola
Lösning 1:
Varje rektangel har en omkrets på 40 cm. Hur man än väljer rektangelns bas och höjd så får halva rektangeln en omkrets på 20 cm. Dvs en bas och en höjd tillsammans blir 20 cm. Runt om kvadraten KLMN stöter man på en kortsida och en långsida fyra gånger.

Varje sida i kvadraten består av en bas och en höjd
tillsammans och är 20 cm lång.
Kvadratens area blir då 20 x 20 = 400 cm²
Svar: kvadratens area är 400 cm²

Lösning 2:



Om hela omkretsen är 40 cm då måste halva omkretsen vara 20 cm.
Kvadraten begränsas av fyra sådana bitar.
20 x 4 = 80 cm
Dvs varje sida är 80/4= 20 cm

A= S x S
= 20 x 20
= 400 cm²
Svar: kvadratens area är 400 cm²

Lösning 3:



A= S x S
= (x+y)(x+y)
= 20 x 20
= 400 cm²
Svar: kvadratens area är 400 cm²


Problem 3

En kvadrat är indelad i 25 likadana smårutor.



Hur stor är summan av de fem vinklarna MAN, MBN, MCN, MDN och MEN?

Lösning
För att lösa problemet kan vi tänka oss att vi flyttar triangeln MAN så att A hamnar i hörnet E. Flytta på samma sätt triangeln MBN så att B hamnar i hörnet och gör på liknande sätt med trianglarna MCN och MCD. Då ser vi att summan av vinklarna är 45°. Olika lösningsmetoder kan diskuteras, t ex laborativt genom att ha fem rutnät med en vinkel markerad per rutnät och ett tomt rutnät. Då kan man klippa ut vinklarna och flytta dem på lämpligt sätt.

Här kan du ladda ner en pdf med en lösning från Cecilia Christiansen, lärare på Carlsons skola ...

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-11-08. Ändrad: 2011-04-07  
Skapad: 2007-11-07. Ändrad: 2011-04-07  
Skapad: 2007-11-07. Ändrad: 2013-01-27  

Nämnaren nr 4, 2007

Nämnaren nr 4, 2007
 
Vad finns i Nämnaren nr 4?

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-11-07. Ändrad: 2010-09-23  
Skapad: 2007-10-05. Ändrad: 2013-03-27  

Månadens problem, oktober 2007

Problem 1

Jorma har fått pengar för att köpa tennisbollar. Om han köper fem bollar så får han 10 kronor kvar, men för att köpa sju bollar måste han låna 20 kronor.
Hur mycket kostar en tennisboll?



Problem 2

Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade rektanglar.



Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm.
Hur stor area har kvadraten KLMN?



Problem 3

En kvadrat är indelad i 25 likadana smårutor.



Hur stor är summan av de fem vinklarna MAN, MBN, MCN, MDN och MEN?

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-10-02. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, september 2007

Problem 1

Det ligger fem kort på bordet. De ligger så här:



Det gäller att få korten ordnade 1, 2, 3, 4, 5. Varje gång måste man låta två kort byta plats med varandra.
Hur många omgångar behövs?

Lösning: Ett förslag är att byta kort 2 och 5, sedan 1 och 2 samt 3 och 4.

Vi har också fått en lösning från Alice och Alva i Halmstad:
Hej vi har kommit på ett sätt, vi flyttar runt lapparna 3 gånger.
4:an byter plats med 3:an,
2:byter plats med 1:an,
och 5:an byter plats med 1:an.
Det här var en av lösningarna vi kom på några fler.
Alice och Alva



Problem 2

Du har ett stort antal byggblock som alla har längden 1 dm, bredden 2 dm och höjden 3 dm.



Hur många sådana block går det minst åt för att bygga en kub?

Lösning: Volymen på ett byggblock är 6. Kubens volym är något tal upphöjt i 3, men måste också vara delbart med 6. Sidorna, 1, 2, 3, 4 och 5 dm är alltså inte möjliga. En kub med sidan 6 går dock att bygga genom att bygga en kvadratisk bottenplatta med höjden 1 dm av 6 byggblock och sedan lägga sex sådana kvadrater ovanpå varandra. För att få en kub behövs det sex sådana plattor, dvs 6 x 6 = 36 tegelstenar.



Problem 3

På bilden är förhållandet mellan cirkelsektorns radie och den inskrivna cirkelns radie 3:1.



Då är förhållandet mellan deras areor

A) 3:2    B) 4:3    C) 5:3    D) 6:5    E) 5:4

Lösning:



Anta att den inskrivna cirkeln har radien r och arean πr². Då har cirkelsektorn radien R=3r. Dra radien R i cirkelsektorn genom den inskrivna cirkelns medelpunkt M. Den rätvinkliga triangeln OAM är en halv liksidig triangel. Det ger att cirkelsektorns medelpunktsvinkel är 60°, och dess area är π(3r)²/6=3πr²/2. Förhållandet mellan areorna är 3:2.


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-10-02. Ändrad: 2011-04-07  

Nämnaren nr 3, 2007

Nämnaren nr 3, 2007
 
Vad finns i Nämnaren nr 3?

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-09-17. Ändrad: 2010-09-23  

Månadens problem, september 2007

Problem 1

Det ligger fem kort på bordet. De ligger så här:



Det gäller att få korten ordnade 1, 2, 3, 4, 5. Varje gång måste man låta två kort byta plats med varandra.
Hur många omgångar behövs?


Problem 2

Du har ett stort antal byggblock som alla har längden 1 dm, bredden 2 dm och höjden 3 dm.



Hur många sådana block går det minst åt för att bygga en kub?


Problem 3

På bilden är förhållandet mellan cirkelsektorns radie och den inskrivna cirkelns radie 3:1.



Då är förhållandet mellan deras areor

A) 3:2    B) 4:3    C) 5:3    D) 6:5    E) 5:4


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-08-30. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, maj 2007

Problem 1

En rektangulär grusplan är 80 meter lång och dess area är 3200 kvadratmeter. En gräsplan är hälften så bred som grusplanen och har en area som är hälften så stor som grusplanens. Hur lång är gräsplanen?

Lösning: Eftersom arean är 3200 m² och längden är 80 m så är bredden 40 m (3200/80). Gräsplanen har arean 1600 m² (3200/2) och bredden 20 m (40/2). Gräsplanen får då längden 80 m (1600/20). Rita gärna upp planerna och visa.


Problem 2

En koalaunge äter upp löven från ett eukalyptusträd på tio timmar. Hans mamma och pappa äter dubbelt så fort. Hur lång tid tar det för familjens tre medlemmar att tillsammans äta upp löven från ett eukalyptusträd?

Lösning: På tio timmar har familjen Koala satt i sig löv från 1 + 2⋅2 = 5 eucalyptusträd. Det gör 2 timmar för ett träd.


Problem 3

En liksidig triangel ABC har sidlängden 4. Vilken är radien hos den cirkel med medelpunkt i A som delar triangeln i två delar med samma area?

Lösning: Triangelns area är 4√3. Cirkelsektorn har medelpunktsvinkeln π/3 och arean 2√3.
A=(v•r²)/2 ger (π/3•r²)/2 med lösningen r=√((12√3)/π).

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-06-08. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, april 2007

Problem 1

John lägger ett mönster av stickor. På bilden syns hur John har lagt en, två och tre våningar. Hur många stickor behöver han för att lägga 4 våningar?

Svar: För varje större figur ökar antalet stickor som behövs i nedersta våningen med 3. Det behövs alltså 11 stickor till för det fjärde huset.

 


 



Problem 2

Robert paketerade blå och röda leksakskängurur, med högst tio i varje låda. Om han hade 178 kängurur av den ena färgen och 121 av den andra, hur många lådor skulle han behöva för att packa ner dem alla utan att blanda färgerna?

Svar: Robert stoppar 10 av en färg i varje låda. Till de blå kängururna behövs 18 lådor och till de röda 13 dvs. totalt 31 lådor.


Problem 3

Figuren visar graferna för funktionerna f och g. Vilken likhet gäller för alla x?

Svar: C.

 


 


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-05-07. Ändrad: 2011-04-07  

Månadens problem, maj 2007

Problem 1

En rektangulär grusplan är 80 meter lång och dess area är 3200 kvadratmeter. En gräsplan är hälften så bred som grusplanen och har en area som är hälften så stor som grusplanens. Hur lång är gräsplanen?


Problem 2

En koalaunge äter upp löven från ett eukalyptusträd på tio timmar. Hans mamma och pappa äter dubbelt så fort. Hur lång tid tar det för familjens tre medlemmar att tillsammans äta upp löven från ett eukalyptusträd?


Problem 3

En liksidig triangel ABC har sidlängden 4. Vilken är radien hos den cirkel med medelpunkt i A som delar triangeln i två delar med samma area?


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-04-30. Ändrad: 2011-04-07  

ArkivX-tra

ArkivX-tra innehåller det material som tidigare har funnits på Nämnaren på Nätets förstasida under rubriken X-tra. Dokumenten är fria att laddas ner, skrivas ut och användas.

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-04-24. Ändrad: 2013-01-27