Sammanfattningar 4/2006

Skapad: 2007-01-31. Ändrad: 2007-01-31  

Sammanfattningar 4/2006

Jürgen Eckhoff
Combinatorial properties of f-vectors of convex polytypes
En konvex polytop kan definieras som det konvexa höljet av en ändlig mängd punkter i R^d. Dess f-vektor är den vektor som består av polytopens kanter i varje dimension 0, 1, 2, …d-1. An f-vektor (eller en följd i allmänhet) kallas unimodal om den först är växande och sedan avtagande. Denna artikel ger en överblick av frågan huruvida f-vektorer för polytoper i olika klasser är unimodala eller ej och några nya exempel på polytyper med icke unimodala f-vektorer konstrueras.

Marius Overholdt
Numeriske løsningsmetoder i variasjonsregning
Artikeln ger en översikt av några numeriska metoder för att hitta approximativa lösningar på problem inom varitationsteorin. Eulers och Ritz metoder illustreras med att hitta den funktion (med f(0)=f(1)=1) som ger minimal yta när det roteras runt x-axeln. Galerkins metod, differensmetoden och skjutmetoden diskuteras också översiktligt.

Ulf Persson
Eulertalet
Eulertalet för ett rum definieras ofta som den alternerande summan av Bettitalen eller ekvivalent som den alternerande summan av antal simplex av en given dimension. Problemet är dock att detta kräver att rummet ges en explicit triangulering. Om man verkligen vil räkna ut Eulertalet är det mycket mer effektivt (och upplysande) att ta en mer funktoriell väg, nämligen att observera att Eulertalet uppför sig som ett kardinaltal med den skillnaden att vi fritt kan mixa dimensioner. I artikeln illustreras detta med en mängd exempel, kompakta realla ytor, projektiva ytor, Grassmanytor, kurvor och hyperytor. Vi visar också hur man kan relatera Eulertalet till typerna av singulariteter på ett vektorfält och hur man kan visa Gauss-Bonnets formel som relaterar integralen av Gausskrökningen till ytans Eulertal.