Svar och lösningar, september 2011

Skapad: 2011-09-28. Ändrad: 2011-09-30  

Svar och lösningar, september 2011

Denna månad har vi fått lösningar från Milad Javadi i Solna. Dessutom från Gustav Andersson, Camilo Alas och Casper Åkesson i Villanskolan i Ängelholm samt klass 4b i Stora Högaskolan i Stenungsund genom Helena Rasmusson.





Svar: ABB
Arket är från början vänt så att det kan föras i ritmaskinen, A. Maskinen ritar en horisontell linje. Därefter använder vi vridmaskinen, B, för att vrida arket 90° och eftersom den bara vrider 45° i taget så måste den användas 2 gånger.

Vi vet egentligen inte vad maskin B gör. Vrider den medurs eller moturs, 45° eller 135° eller kanske flera varv och lite till? Det måste i alla fall vara en vridning på ett udda tal gånger 45°. Användning av vridningsmaskinen 2 gånger ger dubbelt så stor vridning, alltså samma udda tal gånger 90°.




Problemet har diskuterats bl a på The New York Times ”numberplay”-sida i juni i år och problemets ursprungliga konstruktör var hobbymatematikern Bob Harris.

Svar: 1. Ja. 2. Om antalet katter är udda från början så det kan sluta med en katt.

Naturligtvis får veterinären använda sin maskin flera gånger (inte alla tolkade det så).

1. Hon börjar med tre katter och en hund och låter 2 katter gå in vilket resulterar i en hund. Det finns ju även en hund och en katt kvar, så nu finns det två hundar och en katt. Sedan låter hon två hundar gå in vilket ger att det nu finns en hund och en katt. Sist när dessa 2 djur går in så resulterar det i en ensam katt.

Har kanske någon försökt göra på ett annat sätt? Då blev det också rätt. Det spelar faktiskt ingen roll i vilken ordning veterinären stoppar djuren i maskinen, om hon bara fortsätter tills ett ensamt djur finns kvar så blir det en katt. Prova!

2. Låt oss se hur antal katter förändras vid varje omvandling (vi blundar för antalet hundar). När två hundar eller en hund och en katt går in så förändras inte antalet katter (bara en hund försvinner). Om däremot två katter går in så minskar antal katter med 2. Alltså är antalet katter jämnt före en omvandling så förblir det jämnt efter, är det udda så förblir det udda efter varje omvandling. Alltså om veterinären startar med ett udda antal katter så slutar hon också med ett udda antal katter dvs. det sista djuret kvar är en katt; om veterinären startar med ett jämnt antal katter så slutar hon också ett jämnt antal katter dvs. noll katter (och en hund).
Nu vet vi allt om omvandling av hundar och katter… Men vänta!
”en hund och en hund ger en hund”
”en katt och en katt ger en hund”
”en hund och en katt ger en katt”
Har vi inte lärt oss något liknande en gång på matematiklektionerna?
”plus gånger plus är plus”
”minus gånger minus är plus”
”plus gånger minus är minus”
Det var multiplikation av tal! Även här när vi multiplicerar flera tal, positiva och negativa, så blir resultatet positivt om antalet negativa tal är jämnt, och negativt om antalet negativa tal är udda, och det spelar ingen roll i vilken ordning vi multiplicerar dem. Men det finns ett tal på tallinjen som varken är positivt eller negativt, det heter ”noll”. Vilket djur motsvarar det? Kanske en haj.

Vi utvecklar maskinen lite. Om en haj och en hund eller en katt stoppas in i maskinen så kommer en haj ut, även om 2 hajar stoppas in så kommer en haj ut. Nu behandlar maskinen djuren ungefär som gångerknappen i en räknedosa behandlar tal. Har man en eller flera hajar från början så blir alltid en haj det sista djuret, annars en hund eller en katt beroende på om antalet katter var jämnt eller udda från början.




Svar: E 2^6•3^6•5^4

Lösning:
Man börjar med talet 15 som kan skrivas 2^0•3^1•5^1
När talet multipliceras med 2, ökar exponenten vid 2 med 1,
när talet multipliceras med 3, ökar exponenten vid 3 med 1,
när talet höjs upp till 2, multipliceras alla exponenter med 2,
när talet höjs upp till 3, multipliceras alla exponenter med 3.

Exponenten vid 5 påverkas bara av de 2 sistnämnda operationerna, 5^6 kan bara erhållas genom en upphöjning till 2 och en upphöjning till 3 men då även exponenten vid 3 multipliceras med 6, så därför kan vi utesluta svarsalternativen A och D. De övriga kan erhållas från 15 med vår maskin men i B ser man att man har en gång använt operationen upphöjt till 2 (och aldrig upphöjt till 3) men då krävs det dessutom minst 4 multiplikationer med 2 och minst en med 3 dvs. minst 6 operationer sammanlagt. Omvänt i C, man har höjt upp till 3 och dessutom multiplicerat högst 3 gånger med 2, alltså inte fler än 4 operationer sammanlagt.

Bara svarsalternativet E kan erhållas med exakt 5 operationer: gånger 2, upphöjt till 2, gånger 2, gån
ger 3 och upphöjt till 2.

I problem 3 gäller det att kunna regler för potensräkning. Många gymnasieelever tycker att det är svårt men vi har fått rätt svar från tre tolvåringar med en intressant lösningsmetod. (Fast potensregler var lite fel.)

Här följer Gustavs, Caspers och Camilos lösning efter vår korrigering:
Vi pratade jättemycket med vår lärare först och sen kom vi fram till svaret själva.

Svaret var: E: 2^6 x 3^6 x 5^4.

Rätt lösning
Vi testar 2^6 x 3^6 x 5^4
vi tar bort ^2      det blir 2^(6/2) x 3^(6/2) x 5^(4/2) = 2^3x3^3x5^2
vi tar bort x3      det blir 2^3 x 3^(3-1) x 5^2 = 2^3 x 3^2 x 5^2
vi tar bort x2      det blir 2^2 x 3^2 x 5^2
vi tar bort ^2      det ger 2^1 x 3^1 x 5^1 = 2x3x5
vi tar bort x2      det ger 3 x 5 = 15!

Det vill säga att vi tog det baklänges. Och sen gjorde vi det från början och kollade så det stämde!
problemen ...
Array
lösningarna ...
Array
Innehåll: LR