Kommentarer till fiskproblemet, april 2013

Skapad: 2013-06-18. Ändrad: 2013-06-19  

Kommentarer till fiskproblemet, april 2013

Tävlingsbidrag har kommit från:
David Ström Lärare matematik/fysik Forum Ystad
Anna Schastnaya Lärare i matematik på Klara Norra Gymnasium, Stockholm
Vera P. Lilla Adolf Fredrik 4a Stockholm
Mattias Åman, Matematiklärare på Mediagymnasiet Nacka Strand
Ismail A. 9:an i Römosseskolan i Göteborg
Maryam P.
Andreas B.
Conny Thorsélius Lärare i matematik, fysik
Viktor H.
Lisa L.
Lena Jönsson, lärare i Källbrinksskolan i Huddinge
Ulme W.
Anton Z. i klass 4A och hans matematiklärare Ingegerd Carlsson på FridtjuvBergskolan i Ödeshög.
Niclas Larson Doktorand, fil. lic. Matematiska institutionen, Linköpings universitet
David Pettersson Lärare på Peder Skrivares skola, Varberg
Cecilia Christiansen
Eva Palmqvist, biologilärare med matte år 7-9 som sidoämne.
Josefin L. och Sara L.
Anders Enbom, Lärare i matematik, filosofi och psykologi, Komvux
Kurt Svensson Ma/No/Tk-lärare på Lorensbergaskolan i Ludvika.

Svaret är att den största fisken har mindre area än de två övriga tillsammans. (Var och en av dessa tre fiskar har mindre area än de två övriga tillsammans, vilket egentligen betyder samma sak. Detta påstående är ekvivalent med det i svaret.)

Viktor H. har också fastställt fiskarnas art. De måste vara lutfiskar eftersom de lutar i olika vinklar. ☺
Vad menas egentligen med att tre fiskar bildar en triangel?
Lisa preciserar det en aning: längdenr på fiskarna är sidorna i triangeln.
Kurt utvecklar det mera: Dom tre fiskarna ligger i en triangelliknande figur med parvis punktkontakt mellan undre käkspets nedre stjärtfena. Dessa tre kontaktpunkter får bilda hörn i en spetsvinklig triangel.
"Om min lösning är snygg vet jag inte." tvivlar Niclas L.
Kan det vara "så enkelt" att de tre fiskarnas längder betecknas med a, b resp c och därav blir längdskalan a:b:c. Eftersom de är likformiga blir deras areaskalor a^2:b^2:c^2. Sedan gäller ju cosinussatsen så att a^2=b^2+c^2-2bccosA där b och c och cosA alla är positiva. Alltså är a^2 garanterat mindre än b^2+c^2. undrar Conny T. Niclas, Conny och flera andra åberopar cosinussatsen. Den ger ett enkelt bevis av olikheter som a^2+b^2 > c^2. Ur tävlingssynpunkt har vi valt bort sådana lösningar till förstapriset då vi ville ha förklarningar som även grundskoleelever kan förstå.

Förresten, den som inte hade ett eget intressant bevis av olikheten kunde åberopa beviset i lösningen av februariproblem nr 3, där fiskproblemet formuleras. Vera P. och Eva P. har gjort det. Cecilia bevisar olikheten på ett sätt som liknar vårt bevis. Man utgår från Pythagoras sats och använder satsen som säger att om vinkeln mellan två sidor i en triangel minskas utan att sidornas längd ändras så minskar den motstående sidan. En gammal sats som få minns och ännu färre kan bevisa.

Elementa 1-24

Vårt problem handlar huvudsakligen om likformighet. Två punktmängder (figurer, kroppar…) är likformiga om det finns en likformighetsavbildning mellan dem. D.v.s. en avbildning där avståndet mellan två punkter multipliceras med en konstant skala > 0.

De flesta som lyckades förklara varför det råder samma förhållande mellan fiskarnas areor som förhållandet mellan kvadrater av triangelns sidor, använde formeln areaskala=längdskala2, men i vissa sammanhang skulle det vara mer bekvämt att åberopa andra principer som gäller vid likformigheten:
1. Likformighetsavbildning bevarar avståndsförhållanden, dvs. om vi har två par av punkter med avstånden a och b i en figur och deras bilder i den andra figuren har avstånden a’ och b’, så gäller a’/b’= a/b.
2. Den bevarar längdförhållanden, dvs. om vi har två kurvor med längder A och B i en figur och deras bilder i den andra figuren har längder A’ och B’, så gäller A’/B’= A/B .
3. Den bevarar arealförhållanden, dvs. om vi har två delområden med areor A och B i en figur och deras bilder i den andra figuren har areor A’ och B’, så gäller A’/B’= A/B .
4. Den bevarar vinklar. För två trianglar gäller också det omvända: har de lika vinklar, så är de likformiga.
Mycket annat bevaras under en likformighetsavbildning och det är lite som ändras. Två likformiga figurer kan vara olika stora och spegelvända mot varandra men i övrigt är de väldigt lika.

Några intressanta bidrag:
Matias Åman utgår från Pythagoras sats och hans lösning liknar en ordentlig lektionsgenomgång där viktigaste moment förklaras och betonas.
David Pettersson ersätter den största fisken med ett gummiband, ett experiment som säkert kan övertyga fler elever än en matematisk utläggning. Det skulle kunna följas av en förklarning med användning av svårare begrepp som vektorer derivata och monotona funktioner.
En mera traditionell laborativ undersökning, att klippa ut fiskarna och mäta dem, gjordes av Anton Z. under överinseende av Ingered Carlsson.
Viktor H. delar triangeln i två rätvinkliga och undersöker dem hjälp av Pythagorassatsen. Anna Schastnaya, Vera P. Cecilia C. m.fl. ersatte fiskar med geometriska figurer: kvadrater, rektanglar, trianglar eller ellipser vilkas areor kunde utryckas med kända formler och de visade att för dessa figurer gällde att den största figurens area var mindre än de övriga två tillsammans. Per analogi borde det även gälla fiskar. Princip nr 3 ovan skulle bättre förklara detta.

Nämnarens och Månadens problems priskommitté har ur ett flertal ungefär lika bra lösningar valt lösning inskickad av Kurt Svensson, Mattias Åman och ”metod 3” inskickad av Cecilia Christiansen.
De tilldelas priset: ett års prenumerationer av Nämnaren.
Kurt Svenssons lösning
Mattias Åmans lösning
Cecilia Christiansens lösning, metod 3

Leo Rubinstein
Innehåll: UD