Lösning på adventsproblemet den 16 dec

Skapad: 2009-11-13. Ändrad: 2009-12-19  

Lösning på adventsproblemet den 16 dec



Genom att trycka på knappen U sju gånger kan man från vån 1 komma till vån 57. Om man då trycker fem gånger på knappen N kommer man ner till våning 2. Med samma följd av knappar kan man ta sig från vån 2 till 3, 3till 4 osv och slutligen 10 till 11 (till vån 11 åker man alltså via vån 66). Genom att trycka 4xU och sedan 3XN kan man ta sig från 2 till 1, 3 till 2, och slutligen 11 till 10. Vi kan konstatera att vi kan åka mellan godtyckliga våningar mellan 1 och 11.
Anta att vi befinner oss på våning k och vill komma upp till k+1. Låt oss skriva k=11xt+r samt k+1=8xm+s, där resttermen r är större än 0 men mindre än 12 medan resttermen s är större än 0 men mindre än 9. Genom att trycka txN kommer vi ner till våning r. Sedan kan vi genom att åka i hissen enligt proceduren beskriven i förra stycket nå våning r. Trycker vi då mxU kommer vi upp till våning k+1. Om vi skriver k=11xt+r samt k+1=8xn+u, r mellan 1 och 11 och u mellan 1 och 8 kan vi på liknande sätt beskriva färden från k tll k-1. Från detta följer att man kan åka mellan två godtyckliga våningar.

Man kan också bevisa det på följande sätt:
På grund av att 8 och 11 är relativt prima och 8+11<= 66 så kan man ta sig till vilken våning som helst.

Huset har v våningar och man kan åka med hissen u våningar upp eller n våningar ner.
Om u och n skulle t.ex. vara båda delbara med 3 så skulle man från våning 3 kunna åka bara till våningar som är delbara med 3.
Om u=8 och n=11 som är fallet men v=18 så från våning 11 kan man inte åka någonstans.
Man kan bevisa att om u och n är relativt prima och u+n<=v så kan man åka vart man vill.
Man kan använda satsen som säger att om vi har två relativt prima tal så varje heltal kan utryckas som heltalskombination av dessa två. Satsen ingår inte i skolans kurser men så gott som varje år förekommer ett enkelt specialfall av det i julkalendern, t.ex. nr 11 förra året.