Frågor och svar …

NCM får då och då frågor från lärare och andra som besöker vår webbplats/känner till vår verksamhet. Vi publicerar här ett urval av frågorna och svaren. Allteftersom vi får nya frågor uppdateras spalten.


  • Fråga: Vi är några kollegor som tvistar hur man uttalar olika bråktal. Kan ni hjälpa oss? Hur uttalar man följande bråktal?

    8/21 – åtta tjugoendelar, åtta tjugoförstedelar eller åtta tjugoförstadelar?
    13/41 – trettioen fyrtioandradelar, trettioen fyrtiotvådelar eller trettioen fyrtiotvåondelar?

    Svar: Jag vet inte riktigt vad språkkonventionerna säger, men från en didaktisk synpunkt menar jag att det är bäst att säga åtta tjugoendelar eftersom det på det tydligast möjliga låter höra talet tjugoett. Man skulle rent av kunna säga åtta tjugoettdelar, eller i alla fall låta de som vill säga så.

    I själva verket är den gängse bråkbenämningskonventionen lite olycklig, dvs att man tex säger tredje-del. Tredje är ju termen för ordningstalet medan tredjedel snarare har att göra med en uppdelning i tre stycken delar, dvs har att göra med antalet tre. Men detta kan vi knappast göra mycket åt.

    En annan sak som jag alltid tar chansen att påpeka när den erbjuds. Bråktal, liksom decimaltal, är termer man aldrig bör använda. Ibland slinter även min tunga, men det är viktigt att hålla isär vad som är talområden, som t ex rationella tal eller reella tal, och vad som är representationsformer som t ex 1/4 eller 0.25. 0.25 och 1/4 är samma (rationella) tal (som även är ett reellt tal eftersom de reella tallen innehåller de rationella). 1/4 är dock skrivet (representerat) på bråkform och 0.25 på decimalform. Pi/6 är också skrivet på bråkform, men är inget rationellt tal.

    En anekdot: När jag var lite lyssnade jag på Dan Hylander. Det fanns en låt som hette 21/3. Tjugoen tredjedelar. Jag tyckte det var ett skumt namn, särskilt när jag hade insett att 21/3 = 7. Inte förrän decennier senare när jag återigen hörde låten och lyssnade på texten insåg jag att 21/3 representerade vårens första dag, tjugoförsta mars, i Hylanders lyrik.

    Ola Helenius


  • Fråga: När jag googlar på projektet Mathematics in the city så hittar jag inte så mycket mer än att NCM var inblandade för några år sedan (2014), men nu känns det ganska tyst?
    Om man är sugen på att ta upp det arbetet på skolan igen, hur går man tillväga då? Finns det rapporter eller liknande från erat håll på ämnet som man kan läsa?

    Svar: Idag finns en hel del att läsa på svenska. Jag känner inte till vem som arbetar med det i skolorna, men jag kan hjälpa dig på traven med en del att läsa.

    Tidigare arbetade jag i lärarutbildningen och där bildade vi en grupp som arbetade med vad vi kallade ROMB (Reflekterande Och Matematiserande Barn). Vi genomförde ett tvåårigt projekt där vi testade en hel del av Mathematics in the Citys saker i svensk kontext. Vi skrev ett antal Nämnaren artiklar om arbetet, se länkar längst ner. De personer som arbetade med ROMB var förutom mig även Britt Holmberg, Christina Skodras och Susanne Frisk. Om du vill kontakta någon som fortfarande har kurser med dessa inslag i lärarutbildningen föreslår jag att du kontaktar Christina Skodras christina.skodras@gu.se

    En fortsättning på ROMB blev ett kursutvecklingsprojekt där vi försökte omsätta en del av de idéer vi fått oss till dels genom MitC. Detta projekt resulterade i en hel del nya inslag i våra kurser i lärarutbildningen och en bok med titel Matematiska samtal i klassrummet – vägar till elevers lärande. https://www.liber.se/produkt/matematiska-samtal-i-klassrummet-23528

    Under denna tid har vi också översatt en hel del material från MitC som nu finns på svenska och i viss mån anpassat till svensk skola.
    Dessa böcker är utgivna av Studentlitteratur i en serie som kallas Unga matematiker i arbete. https://www.studentlitteratur.se/sok/?query=Unga+matematiker+i+arbete Där finns tre huvudböcker som behandlar undervisning i åk F-6 (främst taluppfattning och aritmetik och lite algebra). Dessutom finns två temaområden med direkt lektionsplaneringar översatta: T-shirtfabriken och Organisera och inventera

    Eftersom jag är ganska inspirerad av MitC själv har jag låtit en hel del av deras idéer komma med i de texter jag skrivit för skolverkets moduler. Vi håller på med en revidering av modulerna för Taluppfattning och tals användning. Texterna för åk 1-3 finns tillgängliga, övriga kommer till vårterminen 2022. https://larportalen.skolverket.se/#/modul/1-matematik/Grundskola/410a-Taluppfattning-och-tals-anvandning-f-3 Du hittar till exempel en text som tar upp lärandelandskapet redan i del 1: https://larportalen.skolverket.se/LarportalenAPI/api-v2/document/path/larportalen/material/inriktningar/1-matematik/Grundskola/410a-Taluppfattning-och-tals-anvandning-f-3/del_01/Material/Flik/Del_01_MomentA/Artiklar/T_F-3_01A_02_att_se.docx I flera av de andra delarna återkommer andra delar, exempelvis serier sammanlänkade uppgifter, så kallade ”strings”, och användning av modeller såsom tallinjen och rektanglar i undervisningen.

    Jag hoppas att detta kan inspirera dig att arbeta vidare. Om du hittar några kollegor att arbeta tillsammans med skulle jag rekommendera ett ni tillsammans börjar med att läsa den första huvudboken.

    Nämnarenartiklar:
    http://ncm.gu.se/wp-content/uploads/2020/07/1319_16_2.pdf
    http://ncm.gu.se/wp-content/uploads/2020/07/0812_16_4.pdf
    http://ncm.gu.se/wp-content/uploads/2020/07/0914_16_3.pdf
    http://ncm.gu.se/wp-content/uploads/2020/07/1317_18_1.pdf
    http://ncm.gu.se/wp-content/uploads/2020/07/1414_19_2.pdf
    http://ncm.gu.se/wp-content/uploads/2021/03/3541_19_4.pdf
    http://ncm.gu.se/wp-content/uploads/2021/03/0712_20_1.pdf

    Cecilia Kilhamn


  • Fråga: Heter det hur stor är omkretsen eller hur lång är omkretsen?

    Svar: En omkrets är en längd (hos en sluten kurva, som t ex en cirkel eller rektangel). När man tänker på omkretsen som en längd (vilket är bra att man gör) så är det naturligt att säga att omkretsen är lång.

    En längd anges dock med ett tal. När man pratar om tals storlek säger man aldrig lång. Däremot används ofta termen stor – ett stort tal. När man säger ”en stor omkrets” kan man dessutom mena att t ex den geometriska figuren som man refererar till är stor, på ett rent intuitivt plan. Så att säga en stor omkrets har så att säga en dubbelt relevant referens, till det underliggande geometriska objektet som man vill mäta omkretsen av, samt till talet som anger omkretsen.

    Sammanfattningsvis skulle jag rekommendera att växelvis använda både stor och lång. Det är bra att använda stor i samband med att man poängterar själva kvantifieringen, dvs att omkretsen är ett tal. Det är bra att använda lång för anknyta till den geometriska aspekten: att det faktiskt är längden av en kurva som är det vi mäter.

    Ola Helenius


  • Fråga: Vi diskuterar i vår lärargrupp vad som är det korrekta att säga:
    – Börja med det lägsta talet?
    – Börja med det minsta talet?

    Svar: Jag skulle vilja säga att båda uttrycken är korrekta. Tal är abstrakta men används ju för att beskriva olika saker och därför skapas vad vi kallar olika metaforer för tal.
    När vi pratar om antal känns det naturligt att prata om små tal och stora tal för att vi tänker på små mängder och stora mängder.
    När vi pratar om mätetal är det mer naturligt att prata om låga tal och höga tal eftersom vi kanske tänker på en skala där ett lågt värde är litet och ett högt är stort.
    Tal kan därför både vara låga/höga och små/stora.
    När man kommer in på negativa tal blir det ibland komplicerat med begreppen små och stora eftersom exempelvis -8 är mindre än -2 samtidigt som det är lätt hänt att det beskrivs som ett ”större negativt tal” eftersom absolutbeloppet är större (8>2). Då kan det vara mer begripligt att säga ett -8 är ett lägre tal än -2.

    Det kan ju vara bra att hålla sig inom samma metafor vid samma tillfälle så att man inte ställer det lägsta värdet mot det största eller det minsta mot det högsta utan håller sig till jämförelsen:
    lägsta/högsta eller minsta/största.

    Cecilia Kilhamn


  • Fråga: Vi är några på vår skola som har börjat en utbildning i Singaporemodellen, även kallad blockmodellen. Nu är vi intresserade av vad ni på NCM har för uppfattning kring detta problemlösningsmaterial?

    Svar: Jag kan inte tala för NCM som helhet men som jag ser det är Singaporemodellen helt klart intressant. Blockmodellen är bara en del och för att den ska komma till sin rätt krävs det nog att öve de mer sociala oh organisatoriska aspekterna av undervisningen följer det som rekommenderas i modellen.

    Det som man konkret kan säga om blockmodellen är att den erbjuder ett sätt att via konkret material eller ikoniska bilder som kombinerar del-del-helhetsbegreppet med grupperngsbegreppet (multiplikation skapar ett sätt att systematiskt tas sig fram till lösningen på vissa klasser av problem genom att representera problemet sm en strukturerad bild – själva blocken.

    I princip fungerar det här bra för alla problem som kombinerar additioner (el subtraktioner) och multiplikationer (eller divisioner) på ganska enkel nivå, och så vitt jag vet är problemen i materielet valda för att modellen ska funka, liksom.

    Det kan alltså vara bra att vara medveten om att det senare i elevernas liv dyker upp problem som inte sä enkelt låter sig beskrivas med blockmodellen. Blockmodellen kan alltså inte i längden ses som en problemlösningsmodell, utan snarare som ett sätt att öva upp elevernas förståelse för additiva och multiplikativa resonemang. Jag är lite oklar över i vilken utsträckning Singaporrmaterialet stödjer detta tankeskifte. Men typiska läroböcker stödjer inte heller ett sådant skifte särskilt bra. Oavsett bok/material är det en bra idé att se till att stimulera eleverna till at resonera både additivt och multiplikativt bådemed och utan hjälp av specifika modeller.

    Ola Helenius


  • Fråga: Min fundering: I Tyskland (och även i andra länder) läses decimaltalet 3,14 som ”tre komma ett fyra” och inte som ”tre komma fjorton” som här i Sverige. Enligt min uppfattning så underlättar sättet jag lärde mig förståelsen för positionerna, t.ex. om man vill jämföra 3,7 med 3,14. Forskningen och erfarenheten visar att många elever i Sverige uppfattar att tre komma fjorton är större än tre komma sju (eftersom 14 > 7). Jag läste också om förslaget att läsa decimaltal med tiondelar och hundradelar, som 3,14 är tre och 1 tiondel och 4 hundradelar. Visserligen underlättar det förståelsen, men samtidigt är det rätt krångligt att läsa och jämföra decimaltal.

    Jag hittade inget ställningstagande över att läsa decimaltal som jag lärde mig i Tyskland så jag är nyfiken på er åsikt. Kan eller bör man läsa decimaltal som 3,14 som tre komma ett fyra?

    Svar: Det är en intressant fråga du lyfter. Man ser ofta varningar för att säga exempelvis ”tre komma fjorton”, och med all rätt. Precis som du skriver är det en väldokumenterad missuppfattning som kan uppstå. I ett första inlärningsskede föreslås därför att man, som du också påpekar, säger ”tre hela, en tiondel och fyra hundradelar” för att betona vad det är för talsorter man har. Detta blir krångligt att fortsätta med och då finns det två vägar att gå. Antingen att uttala varje siffra för sig: ”tre komma ett fyra”, eller att sätta samman decimalerna och uttala dem som en klump: ”tre komma fjorton”.

    I Sverige är vi inte konsekventa. Fråga en som har lärt sig många decimaler på pi så kommer du att se att hen tar en siffra i taget. Ingen skulle utläsa 3,14592 som ”tre komma fjortontusenfemhundranittiotvå”. Nej, så fort det blir mer än tre decimaler skulle jag nog vilja säga att vi, även i Sverige, uttalar varje siffra för sig. Ett intressant fenomen är också att vi har en tendens att gruppera siffrorna två och två. Många skulle utläsa 3,1415 som ”tre komma fjorton femton”. Vad det beror på vet jag inte, men det är samma fenomen som med telefonnummer, där de flesta säger siffrorna parvis.
    Är det två decimaler (och ibland tre) utläser vi dem alltså ofta ihop eller parvis.

    Nu gissar jag bara, men jag tror att det finns en förklaring till varför vi gör så. I Sverige är matematiken av tradition ett tillämpat ämne. Fokus i läroplanen är mer på användning av matematik än på matematik som abstrakt vetenskap. Även i högre utbildning syns denna tendens. Vid Göteborgs universitet är institutionen för matematiska vetenskaper ett samarbete med Chalmers tekniska högskola. Matematik, som på antikens tid var ett filosofiskt ämne, betraktas här som ett tekniskt ämne. Vad spelar det för roll då?
    Jo, i alla tillämpningar representerar tal ofta mätvärden, där vi vanligtvis växlar till en mindre enhet när det blir mindre än en hel.
    Exempelvis är 3,14 meter detsamma som 3 meter och 14 centimeter. 3,14 kronor är 3 kronor och 14 öre.
    Jag skulle kunna tänka mig att det är den här användning av decimaltal som ligger bakom att det känns mer naturligt att säga som vi gör.

    En annan förklaring kan manhitta om man tittar i gamla skolböcker där decimaltal infördes som decimalbråk. I en bok från 1916 hittar jag exempelvis många uppgifter av den här typen:
    Teckna med användning av decimalkomma:
    45 tiondelar
    63 hundradelar
    875 hundradelar
    55 tusendelar
    4 367 tusendelar
    Jag tror att det är viktigt att man vet vad det är för sorts tal man har att räkna med och att man kan omvandla mellan talsorter.
    0,14 kan utläsas som ”en tiondel och fyra hundradelar” eller som ”fjorton hundradelar”. Vill man säga hur många tusendelar det är blir det 0,140 det vill säga ”etthundrafyrtio tusendelar.” I det sammanhanget är det rimligt att säga att det är ”noll komma fjorton hela”.

    Efter denna långa utläggning kommer jag fram till att det inte finns ”ett rätt sätt” att säga decimaler på utan att det beror på situationen hur vi gör. En bra ingång i undervisningen är därför att be eleverna uttrycka samma tal på olika sätt. När det handlar om enhetslösa tal, som exempelvis pi, skulle jag själv föredra att säga ”tre komma ett fyra”. Har jag många decimaler skulle jag absolut göra det.

    Cecilia Kilhamn


  • Fråga: Vi arbetar med Tänka resonera och räkna i förskoleklass. Och vi tycker väldig mycket om den boken. Men vi saknar en arbetsbok som hör till denna bok. Är det någon som kan göra en sådan bok tro.

    Svar: Vad roligt att ni använder Tänka, resonera och räkna i förskoleklass (TRR). Vi har inga planer på att också göra en övningsbok. Vi vet att det finns andra material för förskolan som bygger på att barnen också arbetar i övningsböcker. Men TRR-modellen bygger inte alls på ett sådant arbetssätt.

    Den undervisning som finns beskriven i TRR provades ut i många steg med olika barn och deras lärare. Det är en i hög grad kollektiv undervisning som styrs av läraren genom de olika faser som beskrivs i boken för varje Tema. När vi provade ut den här undervisningen så fick vi mycket goda resultat. För att det ska fungera är det dock viktigt att man genomför allt som står i boken, dvs alla olika faser för varje område och alla olika områden. Om man gör det så tar det ganska mycket tid och för de flesta fyller det upp den mesta av tiden både varje dag/vecka och över läsåret som helhet. Vi tror egentligen inte att mer övningsräkning skulle hjälpa ytterligare.

    Däremot vet jag av erfarenhet att en del förskoleklasslärare kombinerar TRR med träningsprogrammet Vektor (för surfplatta). Jag var med och designade Vektor. Så om ni har surfplattor så kan det vara en bra idé. Det bästa skulle då vara att köra TRR på hösten och sedan TRR kombinerat med Vektor på våren. Det finns också några extra TRR-cykler som är till för att köras ihop med Vektor.

    Hoppas att detta hjälper dig vidare.

    Ola Helenius


  • Fråga: Vi är några lärare som sitter och utvärderar elevernas resultat av testerna Förstå och använda tal. Vi märker att våra elever succesivt från åk 7 till åk 9 blir sämre och sämre på den sista delen som handlar om skriftliga beräkningar av de fyra räknesätten.

    Vi vet att eleverna tränar mycket uppställning i åk 4 – 6 medan vi i åk 7 – 9 oftast låter våra elever använda miniräknare vid liknande beräkningar.

    Vi dumförklarar kanske oss själva nu 🙂 men borde vi låta eleverna fortsätta träna uppställningar? På vilket sätt ökar det elevernas taluppfattning? Alltså varför har ni valt att ha med dem i testet? Det vi ser av elevernas svar är att de försöker komma ihåg metoderna för de fyra räknesätten, men lyckas inte. Kikar man på gamla nationella prov åk 6 så ser man att de också lägger stor vikt vid att eleverna ska kunna just metoderna för uppställning. Vad är det vi missar som ni ser?
    Vi är medvetna om att eleverna i Förstå och använda tal inte måste använda uppställningar, men det är trots allt det som de försöker göra eftersom det är så viktigt på mellanstadiet.

    Svar: Era frågor är rätt djupa, faktisk och berör flera av de komplexiteter som är associerade med skolmatematiken och dess undervisning och lärande. Jag ska försöka dela upp frågan i vissa delfrågor och besvara dem var för sig.

    1. Behöver elever kunna utföra beräkningar med de fyra räknesätten för hand?
    Den här frågan kan man se från två håll. Dels kan man försöka kolla vad kursplanen säger. Där nämns för 7-9 hududräkning och skriftlig beräkning. Visserligen specificeras tal i bråk- eller decimalform, men här tycker jag att det i decimalform också är rimligt att inkludera (flersiffriga) heltal. Redan för 4-6 nämns ju också explicit metoder för beräkningar (med de fyra räknesätten) med naturliga tal och det vore orimligt att anta att eleverna inte längre ska kunna detta.

    Men en delvis annan fråga är varför det testas i Förstå & använda tal (FAT) som ju inte i första hand är framtagen för att testa det som våra kursplaner specificerar utan det som rent allmänt är viktiga kunskaper inom den grundläggande aritmetiken. Men även här är helt enkelt slutsatsen att vissa matematiska egenskaper som utnyttjas vid beräkningar faktiskt är så viktiga att de bör vara med. Om man analyserar uppgifterna i testerna 7, 8 och 9 (de sista i varje test) som detta gäller så ser man att alla faktiskt går att hantera med kunskap om positionssystemet och vissa andra saker som t ex distributiva lagen. Talen i uppgifterna är valda så att sådana resonemang ska fungera. Naturligtvis kan man även lösa dem med standardalgoritmer (och då räcker det att man kan algoritmerna) men det är inte nödvändigt, exakt som ni själva redan har observerat.

    2. Varför blir era elever sämre?
    Även detta har ni ju i princip redan svarat på själva, så jag ska bara bena ut det lite till. De blir sämre för att ni inte undervisar dem i de kunskaper som man behöver för att med säkerhet hantera de uppgifter det gäller. De får inte stöd i att underhålla och befästa de kunskaper de har, eftersom de istället för använda räknare. Då är det självklart att de kommer att bli sämre. Det är en missuppfattning att man kommer ihåg saker om man en gång har lärt sig det ordentligt, så även många av de som en gång var säkra på den här sortens uppgifter (lösta med uppställningar eller på anat sätt) kommer helt enkelt att glömma.

    3. Så hur ska ni göra då?
    Om man accepterar punkt 1 (och 2) så blir slutsatsen att ni är behöver undervisa om lösning av den här sortens beräkningsuppgifter. Man kan välja att fortsätta att undervisa om uppställningarna eller fokusera på andra metoder eller båda och. Jag tror personligen inte alls att det räcker att låte eleverna träna. De som kommer till er med bra kunskaper i detta kanske klarar att upprätthålla dem om de får träna på det ibland, men det kommer inte att hjälpa de andra. Det måste (som vanligt) till specifik undervisning.

    Mitt förslag skulle vara att då och då ha specifika pass om detta och dela upp dem i två kategorier. För algoritmerna skulle jag (lite kontroversiellt kanske) fokusera på att kunna utföra dem snabbt och helt utan fel. Inte genom att träna på massor med exempel utan genom att specifikt träna på ”inställningen”, dvs arbeta med metakognitiva strategier för hur man ska tänka när man väljer att ställa upp och utföra en uppställning. Det här tror jag ska utföras i helklass kombinerat med smarta gruppindelningar där Ala jobbar med samma uppgift och där fokus är ”hur kan jag lösa denna med en uppställning och vara HELT säjer på att jag gör rätt”. Den här undervisningen bör rimligen inkludera att gå igenom de vanligaste feltyperna för varje uppställning. Om man undantar elever som överhuvudtaget har svårt att följa och tillgodogöra sig undervisningen (kan vara olika skäl) så finns det enligt den kunskap jag har (efter at ha läst forskning om matematiksvårigheter) huvudsaken en kategori som kan ha svårt att bli säker på uppställningar och det har med vissa svagheter i den visuospatiella precisionen att göra. Det är helt enkelt svårt att skriva rätt saker på rätt ställen. Men även för dessa tor jag att det hjälper med den metakognitiva strategi som jag stakade ut ovan.

    Den andra kategorin handlar om att undervisa ”själva talupfattningen”, dvs förbereda för att kunna lösa den typ av beräkningar den handlar om genom resonemang. I praktiken handlar det då om två saker. Dels positionssystemet, dvs hur man bryter isär saker i tiotal och ental etc. För addition och subtraktion är det här huvudsakligen det enda. Positionssystemets operationella egenskaper, kan man säga. För övrigt är standarduppställningarna för addition och subtraktion i praktiken direkt a tillämpningar av positionssystemet. Det är alltså en meningsull taluppfatningsuppgift att analysera varför algoritmerna funkar. För multiplikation och division tillkommer också distributiva lagen. Det är den som gör att man kan beräkna 5*23 som 5*20+5*3 och 35*23 som 30*20+30*3+20*5+5*3. Multiplikationsalgoritmen är en tillämpning av detta, men inte bara. Den är mycket mer intrikat och i min mening är det inte särskilt meningsfullt att analysera den. Det är bättre på att fokusera direkt på tillämpning av distributiva lagen, möjligen med hjälp av areamodeller som stöd (se bild). Ett själv till det är att distributiva lagen är oerhört viktig även när man arbetar med algebra, så ju bättre man är på att resonera med den, desto enklare får man det med algebran framöver. I denna andan kan man alltså med fördel koppla ihop undervisningen om resonemangsbaserade lösningsmetoder för flersiffriga multiplikationsupgifter med undervisningen i algebra om distributiva lagen och dess tillämpningar.

    Som en liten extra utvikning:
    Distributiva lagen är i sig en elementär observation som man får ut följande bild (bilaga, gröna rutorna). Dessa två rektanglar (när de sitter ihop) är 5*8 och när de är isärklippta 5*3+5*5. Man kan göra så för att 8=3+5. Om vi vll kunna skriva 8 gånger 3+5 utan missförstod måste vi införa parenteserna, lite som att vi ringar in 3+5 för att markera att det ännu ska betraktas som en sak som ska multipliceras med 5. När väl denna notation är införd har vi direkt 5*(3+5)=5*3+5*5. Och rent allmänt om vi ska betrakta a*m kan vi för varje tänkbar uppdelning additiv av m som m=b+c på samma sätt få a(b+c)=ab+ac.

    Tillämpat på när man delar upp i tiotal och ental 23=20+3 har man sedan en grafisk illustration av den konceptuella modellen för hu distributiva lagen och positionssystemet tillsammans ger oss sätt att beräkna multiplikationer flersiffriga tal (bifogad fil 2) och sedan kan man utvidga detta till när man delar upp båda faktorerna (fil 3) osv. Detta känner ni säkert till, men även om sånt här ibland undervisas bra redan på lågstadiet, så måste man också påminna om det, dvs undervisa om det, även på högstadiet om det ska eleverna ska kunna rycka fram minnena av det vid behov.




    Ola Helenius


NCM:s och Nämnarens webbplats