10 dec 2016 – lösning

Skapad: 2016-11-30. Ändrad: 2016-12-13  

10 dec 2016 – lösning


Svar: Som minst deltar 15 personer i alla tre sporter.

Vi kan illustrera problemet med hjälp av ett diagram:


Denna bild visar en situation där samma personer som har
valt bandy också har valt innebandy och fotboll
15 personer har inte valt någon sport.
Här ser vi att det största antalet som kan ha valt 3 tre sporter är 60.

Problemet gällde den motsatta situationen;
vilket är det minsta antalet som har valt tre sporter?
Då måste vi försöka placera ut önskemålen så att vi får
en situation där så få som möjligt väljer fler sporter.


Bilden visar att av de 100 personerna har
15 st valt bandy, innebandy och fotboll,
40 har valt innebandy och fotboll, 30 har valt fotboll och bandy
och 15 har valt bandy och innebandy.

Summan av antal personer i varje sport är lika med summan av antal sporter hos varje person.
Denna summa är 85 + 70 + 60 = 215.
Av detta drar man slutsatsen att det måste finnas minst 15 personer som vill delta i alla tre sporterna.
Kan antalet i praktiken vara 15? Ja, det har vi visat med exemplet.

En formell lösning:
Låt E vara antalet intresserade av bara en sport, D antalet intresserade av 2 sporter, T antalet intresserade av 3 sporter och N antalet av de som inte är intresserade av någon sport alls. E + D + T + N = 100.
Summan av antal intresserade av fotboll, innebandy och bandy är: 85 + 70 + 60 = 215.
Då gäller också E + D · 2 + T · 3 = 215
Vi söker svar på den första frågan:
215 = E + D · 2 + T · 3 ≤ N · 2 + E · 2 + D · 2 + T · 3= 2 ·(N + E + D + T) + T = 200 + T
alltså T ≥ 15 
T kan vara just 15 när 40 väljer fotboll och innebandy, 30 fotboll och bandy, 15 bandy och innebandy och 15 allt.
Alltså är 15 det minsta möjliga antalet medlemmar som väljer alla 3 sporter.
Den andra delen av frågan är betydligt mer komplicerad; hur många ville delta i åtminstone två sporter?
Som minst deltar 58 personer i åtminstone två sporter, då deltar 58 i alla sporterna och de övriga 42 fördelar sig:
27 bara fotboll, 12 bara innebandy, 2 bara bandy och en har inte valt någon sport.


En formell lösning:
215 = E + D · 2 + T · 3 ≤ N + E+ D ·  3 + T · 3 = (N + E + D + T) + 2 · ( D + T) = 100 + 2 · ( D + T)
alltså 2 · ( D + T) ≥ 115 och därmed D + T > 57
D + Tkan vara 58 när t ex  27 väljer bara fotboll, 12 bara innebandy, 2 bara bandy, 58 allt och en ingenting.
Alltså är 58 det minsta möjliga antalet medlemmar som väljer minst 2 sporter.

Läs mer om att illustrera liknande samband med diagram som dessa i Bengt Ulins Frågor och fascinationer (NCM, 2016), s 64–65.