Elevers tolkning av algebra

Skapad: 2008-04-09. Ändrad: 2011-04-12  

Elevers tolkning av algebra

Svara på inlägget...


Svar från Thomas Ålander:

Ja, i svensk skola anses ju dessutom numera även noll (0) ett naturligt tal, vilket inte var fallet förr. Hur det är vid universiteten vet jag inte - det var så länge sedan.

Att tolka en formel, exempelvis den som originalfrågan resonerade kring, innebär ju att vi låter matematiken användas i ett praktiskt fall och då får vi nog lära oss leva med att hanteringen av faktorerna inte är så konsekvent alla gånger. Det blir en konst i sig att hålla koll på de olika termerna och faktorerna och deras storheter och enheter; fysikaliska beräkningar är väl praktexempel på detta. (Jag är dock inte säker på att det är den matematiska hanteringen i detta avseende som är problemet med fysiken på gymnasiet.)
y = 20 - 2x som matematiskt uttryck är ju dimensionslöst, medan med verklighetstillämpningen ju tilldelar enheter till alla delarna, även tvåan, och det krävs ju fantasi och/eller fingerfärdighet att lösa ut tvåan så att dess enhet cm/h framgår. Det är naturligtvis en träningssak att lära sig tolka uttryck korrekt, men det är ju mycket annat också.
(Sje-ljudets stavning i svenskan lär väl för en normalmänniska vara än nmer inkonsekvent; men språkhistorikern förstår den. Och engelskans stavning/uttal.... .)


Svar från Leif Önneflod:

Se där – en person som anar att matematik är mer än bara didaktik! Nog tyckte jag (i min oskuld?) att jag agnade kroken med ett fett bete, men det har bara blivit lite intresserat nafsande – tills nu. Äntligen har en TEORETIKER vaknat till och nappat.

Alldeles riktigt, Arne, det här berör gruppteori, abstrakt algebra o.dyl. Det jag har försökt sätta fingret på, är diskrepansen mellan teori och praktik. (Jag gav ett exempel med multiplikation.) Den teoretiska beskrivning av matematiken, som förmedlas av dagens didaktik har alltmer fjärmat sig från matematikens egen beskrivning av sig själv. (Detta beskrivs underhållande av prof. em. Hung-Hsi Wu, Berkeley University i artikeln ”’Order of operations and other oddities in school mathematics”. Se http://math.berkeley.edu/~wu/.) Detta är helt naturligt – ”teorin” är alldeles för svår och abstrakt. Löfwall ger två exempel på det:
1) Att ”− 2” i uttrycket ”20 − 2x” ska tolkas som en riktningskoefficient (i det som rätteligen kallas en ”lineär ekvation”, inte ”linjär funktion”, vilket Arne påpekar) är milt sagt avancerat. Barnen får ju lära sig prioriteringsregler som säger att 20 − 2x = 20 − (2•x). Vägen till 20 + (−2)•x är alltför lång.
2) Att vi vid manipulation av uttryck går in i en ”ren matematisk värld”.

Att man måste lämna det konkreta tänkandet vid symbolmanipulation är en grundföreställning, som stöds av flera namnkunniga personer, i dagens didaktiska paradigm. Det paradigmet tycks för övrigt säga, att alla problem i undervisningen ska lösas med didaktik. Denna har lösning sin begränsning i att det kan vara svårt att besätta alla lärartjänster med engagerade och skickliga lärare på den nivå som kan krävas. Att tiotusentals lärare skulle se jobbet som ett kall, är att begära för mycket.

Det hör också till naturen hos ett paradigm, att man följer det. Sålunda betonar Häggström att ”det är viktigt att elever kan följa de konventioner som finns”. Men om nu detta inte går – därför att vi själva bryter mot dem? Hur följer man inkonsekventa konventioner? Regelverket är dessutom så omfattande, att vi skulle behöva ”regler för hur vi ska följa reglerna”, vilket kunskapsteoretiker har visat är en omöjlighet att ta fram.

Ålander och Häggström tar upp tolkningen ”multiplikation = upprepad addition”. Jag kan väl inflika att multiplikation helt definieras av att distributiva lagen (D.L.) samt associativa lagen gäller. Vi har: 3 • 5 = (1 + 1 + 1) • 5 = 1 • 5 + 1 • 5 + 1 • 5 = 5 + 5 + 5, men även 3 • 5 = (1,5 + 1,5) • 5 = 1,5 • 5 + 1,5 • 5 = 7,5 + 7,5, som också är en ”upprepad addition”. Att additionen ”upprepas” är alltså en FÖLJD av en särtillämpning av D.L, inte en definition av multiplikation.

(I grundskolematematik skulle D.L. kunna tolkas, utnyttjande ”relationen mätetal–enhet”.
Ex: (3 + 2) fot = 3 fot + 2 fot = 3 • (12 tum) + 2 • (12 tum) = (3 + 2) • (12 tum), där vi har en multiplikation med en enhet, precis som Arne föreslår. Observera, att denna beskrivning INTE förutsätter heltal någonstans. Man kan också notera att enheten spelar rollen av en multiplikand.)

Med D.L. kan för övrigt ALLA teckenlagar visas. (Man kan helt undvika krystade hänvisningar till att kommutativa lagen m å s t e gälla, annars …)

Grundproblemet är att alldeles för mycket matematik handlar om uppövad intuition (med bistånd av didaktik). Dessutom har vi (i de delar som f.a. berör grundskolan) en teoribildning som strikt begränsar sig till symbolmanipulation för beräkning av numeriska värden. Följaktligen har man utmönstrat begrepp som blir överflödiga i en sådan teori, t.ex. ”innehållsdivision”, ”likadelning”, multiplikand och multiplikator. (”Delningsdivision” är en lika lustig tautologi som ”minsknings¬subtraktion”, här används G Malmers term.) Det är begrepp som underlättar förståelse för matematikens struktur. Genom att sträva efter STÖRSTA MÖJLIGA ABSTRAKTION har man skjutit sig själv i foten. Det blir inte förenligt med att största möjliga antal elever ska lära sig förstå matematik.

Thomas åsikt, angående ¼ • ⅔ överlåter jag till Kilborn att kommentera.

Arnes tankar om multiplikation mellan mätetal och enheter, samt om att olika enhetskombinationer motsvarar olika algebraiska strukturer är intressanta. Det är helt rätt, Arne, vardagsmatematiken är inte trivial.

Något som är hämmande för kreativitet är ”consensus-ångest”. Det lider inte jag av. Behovet av ”en klapp på huvudet” är minimalt. Angrepp på åsikter ≠ angrepp på person. Eller hur?

Jag ser fram mot fler ”napp”.

Och glöm inte: Didaktik är dörren in till matematikens värld – teorin dess innehåll.


Svar från Arne Söderqvist:

I gymnasiets fysikkurs brukar man säga att man ”multiplicerar enheterna med varandra om man multiplicerar antalen med varandra ” och att man ”dividerar enheterna med varandra om man dividerar antalen med varandra”. I fallet med ljuset var det fråga om x h och 2 cm/h. Därmed får 2x enheten cm.

Tar jag exemplet 7 m så finns inget officiellt ”räknesätt” mellan 7 och enheten m. Man kan dock betrakta det som att det är fråga om en binär operation och kalla den ”multiplikation”, fast då i generaliserad mening. Man kunde även säga att ”mängden av reella tal verkar på mängden av enheter”. Mängden av enheter kan anses ha olika algebraiska strukturer; ”multiplicerar man” tex. (här har multiplikationen ännu en generaliserad betydelse, inom mängden av enheter) enheter med varandra får man en grupp. Neutralt element är vinkelmåttet radian(!) som kan anses vara detsamma som m/m, cm/cm eller tom kg/kg, om man så ville. Det går bra att anlägga även andra algebraiska synpunkter på hela denna problematik.

En slutsats är i alla fall att ”vardagsmatematik” inte är trivial, utan att även vardagliga fenomen kan kräva en hel del matematik för att beskrivas.

En annan synpunkt är att funktionen y=kx+m faktiskt inte är en linjär funktion, vilket däremot funktionen y=kx är, enligt gängse definition. Att man har en egen definition i skolan ställer till problem när gymnasister börjar påbörjar akademiska studier.

Arne Söderqvist


Svar från Thomas Ålander:

Ett problem som Stefan L nämner är övergången från konkret till abstrakt. Det är stor skillnad på att lösa ett problem som "Två likadana pizzor kostar 80 kronor tillsammans. Hur mycket kostar de var?" jämfört med formuleringen "Lös ekvationen 2x = 80". Det är väl där en skillnad mellan matte A och matte B går om inte annat.

Vad gäller multiplikation som upprepad addition så fungerar det ju bra med heltal i åtminstone ena faktorn, men för multiplikation av bråk fungerar det sämre. 1/4 * 2/3 fungerar knappast som addition. Men det är väl heller inte någon grundläggande viktig operation för flertalet elever.

Thomas Ålander


Svar från Johan Häggström:

Det grundläggande problemet är att många elever tolkar multiplikation (endast) som upprepad addition där de två faktorerna har olika roller; ab blir då a st b:n, b+b+b+b+ ...

Som jag ser det är det viktigt att man som lärare är uppmärksam på detta. Det är lätt att (i många sammanhang) ta etablerade konventioner (t ex om hur man formulerar uttryck) för givna utan att diskutera dessa med eleverna. Jag menar att man inte bör skriva t ex 2x utan kommentar eller motivering, när en tolkning utifrån "multiplikation som upprepad addition" skulle ge x2.

Det är naturligtvis viktigt att elever kan följa de konventioner som finns, men vi bör inte införa dem utan diskussion.
mvh
Johan Häggström


Svar från Stefan Löfwall:

Hej Leif!

Det var en intressant fråga att fundera på. Hur lätt det är att tolka uttrycket beror kanske på när eleverna får den här uppgiften. I gymnasiets kurs A kanske? Uppgiftens syfte är antagligen att man ska träna på att känna igen ett linjärt samband och kunna tolka vad de olika delarna talar om i det här exemplet. För att kunna göra det behöver man tillräckliga förkunskaper. Man kan ju tänka sig lättare linjära samband än det här – och några sådana lättare bör man nog ha stött på och analyserat tidigare. Då har man nog också använt funktionens graf som hjälp vid analysen.

Att ursprungslängden är 20 cm är lättast att klara av. – 2, i y = 20 – 2x, är riktningskoefficienten för linjen. I ett tillämpat exempel tycker jag att man ska uttrycka riktningskoefficienten med enhet. Då förstår man bättre vad den säger oss. Riktningskoefficienten är alltså – 2 cm/h och den talar om för oss hur snabbt längden förändras: Den minskar alltså med 2 cm/h.
Hittills har jag inte svarat på din fråga. Men, jag menar att tanken är att man ska tolka formeln utan att skriva om den. Då stämmer enheterna: y är 20 cm minus 2 cm/h gånger x h. Men - är det inte OK att skriva om 2x som x + x? Jo – fast så fort man börjar skriva om det ursprungliga uttrycket lämnar man den praktiska anknytningen och tolkningsmöjligheten. Man har så att säga kört in uttrycket i den rena matematiska världen och där kan man manipulera med det som man vill för att utföra beräkningar bara man följer de matematiska spelreglerna.

Andra exempel: 24% av 120 kr = 24 x 1,20 kr. Rent matematiskt kan man skriva: 0,24 x 120 kr, men nu har man svårare att förklara den konkreta anknytningen. (Men, att använda det senare skrivsättet har andra fördelar). En gammal undersökning jag har läst om handlade om att i en uppgift hade många problem med att beräkna 1,20/0,60 (”man ska flytta decimaltecknen, men åt vilket håll…”), men de flesta kunde säga hur många 60-öres frimärken man kunde köpa för 1,20 kr. Visst, den situationen motsvarar vår kvot. När vi beräknar kvoten förlänger vi med 10 eller 100 och får t ex 120/60. Var har nu frimärkena tagit vägen? De är borta. Vi tog in uttrycket i den rena matematiska världen och manipulerade med det. Då försvann anknytningen.

Hälsningar
Stefan Löfwall


Inlägg från Leif Önneflod:

I algebran så förväntas eleverna tolka uttrycken. Det är inte alltid så lätt. Ett problem är att de resonemang vi för runt tolkningar av uttryck, inte hänger ihop. Tag som exempel att vi adderar 5 timmar med 5 timmar. Detta skrivs då enligt alla regler som 5 + 5 h = 2·5 h = 10 h. Om antalet timmar betecknas med x, så är x + x h = 2·x h = 2x h. Sedan kan eleven i en lärobok träffa på följande problem:

"Längden y i cm på ett ljus efter x timmars brinntid beskrivs av formeln y = 20 - 2x. Tolka formeln!"

Eleven förväntas inse att ursprungslängden är 20 cm och att ljuset blir 2 cm kortare för varje timme det brinner. Men "2x" är ju en fördubbling av antalet timmar! Följden blir att om x = 5 h, så får vi att y är 20 cm - 10 h. Det kan inte vara så lätt att förstå för en elev!

Jodå, JAG vet att multiplikation är kommutativ och att uttryck bara står för dimensionslösa tal, utan annan tolkning än sitt värde. Men nu var ju problemet, att eleven skulle TOLKA alla komponenter i uttrycket. Om nu 2x = x + x, så finns ingen möjlighet, att tolka det som att enheten är cm!

För att överhuvudtaget kunna diskutera saken får man använda de gamla (men lite "luddiga") uttrycken multiplikator och multiplikand. Vi lär i princip eleverna att tolka koefficienten framför x som en multiplikator. I vårt exempel är den uppenbarligen en multiplikand, och det är "x" som är multiplikatorn. Att börja reda ut alla turer kring hur man EGENTLIGEN ska resonera runt detta leder lätt ut på "bottenlös kvicksand" i en klassrumssituation. Vårt problem är att den teoribildning vi har för matematik faktiskt hanterar uttryck inkonsekvent och bara för de mest elementära uttrycken kan vi lätt förstå hur enheter och storheter integreras med de uttryck vi skriver. För uttryck med storheten "sträcka" o.d. för x, så blir koefficienten naturligt en multiplikator. Övergår vi till x med storheten tid, blir i stället x den självklara multiplikatorn. I teorin placerar vi en multiplikator främst i en produkt. I praktiken placerar vi den lite hur som helst.

Att lära sig tolka uttrycken rätt under dessa förutsättningar kan vara ett problem. Det kräver både träning och fallenhet att klara. Man kan lösa problemet genom att skapa goda och stimulerande övningsbetingelser för all träning. Den tar tid. Man kan också lösa problemet genom att skapa vettiga teoretiska förutsättningar. Det sparar tid.

Leif Önneflod


Bäste läsare!
Vi tar gärna emot fler insändare!
Svara på inlägget...
 

Innehåll: UD