Adventslösning 22 december 2013

Skapad: 2013-12-10. Ändrad: 2013-12-25  

Adventslösning 22 december 2013


Alice har lagt en stor liksidig triangel av 55 stenkulor. Den har 10 kulor i varje ytterrad. Ovanpå den lägger hon en triangel av 45 likadana kulor. Varje kula i den andra triangeln stödjer sig på tre kulor i den första. Ovanpå den andra triangeln lägger hon en tredje av 36 kulor, sedan en fjärde triangel av 28 och ytterligare fem trianglar av 21, 15, 10, 6 och 3 kulor. På toppen lägger hon en kula. Hur många kulor befinner sig rakt under toppkulan?



Svar: Tre kulor.

Det finns flera sorters mittpunkter i en triangel men Alice´s trianglar är liksidiga och där sammanfaller alla sorters mittpunkter.

Kulor som ligger rakt under toppkulan ligger också mitt i var sin triangel. Men bara var tredje triangel har en kula i mitten. Det är trianglarna med sidolängder 4, 7 och 10 (förutom själva toppkulan som kan betraktas som en triangel med sidolängden 1).

När man har en triangel med en kula i mitten, så måste man lägga till en rad på varje sida för att få nästa till storleken triangel med samma egenskap. Lägger man till tre rader, så blir kantlängden tre större. Det är inte märkvärdigare än att bara varannan rad har en kula i mitten. Det är rader med längder 1, 3, 5, 7, 9 osv. När man har en rad med en kula i mitten så måste man lägga en kula i varje ända för att få nästa till storleken rad med samma egenskap.
Lika märkvärdigt är att bara var fjärde tetraeder (piramid med triangulär bas av den sorts som Alice har byggt) har en kula mitt i. Bara tetraedrar med kantlängder 1, 5, 9, 13 osv. har var sin kula precis i mitten. Den här piramiden, byggd av Alice har ingen: