Svar och lösningar, sep 2009

Skapad: 2009-09-28. Ändrad: 2011-04-07  

Svar och lösningar, sep 2009

Skicka in era lösningar!

Lösningar till månadens problem har skickats in av klass 4C på Kullaviksskolan, Linnea Kjellberg, Jonathan Carlsson och Enisa Sahman som går på Fridaskolan i Vänersborg, klass 7 samt på Fridaskolan. Tack alla!

Problem 1

Bettan tycker om att räkna ut siffersumman på sin digitala klocka. Till exempel, när klockan visar 21.17 får hon summan 11. Vilken är den största summa hon kan få?

Lösning
Siffersumma 24.
Den största summan får Bettan när både timtalet och minuttalet har störst siffersumma, dvs när klockan visar 19.59, siffersumma 24. När klockan är som mest, 23.59 är siffersumman endast 19.

Det som gör det här problemet lite lurigt är att timpositionerna hänger ihop för sig, liksom minutpositionerna för sig. Man bör även tänka på att tiden i timmar är maximalt 24 och för minuter maximalt 60. Vi har inte vårt vanliga positionssystem när vi anger tid! När det gäller timmar så kan man i och för sig maximera tiotalsdelen till 2, men då kan entalsdelen bara bli maximalt 4. Alltså är det bättre att sätta en 1:a på tiotalsdelen, ty då kan vi sätta en 9:a för entalsdelen och få en högre siffersumma. Liknande blir det för minutdelen. Bäst är det därför att bara sätta en 5:a för tiotalsdelen, ty då kan vi sätta en 9:a för entalsdelen. Högsta siffersumma får vi alltså för klockslaget 19.59.




Problem 2

Ta två av talen 1, 2, 3, 4 och 5 och lägg ihop dem. Hur många olika summor kan du få, om du gör det på alla möjliga sätt.

Lösning
7 st.
Skriv upp alla tänkbara summor och stryk de som är lika: 1 + 2 = 3; 1 + 3 = 4; 1 + 4 = 5; 1 + 5 = 6; 2 + 5 = 7; 3 + 5 = 8; 4 + 5 = 9

Ett snabbare sätt är att bestämma den maximala respektive minimala summan. Den maximala är 4+5 = 9 och den minimala är 1+2=3 . Differensen 9-3 ger 6, men börjar vi räkna från 9 och nedåt till och med 3 får vi 7. Lätt att tänka fel här(!). Vi måste alltså skriva (9-3) +1 som början till vår formel.
Räknar vi med en serie från 1 till n får vi analogt:
största summan (n-1) + n = 2n -1 respektive minsta summan 1+2=3.
Om serien har n termer får vi (2n - 1 - 3) + 1 = 2n - 3 olika summor.Testa gärna formeln med några exempel!




Problem 3

Rita ut fyra sträckor på ett papper och räkna antalet skärningspunkter. Vilket högsta antal är det möjligt att få?

Lösning
6 st.
För att få största antal skärningspunkter: Börja med två sträckor som skär varandra. Den tredje måste skära båda för att få maximalt antal. Det finns då tre skärningspunkter. Den fjärde sträckan måste skära alla tre och det största antalet skärningspunkter är sex. Här visar vi Enita Sahmans lösning på problemet. Visa lösning...

Vi ser att två sträckor ger en skärningspunkt. Den tredje sträckan ger maximalt två till, ytterligare en maximalt 3 till osv. Den fjärde sträckan kan bara skära de tre tidigare, så det sista talet i serien är 1 mindre än antalet sträckor Dvs 1 + 2 + 3 = 6 skärningspunkter i detta fall.

Om vi då tänker oss att vi har n sträckor så blir det bara (n-1) nya punkter då vi lägger ut sista sträckan. 1+2+3+4+...(n-1) = (n-1)(n-1 +1)/2 = n(n-1)/2 . Formeln kommer sig av att summan av första och sista termen är (n-1)+1 och samma summa blir det för andra och näst sista osv. Eftersom det finns (n-1) termer, så finns det (n-1)/2 sådana summor där alla har summan (n-1)+1 = n. Testa gärna med fler stickor för att se om verkligheten stämmer med logiken ovan!

problemen ...
Array
lösningarna ...
Array
Innehåll: UD