Svar och lösningar, november 2012

Skapad: 2012-11-29. Ändrad: 2012-12-03  

Svar och lösningar, november 2012

Det kom inte lika många svar den här gången. Kanske därför att problemen var extra svåra? Lia D. och Linnéa B. elever i 8A på Mosstorpskolan i Skärblacka, Malin H., Gustav W. och Ingrid H. i klass 4B i Resarö skola, samt Edvin J och Vera P har skickat in lösningar.



Svar: 14 platser.
Det finns 6 platser mellan 4 och 11 i numreringsriktning: 5, 6, 7, 8, 9 och 10. Lika många måste det vara på andra sidan. Tillsammans med Roberts och Marias platser blir det 6+6+2= 14. Så här kan det se ut.



Svar: 6.
De år då Tuvas ålder är en delare till 20 och bara de åren, är hennes mammas ålder en heltalsmultipel till Tuvas ålder. Tuva ska alltså fylla 1, 2, 4, 5, 10 eller 20 år. Då är hennes mamma 21, 22, 24, 25, 30 eller 40 år.



Svar: Mona får inte bo kvar på ön.
Linnéa B skriver: ” Öns kejsare sa att de fick bo var de ville från första början och då ska de få göra de ;)”. Hon menar nog att ingen skulle våga säga det till kejsaren. Edvin svarar:
”…vad det gäller den stackars krullhåriga fattiga måndyrkande Monica får hon inte ens stanna på ön så länge hon inte rakar av sig håret.”
Vera svarar ganska lika: ”..eller så måste Monica raka av sig sitt hår :) och flytta till kusten.”
Vi vet att Sune inte får flytta till kusten. Det betyder att kejsarens tre linjer stänger honom inne på ön. Alltså bor Sune inne i en triangel bildad av dessa 3 linjer. Se karta.

Mona ska bo på andra sidan av alla linjer. Men ett sådant ställe finns inte och kan inte finnas. Välj två linjer och titta på det område som är på andra sidan än Sune av de båda linjerna. Då ser du att hela detta område befinner sig på samma sida som Sune av den tredje linjen.
Nu kommer ett strikt matematiskt bevis.
Bevis genom härledning till motsägelse:
Antag att Mona får bo någonstans på ön. Kalla det stället M. Vi vet att också Sune får bo på något ställe av ön. Kalla det stället S. Dra en rät linje mellan M och S (sträckan MS). När M och S ligger på olika sidor av en linje så korsar sträckan MS linjen. Alltså korsar sträckan MS kejsarens alla tre linjer. Förläng sträckan MS med en stråle från S och utåt.

Eftersom strålen och sträckan MS är delar av en och samma linje så kan inte strålen korsa någon av kejsarens linjer. Två räta linjer korsar inte varandra i två ställen. Ön är ändlig och strålen oändlig, så om Sune går från S och följer strålen, måste han någon gång komma till öns gräns, dvs till kusten och där får han bosätta sig eftersom han inte har korsat någon av kejsarens linjer och befinner sig på samma sidor av dessa linjer som när han var i S. Men vi vet ju att Sune inte får flytta till kusten. MOTSÄGELSE! Antagandet att Mona får bo någonstans på ön leder till motsägelse, alltså kan Mona inte bo på ön.

På frågan i problem 3 svarar Edvin:
”…vad det gäller den stackars krullhåriga fattiga måndyrkande Monica får hon inte ens stanna på ön så länge hon inte rakar av sig håret.”
Vera svarar ganska lika: ”..eller så måste Monica raka av sig sitt hår :) och flytta till kusten.”
Tack, ni har räddat Monica!


Innehåll: LR