Svar och lösningar, feb 2015

Skapad: 2015-03-26. Ändrad: 2015-04-14  

Svar och lösningar, feb 2015

    Lösningar har kommit från:
    Hilda, klass 5C, Kastellegårdsskolan, Kungälvs kommun (lärare: Joanna Aho).
    Surya P, Åk 2, Sollentuna.
    Amil M, klass 3A, Krokslättsskolan, Mölndal.
    Felix, Fanny, Jonathan, Katrine, Maja, Ella, Alice, Ebba, Nicolas, Sabbi, Samin, Moa, Hanna, Lovisa, Selma, Pontus, Isabel, Alexander, Matilda, Julia, Tilda och Trolle, klass 6C, Rydbergsskolan, Lerum (lärare: Marian Sandström).


    Lösning på problem 1
    Svar: 6 kartonger.

    60 ägg i 5 kartonger à 12 ägg och en kartong med 6 ägg.


    Lösning på problem 2
    Svar: 25

    Talen 7, 8 och 9 är de tre största ensiffriga tal och dess summa, 7 + 8 + 9 = 24 är den största summan av tre ensiffriga tal, skriver Amil. Alltså är 25 inte en summa av tre olika ensiffriga tal.

    För att försäkra oss att 25 är det minsta tvåsiffriga sådant tal, undersöker vi, som också Surya har gjort, om varje tal från 10 till 24 kan skrivas som summa av tre olika ensiffriga tal.
    Vi börjar med 10, som kan uttryckas som summa av tre ensiffriga tal på flera sätt, t ex 2 + 3 + 5 = 10
    Vi ökar den största termen med ett i taget: 2 + 3 + 5 = 10, 2 + 3 + 6 = 11, 2 + 3 + 7 = 12, 2 + 3 + 8 = 13, 2 + 3 + 9 = 14
    Ökar vi en av termerna med ett så ökar också summan med ett.
    Vi fortsätter genom att öka mittentermen med ett i taget, så långt det går:
    2 + 3 + 9 = 14, 2 + 4 + 9 = 15, 2 + 5 + 9 =16, 2 + 6 + 9 = 17, 2 + 7 + 9 = 18, 2 + 8 + 9= 19
    och till sist den minsta termen: 2 + 8 + 9 = 19, 3 + 8 + 9 = 20, 4 + 8 + 9 = 21, 5 + 8 + 9 = 22, 6 + 8 + 9= 23, 7 + 8 + 9 = 24.
    Alla tvåsiffriga tal upp till 24 är summor av tre olika ensiffriga tal, så 25 är det minsta som inte är det.


    Lösning på problem 3
    Svar: 5 tärningar.

    För att lösa detta problem behöver vi kunna räkna med sannolikheter.
    Vi kastar ett antal tärningar. Sannolikheten att inte få någon sexa beror på antalet tärningar. Med en tärning är sannolikheten 5/6, med 2 tärningar (5/6)2, med n tärningar (5/6)n. Sannolikheten, att flera sinsemellan oberoende händelser inträffar, är produkten av dessa händelsers sannolikheter.

    Sannolikheten att få exakt en sexa när vi kastar en tärning är 1/6. Med n tärningar är sannolikheten att bara den första blir en sexa, 1/6 ∙ (5/6) n-1. Lika sannolikt är att bara den andra blir sexa (om n > = 2) eller bara den tredje eller bara den fjärde eller bara den sista. Vi har n sinsemellan uteslutande möjligheter, så sannolikheten att en av dem inträffar, dvs att det blir exakt en sexa är summan av dess sannolikheter eller, eftersom de är lika stora, n ∙ 1/6 ∙ (5/6)n-1.
    Med dessa kunskaper tar vi oss an problemet.

    Vet vi svaret (5 tärningar), så är det lätt att verifiera att det stämmer:
    Sannolikheten att Max får hoppa in först är (5/6)5, sannolikheten att Hugo får hoppa först, 5 ∙ 1/6 ∙ (5/6)5-1= 5/6 ∙ (5/6)4 = (5/6)5, alltså lika mycket.

    Men hur hittar vi svaret när frågan så att säga är bakvänt ställd, då det talas om sannolikheter och frågas efter antalet tärningar?
    Då får vi ställa upp en ekvation och lösa den:

    P(Max får hoppa först) = P(Hugo får hoppa först)
    P(Det blir inga sexor) = P(Det blir exakt en sexa)
    (5/6)n = n ∙ 1/6 ∙ (5/6)n-1
    5/6 = n ∙ 1/6 (efter division av bägge leden med (5/6)n-1 som för alla n är större än 0)
    5 = n (efter multiplikation av bägge leden med 6)
    De fick använda 5 tärningar.

    Innehåll: LR