Svar och lösningar, feb 2010

Skapad: 2010-02-26. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, feb 2010

Skicka in era lösningar!

Denna månad har vi fått inskickat svar från Carl Stenfelt, klass 4C, Kullaviksskolan.

Problem 1

Daniela har kubiska klossar. De är alla lika stora. Hon har lagt ner några av klossarna i en kubisk låda så som du ser på bilden. Hur många fler klossar kan hon få ner i sin låda?


Lösning
17.
Här finns många metoder. En sådan är att helt enkelt fylla på med kuber och hålla kvar bilden i tanken. Risken är att man kanske inte kan hålla bilden i huvudet när nya kuber tillförs. Har man tillgång till lämpligt laborativt material blir uppgiften istället alldeles för lätt, vilket är ganska intressant i sig.
Ett sätt att systematiskt behandla problemet är att skära av kuben på höjden så att vi får tre ”plan” med samma tjocklek som en liten kub. Vi ser då att i översta planet saknas 8 kuber, i nästa saknas 6 kuber och i bottenplanet saknas 3 kuber. Det får alltså plats 8+6+3 = 17 kuber till
Ett kanske enklare sätt är att beräkna hur många kuber som ligger i lådan: först 1, sedan 1+2, sedan 1+2+3, dvs det är 10 kuber i lådan. Eftersom det får plats 3x3x3 = 27 kuber i lådan, så kan man fylla på med 17 kuber. Denna metod är effektiv eftersom den kan användas för valfritt stora lådor och man kan hålla sig till enkel addition, och bortse från den tredimensionella figuren.




Problem 2

Lajka och hennes husse är på hunduppvisning. Från punkt A till punkt O går en rak bana. Den är 24 m lång. Lajka springer i snön från A till B. Sen springer hon vidare till C, D, E, F osv ända till punkten O. Tillsammans med banan bildar hennes spår kvadrater. Hur långt springer Lajka?


Lösning
72m.
Sträckan AO delas in i ett antal delsträckor. Eftersom hunden springer omvägar i kvadratform, så kan varje delsträcka ersättas av tre lika långa ”hundsträckor”. Lajka springer alltså tre gånger så långt, dvs 3x24 = 72 meter.



Problem 3

Två halvcirklar är uppritade i figuren. Kordan CD, som har längd 4, är parallell med den stora halvcirkelns diameter AB och tangerar den mindre halvcirkeln. Hur stor area har det skuggade området?


2Π.
Vid första titten kan det verka som om det saknas någon uppgift i problemet. Men om vi gör den stora halvcirkeln större så märker vi att också den mindre halvcirkeln måste göras större, eftersom CD behöver flyttas uppåt för att fortfarande vara 4 längdenheter. Kan det vara så att det finns ett samband mellan halvcirklarnas area så att det skuggade området har en konstant area oberoende av den större halvcirkelns storlek? Om vi kallar radierna R resp. r så gäller att arean A för det skuggade området är:
Kan vi ersätta parentesen med en konstant är problemet löst! Nu behöver vi dra lämpliga hjälplinjer, t.ex. ser vi att sträckan från AB:s mittpunkt till C är lika med R. Dessutom är sträckan från mittpunkten till CD:s mittpunkt lika med r. Ja, nu har vi en rätvinklig triangel! Pythagoras sats ger:
Den skuggade arean är alltså 2Π areaenheter.

problemen ...
Array
lösningarna ...
Array
Innehåll: UD