Svar och lösningar, mars 2012

Skapad: 2012-04-04. Ändrad: 2012-04-04  

Svar och lösningar, mars 2012

Den här månaden har det kommit lösningar från Torpaskolan i Vänersborg (med läraren Gunilla Fridh), från Sture Sjöstedt, från Ida och Oskar i 5F i Fryxellska skolan i Västerås, från Vera P. i Lilla Adolf Fredrik skola 3a, Stockholm, från Wilhelm, Christian, Emilia och Rasmus i klass 5 i Ljusdal (med läraren Kicki Larsson Nahmias) samt Thomas D. i klass 5 i Täby Friskola/ Gribbylundsskolan (med lärare Åsa Miiro).



Svar: 90m
Flera räknade ungefär så:
4500/90=50   Grusplanen är 50 m bred
4500/2=2250   Gräsplanen har area 2250 kvadratmeter
50/2=25   Gräsplanen är 25 meter bred.
2250/25=90   Gräsplanen är 90 m lång.
Man kan också bestämma gräsplanens längd utan att räkna. Så skriver Vera:
Eftersom gräsplanen är hälften så bred och dess area är hälften så stor är den lika lång som grusplanen.
Man kan se det på bilden:

Gräsplanen är hälften så bred som grusplanen. Då måste den vara lika lång som grusplanen för att ha en area som är halva grusplanens. Skulle den vara kortare, så skulle den ha mindre area, skulle den vara längre, så skulle den ha en area som är större än halva grusplanens area.

Man kan också bevisa det med hjälp av algebra:
Låt L, B och A vara längden, bredden och arean av grusplanen samt l, b och a längden, bredden och arean av gräsplanen. Då gäller:
A= L * B och a= l * b alltså L=A/B och l= a/b, vi vet också att b= B/2 och a=A/2 .
Då ”beräknar” vi gräsplanets längd l= a/b= (A/2)/(B/2)= A/B= L.



Svar: 91
Från Ida och Oskar och från Torpaskolan och från Thomas kom ganska likartade lösningar:
Om lagen i en grupp heter A, B, C & D, så möter: A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D, 6 matcher i varje grupp.
Det är från början 8 grupper, varje grupp spelar 6 matcher. 8 x 6=48
Hälften av lagen är sedan kvar då blir det 4 grupper 4 x 6 =24
Åter igen hälften av förra omgången, 2 grupper 2 x 6=12
Endast en grupp kvar med 4 lag det blir 1 x 6=6
Man får inte heller glömma finalen som är 1 match 1 x 1=1
48+24+12+6+1=91!

Veras lösning skiljer sig lite från den ovanstående. Hon beräknar först att det spelades i 8+4+2+1= 15 grupper. Sedan att antalet matcher var: 15*6+1= 91.

Antalet grupper kan också beräknas på ett annorlunda sätt: I varje grupp slås två lag ut. Fram till finalen har 30 lag slagits ut, alltså det har spelats i 30/2= 15 grupper.

Det är häftigt att upptäcka en enkel genväg till något som annars kräver flera beräkningar men den här metoden har en liten nackdel. Man vill helst ha en bild av hur turneringen gick till, då har man t ex koll på om turneringen var möjlig att genomföra enligt reglerna. Skulle det vara 100 lag i stället för 32, så skulle någon kanske säga: ”Fram till finalen har 98 lag slagits ut, alltså det har spelats i 98/2= 49 grupper, antalet spelade matcher var 6*49+1 = 295.”

Men det är fel, skulle man i stället försöka räkna med den vanliga metoden så skulle man märka att det är omöjligt att genomföra turneringen med samma regler när 100 lag deltar. Efter första omgången finns 50 lag kvar och dem kan man inte dela i grupper om 4.



Svar: 20
Det har kommit flera lösningar. Alla bygger på samma princip, som förklaras på lite olika sätt.

Sture: Antalet sexhörningar är 12*5/3 = 20

Torpaskolan: Vi vet att det finns 12 st 5-hörningar vilket innebär att det finns totalt 60st sidor (5 * 12 = 60) och vi vet att var och en av femhörningarnas sidor ska ligga mot en av sexhörningarnas och vi vet även att endast tre av en sexhörnings sidor ska ligga mot femhörningar och de övriga tre ska ligga mot andra sexhörningar så det kommer att behövas 20 st sexhörningar därför att 20 * 6 = 120 och då kommer 60 st av sexhörningarnas sidor ligga mot femhörningar, så det går jämt ut och de övriga 60 kommer ligga mot andra sexhörningar.

Vera: Det finns12 femhörningar. Varje femhörning har 5 sidor. 12 * 5 = 60. Då vet vi att det finns sammanlagt 60 sidor som tillhör femhörningarna. Eftersom en femhörning bara gränsar med sexhörningar måste de 60 sidor som tillhör femhörningarna gränsa med sidor som tillhör sexhörningarna. Eftersom en sexhörning har 3 sidor som gränsar med en femhörning är det 60/3= 20 sexhörningar.

Redaktören: Låt V vara antalet vita läderbitar och M antalet sömmar mellan svarta och vita bitar. Det finns 12 svarta läderbitar i en boll, varje av dem är sammansydd med 5 vita, så M= 12 * 5 = 60. Å andra sidan är varje vitt läderbit sammansydd med tre svarta, så M= V * 3 . M = 60 ger V = 20.

Alla dessa lösningar visar att om bollen har tolv svarta femhörningar och är sydd enligt givna regler, så antalet vita sexhörningar måste vara 20.

Nu kan man undra om det går att sy en fotboll som uppfyller problemets premisser? Det enklaste sättet att ta reda på det är att titta på en riktig fotboll, de flesta är faktiskt sydda på detta sätt. Man kan då också passa på och räkna vita läderbitar. (Men på bollen ser man bara att antalet vita kan vara 20, våra resonemang visar att det måste vara 20.)

En sådan geometrisk kropp konstruerades redan av Arkimedes, som levde på tvåhundratalet före vår tideräkning. Den har 32 sidoytor (läderbitar), 90 kanter (sömmar) och 60 hörn (ställen där tre läderbitar och tre sömmar möts).

Men nu har vi en annan fråga: Om man använde 15 svarta bitar i stället för 12 hur många vita skulle då behövas?

Vi räknar på samma sätt: Antalet sexhörningar är 15*5/3 = 25.
Fel! Det går inte att sy en sådan boll med 15 svarta och 25 vita läderbitar. 15 femhörningar och 25 sexhörningar har tillsammans 15*5+25*6=225 sidor, ett udda antal och de ska sys samman parvis.
(Man måste faktiskt använda just 12 och inte något annat antal svarta läderbitar om man vill sy en fotboll enligt givna principer i övrigt.)

Innehåll: LR