Lösning adventsproblem 17 december 2012

Skapad: 2012-12-13. Ändrad: 2013-01-14  

Lösning adventsproblem 17 december 2012



En kub med sidan 4 kan delas i 64 småkuber (1x1x1) om man skär den med 9 snitt. Hur gör man? Om man får arrangera om bitarna efter varje snitt, kan man då dela den i så stora bitar med färre snitt? Hur många minst? Kan man veta att ingen kan göra det med ännu färre snitt?

Lösning
Det har kommit in två bra lösningar, en från Vera och en från Madeleine C. och Rebecka L. matteprofil år 7 Täby Friskola. Deras lösningar skiljer sig från varandra och från den som följer. Det finns många sätt att arrangera om bitarna för att åstadkomma den önskade delningen med bara 6 snitt.

Vi börjar med en mycket enkel fråga. Kan en 4 cm lång remsa delas med tre klipp i 4 st encentimeters långa remsor?
Klart att den kan det, se bilden.

OK! Kan då en kvadrat på 4 cm x 4 cm delas med 6 klipp 16 st 1 cm x 1 cm kvadrater?
Visst! Det ser man på nästa bild.

Tre horisontella och tre vertikala linjer delar kvadraten i 16 småkvadrater.
Nu delar vi med 9 snitt en 4 cm x 4 cm x 4 cm kub i 64 småkuber.

Här till vänster ser vi kuben innan delningen, de 9 plan som ska dela den och de 64 småkuber som blir av detta ser vi till höger. Nu tar vi om allt från början men snålar med klipp och snitt. Vi delar remsan itu, lägger bitarna jämsides och med andra snittet delar dem i 4 st encentimeters bitar. Alltså bara två snitt.

Kvadraten kan delas med 4 snitt om vi får arrangera om bitatna mellan snitten:

Två horisontella och två vertikala snitt.
6 snitt räcker för en 4 x 4 x 4-kub, vi börjar med ett horisontell snitt, vi får två delar som vi lägger bredvid varandra och efter andra snittet är kuben delad i 4 skivor som vi lägger tillbaka så att de förmar en kub igen.


Det var bara två horisontella snitt och när vi gör likadant med de två vertikalla riktningarnaså blir den ursprungliga 4cmx4cmx4cm-kuben uppdelad i 64 st. enkubikcentimeter stora kuber med bara 6 snitt.
Det var nog smart men hur kan vi veta om 6 är det minsta möjliga antalet snitt som behövs för att dela en 4x4x4-kub i 1x1x1-kubar. Vi tar en liten kub som från början befan sig mitt inne i den stora kuben, någon av de små kuberna måste ju ha innehålit punkten precis i centrum av den stora kuben. En sida av en sådan kub kunde inte från början ha varit en del av en av den stora kubens sidor. Den lilla kubens alla 6 sidor skapades genom snitten. Men en och samma snitt kunde inte skapa en och samma kubens två olika sidor. Därför behövdes det minst 6 snitt.
Vårt problem skulle nu vara löst om inte en elak troll hade ändrat i den ordet ”kuber” mot ”bitar”. Bitar kan nog ha vilken form som helst, kanske tetraedrar eller prismer och då fungerar inte resonemanget ovan länge. Det är fortfarande sant att det behövs minst 6 snitt men det är svårare att förklara. Jag ska försöka, även om det kanske kan bli fel.
Den stora kuben har volymen 64 kubikcentimeter. När man tudelar den med ett snitt så får man kanske två delar som är 32 kubikcentimeter eller om man delar ojämnt så i alla fall den största delen blir 32 kubikcentimeter eller mera. Vid nästa delning blir minst en del av den delen som vid första delning blev minst 32, den största delen av den blir minst 16. Efter tredje delning får vi minst en del som är minst 8, efter fjärde 4, efter femte 2. Så fem snitt räcker inte för att dela kuben i bitar som alla ska vara en kubikcentimeter stora. Det behövs minst 6 delningar. Har jag inte rätt?
Resonemanget ovan verkade vara övertygande tills jag behövde dela en falukorv till lunchen.

Om man delar den så, så får man två halvor eller minst en del som är större än en halv om man delar den ojämnt.
Men en falukorv kan också delas så och då delas den med en enda rakt snitt i tre delar som alla är mindre än hälften. Resonemanget ovan gäller altså inte för falukorvar. Kan vi vara säkra att det gäller för kuben?

Det speciella med en falukorven är att man kan välja två punkter A och B inne i falukorven, så att om man drar streckan AB mellan dessa två punkterna så går streckan delvis utanför korven.

Sådant kan man inte göra med en kvadrat eller en kub eller en cirkel eller en triangel eller en klott eller … ja det finns många sådana figurer för vilka det inte låter sig göras. De alla kallas konvexa figurer eller konvexa kroppar. En falukorv är ingen konvex kropp medan en kub är det.

För en konvex kropp gäller att om den delas med ett plan, så delas den aldrig i fler än två delar och desutom delarna blir också konvexa. Så eftersom en kub är konvex är resonemanget om delning av kuben korrekt i alla fall.