Lösning adventsproblem 8 december 2012

Skapad: 2012-11-29. Ändrad: 2013-01-14  

Lösning adventsproblem 8 december 2012



Går det att skriva talen 1 till 100 i en rad så att skillnaden mellan två intilliggande tal alltid är 50 eller mer?

Lösning
Svar har kommit från Vera P., Sara N., Otto, Sienna, Fabian, i 5C Sturebyskolan samt Sara N. i Svedala. Victoria B., Linnea H. på matteprofilen i Täby Friskola skriver att det går och visar hur.

Svar: Ja.
Man kan börja med 50, 100, 49, 99, 48, 98, 47, 97, … och fortsätta så. Varje tal är ett mindre än talet två steg innan. Raden slutar med … , 2, 52, 1, 51.
Ett annat sätt är att skriva samma rad baklänges: 51, 1, 52, 2, 53, 3 … … 99, 49, 100, 50.
Dessa sätt är de enda, några andra sätt finns inte.
Varför inte?
Kalla två tal som skiljer sig med 50 eller mer för vänner, annars är de fiender. Varje heltal bland 1 till 100 har minst en vän i gänget. 50 och 51 har var sin vän, de andra har flera. Inget tal vill stå bredvid sin fiende i raden, så 50 och 51 får stå i början och i slutet av raden.
Om vi väljer att börja raden med 50, så måste nr 2 i raden vara 50s enda vän 100. Eftersom 49 bara har två vänner, 99 och 100, så måste 49 och 99 komma efter 100. 48 har tre vänner 98, 99 och 100 men 100 är redan upptaget, så efter 99 måste följa 48 och 98. Nu har 47 bara två lediga vänner, så efter 98 måste följa 47 och 97…
Dessa måsten kommer att fortsätta tills hela raden blir fylld. Talen som från början hade många vänner ska, när allt fler av deras vänner blir upptagna, ska tvingas att ställa sig efter sin nästsista vän och dra efter sig sin sista. Det enda val man kan göra är att bestämma om 50 eller 51 ska vara det första.