Lösning: Adventsproblem 19 december

Skapad: 2011-12-22. Ändrad: 2011-12-22  

Lösning: Adventsproblem 19 december



Hur mycket är 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10?
Hur mycket är summa av alla tal från 1 till 20?
Måste man addera alla dessa tal i tur och ordning eller finns det genvägar?


Så här tänkte Allan, Viking, Amanda och Ludvig i klass 3cd på Sjöstadsskolan:
(10+9+1)+(2+3+5)+(4+6)+(8+7)=20+10+10+15=55.
På andra frågan tänkte vi:11-20 är samma fast 10+ på varje tal och det blir 155.
155+55=210
Så, nej, vi behöver inte addera i ordning.

Vi på Lilla Trulsegården i 3:an vi har en lösning:
Vi använde 10-kompisarna och 20-kompisarna.
10-kompisarna 9+1 8+2 7+3 6+4 5, summan= 55
20-kompisarna 19+1 18+2 17+3 16+4 15+5 14+6 13+7 12+8 11+9 10, summan= 210

Philip skriver ”jag använde 10-kompisar och 30-kompisar” och han fick rätta svar. Jag gissar att han använde 10-kompisar för att beräkna summan från 1 till 9 och 30-kompisar för summan från 10 till 20.

David använder två metoder det första kan nog kallas elvakompisarna:
Summera störst-minst parvis: (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) = 11*5 = 55
Tag medelvärdet av det största och det minsta: (1+20)/2=10,5 * antalet tal: 20 = 210

När jag gick i skolan, så fick vi inte lära oss 10-kompisar, än mindre elvakompisar, men jag vill försöka:
(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)= 11*10= 110
Det blev för mycket därför att jag räknade varje tal två gånger, men då är det bara att dela med 2, 110/2= 55. Nu är det rätt. Man kan skriva 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= (1+10)*10/2= 55 eller allmänt:
Summan_av_alla_heltal_från_m_till_n = (m+n)*antalet/2

Jag testar det på 1 till 20. Det första talet är 1, det sista 20 och de alla är 20 till antalet. (1+20)*20/2= 210. Det stämmer!
Antalet heltal från (och med) m till (och med) n är n-m+1. Så vi kan skriva (n-m+1) i stället för ”antalet” i vår formel
Summan_av_alla_heltal_från_m_till_n = (m+n)*(n-m+1)/2.
T ex summan av alla årtal från 1523 till 2012 (med lite hjälp av miniräknare) blir
(1523+2012)*(2012-1523+1)/2=3535*490/2=866075.

Vera räknar med 11-kompisar och med 21-kompisar och skriver om formeln: n/2 * (n+1) för summan av alla tal från 1 till n, där n kan vara vilket (naturligt) tal som helst och att en sådan summa kallas ett triangeltal och att alla triangeltal finns i något som heter Pascals triangel.

Andra som skickade svar (eller diskuterade på Facebooken) var: Hilde B, Ann-Britt L, Fredrik L, Agnes B; klass 5c på Villanskolan och Wilma W.

Leo