Kängurun

Skapad: 2011-08-30. Ändrad: 2011-08-30  
Skapad: 2011-06-01. Ändrad: 2011-06-01  
Skapad: 2011-06-01. Ändrad: 2011-06-01  
Skapad: 2011-06-01. Ändrad: 2011-06-01  
Skapad: 2011-06-01. Ändrad: 2011-06-01  
Skapad: 2011-06-01. Ändrad: 2011-06-01  

Svar och lösningar, maj 2011

Skicka in era lösningar!

Denna månad har vi fått lösningar från Astrid, Emma Alicia och Josefin från klass 5c på Kullaviksskolan, klass 3 på Futuraskolan Rådan i Sollentuna, Carl Stenfelt i 5C samt Vera Pavlovic i 2a på Lilla Adolf Fredriks skola.

Problem 1

Theresa har 37 CD-skivor. Hennes kamrat Claudia säger: ”Om du ger mig 10 av dina skivor så har vi lika många var.” Hur många CD-skivor har Claudia?

Lösning
Svar: 17 st.

De flesta elever som har skickat in sina lösningar till oss redovisar beräkningarna 37-10=27 och 27-10=17.
Vi tolkar dem som att Theresa har 37 CD-skivor. Om hon ger 10 skivor till Claudia så har hon 37-10=27 skivor kvar och då har Claudia lika många, dvs 27 skivor. 10 av dessa har hon fått av Theresa och resten 27-10=17 skivor är de CD-skivor som hon redan hade.

En något annorlunda beskrivning kommer från två flickor i klass 3, Futuraskolan Rådan i Sollentuna (beskrivet av Théreés Eklund, deras ma-lärare). "De tog ”hundraplattor” som CD-skivor och la upp 37 stycken i en hög. Därefter tog de bort 10st 100-plattor och växlade dem mot en 1000-kub. Eftersom 100-plattorna är gröna och 1000-kuberna är blå var det enkelt att fylla på med gröna 100-plattor så att högarna blev lika stora. De fick fylla på med 17 gröna 100-plattor för att högarna skulle bli lika höga."



Problem 2

Ann har åtta stycken femcentsmynt och hennes bror Dan har nio stycken tvåcentsmynt. De ska byta mynt mellan sig så att de får lika mycket pengar. Vilket är det minsta antal mynt som måste byta ägare för att de båda ska ha lika mycket pengar?

Lösning
Svar: 5 mynt.

I problem 1 hade Therese 20 st CD-skivor fler än Claudia hade. Skulle hon ge Claudia hälften av mellanskillnaden, 20/2=10 skivor, så skulle de båda ha lika många.

Man kan se det som en allmän regel: Den som har mest får ge hälften av mellanskillnaden till den som har minst för att de ska ha lika mycket. Vera använder denna regel i sina beräkningar (med våra förklaringar inom parantes).
5*8=40 (Ann har 40 cent)
2*9=18 (Dan har 18 cent)
40-18=22 (mellanskillnaden är 22)
22/2=11 (Ann ska ge Dan 11 cent för att de ska ha lika mycket.)
11=5+5+5-2-2
Ann ger tre femcentsmynt till Dan och Dan ger två tvåcentsmynt till Ann.

Man kan fråga sig om 5 verkligen är det minsta möjliga antalet mynt som måste byta ägare. En förklaring till att det är så är om Ann ger Dan fler än 3st femcentsmynt så måste Dan ge Ann fler än 2 tvåcentsmynt och då byter fler än 5 mynt ägare. Å andra sidan om hon ger färre än 3 femcentsmynt så får inte Dan sina 11 cent.


Problem 3

Det ligger sju kort i en låda. Korten är numrerade från 1 till 7. Först tar Sofia upp tre kort. Sen tar Ali upp två kort. Det ligger alltså två kort kvar i lådan. Sofia säger sedan till Ali: ”Jag vet att summan av talen på dina kort är ett jämnt tal.” Vilken summa har talen på Sofias kort?

Lösning
Svar: 12.

Vera som går i 2an på Lilla Adolf Fredriks skola resonerar: ”Sofia tar upp tre kort med jämna tal (2,4 och 6). Då vet hon att det bara finns kort med udda tal kvar. Summan av två udda tal är alltid jämnt tal. Svar:12”.

Detta förklarar hur Sofia kunde veta att Ali fick en jämn summa. Det kunde inte gå till på ett annat sätt. Det är Josefin & Alicia, även de från Kullavikskolan, också inne på i sin lösning: ”Sofia måste ha fått alla jämna kort för att det finns tre jämna kort och hon tog upp tre kort. Då finns det bara udda kort kvar(1, 3, 5, 7) då vet hon att han har tagit två udda. För udda plus udda är alltid lika med jämt. 2+4+6=12. Svar: 12 var summan på Sofias kort.”

Sofia kunde inte få alla ”udda” kort eftersom de var 4 och hon tog endast upp 3 kort. Skulle hon inte få alla ”jämna” kort så skulle det bli minst ett kort med ett jämnt nummer och minst ett med ett udda nummer kvar i lådan och då skulle hon vara tvungen att räkna med möjligheten att Ali tog upp just ett sådant par (som har ju en udda summa).
problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-05-31. Ändrad: 2011-06-01  

Uppgifter, lösningar och "att arbeta vidare med" 2011

Allt material från årets Känguru får kopieras och användas fritt i undervisningen. Problemen kan med fördel användas i andra årskurser än dem som de ursprungligen tagits fram för. Vi hoppas att materialet ska hjälpa till att stimulera och inspirera lärare och elever under många matematiklektioner.

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-05-04. Ändrad: 2011-05-04  

Kängurun 2011 - resultat

Här nedan kan du se alla de bästa inrapporterade resultaten i alla tävlingsklasserna. Skulle du sakna något resultat, hör av dig till oss! Här finns även länkar till sidor med lösningsfrekvenser och procentuell poängfördelning för de olika tävlingsklasserna.

Tävlingsresultat

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-05-03. Ändrad: 2011-06-08  
Milou
Problem 1

Sex tal står skrivna på korten här intill. Vilket är det minsta tal man kan bilda genom att lägga korten efter varandra?




Problem 2

Boris är född 1 januari 2002 och han är 1 år och 1 dag äldre än Irina. Vilken dag föddes Irina?



Problem 3

Talen 1, 4, 9, 16, 25 etc kallas jämna kvadrater. Hur många procent av de tio tusen första positiva heltalen 1, 2, 3, ... , 9999, 10 000 är jämna kvadrater?


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-04-29. Ändrad: 2011-04-29  

Svar och lösningar, april 2011

Skicka in era lösningar!

Denna månad har vi fått lösningar från Arvid Lunnemark, 5d Djupadalsskolan i Limhamn, klass 4-6 i Segrande Liv Grundskola, Höör samt Oscar i klass 5H, Öjersjö Brunn skola.

Problem 1

Sex tal står skrivna på korten här intill. Vilket är det minsta tal man kan bilda genom att lägga korten efter varandra?


Lösning
Svar: 2309415687.
Tvåmiljardertrehundraniomiljonerfyrahundrafemtontusensexhundraåttiosju.
Oskars lösning:
”Först tog jag 2. Det var minst så det var säkert först. Sedan tog jag 309. Jag var lite osäker i början men 309000000 är mindre än 410000000 så jag tog 309. Sedan var 41 minst och därefter 5. Man kan ju tro att man ska ta 7 nu men 2309415700 är ju mer än 2309415687 så kortet med 7 fick bli det sista.

Huvudregeln när man jämför tal är att det minsta talet är det som har det minsta antalet siffror. (Vi bortser från negativa tal eller decimaltal, det finns ju bara siffror på korten.) Det blir alltid lika många siffror, oavsett i vilken ordning man lägger korten, så vi går direkt till nästa regel. Bland ”lika långa” tal är det som har den första siffran minst. Den första siffran kallar man ”den mest signifikanta siffran”. Bland siffror på korten finns både en nolla och en etta men ingen av dem kan vara först eftersom var av dem har en siffra framför sig på sitt kort. Därför får kortet med tvåan bli det första kortet.
Sedan får man se till att siffran som kommer efter ska vara så liten som möjligt. Som andra kort väljer man bland kvarvarande kort, kortet med lägst förstasiffra, det blir 309. Vi fortsätter enligt samma princip tills alla korten ligger efter varandra: 2, 309, 41, 5, 68, 7.


Problem 2

Boris är född 1 januari 2002 och han är 1 år och 1 dag äldre än Irina. Vilken dag föddes Irina?

Lösning
Svar: Den 2 januari.
Oskars lösning:
”Om Boris är född 1 januari 2002 och han är 1 dag och 1 år äldre en Irina så plussar man en dag och ett år så får du rätt svar. Svar: 2002+1=2003 och 1+1=2 = år 2003 och den andre januari.”

Ju senare man är född desto yngre är man. Vi blir äldre och äldre med tiden men alla blir lika mycket äldre, så det påverkar inga åldersskillnader. Irina är ett år och en dag yngre än Boris, därför att hon föddes ett år och en dag senare än Boris.
Här är det ingen tvekan om att svaret var rätt. Men om ett barn blev född den 28/2 2011, hur gammalt blir det den 1/3 2012? Ställer man frågan till en hel klass elever och alla får använda samma almanacka till hjälp, så kan svaren ändå bli lite olika.
Årtal är definierade för att tillsammans med datum och klockslag ange exakta tidpunkter. Men kalenderåren är ju ibland 365 ibland 366 dagar långa, inte så lämpliga för att exakt ange längd av ett tidsintervall(samma gäller längden av månaderna).


Problem 3

Talen 1, 4, 9, 16, 25 etc kallas jämna kvadrater. Hur många procent av de tio tusen första positiva heltalen 1, 2, 3, ... , 9999, 10 000 är jämna kvadrater?


Lösning
Svar: 1 %.
Den första jämna kvadraten är uppenbarligen: 1×1=1, den andra: 2×2=4, den tredje: 3×3=9 o.s.v. Den hundrade blir då 100×100=10000 och nästa 101×101, och alla påföljande är större än 10000. Det finns alltså 100 jämna kvadrater. Egentligen har vi 100 olika uttryck som ger jämna kvadrater. Har de 100 olika värden? Ja, ju större ett tal är desto större dess kvadrat, så 100 olika tal ger 100 olika kvadrater. 100 är 1% av 10000, så svaret är 1 %.
Det är inte så säkert att vi har tolkat beskrivningen av jämna kvadrater rätt. Kanske även kvadrerade negativa heltal ger jämna kvadrater. Kvadrater av negativa tal är ju positiva, så kvadrater av samtliga heltal från -1 ner till -100 hamnar också i intervallet från 1 till 10000 och de har alla olika värden (fast för negativa tal gäller den omvända regeln: ju mindre tal desto större dess kvadrat). Har vi då 100 jämna kvadrater till? Nej, inte en enda. Det blir bara 100 nya uttryck men (-n) × (-n) = n × n, så de ger bara samma jämna kvadrater som motsvarande positiva tal.
Och det nästan glömda talet 0 ger 0 × 0 = 0 som hamnar utanför intervallet 1 till 10000. Anm.: Man kan använda konjugatregeln: m2 – n2 = (m + n) × (m – n) för att bevisa att m2 = n2 om och endast om m = n eller m = (-n).
problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-04-27. Ändrad: 2011-04-28  

Månadens problem, maj 2011

Problem 1

Theresa har 37 CD-skivor. Hennes kamrat Claudia säger: ”Om du ger mig 10 av dina skivor så har vi lika många var.” Hur många CD-skivor har Claudia?



Problem 2

Ann har åtta stycken femcentsmynt och hennes bror Dan har nio stycken tvåcentsmynt. De ska byta mynt mellan sig så att de får lika mycket pengar. Vilket är det minsta antal mynt som måste byta ägare för att de båda ska ha lika mycket pengar?



Problem 3

Det ligger sju kort i en låda. Korten är numrerade från 1 till 7. Först tar Sofia upp tre kort. Sen tar Ali upp två kort. Det ligger alltså två kort kvar i lådan. Sofia säger sedan till Ali: ”Jag vet att summan av talen på dina kort är ett jämnt tal.” Vilken summa har talen på Sofias kort?

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-03-30. Ändrad: 2011-08-30  

Svar och lösningar, mars 2011

Skicka in era lösningar!

Denna månad har vi fått lösningar från Vera Pavlovic på Lilla Adolf Fredrik 2A i Stockholm, Joel Adamah klass 3, Samuel Leskinen på Vessigebroskolan i Rönnen, Klas Gustavsson 11 år på Fritslaskolan samt från elever i klass 4 Castor & Pollux på Lillmons skola i Malung.

Problem 1

Maria viker ett papper fem gånger som figuren visar.
Sedan sticker hon hål genom det hopvikta papperet, så som sista bilden visar. Därefter viker hon ut pappret igen. Hur många hål har det utvikta papperet, dvs hela det stora papperet?

Lösning
Svar: 32.
Samuel Leskinen i Rönnen Vessigebroskolan skriver: Jag tog ett papper och vek det så som man skulle göra och sen stack jag hål i det. Det blev 32 hål så som jag gissade för det var dubbelt dubbelt hela tiden.
Vi tänkte nog på samma sätt som Samuel när han gissade. Nu försöker vi beskriva tankegången steg för steg:
När Maria för första gången viker sitt pappersark på mitten formar hon två likadana rektangulära delar. Det blir som blad i en bok som hänger samman och den ena rektangeln täcker den andra. När hon viker det för andra gången, så blir varje blad 2 blad, alltså 4 blad sammanlagt. Antalet blad fördubblas vid varje vikning, efter tredje vikningen är det 8, efter fjärde 16 och efter femte 32. När hon sticker hål genom det hopvikta papperet, så går nålen genom hela papperslagret, alla 32 blad, och gör ett hål i varje blad. Så det blir 32 hål och när hon viker ut papperet igen så kan man se alla 32 hålen.


Problem 2

Madame Dupont tar en 2 timmars promenad. Först går hon en sträcka på plan mark, därefter går hon uppför en backe. Sedan vänder hon och går tillbaka samma väg hem igen. Hennes hastighet är 4 km/h på plan mark, 3 km/h i uppförsbacken och 6 km/h nedför backen. Hur lång sträcka går Madame Dupont sammanlagt?

Lösning
Svar: 8 km.
Det tar i snitt 15 minuter för Madame Dupont att gå en kilometer på plan mark och 15 minuter att gå samma sträcka tillbaka, sammanlagt 30 minuter. Det tar 20 minuter att gå en kilometer i uppförbacke och 10 minuter tillbaka. Det blir 30 minuter sammanlagt även där. Varje kilometer tur och retur tar alltså 30 minuter oavsett var hon går. På 2 timmar hinner hon gå 4 kilometers promenadväg fram och tillbacka. Hon går alltså 8 km sammanlagt på sin promenad.


Problem 3

Summan av fem på varandra följande heltal är lika med summan av de tre närmast efterföljande heltalen. Vilket är det största av dessa åtta tal?


Lösning
Svar: 11.
Lösning 1: Ett heltal följs alltid av ett heltal som är 1 större. Låt k vara det första av dessa åtta heltal. Då är de första fem talen: k, k+1, k+2, k+3 och k+4. De efterföljande tre talen är k+5, k+6 och k+7. Detta ger följande ekvation: k+k+1+k+2+k+3+k+4=k+5+k+6+k+7 vilket förenklas till 5*k+10=3*k+18 och ger lösningen k=4. Det största talet är k+7=11.

Lösning 2: Vi börjar med ett test: 1+2+3+4+5=15, 6+7+8=21. Alla andra serier av åtta på varandra följande heltal kan vi få genom att till samtliga termer addera ett och samma heltal. Om vi adderar 1 så ökar den första summan med 5 och den andra med 3 alltså den första summan ökar 2 mer än den andra. Nu är den andra summan 6 större än den första, alltså måste vi göra tre sådana ökningar med 1 för att göra summorna lika. Då blir det största talet 8+3=11.

Se även problem nr 2 i november 2010.

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-03-30. Ändrad: 2011-04-12  

Månadens problem, mars 2011

Problem 1

Maria viker ett papper fem gånger som figuren visar.
Sedan sticker hon hål genom det hopvikta papperet, så som sista bilden visar. Därefter viker hon ut pappret igen. Hur många hål har det utvikta papperet, dvs hela det stora papperet?



Problem 2

Madame Dupont tar en 2 timmars promenad. Först går hon en sträcka på plan mark, därefter går hon uppför en backe. Sedan vänder hon och går tillbaka samma väg hem igen. Hennes hastighet är 4 km/h på plan mark, 3 km/h i uppförsbacken och 6 km/h nedför backen. Hur lång sträcka går Madame Dupont sammanlagt?




Problem 3

Summan av fem på varandra följande heltal är lika med summan av de tre närmast efterföljande heltalen. Vilket är det största av dessa åtta tal?



problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-03-01. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, feb 2011

Skicka in era lösningar!

Denna månad har vi fått lösningar från Madeleine och Katriina på Fritslaskolan, William Jenbratt och Nils Sandberg i klass 4b på Skärhamns skola samt från Simon Nystedt.

Problem 1

När tränaren visslade i sin pipa ställde cirkusaporna upp sig på 6 led. I varje led fanns det 4 apor. Sen blåste han igen och aporna flyttade sig så att det blev 8 led istället. Hur många apor fanns det då i varje led?

Lösning
Svar: 3
Lösning 1: Aporna stod i 6 led med 4 apor i varje alltså de var 6•4 = 24 apor. När dessa 24 apor ställde sig i 8 led så blev alla leden 24/8 = 3 apor långa.

Lösning 2: Antal led ökade från 6 till 8 dvs i proportion 4:3. Då minskade ledernas längd i omvänd proportion, från 4 till 3.


Problem 2

På två parallella linjer är sex punkter markerade. På den ena linjen ligger fyra punkter och på den andra linjen ligger två punkter. Hur många trianglar finns det som har sina hörn i tre av de sex punkterna?

Lösning
Svar: 16
Detta visade sig vara ett svårt problem. Några har försökt men det har inte kommit något rätt svar till oss.

Innan vi räknar: Vi skriver ”linjer” i stället för räta linjer och vi skriver att ”tre punkter bildar en triangel” om det finns en triangel med hörn i dessa punkter. (Det finns aldrig fler än en sådan triangel för givna tre punkter.) Tre punkter bildar en triangel om de inte alla tre ligger på samma linje. Genom två olika punkter går alltid exakt en linje. Om man då drar en linje genom två punkter och en tredje punkt ligger utanför linjen så bildar dessa tre punkter en triangel.

Vi har två parallella linjer p och q. Punkterna A, B, C och D ligger på p medan E och F på q. Frågan i problemet är: På hur många sätt kan vi välja tre punkter bland dessa sex så att de bildar en triangel?

Lösning1: Om tre punkter ligger på två parallella linjer men inte alla tre på samma linje så måste två av dem ligga på den ena linjen och en på den andra. Vi får undersöka två fall.
Fall 1: två punkter ligger på p och en på q. Två punkter på p kan vi välja på sex sätt: AB, AC, AD, BC, BD eller CD och en punkt på q på två sätt, E eller F. Det ger 6*2=12 valmöjligheter.
Fall 2: en punkt ligger på p och två på q. De två på q måste vara E och F medan på p kan vi välja mellan A, B, C eller D. Det ger fyra valmöjligheter. Sammanlagt fall 1 och 2: 12+4= 16 valmöjligheter alltså 16 olika trianglar.

Lösning 2: I första lösningen kunde vi välja två punkter av fyra på sex sätt och två av två på ett sätt. Det finns en formel som säger att ur en mängd på k element kan vi välja två olika element på k*(k-1)/2 sätt, tex då k=4 får vi 4*(4-1)/2= 6 och när k=2 får vi 2*(2-1)/2= 1.

Det finns också en formel för val av tre element ur en mängd på k element: k*(k-1)*(k-2)/6. Den formeln använder vi här.

Man kan på 6*5*4/6= 20 sätt välja tre punkter olika bland våra sex men alla dessa 20 bildar inte trianglar. Om tre av punkterna A, B, C, D, E och F ligger på samma linje, så ligger de alla på p. Vi kan på 4*3*2/6= 4 sätt välja tre punkter på p. De övriga 20-4= 16 val ger tre punkter som bildar trianglar.

En ny fråga: Skulle det bli ett annat svar om linjerna inte skulle vara parallella?


Problem 3

Alla invånare i en by har olika antal hårstrån. Ingen av dem har precis 2007 hårstrån. Kim är den bybo som har flest hårstrån. Antalet bybor är fler än Kims hårstrån. Vilket är det största möjliga antalet bybor?


Lösning
Svar: 2007

Betrakta följande antal:
B - antalet bybor
K – hur många hårstrån har Kim på sitt huvud
M – hur många olika antal hårstrån kan byborna ha så länge Kim har flest
A – hur många olika antal hårstrån på huvuden invånarna i byn verkligen har

Vi har följande samband:
A≤M Det verkliga antalet kan inte vara större än antalet av alla möjliga.
M=K+1 Det finns K+1 naturliga tal mindre eller lika K. (Även 0 räknas.)
A=B Alla invånare i byn har olika antal hårstrån.
B>K Antalet bybor är fler än Kims hårstrån.
De första två samband ger A≤K+1, de sista två A>K och eftersom A är ett heltal så A=B=M=K+1. Men A=M betyder att byborna måste ha alla möjliga antal hårstrån från 0 till K alltså K<2007 eftersom Ingen av byborna har precis 2007 hårstrån. Därmed B=K+1≤2007. Antalet bybor kan inte vara större än 2007. Men det är möjligt att K=2006 och antalet bybon B=A=M=2007.


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2011-03-01. Ändrad: 2011-04-07  

Sidor

Prenumerera på RSS - Kängurun