Adventslösning 23 december 2013

Skapad: 2013-12-10. Ändrad: 2013-12-26  

Adventslösning 23 december 2013


Elsa tillverkar en kubisk ask av kartong för att i den kunna placera en julgranskula som har form av ett ägg. Askens botten ska alltså vara en kvadrat och askens höjd ska vara lika med kvadratens sida. Hon vill att asken ska vara tillräckligt stor för att kulan eller egentligen ägget ska rymmas i den men samtidigt så liten att ägget inte kan röra sig i den när asken skakas. När hon placerar ägget på askens botten så ska ägget vidröra askens alla sidor och när hon lägger locket på ska även locket vidröra ägget. Går det att tillverka en sådan ask? Och om hon lyckas med det, på hur många sätt kan hon placera ägget i asken så att det vidrör alla dess sex ytor?



Svar: Ja, det går och ägget kan placeras på åtta sätt.

Ett ägg är en rotationskropp. (Äggformad julgranskula i alla fall, vanliga hönsägg brukar vara lite oregelbundna.)
Linjen längs ägget som går mitt genom det, genom mitten av dess spets och mitten av dess trubbiga ända är äggets rotationsaxel, vrider man ägget en godtycklig vinkel runt axeln, så fyller ägget fortfarande precis samma utrymme som det gjorde innan vridningen.
Om vi placerar ägget på ett horisontellt plan och täcker det över med ett annat horisontellt plan, så avståndet mellan dessa två plan kan vara olika beroende på vinkeln mellan äggets rotationsaxel och planen. Samma sak gäller även om planen inte är horisontella, huvudsaken är att de är parallella.


För varje kub finns linjer som har lika stora vinklar till kubens samtliga sidor, det är nämligen kubens digonaler (och linjer parallella med dem). Dessa vinklar är alltid cirka 35grader.
Elsa får tillverka en kubisk ask så stor att när ägget placeras i asken med sin rotationsaxel längs askens (kubens) diagonal, så att det får precis plats mellan botten och lock. Då ska det också passa precis mellan par av askens motstående väggar, både det ena och det andra paret. Alltså när locket läggs på kommer ägget att vidröra alla sidovägar, botten och locket.
Nu har en kub fyra diagonaler och varje diagonal förbinder två hörn. När Elsa placerar ägget i asken kan hon välja längs vilken diagonal ska äggets axel gå och mot vilket hörn ska äggets spets peka. Hon kan placera ägget i asken på 8 sätt.