Lösning: Adventsproblem 23 december

Skapad: 2011-12-27. Ändrad: 2012-01-02  

Lösning: Adventsproblem 23 december



Jultomten provflyger sin släde innan jul. Han flyger i en triangel från nordpolen till ekvatorn, lika långt utefter ekvatorn och sedan hem igen.
Hur stora är vinklarna i triangeln?
Hur stor är vinkelsumman i triangeln?


Svar: 270 grader.
Det kom svar från: Vera, Philip, Hilda A (ES2c, dans), Rasmus J (ES2a, musik), Sandra H (ES2a, musik) och från David.
Sandra tyckte att triangeln var likbent, alla andra att den var liksidig men David håller med Sandra om att den vinkeln där tomten svängde för första gången var 90 grader. Alla utom David visste att summan av vinklarna i en triangel alltid är 180 grader. Hilda tyckte dessutom att mycket berodde på hur rakt tomten flög.

Jag passade på och frågade tomten i förrgår, hur hans provresa gick.
Han berättade att det var svårt att hålla kursen i början. Renarna blev snurriga i huvuden när de såg Jorden snurra under sig och de försökte svänga till höger hela tiden. Det kallas corioliseffekten och är värst nära nordpolen, sedan avtar den och går över när man närmar sig ekvatorn. Sedan grävde tomten i sin säck och plockade ut en jordglob med världens alla länder och alla hav målade på. Den var rund som jordklotet och hade nordpolen uppe och sydpolen nere och ekvatorn gick mittemellan polerna runt hela globen. Det fanns också flera linjer som gick rakt från den ena polen till den andra. Ja, så rakt som man kan rita på ett klot. De kallas meridianer och egentligen är de halvcirklar när man tittar på dem från sidan. Tomten sa att han valde en av meridianerna från början och såg till att släden följde den hela vägen mot ekvatorn och på så sätt kunde han hålla rak kurs. Så här har vi svaret på Hildas tvivel, tomten flög med sin släde så rakt som man kan flyga över jorden. En riktigt rak linje från nordpolen till ekvatorn skulle gå djupt under jorden.

Just när de skulle korsa ekvatorn, svängde de 90 grader för att följa den istället. Vi kunde se på jordgloben att alla meridianer korsade ekvatorn i 90 graders vinklar. Tomten förklarade att en väg som ansluter till ekvatorn i en sned vinkel, kan inte vara den kortaste vägen till ekvatorn eftersom då finns det alltid en kortare väg som går vinkelrät mot ekvatorn, en väg genom luften i alla fall. Där fick alltså Sandra och David rätt.

Den kortaste vägen från nordpolen till ekvatorn är tusen mil lång, den är hälften av vägen mellan polerna och en fjärdedel av vägen runt jorden, alltså en fjärdedel av ekvatorns längd. Tomten flög sedan lika långt längs ekvatorn, en fjärdedels varv runt jorden, och svängde sedan 90grader igen för att ta en annan meridian som var den kortaste vägen hem till nordpolen. Vinkeln mellan meridianerna var också 90 grader. Det blev alltså tre vinklar om 90 grader var.

Så här motiverar David sitt svar:
”Vinklarna vid ekvatorn är båda 90 grader, likaså polvinkeln eftersom tomten åker 1/4 varv längs ekvatorn.
Vinkelsumman blir alltså 270 grader och inte 180, som för plana trianglar.”

Vi har lärt oss på geometrilektionerna att alla trianglar har vinkelsumman 180 grader, men i den vanliga geometrin, när man talar om trianglar, så menar man plana trianglar medan den bana som tomten flög var en sfärisk triangel. Varje gång man ritar en triangel på marken, ritar man egentligen en sfärisk triangel, eftersom Jorden ju är ett klot. Men det är bara då det gäller väldigt stora trianglar eller då de är ganska stora och vi vill räkna med stor precision, som vi behöver tänka på att de inte är plana. Till exempel den sfäriska triangeln Stockholm-Göteborg-Malmö har vinkelsumman 180,045 grader eller 180° 2’ 40’’.

Annandag jul 2011
Leo