Lösning på adventsproblemet den 22 dec

Skapad: 2006-12-26. Ändrad: 2009-01-14  

Lösning på adventsproblemet den 22 dec



Låt S vara summan av siffrorna i tomtens ålder. Multiplicerar man den med sig själv så får man tomtens ålder.

Vi undersöker för vilka S det är möjligt:
S = 0    0*0=0 siffersumman av 0 är 0, stämmer!
S = 1    1*1=1 siffersumman av talet1 är 1, stämmer!
S = 2    2*2=4 siffersumman av talet 4 är 4, ej 2!
S = 3    3*3=9 siffersumman av talet 9 är 9, ej 3!
S = 4    4*4=16 siffersumman av talet 16 är 7, ej 4!
S = 5    5*5=25 siffersumman av talet 25 är 7, ej 5!
S = 6    6*6=36 siffersumman av talet 36 är 9, ej 6!
S = 7    7*7=49 siffersumman av talet 49 är 13, ej 7!
S = 8    8*8= 64 siffersumman av talet 64 är 10, ej 8!
S = 9    9*9=81 siffersumman av talet 81 är 9, stämmer!
S = 10    10*10=100, siffersumman av talet 100 är 1, ej 10!

Bland talen 0 till 10 har vi hittat tre som har en egenskap som krävs för att kunna vara siffersumman i tomtens ålder: 0,1 och 9. Tomten är nog 81 år - en mycket lämplig ålder för en jultomte. Tomtenissarna däremot kanske är 0 resp 1 år.

Fortsätter man testa på samma sätt för S=11, 12 osv. så hittar man inte fler S som passar. Jultomten är alltså 81 år gammal.


En inskickad lösning ser ut så här:

Antag att tomtens ålder är tvåsiffrig: T=A*10+B där A och B är heltal mellan 0 och 9.

T= (A+B)^2 = A*10+B

Lös ekvationen map A:
A = -B +/- sqrt(25 - 9*B) + 5

Endast heltalslösningar efterfrågas varför B inte kan vara 3 eller större (då blir roten imaginär).

Pröva:
B = 0 ger A= 0 +/- 5 + 5 (endast noll är giltig lösning)
B = 1 ger A= -1 +/-4 + 5 = 0 alternativt 8
B = 2 ger ingen heltalslösning

Tomten kan alltså vara nyfödd, ett år eller 81 år gammal (och åldern 81 år den enda rimliga om han skall kunna
ställa frågan om det finns några snälla barn).
Eventuella lösningar för från 100 år och uppåt är ej beaktade.