Svar och lösningar, maj 2015

Skapad: 2015-06-01. Ändrad: 2015-06-04  

Svar och lösningar, maj 2015

    Vårens sista lösningar kom från:
    Thelma H i 7B på Åsenskolan i Anderstorp
    Ottilia T O som är 12 år
    John K i Käppala skola, Öst 2, Lidingö
    Hamzi, Tuwa, Elvira och Filippa i klass 1 samt Shorouk, Jennifer, Alvin, Kelly, Elin och Wilma i klass 2 i Örsjö skola, Nybro Kommun



    Lösning på problem 1
    Svar: Figur C som är 6 rutor stor medan övriga är 5 rutor stora (har arean 5 rutor).

    Ottilia skriver: Jag räknade rutorna i figurerna och kom fram till att A är 5, B är 5, C är 6, D är 5, E är 5, så svaret på frågan var C.
    Det är enkelt att räkna rutor om man vet att två halva rutor räknas som en ruta, eller som John förklarar: Jag tänkte hela kvadrater: 1 halv + 1 halv = 1 hel.



    Lösning på problem 2
    Svar: Summan blir 16

    Vi börjar med att räkna summan av alla dessa tal: 6 + 7 + 8 är 21, lägger vi till 1 + 2 + 3 + 4 + 5 så får vi 21 + 15 = 36. Men då stämmer det inte, kvadraten har fyra sidor och summan längs varje sida ska vara 13 och 4 ∙ 13 = 52. Alltså räcker inte 36, vi behöver skriva större tal i cirklarna för att få summan 52 dvs 4 ∙ 13.

    Både Thelma och Ottilia kom med följande lösning:

    Summan av talen i de skuggade rutorna är 8 + 2 + 5 + 1 = 16.
    Vi räknar summor längs alla sidor av kvadraten:
    8 + 3 + 2 = 13
    2 + 6 + 5 = 13
    5 + 7 + 1 = 13
    1 + 4 + 8 = 13
    Summerar vi alla tal i kvadraten så får vi: 8 + 3 + 2 + 6 + 5 + 7 + 1 + 4 = 36. Hur är det möjligt?

    Det var fel tänkt i början, summan av alla tal i kvadraten skulle inte vara 52. Varje hörncirkel (skuggad cirkel) tillhör två sidor i kvadraten och talen i dessa cirklar blev räknade två gånger. Resultatet blev 16 för mycket, lika mycket som summan av talen i de skuggade cirklarna.

    Men det var just om summan av tal i de skuggade cirklarna man frågar i uppgiften, redan innan vi såg Thelmas och Ottilias lösning visste vi att felet var 16 dvs 52 – 36, alltså måste summan av talen i de skuggade cirklarna vara 16. Detta kan också beräknas med hjälp av ekvationer:
    Låt H vara summan av talen i hörncirklarna och K summan av talen i de fyra cirklarna mitt i kvadratens varje sida, då har vi:
    H + K = 36
    2 ∙ H + K = 52
    det ger H = 16.

    Det var ingen slump att Thelma och Ottilia fick identiska lösningar. Det finns nämligen bara ett sätt att fortsätta när de första tre cirklarna är ifyllda. Annars finns det flera sätt att fylla i talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 och 8 så att summor längs sidorna är 13, i samtliga fall måste summan av talen i hörnen vara 16. Man kan också fylla i samma åtta tal så att summor längs kvadratens sidor blir 12, 14 eller 15, då måste summan av tal i hörncirklarna vara 12, 20 respektive 24.



    Lösning på problem 3
    Svar: Det finns tre sådana ställen.

    – Jag ritade upp triangeln och testade lite, skriver John

    Ritar man en triangel och försöker göra en parallellogram av den, så upptäcker man snart att två av triangelns sidor måste bli parallellogrammens sidor och den tredje dess diagonal.

    På tre sätt kan vi välja vilken av triangels sidor som ska bli en diagonal och när vi har gjort det så måste det fjärde hörnet vara skärningspunkten av linjer genom hörn som är diagonalens ändpunkter dragna parallellt till motstående sidor i triangeln. Här ser vi tre möjliga parallellogrammer

    och sist triangeln med alla tre möjliga ställen för den fjärde punkten.

    Följande resonemang visar att det inte finns andra möjligheter:

    Triangelns hörn ska bli parallellogrammens hörn. Triangelns sidor ska alltså förbinda parallellogrammens hörn så att var och en av dem antingen ska vara parallelogrammens sida eller dess diagonal.

    Triangelns alla tre sidor kan inte bli parallellogrammens sidor eftersom triangelns sidor har tre olika riktningar, medan parallellogrammens sidor bara har två riktningar.

    Två av triangelns sidor kan inte bli parallellogrammens diagonaler eftersom parallellogrammens diagonaler korsar varandra i mitten medan trriangelns sidor aldrig gör det.

    Alltså måste två bli sidor och en diagonal.

    Månadens problems redaktion önskar läsare och lösare en skön sommar!

    Innehåll: LR