Lösning på adventsproblemet den 5 dec

Skapad: 2006-12-09. Ändrad: 2008-12-11  

Lösning på adventsproblemet den 5 dec



Bengt har förberett en fruktkorg åt sina gäster. Eftersom han har räknat med att eventuellt 6 gäster skulle komma har han lagt minst 6 frukter i korgen. Naturligtvis får varje gäst välja vilken frukt han/hon vill ta. Att gästerna måste bland 4 frukter ta två av samma sort måste bero på att det inte finns fler än 3 sorters frukter i korgen. Bland de 5 frukter som de tar ur korgen måste minst två vara av olika sorter. Det måste bero på att det inte finns fler än 4 frukter av samma sort i korgen.

I korgen ligger alltså minst 6 frukter av inte fler än 3 sorter och inte fler än 4 av någon sort. Om vi betecknar antal frukter med A av den sort som det finns flest frukter av, antal frukter av den sort som det finns minst frukter av med C och antal frukter i mellansorten med B så kan vi sammanfatta det med följande olikheter:
4 ≥ A ≥ B ≥ C ≥ 0 och A + B + C ≥ 6 där A, B och C är heltal.

Vi vet inte än hur många sorters frukt det ligger i korgen men om det är färre än 3 sorter så får C (och kanske B) vara lika med noll.
Om gästerna tar 6 frukter blir det olika sorters frukt kvar i korgen (alltså minst 2 olika)
A + B + C – 6 ≥ 2

Men den senaste upplysningen säger egentligen mera, för om gästerna först tar frukter av C-sorten, sen B-sorten och lämnar A-sorten sist, blir det ändå olika sorters frukt kvar och då måste alla frukter av sorten A vara bland dem:
A + B + C – 6 ≥ 1 + A alltså B + C ≥ 7

Detta i kombination med den allra första olikheten 4 ≥ A ≥ B ≥ C ≥ 0 ger A = 4, B = 4 och C är antingen 3 eller 4 (kom ihåg att A, B och C är heltal).
Antalet frukter i korgen A + B +C är antingen 11 eller 12.

Den sista upplysningen i texten lyder: ”det behöver inte bli så om de tar 7” dvs. gästerna kan ta 7 frukter och låta de som lämnas kvar vara alla av samma sort, alltså inte fler än 4 för det finns inte fler än 4 frukter av samma sort i korgen:
A + B + C – 7≤4 och därmed A + B + C ≤ 11
Svaret är: Det ligger 11 frukter i korgen.


Vi har fått in flera svar men ingen med lösning.