Kängurun

Svar och lösningar, november 2007

Problem 1



Hur stor del av figuren är blå?

Lösning
Förflytta den vita triangeln längst ner i högra hörnet parallellt med baslinjen så att hypotenusorna för trianglarna i rutan sammanfaller med varandra (Alt spegla den vita triangeln) Det framgår då enklare att det blå området upptar halva arean av en kvadrat.

Resultat: 5 1/2 ruta är vit och 1/2 ruta är blå, dvs 1/12 är blå



Problem 2

Hur många timmar är en halv tredjedel av ett kvarts dygn?

Lösning
Ett kvarts dygn: 24/4 = 6
En tredjedel av ett kvarts dygn: 6/3 = 2
En halv tredjedel av ett kvarts dygn: 2/2 = 1 timme



Problem 3

Om både a och b är tal större än 1, vilken av följande kvoter är störst?




På Carlsons skola i Stockholm finns möjlighet att ägna sig åt matematisk problemlösning som elevens val. Från Enigma-gruppen, som den kallas, har vi fått en lösning på problem 3, (pdf) ...


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-12-03. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, oktober 2007

Skicka in era lösningar!

Den här månaden har vi fått lösningar från Carlsons skola i Stockholm, till uppgift 1 och 2 har vi fått olika lösningar gjorda av skolans elever samt till uppgift 3 en lösning av en av lärarna. Tack för det! Vi hoppas att detta kan stimulera er andra att också skicka in era lösningar.

Problem 1

Jorma har fått pengar för att köpa tennisbollar. Om han köper fem bollar så får han 10 kronor kvar, men för att köpa sju bollar måste han låna 20 kronor.
Hur mycket kostar en tennisboll?

Lösning
Ett sätt att fördjupa förståelsen för problemställningen är att variera priser och antal och gör egna liknande problem. Reflektera över vad det finns för nödvändig information i problemet.

Från Carlsons skola
Jag har fem bollar och 10 kr. När jag köper 7 bollar måste jag låna 20 kr. Dvs jag har mina 5 bollar från tidigare och 10 kr och lägger till 2 bollar och 20 kr. Jag har fem bollar i båda fallen. Det som är annorlunda är 2 bollar, 10 kr och 20 kr. Då måste 2 bollar kosta 30 kr, dvs en boll kostar 15 kr.





Eller med hjälp av en ekvation: Antag att en boll kostar x kr
5x + 10 = 7x - 20
5x + 10 - 5x = 7x - 20 - 5x
10 = 2x - 20
10 + 20 = 2x - 20 + 20
30 = 2x
15 = x
Svar: En boll kostar 15 kr



Problem 2

Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade rektanglar.



Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm.
Hur stor area har kvadraten KLMN?

Lösning
Observera att halva omkretsen av en rektangel är lika med längden på den yttre kvadratens sida. Intressant att undersöka är vilken längd och bredd som rektanglarna kan ha? Hur stor area kan den inre vita kvadraten ha?

Från Carlsons skola
Lösning 1:
Varje rektangel har en omkrets på 40 cm. Hur man än väljer rektangelns bas och höjd så får halva rektangeln en omkrets på 20 cm. Dvs en bas och en höjd tillsammans blir 20 cm. Runt om kvadraten KLMN stöter man på en kortsida och en långsida fyra gånger.

Varje sida i kvadraten består av en bas och en höjd
tillsammans och är 20 cm lång.
Kvadratens area blir då 20 x 20 = 400 cm²
Svar: kvadratens area är 400 cm²

Lösning 2:



Om hela omkretsen är 40 cm då måste halva omkretsen vara 20 cm.
Kvadraten begränsas av fyra sådana bitar.
20 x 4 = 80 cm
Dvs varje sida är 80/4= 20 cm

A= S x S
= 20 x 20
= 400 cm²
Svar: kvadratens area är 400 cm²

Lösning 3:



A= S x S
= (x+y)(x+y)
= 20 x 20
= 400 cm²
Svar: kvadratens area är 400 cm²


Problem 3

En kvadrat är indelad i 25 likadana smårutor.



Hur stor är summan av de fem vinklarna MAN, MBN, MCN, MDN och MEN?

Lösning
För att lösa problemet kan vi tänka oss att vi flyttar triangeln MAN så att A hamnar i hörnet E. Flytta på samma sätt triangeln MBN så att B hamnar i hörnet och gör på liknande sätt med trianglarna MCN och MCD. Då ser vi att summan av vinklarna är 45°. Olika lösningsmetoder kan diskuteras, t ex laborativt genom att ha fem rutnät med en vinkel markerad per rutnät och ett tomt rutnät. Då kan man klippa ut vinklarna och flytta dem på lämpligt sätt.

Här kan du ladda ner en pdf med en lösning från Cecilia Christiansen, lärare på Carlsons skola ...

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-11-08. Ändrad: 2011-04-07  
Skapad: 2007-11-07. Ändrad: 2011-04-07  

Månadens problem, oktober 2007

Problem 1

Jorma har fått pengar för att köpa tennisbollar. Om han köper fem bollar så får han 10 kronor kvar, men för att köpa sju bollar måste han låna 20 kronor.
Hur mycket kostar en tennisboll?



Problem 2

Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade rektanglar.



Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm.
Hur stor area har kvadraten KLMN?



Problem 3

En kvadrat är indelad i 25 likadana smårutor.



Hur stor är summan av de fem vinklarna MAN, MBN, MCN, MDN och MEN?

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-10-02. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, september 2007

Problem 1

Det ligger fem kort på bordet. De ligger så här:



Det gäller att få korten ordnade 1, 2, 3, 4, 5. Varje gång måste man låta två kort byta plats med varandra.
Hur många omgångar behövs?

Lösning: Ett förslag är att byta kort 2 och 5, sedan 1 och 2 samt 3 och 4.

Vi har också fått en lösning från Alice och Alva i Halmstad:
Hej vi har kommit på ett sätt, vi flyttar runt lapparna 3 gånger.
4:an byter plats med 3:an,
2:byter plats med 1:an,
och 5:an byter plats med 1:an.
Det här var en av lösningarna vi kom på några fler.
Alice och Alva



Problem 2

Du har ett stort antal byggblock som alla har längden 1 dm, bredden 2 dm och höjden 3 dm.



Hur många sådana block går det minst åt för att bygga en kub?

Lösning: Volymen på ett byggblock är 6. Kubens volym är något tal upphöjt i 3, men måste också vara delbart med 6. Sidorna, 1, 2, 3, 4 och 5 dm är alltså inte möjliga. En kub med sidan 6 går dock att bygga genom att bygga en kvadratisk bottenplatta med höjden 1 dm av 6 byggblock och sedan lägga sex sådana kvadrater ovanpå varandra. För att få en kub behövs det sex sådana plattor, dvs 6 x 6 = 36 tegelstenar.



Problem 3

På bilden är förhållandet mellan cirkelsektorns radie och den inskrivna cirkelns radie 3:1.



Då är förhållandet mellan deras areor

A) 3:2    B) 4:3    C) 5:3    D) 6:5    E) 5:4

Lösning:



Anta att den inskrivna cirkeln har radien r och arean πr². Då har cirkelsektorn radien R=3r. Dra radien R i cirkelsektorn genom den inskrivna cirkelns medelpunkt M. Den rätvinkliga triangeln OAM är en halv liksidig triangel. Det ger att cirkelsektorns medelpunktsvinkel är 60°, och dess area är π(3r)²/6=3πr²/2. Förhållandet mellan areorna är 3:2.


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-10-02. Ändrad: 2011-04-07  

Månadens problem, september 2007

Problem 1

Det ligger fem kort på bordet. De ligger så här:



Det gäller att få korten ordnade 1, 2, 3, 4, 5. Varje gång måste man låta två kort byta plats med varandra.
Hur många omgångar behövs?


Problem 2

Du har ett stort antal byggblock som alla har längden 1 dm, bredden 2 dm och höjden 3 dm.



Hur många sådana block går det minst åt för att bygga en kub?


Problem 3

På bilden är förhållandet mellan cirkelsektorns radie och den inskrivna cirkelns radie 3:1.



Då är förhållandet mellan deras areor

A) 3:2    B) 4:3    C) 5:3    D) 6:5    E) 5:4


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-08-30. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, maj 2007

Problem 1

En rektangulär grusplan är 80 meter lång och dess area är 3200 kvadratmeter. En gräsplan är hälften så bred som grusplanen och har en area som är hälften så stor som grusplanens. Hur lång är gräsplanen?

Lösning: Eftersom arean är 3200 m² och längden är 80 m så är bredden 40 m (3200/80). Gräsplanen har arean 1600 m² (3200/2) och bredden 20 m (40/2). Gräsplanen får då längden 80 m (1600/20). Rita gärna upp planerna och visa.


Problem 2

En koalaunge äter upp löven från ett eukalyptusträd på tio timmar. Hans mamma och pappa äter dubbelt så fort. Hur lång tid tar det för familjens tre medlemmar att tillsammans äta upp löven från ett eukalyptusträd?

Lösning: På tio timmar har familjen Koala satt i sig löv från 1 + 2⋅2 = 5 eucalyptusträd. Det gör 2 timmar för ett träd.


Problem 3

En liksidig triangel ABC har sidlängden 4. Vilken är radien hos den cirkel med medelpunkt i A som delar triangeln i två delar med samma area?

Lösning: Triangelns area är 4√3. Cirkelsektorn har medelpunktsvinkeln π/3 och arean 2√3.
A=(v•r²)/2 ger (π/3•r²)/2 med lösningen r=√((12√3)/π).

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-06-08. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, april 2007

Problem 1

John lägger ett mönster av stickor. På bilden syns hur John har lagt en, två och tre våningar. Hur många stickor behöver han för att lägga 4 våningar?

Svar: För varje större figur ökar antalet stickor som behövs i nedersta våningen med 3. Det behövs alltså 11 stickor till för det fjärde huset.

 


 



Problem 2

Robert paketerade blå och röda leksakskängurur, med högst tio i varje låda. Om han hade 178 kängurur av den ena färgen och 121 av den andra, hur många lådor skulle han behöva för att packa ner dem alla utan att blanda färgerna?

Svar: Robert stoppar 10 av en färg i varje låda. Till de blå kängururna behövs 18 lådor och till de röda 13 dvs. totalt 31 lådor.


Problem 3

Figuren visar graferna för funktionerna f och g. Vilken likhet gäller för alla x?

Svar: C.

 


 


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-05-07. Ändrad: 2011-04-07  

Månadens problem, maj 2007

Problem 1

En rektangulär grusplan är 80 meter lång och dess area är 3200 kvadratmeter. En gräsplan är hälften så bred som grusplanen och har en area som är hälften så stor som grusplanens. Hur lång är gräsplanen?


Problem 2

En koalaunge äter upp löven från ett eukalyptusträd på tio timmar. Hans mamma och pappa äter dubbelt så fort. Hur lång tid tar det för familjens tre medlemmar att tillsammans äta upp löven från ett eukalyptusträd?


Problem 3

En liksidig triangel ABC har sidlängden 4. Vilken är radien hos den cirkel med medelpunkt i A som delar triangeln i två delar med samma area?


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-04-30. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, mars 2007

Problem 1

Familjen Paddlare är mamma, pappa och Benjamin. De hyrde en kanot för tre personer. På hur många olika sätt kan de sitta i kanoten?[Ecolier 2001, uppg 5]

Svar: 6 sätt. Lösning: 3!=3*2*1=6, (123), (132), (213), (231), (312) och (321) där mamma är 1, pappa 2 och Benjamin 3.


Problem 2

Till och med när kamelen Desirée är törstig utgörs hennes vikt till 84% av vatten. När hon har druckit sig otörstig stiger vikten till 800 kg varav nu 85% är vatten. Hur mycket väger kamelen Desirée när hon är törstig? [Cadet 2001, uppg 16]

Svar: 750 kg. Lösning: Antag att Desirées vikt när hon är törstig är x kg. 0,16x är Desirées "kroppsvikt utan vatten" när hon är törstig. 0,15*800 är Desirées "kroppsvikt utan vatten" när hon är otörstig. Det leder fram till ekvationen 0,16x = 0,15*800 med lösning x = 750.


Problem 3

En tankspridd bergsklättrare passerade en bergsrygg längs den profil som syns i figur 1. Han gick från punkt A till punkt B. Ibland tappade han saker längs vägen och blev tvungen att går tillbaka och hämta dem. Figur 2 visar hans höjdposition som funktion av tiden. Hur många gånger gick han tillbaka? [Junior 2004, uppg 20]

 




Svar: 3 gånger. Lösning: Kalla spetsarna i fig.1 för C, D och E. Samma höjdnivåer återfinns i fig.2. Första gången han går tillbaka är innan han kommer fram till höjd C, då går han ner till nivå D för att därefter gå upp till nivå C. Nästa gång han är på nivå D vänder han och går tillbaka till en högre höjd. Han går tillbaka en tredje gång, när han har kommit till nivån lägre än D.

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-04-03. Ändrad: 2011-04-07  

Månadens problem, april 2007

Problem 1

John lägger ett mönster av stickor. På bilden syns hur John har lagt en, två och tre våningar. Hur många stickor behöver han för att lägga 4 våningar?

 


 



Problem 2

Robert paketerade blå och röda leksakskängurur, med högst tio i varje låda. Om han hade 178 kängurur av den ena färgen och 121 av den andra, hur många lådor skulle han behöva för att packa ner dem alla utan att blanda färgerna?


Problem 3

Figuren visar graferna för funktionerna f och g. Vilken likhet gäller för alla x?

 


 


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-04-03. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, februari 2007

Problem 1

På bilden ser du vägen mellan Annas hus och Berts. Den är ritad med en heldragen linje. Just nu pågår ett vägarbete så Anna och Bert måste ta en omväg för att hälsa på varandra. Då går de den väg som är ritad med en streckad linje. Hur mycket längre blir det att gå omvägen? [Ecolier 2004, uppg 3]

Lösning: 3 km + 3 km


Problem 2

Vilket tal ska stå istället för frågetecknet? [Cadet 2004, uppg 8]

Lösning: Börja från resultatet och utför den motsatta operationen. 50 - 1 = 49, sqrt(49) = 7, 7 · 3 = 21, 21/0,5 = 21 · 2 = 42


Problem 3

Bilden föreställer tre halvcirklar. Ändpunkterna A och B på den övre halvcirkeln ligger rakt ovanför mittpunkterna E och F till de två undre halvcirklarna. Om varje halvcirkel har radien 2 cm, hur många cm² är arean av det skuggade området? [Junior 2005, uppg 15]

A: 2π    B: 7    C: 2π+1    D: 8    E: 2π+2
Lösning: För att få det skuggade området ska fyra cirkelsegment subtraheras från cirkelns area. Det ger pi · 2 ·2 – 4(pi – 2) = 8. Alternativ lösning inkommen från Alf Gunnarsson (pdf) ...

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-03-02. Ändrad: 2011-04-07  

Månadens problem, mars 2007

Problem 1

Familjen Paddlare är mamma, pappa och Benjamin. De hyrde en kanot för tre personer. På hur många olika sätt kan de sitta i kanoten?[Ecolier 2001, uppg 5]


Problem 2

Till och med när kamelen Desirée är törstig utgörs hennes vikt till 84% av vatten. När hon har druckit sig otörstig stiger vikten till 800 kg varav nu 85% är vatten. Hur mycket väger kamelen Desirée när hon är törstig? [Cadet 2001, uppg 16]


Problem 3

En tankspridd bergsklättrare passerade en bergsrygg längs den profil som syns i figur 1. Han gick från punkt A till punkt B. Ibland tappade han saker längs vägen och blev tvungen att går tillbaka och hämta dem. Figur 2 visar hans höjdposition som funktion av tiden. Hur många gånger gick han tillbaka? [Junior 2004, uppg 20]


problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-03-02. Ändrad: 2011-04-07  

Månadens problem, februari 2007

Problem 1

På bilden ser du vägen mellan Annas hus och Berts. Den är ritad med en heldragen linje. Just nu pågår ett vägarbete så Anna och Bert måste ta en omväg för att hälsa på varandra. Då går de den väg som är ritad med en streckad linje. Hur mycket längre blir det att gå omvägen? [Ecolier 2004, uppg 3]



Problem 2

Vilket tal ska stå istället för frågetecknet? [Cadet 2004, uppg 8]



Problem 3

Bilden föreställer tre halvcirklar. Ändpunkterna A och B på den övre halvcirkeln ligger rakt ovanför mittpunkterna E och F till de två undre halvcirklarna. Om varje halvcirkel har radien 2 cm, hur många cm² är arean av det skuggade området? [Junior 2005, uppg 15]

A: 2π    B: 7    C: 2π+1    D: 8    E: 2π+2

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-02-14. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, januari 2007

Problem 1

Fyra personer får plats runt ett kvadratiskt bord när de sitter på varsin sida. Inför skolfesten ställer eleverna ihop sju sådana bord efter varandra till ett enda långt bord. Hur många personer får plats runt detta långbord? [Ecolier 2006, uppg 6]

Svar: 16. Vid ett bord får 4 plats. För varje ytterligare bord blir det 2 platser till. Det får rum två vid varje bord, plus en vid varje kortsida på långbordet.


Problem 2

Två sidor i en triangel är 7 cm vardera. Den tredje sidans längd är ett helt antal centimeter. Vilken är den största möjliga omkrets en sådan triangel kan ha? [Cadet 2006, uppg 8]

Svar: 27 cm. Den tredje sidan måste vara kortare än 14 cm, dvs maximalt 13 cm.


Problem 3

En kvadrat är uppdelad i 18 mindre kvadrater av vilka 17 har sidlängden 1. Hur stor area har den stora kvadraten? [Student 2004, uppg 7]

Svar: 81. Kvadraten har två vinkelräta sidor med vardera 9 småkvadrater (tillsammans 17)

problemen ...
Array
 lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Huvudkategori Nämnaren: 

Övergripande kategorier: 

Skapad: 2007-02-08. Ändrad: 2011-04-07  

Sidor

Prenumerera på RSS - Kängurun