Svar och lösningar, jan 2015

Skapad: 2015-02-10. Ändrad: 2015-02-10  

Svar och lösningar, jan 2015

    Lösningar har kommit från:
    4A & 4B på Käppala skola, Lidingö (lärare: Jessica John)
    Jermy, Leo och Ludvig, Linnéa och Philip samt Katarina och Märtha i åk 2 i Fredrikshovs slotts skola, Stockholm (Lärare: Karolina Dahlberg)
    Sture S
    Wiggo A i åk 4 på Vedum skola, Vara


    Lösning på problem 1
    Svar: Om tre år.

    Nu är Tore 13 år. För två år sedan var han 11.
    Då var Tommy 4 år eftersom de tillsammans var 15.
    Det har gått 2 år sen dess och Tommy är 6 år nu, så det dröjer 3 år till innan han blir 9.


    Lösning på problem 2
    Svar: Den gröna bläckfisken talar sanning.

    Frågeformuleringen antyder att en av bläckfiskarna säger sanning men det framgår även på annat sätt: säger inte den blåa sanning, så har inte de fyra bläckfiskarna 28 armar tillsammans. Alltså har minst en annat än 7 armar och den talar sanning.
    Vilken, den som talar sanning än är, så måste de övriga tre ljuga eftersom de alla påstår olika saker. Dessa tre har 7 armar var, den som talar sanning har 6 eller 8, det blir 27 eller 29 sammanlagt.
    Den gröna säger 27, det som de övriga 3 säger kan inte vara sant. Den gröna bläckfisken är den som talar sanning.


    Lösning på problem 3
    Svar: 6.

    Vi ska använda följande två påståenden:
    A: Mittpunkten på hypotenusan av en rätvinklig triangel har lika stora avstånd till triangelns alla hörn, t ex:

    Om CXD = 90° och CM = MD så XM = CM
    B: Längden av en rät linje som förbinder mittpunkterna på axlarna av en parallelltrapets är medellängden av parallelltrapetsets baser, t ex

    Om BC är parallell med AD och AX = XB och CM = MD så XM = (AD + BC)/2


    Tre förslag på bevis av A:
    1. Triangeln är hälften av en rektangel. M är skärningspunkten av rektangelns diagonaler.
    2. Enligt omvändningen av randvinkelsatsen är M medelpunkten i den kring triangeln omskrivna cirkeln.
    3. Placera triangeln i ett koordinatsystem med kateterna på var sin axel (och rätvinkeln i origo). Uttryck koordinater av hypotenusans mittpunkt mha hörnens koordinater.


    Två förslag på bevis av B:
    1. Om parallelltrapetsen ABCD är en parallellogram så är även BCXM det.
    Använd annars transversalsatsen: Låt K vara skärningspunkten av parallelltrapetsens förlängda axlar. Bevisa att XM är parallell med AD. KB : BC = KX : XM = KA : AD.
    2. Med vektorkalkyl:
    Låt u = AX = XB och v = CM = MD.
    u + XM + v = AD
    u + BC + v = XM
    AD + BC = u + XM + v + BC = XM + u + BC + v = XM + XM

    Nu räknar vi omkretsen:

    CDX är en rätvinklig triangel med hypotenusan CD. Låt M vara mittpunkten av CD.
    Då gäller: MC = MX = MD
    Eftersom trapetsen är likbent så gäller AB = CD. Alltså AX = XB = CM = MD = XM = 1.
    Omkretsen är AX + XB + BC + CM + MD + DA = 1 + 1 + BC + 1 + 1 + DA = 4 + 2∙XM = 6.

    Sture S har även undersökt trapetsens area. Den ligger mellan 2 och kvadratroten ur 3.

    Innehåll: LR