Adventslösning 8 december 2013

Skapad: 2013-12-05. Ändrad: 2013-12-18  

Adventslösning 8 december 2013


På grund av isbildning på slädens underrede tvingas tomten nödlanda i ett 84 kvadratkilometer stort, triangulärt urskogsområde avgränsat av två slädstigar, en 15 km och en 13 km lång samt en 14 km lång frusen älv. Från landningsplatsen är det 5 km genom otrampad snö både till den ena och till den andra slädstigen.
    Hur långt är det från landningsplatsen till älven?

Svar: 2 km

När man tänker på att en tringels höjd är samma sak som avståndet mellan toppen och basen (eller ibland förlängningen av basen), så upptäcker man snart ett sätt att beräkna avståndet till älven.
Dra tre raka linjer från landningsplatsen L till det triangulära skogsområdets tre hörn, då delas området i tre mindre trianglar.

Varje triangel har egentligen tre toppar, tre baser och tre höjder men vi tänker på landningsplatsen som toppen till varje av dessa tre nya trianglar, det hela områdets kanter som dess baser och då blir avstånden till slädstigarna och älven – trianglarnas höjder.
Nu kan vi beräkna arealer av två av dessa trianglar.
15km*5km/2= 37,5kvkm och 13km*5km/2= 32,5kvkm.
Den tredje (som vetter mot älven) har arean 84kvkm-37,5kvkm-32,5kvkm= 14kvkm. Dess höjd ä=14kvkm*2/14km= 2km är avståndet till den frusna älven.
Någon tror kanske att tomten berättar rövarhistorier eller har hittat på en orsak för sin sena ankomst. Kan det överhuvudtaget finnas ett sådant skogsområde som tomten beskriver?
Vi undersöker detta. Ta två rätvinkliga trianglar, en med kateterna 5 km och 12 km och hypotenusan 13 km och den andra med kateterna 9 km och 12 km och hypotenusan 15 km. En har arean 30 kvkm och den andra 54 kvkm. Dessa två trianglar kan sättas samman till en triangel med sidorna 13km 14km och 15km och deras sammanlagda area är 84 kvkm, så på den punkten stämmer tomtens berättelse.

Varje triangel kan delas i två rätvinkliga trianglar men det är inte det smidigaste sättet att beräkna en triangelns area. När man vet triangelns tre sidolängder (men inga höjder), beräknas arean med Herons formeln. Låt triangelns sidolängder vara a, b och c. Man definierar s som hälften av triangelns omkrets s= (a+b+c)/2 och triangelns area är roten ur s*(s-a)*(s-b)*(s-c).
Vår triangel har sidorna 13, 14, och 15, så s=(13+14+15)/2=21, områdets area är roten ur(21*(21-13)*(21-14)*(21-15))= roten ur(3*7*8*7*6)= roten ur(3*3*4*4*7*7)= 3*4*7= 84.