Lösning på adventsproblemet den 21 dec

Skapad: 2006-12-25. Ändrad: 2008-12-23  

Lösning på adventsproblemet den 21 dec



För den som kan regler för delbarhet med 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, och 10 blir uppgiften ungefär som att lösa en sudoku.

∠ Tionde siffran måste vara 0 eftersom hela talet är delbart med 10.
∠ Siffran i position 5 måste vara 5 (inte 0 därför att en nolla finns redan i position 10)

Talet bildat av de första 9 siffrorna (som är siffrorna 1 till 9) blir delbart med 9 oavsett i vilken ordning dessa siffror kommer (ty siffersumman är 45).

Vi delar sifferraden i fyra intervall: 1 till 3, 4 till 6, 7 till 9 och en ensam nolla i position 10. Siffersumman i varje intervall måste vara delbar med 3. (Kom ihåg att differensen av två tal delbara med 3 är också delbar med 3.)

Siffrorna i positioner med jämna nummer: 2,4,6 och 8 måste vara jämna, alltså 2, 4, 6 eller 8. I udda positioner: 1, 3. 7 och 9 får de siffror som blev över stå, alltså just 1, 3, 7 och 9. Men nu när det ska stå udda siffror i positionerna 3 och 7, så måste siffrorna i positionerna 4 och 8 vara 2 eller 6 (p.g.a. delbarhet med 4) och därför får siffrorna 4 och 8 stå i positionerna 2 och 6 (ännu i okänd ordning).

Följande rad sammanfattar vad vi nu vet om det sökta talet:

:(1379)(48)(1379):(26)5(48):(1379)(26)(1379):0

Så ser det sökta talet ut. Flera siffror inom parantes betecknar flera möjliga siffror i en position och kolon skiljer åt intervall där siffersumman ska vara delbar med 3.

Andra intervallet (positionerna 4 till 6) :(26)5(48): är nästan klar. Det kan bara vara 258 eller 654 om siffersumman ska vara delbar med 3.

Talet bildat av de 8 första siffrorna är delbart med 8. Alltså är talet bildat av siffrorna i positionerna 6 till 8 delbart med 8 och nu när siffran i position 6 är jämn måste siffrorna i positionerna 7 och 8 bilda ett tal delbart med 8.

Låt oss titta närmare på det tredje intervallet (positionerna 7 till 9) :(1379)(26)(1379):
De första två siffrorna i intervallet ska bilda ett tal delbart med 8. Bara följande tvåsiffriga tal är möjliga 16,32,72 och 96 och när alla 3 ska bilda ett tal delbart med 3 så bara följande är möjliga: 321, 327, 723, 729 eller 963.

Matchar vi andra och tredje intervallet så att siffrorna 2 och 6 förekommer bara en gång så blir det följande möjliga 6-sifferskombinationer i positioner 4 till 9: 654321, 654327, 654723, 654729 eller 258963.

Det hela sökta tiosiffriga talet måste passa in i ett av de 5 följande mönster:
(79)8(79)6543:210
(19)8(19)6543:270
(19)8(19)6547:230
(13)8(13)6547:290
(17)4(17)2589:630
där siffror inom parenteser står för flera möjliga siffror i en position medan kolon skiljer åt de första 7 siffror från de sista 3, eftersom det är delbarhet med 7 som ska ge utslag i det sista testet.

För varje av de 5 mönster finns 2 tiosiffriga tal som passar in, tio sammanlagt. Ett av de tio uppfyller också villkoret att talet bildat av dem 7 första siffrorna är delbart med 7, Det är 3816547290.