Nämnaren på nätet

 
 

| Innehåll |

 

Till artikeln Att knyta forskning till praktik – huvudräkning och taluppfattning av Ann Heirdsfield finns här en referenslista »»»
I artikeln beskrivs bland annat användning av hundrarutor, som du kan hämta på Matematikpapper »»»

 
Begreppskartor är kraftfulla verktyg skriver Barbro Grevholm i sin artikel. De begreppskartor som visas i artikeln är ritade med det fritt tillgängliga programmet Cmap som du finner på cmap.ihmc.us »»» Rekommenderas!

 
Till Cecilia Kilhamns artikel finns tallinjer för utskrift på Matematikpapper »»»

 
Uppslaget Position – vad innebär det? finns även som en Strävornaaktivitet. Se 5C Var är den? »»»

 
Alan Schoenfelds artikel Summativ bedömning och formativ klassrumspraktik kompletteras här med referenslista »»»

 
Tommy Lucassis artikel En formativ dialog med elever kompletteras med frågor som han använder i sitt arbete med att göra elever uppmärksamma på sina egna kunskaper. Se frågorna »»»

 
Sagt & gjort i detta nummer handlar om Socrative som gör det möjligt att sätta upp ett elevresponssystem med hjälp av elevernas telefoner eller lärplattor. Läs om två lärares erfarenheter:
Sagt & gjort »»»
Länk till Socrative »»»

 
Om du behöver hjälp med Geogebra i anslutning till Hall & Lingefjärds artikel Differentialekvationer och komplexa tal med GeoGebra kan du få det här »»»

 
Länk till den webbresurs som Karlsson & Yushmanova skriver om: www.visuellmatematik.se »»»

 
Ekvationer är ett kraftfullt redskap för problemlösning och helt nödvändigt att behärska för den som tänker ägna sig åt algebra. Bengt Ulin ger här en historisk utblick och ett antal trevliga problem. Ekvationer – ett kapitel i skolalgebran »»»
 


Nya matematikpapper
Talkort 10–1000 »»»
Hundraruta 99-0 »»»
Hundraruta 100-1 »»»

 
Uppslaget
Position »»»

 

Facebook
Nämnaren finns nu även på facebook. Välkommen att besöka oss där »»»

 

Innehåll: AW

Nämnaren nr 4, 2006

Nämnaren nr 4, 2006  
 

Svar och lösningar, januari 2008

Skicka in era lösningar!

Den här månaden har vi fått lösningar från 6 elever på Nygårdsskolan i Billdal samt från Erik Olofsson på Domsjöskolan i Örnsköldsvik. Eleverna har svarat på samtliga uppgifter! Tack för alla fina svar!

Problem 1

Josef bor vid en gata där husen är numrerade från 1 till 24. Varje hus har en brevlåda med husets nummer på. Hur många tvåor finns det på brevlådorna längs Josefs gata?

Lösning
Husnummer som innehåller siffran två är: 2, 12, 20, 21, 22, 23 och 24, dvs 8 tvåor.




Problem 2

Ett bi rör sig genom kupans celler enligt en bestämd regel. Till vilken cell, A–E, flyttar sig biet härnäst?




Lösning
B. Biets väg upprepas efter 5 celler. När det passerat 13 celler och rör sig in i den 14:e är det detsamma som att gå in i cell nr 4.




Problem 3

Motsatta sidor på en tärning har alltid 7 ögon tillsammans. En tärning rullas så som figuren visar. I startläget har den tre ögon uppåt. Hur många ögon kommer upp i slutläget?




Lösning
I nästa läge har den fyra ögon upp. Motsatt sida mot två ögon har fem som kommer upp därefter. Sedan blir det tre och därefter 1, 4 och till sist 6.


problemen ...
Array
lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

Kompletteringar till Nämnaren nr 2

Nämnaren nr 3, 2008
 

Här finner du extramaterial knutna till Nämnaren nr 2, 2009.

I samband med artikeln Interaktiva skrivtavlor – en möjlighet till ökad lust och lärande i matematik? finns här en attitydundersökning gjord i klassen.
Ladda ner undersökningen ...

Precis som till tidigare artiklar av Thomas Lingefjärd om användningen av Geogebra så finns konstruktionerna i artikeln Geogebra i gymnasieskolan på nätet ...

Till Bengt Ulins Spegling i plan geometri finns uppgifter knutna till artikeln.
Ladda ner uppgifter ...

Omslagsbilden: Radiolarier

Nämnaren nr 3, 2009
 

Länkar kopplade till omslagsbilden:
Haeckels radiolarier


Omslagsbilden: Radiolarier

Radiolarier är encelliga djur som producerar intrikata mineralskelett. De lever som plankton i stort sett överallt i världshaven. Mineralskeletten har inslag av trianglar, kvadrater, pentagoner och hexagoner och uppvisar ofta radiell symmetri. Omslagsbilden är en teckning av Ernst Haeckel, och ingår i rapporten från Challengerexpeditionen 1872–1876. HMS Challenger färdades runt världshaven, besökte samtliga kontinenter inklusive Antarktis och besättningen upptäckte inte mindre än 4717 för mänskligheten helt nya arter, då en av naturvetenskapens allra största bedrifter. Många av dessa arter togs upp till skeppet med en djuphavstrål som bärgade prover från upp till 3600 meters djup. E xpeditionens befälhavare dog av utmattning innan skeppet
återvänt till sin hemmahamn.

Ernst Haeckel, en av 1800-talets främsta biologer, var elev till Charles Darwin och hans böcker sålde i stora upplagor, mångfalt fler än Darwins egna. Haeckel anses vara den som först framlade begreppen den felande länken och ekologi.
Litteratur
Richards, R .J. (2008). The Tragic Sense of Life: Ernst Haeckel and the struggle over evolutionary thought.
University of Chicago Press.
Ulin, B. (2007). Matematisk design i naturen. Telleby förlag.

Advent 2012


Under tiden 1–24 december kommer vi varje dag att lägga ut dagens adventsproblem. Alla problem finns även samlade så att de enkelt kan laddas ner, alla på en gång. Här finns också lösningar till problemen. Vi publicerar dem med några dagars fördröjning så att vi inte lockar er till att leta upp svaret direkt.

Adventsproblem


Adventsproblemen 2012, (pdf) ...
Adventsproblemen 2012, (.doc) ...
Lösningar


 

Innehåll: LR

Advent 2013


Under tiden 1–24 december kommer vi varje dag att lägga ut dagens adventsproblem. Alla problem finns även samlade så att de enkelt kan laddas ner, alla på en gång. Här finns också lösningar till problemen. Vi publicerar dem med några dagars fördröjning så att vi inte lockar er till att leta upp svaret direkt.

Skicka gärna in dina lösningar »»»

Adventsproblem


Ladda ner alla adventsproblemen 2013, (.doc) ...
Lösningar


 

Innehåll: LR

Adventskalendern 2008, tryckfel

Nämnaren nr 4, 2008
 

Tryckfel
Det har smugit sig in ett fel i årets adventskalender. Lucka 23 skall innehålla följande text:

Hur många cirklar med diametern 5 cm kan du rita inuti en cirkel med diametern 15 cm om cirklarna får tangera men inte korsa varandra?

Alltså, alla nämnda mått är diametrar!

Adventslösning 1 december 2013



Tomten har tio paket. Han lägger blyertspennor i några paket, tuschpennor i några och i några lägger han både blyertspennor och tuschpennor. När tomtemor kommer in i tomteverkstan ser hon att det är blyertspennor i fem paket, tuschpennor i fyra och både blyerts- och tuschpennor i två.
    Hur många tomma paket fanns det?

Svar: 3 paket är tomma.
Om det är blyerts i fem paket, och två med både blyerts och tusch, innebär det att det finns tre paket som bara innehåller blyerts.
Om det är tusch i fyra paket, och som ovan två med både tusch och blyerts, så är det två paket med bara tusch i.
Det vill säga, det finns 3+2+2 paket med pennor i och 3 paket utan.


Adventslösning 10 december 2013


Från början hade Adam 9 kulor, och ingen annan hade några. Adam gav tre kulor till Benny och tre till David. Sedan gav Benny en kula till David och till sist gav Benny och David hälften av de kulor som de hade till Adam.
    Hur många kulor hade de tre tillsammans på slutet?

Svar: 9 kulor.

Från början hade de tillsammans 9 kulor. Ingen ny kula kom till och ingen försvann, de gick bara runt mellan dessa tre pojkar. Därför på slutet var de fortfarande 9.


Adventslösning 11 december 2013


Tomten har 12 renar. Några renar är 9 år gamla och några är 11 år. Tillsammans är renarna 122 år. Hur många är 9 år och hur många är 11?



Svar: Fem är nio år gamla och sju elva år gamla.

Om alla renar skulle vara nio år, så skulle de tillsammans vara 9*12 år = 108 år.
Men nu är de 14 år mer tillsammans, det betyder att det finns sju renar bland dem som är två år äldre, alltså elva år. De övriga fem är fortfarande nio år.


Adventslösning 12 december 2013


Tomtemor har fyra olika stora påsar. Hon brukar ta med sig en eller två av dem när hon går och handlar. När hon fyller den eller de påsar som hon har med sig, rymmer de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 eller 11 liter. Hur mycket rymmer alla fyra påsarna tillsammans?



Svar: 14 liter.

Tomtemor väljer påsarna på 10 olika sätt: fyra sätt att välja en påse och sex sätt att välja två påsar. Om vi kallar de fyra påsarna för A, B, C och D så tar hon någon av följande kombinationer: A, B, C, D, A+B, A+C, A+D, B+C, B+D eller C+D. Tio kombinationer ger tio olika volymer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 eller 11 liter. Det betyder att varje kombination ger en annan volym.
Hur mycket rymmer alla fyra påsarna tillsammans? Vi visar två sätt att resonera och räkna:
1: De två största påsarna tillsammans ger den största volymen 11 liter och de två minsta var för sig ger de två minsta volymerna 1 och 2 liter. Men de två största och de två minsta av fyra är ju alla fyra och dess sammanlagda volym är 11+1+2= 14 liter.
2: I tomtemors alla möjliga kombinationer: A, B, C, D, A+B, A+C, A+D, B+C, B+D och C+D, förekommer var och en av bokstäverna A, B, C och D fyra gånger, så om vi lägger samman 1+2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+11 och får 56, så har vi räknat varje påses volym 4 gånger, alltså summa av påsarnas volymer är 56/4= 14.


Adventslösning 13 december 2013


Lucia dekorerade 20 cupcakes att ta med till julfesten. Hon ställde upp dem i en rad och glaserade varannan. Sedan strödde hon strössel på var tredje. Till sist satte hon en skumtomte på var fjärde. Det fanns ingenting på den första kakan. Hur många andra kakor hade ingen dekoration? Fick några kakor alla de tre dekorationerna?



Svar: Sju fick ingen dekoration alls, en fick alla.

Man kan se det på Veras bild:


Adventslösning 14 december 2013


Fyra glaskulor och tre pappersstjärnor väger 63 gram. Tre glaskulor och två pappersstjärnor väger 46 gram. Alla glaskulor väger lika mycket och alla pappersstjärnor väger lika mycket. Hur mycket väger två glaskulor och en pappersstjärna?



Svar: 29 gram.

"För att lösa uppgiften måste vi ta reda på hur mycket en kula och en stjärna väger." Skriver Sebbe i lilla gruppen Gylle. Ja, det är en bra metod och flera gjorde så, men här kommer ett annat sätt:
Fyra glaskulor och tre pappersstjärnor väger 63 g.
Tre glaskulor (dvs. en färre) och två pappersstjärnor (också en färre) väger 46 g (17 g mindre).
Tar man bort en glaskula och en pappersstjärna igen, så minskar också vikten med 17 g igen.
Två glaskulor (3-1) och en pappersstjärna (2-1) väger 29 g (46 g-17 g).


Adventslösning 15 december 2013


Ett tåg har fem vagnar med lika många platser i varje. I första vagnen finns 20 passagerare, i den andra finns 10 lediga platser, i den tredje 15 lediga platser. I den fjärde finns fler passagerare än i den första men färre än i den andra medan i den femte finns det fler lediga platser än i den första men färre än i den tredje. Vilket av följande kan INTE vara det totala antalet passagerare på tåget?



Svar: 100.

Vi undersöker hur många platser en vagn har.
I den fjärde vagnen finns fler passagerare än i den första men färre än i den andra. Då har den fler lediga platser än den andra. Alltså i den fjärde vagnen finns fler än 20 passagerare och fler än 10 lediga platser, sammanlagt minst 21+11= 32 platser.
I den femte vagnen finns det fler lediga platser än i den första men färre än i den tredje. Då har den färre passagerare än den första. Alltså i den femte vagnen finns färre än 20 passagerare och färre än 15 lediga platser, inte mera än 19+14= 33 platser sammanlagt.
Men vi vet att det finns lika många platser i varje vagn, alltså antingen 32 i varje eller 33 i varje.
Vet man detta antal och kopplar det samman med den givna informationen om varje vagn, så kan man dra slutsatser om antalet passagerare i vagnen.
Vi undersöker fallet 32 platser och fallet 33 platser och det vi kan då säga om antalet passagerare i varje vagn för sig och totalt skriver vi i följande tabell:

Det totala antalet blir aldrig 100.

Vera har en annan lösning.
Vera börjar med att rangordna vagnarna med avseende på antal passagerare.
Jag kallar tågvagnarna A, B, C, D och E.

Eftersom antalet platser i alla vagnar är lika står så vagn C har fem mindre passagerare än vagn B.
15-10=5
Eftersom vagn C kan ha högst 18 passagerare kan vagn B som högst ha (18+5=23) 23 passagerare.

Om vagn B har 22 passagerare har vagn C (22-5=17) 17 passagerare.

Antal passagerare på tåget kan vara:
20+23+18+21+19=101
20+23+18+22+19=102
20+22+17+21+18=98
20+22+17+21+19=99


Adventslösning 16 december 2013


Ett kvadratiskt papper viks på mitten. Då bildas en rektangel med omkretsen 18 cm. Vilken omkrets hade den ursprungliga kvadraten?



Svar: 24 cm.

När en kvadrat halveras får man en rektangel med två sidor som är lika långa som kvadratens sidor och två hälften så långa. Rektangelns omkrets är två hela sidor och två halvor, alltså tre kvadratsidor sammanlagt. Vi vet att den är 18 cm, alltså är kvadratens sida 6 cm och kvadratens omkrets är 24 cm.


Adventslösning 17 december 2013


Vilket tvåsiffrigt tal är lika med talets dubbla sifferprodukt?



Svar: 36.

Ett sätt skulle vara att undersöka samtliga tal från 10 till 99 men vi gör på ett annat sätt:
Vi betecknar tiotalsiffran med t och entalssiffran med e.
Varken t eller e får vara 0 eftersom då skulle 2*t*e vara 0 och det är inget tvåsiffrigt tal.
10*t+e= 2*t*e
10*t = (2*t-1)*e
Vänsterledet är delbart med 5, alltså även högerledet är det, alltså någon av faktorer 2*t-1 eller e är delbar med 5, alltså 2*t-1= 5 eller 15 (det är ett udda tal) eller e= 5. Vi undersöker dessa tre möjligheter.
2*t-1= 5, t= 3, 10*3= 5*e, e=6, 36= 2*3*6 stämmer.
2*t-1=15, t=8, 10*8= 15*e, men 80 är inte delbart med 15
e=5, 10*t= (2*t-1)*5 ger 2*t= 2*t-1 en motsägelse.
Den enda möjligheten som stämmer är den första som ger att det sökta talet var 36.


Adventslösning 18 december 2013


Ett av tre tomtebarn hade tjuvsmakat på gröten. När tomtefar frågade vem av dem det var svarade de:
 Lisa: Inte jag.
 Lena: Det var Lisa.
 Lotta: Lena ljuger.
Bara en av dem talar sanning, och de andra ljuger. Vem var det som åt av gröten?



Svar: Lisa.

Om Lisa hade tjuvsmakat på gröten, så är det bara Lena som säger sanning, så det kan stämma.
Om Lena hade tjuvsmakat på gröten, så hade både Lisa och Lotta talat sanning, men det är omöjligt, de är ju två. Samma sak gäller om Lotta hade tjuvsmakat på gröten. Alltså måste det vara Lisa.


Adventslösning 19 december 2013


Vilket tal ska stå i stället för X?

1 2 3 4
2 3 7 25
3 7 46 1143
4 25 1143 X



Svar: 1306403.

Talen i första raden är kolumnnummer. Talen i första kolumnen är radnummer. De övriga är lika med talet närmast ovan gånger talet närmast till vänster minus talet snett upp och till vänster.
Linus Boyer och Rebecka Hylander, tredje året på Naturprogrammet på Nyköpings Gymnasium har arbetat med tabellen i Excel och utvecklat den vidare både i riktning framåt/neråt och bakåt/uppåt. Det skulle vara intressant att göra likadant med andra startvärden (i rad 1 och kolumn 1). Helst ska man undvika startvärde 0.


Adventslösning 2 december 2013



Findus står i en kö. Framför honom står det 6 katter och bakom honom står det 9 katter.
Hur många står i kön?

Svar: 16 katter
I kön står det 9 katter + Findus + 6 katter = 16 katter.


Adventslösning 20 december 2013


Lasse, Lisa och Bosse ska fotograferas när de sitter på kökssoffan.
A) Lasse vill inte sitta ytterst. På vilka olika sätt kan barnen placeras?
B) Lasse ändrar sig och kan också tänka sig att sitta ytterst. Vilka möjligheter finns då?
C) Sen kommer Olle på besök och det blir dags för ett nytt fotografi. Hur många olika sätt finns det nu att placera barnen?



Svar: A: 2, B: 6, C:24.

A: När Lasse sitter i mitten kan han ha Lisa på sin vänstra sida och Bosse på sin högra eller tvärtom. Det finns alltså två sätt.

B: Det finns två sätt när Lasse sitter i mitten och lika många när Lisa sitter i mitten och lika många när Bosse sitter i mitten, alltså 3*2= 6 sätt.

C: Här kan man tänka på tre sätt:
1. Vi vet att Lasse, Lisa och Bosse kan placeras på 6 sätt. Varje sådan placering kan göras till fyra när Olle kom. Olle kan nämligen då placeras på fyra sätt: till vänster om alla andra, till höger om alla andra, mellan de men till vänster om det mittersta barnet eller till höger om det mittersta barnet. När vi hade sex sätt och varje blev fyra så har vi nu 6*4= 24 sätt.
2. Vi väljer först vem som ska sitta längst till vänster, de övriga tre placerar vi till höger om den första. Man vet att tre barn kan placeras i rad på sex sätt, så det blir 4*6= 24 sätt.
3. Det tredje sättet att tänka är att inte tänka alls. Om man har lärt sig kombinatorik, så vet man att fyra barn kan placeras i en rad på 4! sätt och 4! betyder 1*2*3*4.


Adventslösning 21 december 2013


Ocke är dubbelt så gammal som Nutta. Nutta är dubbelt så gammal som Pillerill, som är 9 år yngre än Ocke. Hur gammal är Nutta?



Svar: Sex år.

Ocke är fyra gånger så gammal som Pillerill, dvs Ocke är tre Pillerills åldrar äldre än Pillerill. Det betyder alltså att tre Pillerills åldrar är 9. Alltså är Pillerill 3 år gammal och Nutta 6 år.


Adventslösning 22 december 2013


Alice har lagt en stor liksidig triangel av 55 stenkulor. Den har 10 kulor i varje ytterrad. Ovanpå den lägger hon en triangel av 45 likadana kulor. Varje kula i den andra triangeln stödjer sig på tre kulor i den första. Ovanpå den andra triangeln lägger hon en tredje av 36 kulor, sedan en fjärde triangel av 28 och ytterligare fem trianglar av 21, 15, 10, 6 och 3 kulor. På toppen lägger hon en kula. Hur många kulor befinner sig rakt under toppkulan?



Svar: Tre kulor.

Det finns flera sorters mittpunkter i en triangel men Alice´s trianglar är liksidiga och där sammanfaller alla sorters mittpunkter.

Kulor som ligger rakt under toppkulan ligger också mitt i var sin triangel. Men bara var tredje triangel har en kula i mitten. Det är trianglarna med sidolängder 4, 7 och 10 (förutom själva toppkulan som kan betraktas som en triangel med sidolängden 1).

När man har en triangel med en kula i mitten, så måste man lägga till en rad på varje sida för att få nästa till storleken triangel med samma egenskap. Lägger man till tre rader, så blir kantlängden tre större. Det är inte märkvärdigare än att bara varannan rad har en kula i mitten. Det är rader med längder 1, 3, 5, 7, 9 osv. När man har en rad med en kula i mitten så måste man lägga en kula i varje ända för att få nästa till storleken rad med samma egenskap.
Lika märkvärdigt är att bara var fjärde tetraeder (piramid med triangulär bas av den sorts som Alice har byggt) har en kula mitt i. Bara tetraedrar med kantlängder 1, 5, 9, 13 osv. har var sin kula precis i mitten. Den här piramiden, byggd av Alice har ingen:


Adventslösning 23 december 2013


Elsa tillverkar en kubisk ask av kartong för att i den kunna placera en julgranskula som har form av ett ägg. Askens botten ska alltså vara en kvadrat och askens höjd ska vara lika med kvadratens sida. Hon vill att asken ska vara tillräckligt stor för att kulan eller egentligen ägget ska rymmas i den men samtidigt så liten att ägget inte kan röra sig i den när asken skakas. När hon placerar ägget på askens botten så ska ägget vidröra askens alla sidor och när hon lägger locket på ska även locket vidröra ägget. Går det att tillverka en sådan ask? Och om hon lyckas med det, på hur många sätt kan hon placera ägget i asken så att det vidrör alla dess sex ytor?



Svar: Ja, det går och ägget kan placeras på åtta sätt.

Ett ägg är en rotationskropp. (Äggformad julgranskula i alla fall, vanliga hönsägg brukar vara lite oregelbundna.)
Linjen längs ägget som går mitt genom det, genom mitten av dess spets och mitten av dess trubbiga ända är äggets rotationsaxel, vrider man ägget en godtycklig vinkel runt axeln, så fyller ägget fortfarande precis samma utrymme som det gjorde innan vridningen.
Om vi placerar ägget på ett horisontellt plan och täcker det över med ett annat horisontellt plan, så avståndet mellan dessa två plan kan vara olika beroende på vinkeln mellan äggets rotationsaxel och planen. Samma sak gäller även om planen inte är horisontella, huvudsaken är att de är parallella.


För varje kub finns linjer som har lika stora vinklar till kubens samtliga sidor, det är nämligen kubens digonaler (och linjer parallella med dem). Dessa vinklar är alltid cirka 35grader.
Elsa får tillverka en kubisk ask så stor att när ägget placeras i asken med sin rotationsaxel längs askens (kubens) diagonal, så att det får precis plats mellan botten och lock. Då ska det också passa precis mellan par av askens motstående väggar, både det ena och det andra paret. Alltså när locket läggs på kommer ägget att vidröra alla sidovägar, botten och locket.
Nu har en kub fyra diagonaler och varje diagonal förbinder två hörn. När Elsa placerar ägget i asken kan hon välja längs vilken diagonal ska äggets axel gå och mot vilket hörn ska äggets spets peka. Hon kan placera ägget i asken på 8 sätt.


Adventslösning 24 december 2013


Tomtemor ska gå till marknaden för att sälja julbröd. På vägen möter hon en hungrig tomtenisse som hon ger hälften av sina bröd plus ett halvt bröd. Efter en stund möter hon ytterligare en hungrig nisse som också får hälften plus ett halvt av tomtemors bröd. När hon kommer fram till marknaden säljer hon de tio bröd hon har kvar. Hur många hade hon från början?



Svar: 43.

Här ska man räkna baklänges.
Till marknaden kom tomtemor med 10 bröd. Innan dess gav hon ett halvt bröd till den andra nissen, innan dess hade hon 10 och ett halvt bröd, innan dess gav hon hälften av det hon hade till honom. Alltså gav hon lika mycket som hon behöll, dvs tio och ett halvt. Innan dess hade hon 10,5 + 10,5= 21 bröd. Innan dess hände samma sak med den första nissen och vi kan på samma sätt beräkna att hon från början hade 43 bröd.
Vi tänker på brödhalvor när vi räknar men det betyder inte att tomtemor delade itu något bröd. Man kan gissa att hon, tvärtom, ville ge hälften av det hon hade till en hungrig nisse men hade ett udda antal, så gav hon lite mera än hälften för att slippa att dela itu ett av bröden.


Adventslösning 3 december 2013



Nisse tycker om att blanda kaffe i sin choklad. Han fyller en mugg med choklad och dricker upp hälften. Sen fyller upp muggen med kaffe. Han rör om ordentligt. Sen dricker han upp hälften och fyller på med kaffe igen, och blandar väl.
    Så fortsätter han tills han har druckit sammanlagt tre muggar. Hur mycket av chokladen finns kvar då?

Svar: En sextiofjärdedel av muggen.

Varje gång Nisse tar en fylld och väl omrörd mugg och dricker hälften av den, så dricker han hälften av chokladen i den och lämnar hälften. Alltså mängden choklad i muggen halveras. När han druckit tre muggar, så betyder det att han har druckit en halv mugg sex gånger och därmed halverat mängden choklad i muggen sex gånger. Halverar man en helhet sex gånger, så blir det en sextiofjärdedel kvar.
En halv, en fjärdedel, en åttondedel, en sextondedel, en trettioandradel och en sextiofjärdedel.


Adventslösning 4 december 2013



Pontus och Maja köper kakor. En sockerkaka kostar 4 kr, en tigerkaka 5 kr och en chokladkaka 6 kr. Pontus valde 3 kakor och fick betala 16  kr, Maja valde också 3 kakor fast på ett annat sätt. Hon fick också betala 16 kr.
    Hur många sockerkakor köpte de?

Svar: En sockerkaka.
Det finns bara två sätt att välja tre kakor, så att prissumman blir 16:
1. en sockerkaka och två chokladkakor
2. två tigerkakor och en chokladkaka
Pontus och Maja valde på var sitt sätt, en köpte en sockerkaka och en ingen sockerkaka alls. Tillsammans blev det en sockerkaka.


Adventslösning 5 december 2013



Tomten får ont i ryggen om han lyfter en säck som väger mer än 25 kg. I år ska han ge bort många tunga klappar. I ett hem ska de vara 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 16, 17 och 18 kg tunga. Han får lov att lägga dem i flera säckar och bära en säck i taget.
    Hur många säckar behöver han om en tom säck väger ett kilo?

Svar: Sex säckar
Han får lägga som mest 24 kilo klappar i en säck. Klapparna väger 144 kg tillsammans, så man ser direkt att han behöver minst 144/24 = 6 säckar. Men räcker 6 säckar? Om tomten redan har 20kg i en säck och en klapp på 8 kg, kan han inte fylla på säcken med hälften av klappen (4kg) och lägga andra hälften i en annan säck. Det gäller att planera smart och fylla alla jämt med hela klappar. Vi föreslår att han fördelar klapparna så här:
{18,6} {17,7} {16,8} {14,10} {13,11} {9,5,4,3,2,1}
Det gick bra den här gången. Men ibland är det omöjligt att fördela klapparna så jämnt, och även när det går kan det vara svårt att veta hur man ska göra det, får man testa, kanske ångra sig ibland och försöka på ett annat sätt igen. En tumregel är att packa de största klappar först och de minsta sist.


Adventslösning 6 december 2013


Olivers bror Lucas är 9 år. När Oliver blir 8 år blir Lucas 10.
    Hur gammal är Oliver nu?

Svar: Sju år


Adventslösning 7 december 2013


Elias läste två tredjedelar av en bok och därefter ett kapitel till som var 12 sidor långt. Då hade han bara en fjärdedel av boken kvar att läsa.
    Hur många sidor hade boken?

Svar: 144 sidor.

Hela boken består av de redan lästa två tredjedelarna av boken och ett tolv sidors kapitel samt fjärdedelen som är oläst. Två tredjedelar är samma som åtta tolftedelar. En fjärdedel är samma som tre tolftedelar, sammanlagt elva tolftedelar. Den sista tolftedelen som vi ännu inte har räknat är kapitlet emellan.
En tolftedel är tolv sidor, så det hela är 12*12= 144.


En algebraisk metod:
Låt b stå för antalet sidor i boken. Då kan premisserna sammanfattas i följande ekvation:
b-2/3*b-12 = ¼*b
12/12*b-8/12*b-12 = 3/12*b
1/12*b = 12
b = 12*12 = 144


Adventslösning 8 december 2013


På grund av isbildning på slädens underrede tvingas tomten nödlanda i ett 84 kvadratkilometer stort, triangulärt urskogsområde avgränsat av två slädstigar, en 15 km och en 13 km lång samt en 14 km lång frusen älv. Från landningsplatsen är det 5 km genom otrampad snö både till den ena och till den andra slädstigen.
    Hur långt är det från landningsplatsen till älven?

Svar: 2 km

När man tänker på att en tringels höjd är samma sak som avståndet mellan toppen och basen (eller ibland förlängningen av basen), så upptäcker man snart ett sätt att beräkna avståndet till älven.
Dra tre raka linjer från landningsplatsen L till det triangulära skogsområdets tre hörn, då delas området i tre mindre trianglar.

Varje triangel har egentligen tre toppar, tre baser och tre höjder men vi tänker på landningsplatsen som toppen till varje av dessa tre nya trianglar, det hela områdets kanter som dess baser och då blir avstånden till slädstigarna och älven – trianglarnas höjder.
Nu kan vi beräkna arealer av två av dessa trianglar.
15km*5km/2= 37,5kvkm och 13km*5km/2= 32,5kvkm.
Den tredje (som vetter mot älven) har arean 84kvkm-37,5kvkm-32,5kvkm= 14kvkm. Dess höjd ä=14kvkm*2/14km= 2km är avståndet till den frusna älven.
Någon tror kanske att tomten berättar rövarhistorier eller har hittat på en orsak för sin sena ankomst. Kan det överhuvudtaget finnas ett sådant skogsområde som tomten beskriver?
Vi undersöker detta. Ta två rätvinkliga trianglar, en med kateterna 5 km och 12 km och hypotenusan 13 km och den andra med kateterna 9 km och 12 km och hypotenusan 15 km. En har arean 30 kvkm och den andra 54 kvkm. Dessa två trianglar kan sättas samman till en triangel med sidorna 13km 14km och 15km och deras sammanlagda area är 84 kvkm, så på den punkten stämmer tomtens berättelse.

Varje triangel kan delas i två rätvinkliga trianglar men det är inte det smidigaste sättet att beräkna en triangelns area. När man vet triangelns tre sidolängder (men inga höjder), beräknas arean med Herons formeln. Låt triangelns sidolängder vara a, b och c. Man definierar s som hälften av triangelns omkrets s= (a+b+c)/2 och triangelns area är roten ur s*(s-a)*(s-b)*(s-c).
Vår triangel har sidorna 13, 14, och 15, så s=(13+14+15)/2=21, områdets area är roten ur(21*(21-13)*(21-14)*(21-15))= roten ur(3*7*8*7*6)= roten ur(3*3*4*4*7*7)= 3*4*7= 84.


Adventslösning 9 december 2013


Summan av två naturliga tal är 91 och dess differens 15.
    Hur stor är produkten?

Svar: 2014.

När man vet summan S och differensen D av två tal, så kan man beräkna dessa två tal. De är (S+D)/2 och (S-D)/2. Man föredrar kanske att säga medelvärdet plus halva skillnaden och medelvärdet minus halva skillnaden, det är samma sak. (91+15)/2=53, (91-15)/2=38. Produkten blir alltså 53*38= 2014.
Man kan också beräkna produkten utan att räkna de två talen var för sig.
Vi vill beräkna produkten p=a*b utan att veta talen a och b, bara dess summa s=a+b och differensen d=a-b. Då använder vi följande formler
s*s= (a+b)*(a+b)= a*a+2*a*b+b*b=a*a+2*p+b*b
d*d= (a-b)*(a-b)= a*a-2*a*b+b*b= a*a -2*p+b*b
Ledvis subtraktion ger: s*s-d*d= 4*p och då p= (s*s-d*d)/4
Vi testar på våra tal s=91 och d=15. p=(91*91-15*15)/4= (8281-225)/4= 8056/4= 2014


Adventsproblem 1 december 2012



Nio tomtenissar klär på sig; tre har gröna jackor, tre har blåa och tre har röda. Det finns också tre luvor i varje färg. Para ihop varje nisse med en luva så att alla par skiljer sig åt.


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 1 december 2013



Tomten har tio paket. Han lägger blyertspennor i några paket, tuschpennor i några och i några lägger han både blyertspennor och tuschpennor. När tomtemor kommer in i tomteverkstan ser hon att det är blyertspennor i fem paket, tuschpennor i fyra och både blyerts- och tuschpennor i två.
    Hur många tomma paket fanns det?


Adventsproblem 10 december 2012



Vilka figurer kan dölja sig bakom korten? Vilka är möjliga? Vilka är inte möjliga?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 10 december 2013


Från början hade Adam 9 kulor, och ingen annan hade några. Adam gav tre kulor till Benny och tre till David. Sedan gav Benny en kula till David och till sist gav Benny och David hälften av de kulor som de hade till Adam.
    Hur många kulor hade de tre tillsammans på slutet?


Adventsproblem 10 december



På en lång och smal skogsstig åker tre snöslädar, alla dragna av renar. De ska till nordpolen. Samtidigt kommer det tre likadana snöslädar i motsatt riktning, från nordpolen.

Två snöslädar kan inte passera varandra på den smala stigen. En släde kan dras bakåt några meter när man hjälps åt, men det är minst en mil till en bredare väg. Kuskarna vet att det finns en liten glänta intill stigen, där en släde åt gången kan få plats.

Hur ska de göra för att komma förbi varandra?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 11 december 2012



På en vanlig tärning finns ettan alltid mittemot sexan, tvåan mittemot femman och trean mittemot fyran. Hanna slår en röd och en grön tärning. Hon multiplicerar antalet prickar på tärningarna och skriver upp resultatet. Sedan vänder hon den röda tärningen upp och ner, multiplicerar åter antalet prickar och antecknar resultatet. Hon gör samma sak efter att ha vänt den gröna tärningen och slutligen en fjärde gång efter att ha vänt den röda tärningen tillbaka. Därefter adderar hon produkterna. Vilken är den största summan, hon kan få på detta sätt?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 11 december 2013


Tomten har 12 renar. Några renar är 9 år gamla och några är 11 år. Tillsammans är renarna 122 år. Hur många är 9 år och hur många är 11?


Adventsproblem 11 december



Lillnissen spelar kula med sina kompisar. Han tog med sig sina 10 kulor, 5 röda och 5 blå. I första matchen förlorar han 2 röda och vinner 4 blå. I andra matchen vinner han lika många röda som han förlorar blå. I den tredje och sista matchen förlorar han 3 blå och 1 röd.
Hur många kulor har Lillnissen kvar efter sista matchen?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 12 december 2012



Finns det två tresiffriga tal vars summa är fyrsiffrig och där alla siffrorna i dessa tre tal är olika?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 12 december 2013


Tomtemor har fyra olika stora påsar. Hon brukar ta med sig en eller två av dem när hon går och handlar. När hon fyller den eller de påsar som hon har med sig, rymmer de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 eller 11 liter. Hur mycket rymmer alla fyra påsarna tillsammans?


Adventsproblem 12 december



Du vill mäta upp 6 liter vatten i en hink som rymmer 9 liter. Till din hjälp har du en 4 liters hink. Ingen av hinkarna är graderad.
Beskriv hur du ska gå till väga. Det finns obegränsat med vatten.


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 13 december 2012



Tomtefar bakar pepparkakor till julmarknaden. Han funderar över priset på kakorna och summerar för varje rad och kolumn. Men vad kostar gubben, stjärnan, hjärtat, granen och cirkeln var och en för sig?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 13 december 2013


Lucia dekorerade 20 cupcakes att ta med till julfesten. Hon ställde upp dem i en rad och glaserade varannan. Sedan strödde hon strössel på var tredje. Till sist satte hon en skumtomte på var fjärde. Det fanns ingenting på den första kakan. Hur många andra kakor hade ingen dekoration? Fick några kakor alla de tre dekorationerna?


Adventsproblem 13 december



Tärnorna, Hanna, Matilda och Sofia har olika hårfärg. En är mörk, en är blond och en är rödhårig. Den mörka tärnan är yngst och har inga syskon. Sofia är äldre än den rödhåriga tärnan. Hanna är kär i Matildas bror.
Vem har vilken hårfärg?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 14 december 2012



Kan kanterna på en kub numreras med talen 1 till 12 så att summan av de fyra talen vid kanterna vid en sida blir densamma för alla kubens sidor?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 14 december 2013


Fyra glaskulor och tre pappersstjärnor väger 63 gram. Tre glaskulor och två pappersstjärnor väger 46 gram. Alla glaskulor väger lika mycket och alla pappersstjärnor väger lika mycket. Hur mycket väger två glaskulor och en pappersstjärna?


Adventsproblem 14 december



Tomtefar sitter hos frisören för att få hår och skägg putsat. I en spegel får han syn på en klocka. Den visar tio över sju.
Vad är klockan egentligen?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 15 december 2012



Tomtemor har gjort egna kolor och lagt fram dem för provsmakning, var och en vid en siffra. Chokladkolan ligger vid ett jämnt tal. Hallonkolan ligger mellan nötkolan och lakritskolan. Lakritskolan finns vid en röd siffra. Vaniljkolan har ett udda tal. Nötkolan finns inte vid de tre sista siffrorna.

    1    2    3    4    5

Kan du lista ut vilka kolorna är från vänster till höger?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 15 december 2013


Ett tåg har fem vagnar med lika många platser i varje. I första vagnen finns 20 passagerare, i den andra finns 10 lediga platser, i den tredje 15 lediga platser. I den fjärde finns fler passagerare än i den första men färre än i den andra medan i den femte finns det fler lediga platser än i den första men färre än i den tredje. Vilket av följande kan INTE vara det totala antalet passagerare på tåget?


Adventsproblem 15 december



Sex mynt ligger i en pyramidform. Med minsta möjliga antalet förflyttningar ska de bilda en ring.
Hur många mynt måste flyttas?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 16 december 2012



Emil, Ida och Anton knäckte nötter och lade skalen i varsin hög framför sig. För varje nöt blev det 4, 5 eller 6 skalbitar. Emil knäckte dubbelt så många nötter som Anton medan Ida knäckte hälften så många som Emil och Anton knäckte tillsammans. Efteråt hade Ida och Anton lika många skalbitar var och tillsammans hade de en skalbit mer än Emil hade. För hur många nötter blev det 5 skalbitar?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 16 december 2013


Ett kvadratiskt papper viks på mitten. Då bildas en rektangel med omkretsen 18 cm. Vilken omkrets hade den ursprungliga kvadraten?


Adventsproblem 16 december



Tomtemor ville köpa ett nytt bälte. På ett torg i Snölandet kostade ett flätat läderbälte 54 renmark och 50 barr (1 renmark=100 barr). Tomtemor hade en hundra-renmarkssedel och en tio-renmarkssedel.

Handlaren kunde inte betala tillbaka på 100 renmark, han hade bara en 50 renmarkssedel och ett 1 renmarkmynt. Säljaren ropade på en kollega och frågade om han kunde växla åt dem men kollegan hade bara två mynt på 5 renmark och två på 50 barr. Tillsammans lyckades de ändå ordna så att Tomtemor kunde betala för bältet.

Hur gjorde de?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 17 december 2012



En kub med sidan 4 kan delas i 64 småkuber (1x1x1) om man skär den med 9 snitt. Hur gör man? Om man får arrangera om bitarna efter varje snitt, kan man då dela den i så stora bitar med färre snitt? Hur många minst? Kan man veta att ingen kan göra det med ännu färre snitt?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 17 december 2013


Vilket tvåsiffrigt tal är lika med talets dubbla sifferprodukt?


Adventsproblem 17 december



Alla stolar i ett rum är numrerade: 1, 2, 3 osv. De står i nummerordning i jämna avstånd runt ett runt bord. Nisse Grå och Nisse Röd sitter bredvid varandra och summan av deras stolnummer är 6.
Vilket stolnummer har Lillnissen som sitter mittemot dem?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 18 december 2012



Pappa, mamma och lillasyster Tomtesson har tillsammans ätit 73 pepparkakor. Pappa har ätit fem pepparkakor mer än mamma. Lillasyster har ätit 12 pepparkakor. Hur många har mamma ätit?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 18 december 2013


Ett av tre tomtebarn hade tjuvsmakat på gröten. När tomtefar frågade vem av dem det var svarade de:
 Lisa: Inte jag.
 Lena: Det var Lisa.
 Lotta: Lena ljuger.
Bara en av dem talar sanning, och de andra ljuger. Vem var det som åt av gröten?


Adventsproblem 18 december



Dela följande figur i
a) två lika delar
b) tre lika delar
c) fyra lika delar.


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 19 december 2012



Tre tomtenissar hittade en gammal och lite trasig våg på loftet, en våg med skala och en visare. Så länge ingen ställer sig på vågen, pekar visaren på 0. Om en nisse ställer sig på vågen pekar visaren mot ett ställe där skalan är krossad och borta. Om två nissar ställer sig på vågen, pekar visaren på en bevarad del av skalan och nissarna kan se hur mycket de väger tillsammans. Om alla tre ställer sig på vågen så pekar visaren utanför skalan. Kan nissarna efter att ha vägt sig på denna våg beräkna hur mycket var och en av dem väger? Hur gör de då?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 19 december 2013


Vilket tal ska stå i stället för X?

1 2 3 4  
2 3 7 25
3 7 46 1143
4 25 1143 X

Adventsproblem 19 december



Hur mycket är 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10?
Hur mycket är summa av alla tal från 1 till 20?
Måste man addera alla dessa tal i tur och ordning eller finns det genvägar?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 2 december 2012



Trollkarlen hängde upp sin adventsstjärna.


– Ååå! sa Pepparkaksgubbe Mörkbrun.
– En sjuuddig stjärna! sa Pepparkaksgubbe Ljusbrun.
– Hur gör man en sådan? frågade Pepparkaksgubbe Mellanbrun.
– Jag ritade en cirkel, markerade sju punkter med jämna mellanrum på cirkeln, drog sju linjer, raderade cirkeln och målade stjärnan gul, sa trollkarlen.
– Du ritade nog linjer som gick genom punkter närmast varandra, sa Pepparkaksgubbe Mörkbrun.
– Nej! Genom varannan, sa Pepparkaksgubbe Ljusbrun.
– Mellan var tredje, sa Pepparkaksgubbe Mellanbrun.
Trollkarlen sa ingenting. Vilken pepparkaksgubbe hade rätt?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 2 december 2013



Findus står i en kö. Framför honom står det 6 katter och bakom honom står det 9 katter.
Hur många står i kön?


Adventsproblem 20 december 2012



Tre äpplen och två apelsiner väger tillsammans 700 g. Två äpplen och tre apelsiner väger 800 g. Hur mycket väger ett äpple och en apelsin?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 20 december 2013


Lasse, Lisa och Bosse ska fotograferas när de sitter på kökssoffan.
A) Lasse vill inte sitta ytterst. På vilka olika sätt kan barnen placeras?
B) Lasse ändrar sig och kan också tänka sig att sitta ytterst. Vilka möjligheter finns då?
C) Sen kommer Olle på besök och det blir dags för ett nytt fotografi. Hur många olika sätt finns det nu att placera barnen?


Adventsproblem 20 december



Tomtefar är trött på alla pepparkakor. Han gräddar våfflor istället.
Vem får den största?
Vem får den minsta?

Nisses, tomtemors och tomtens våfflor.

Hämta en pdf med större våfflor ...


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 21 december 2012



Du har 36 röda julgranskulor och 60 vita. Dessa kulor ska läggas i lådor när julen är slut. Alla lådor ska innehålla lika många kulor och det måste vara samma färg på alla kulor i en låda. Hur många lådor behöver du minst ha?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 21 december 2013


Ocke är dubbelt så gammal som Nutta. Nutta är dubbelt så gammal som Pillerill, som är 9 år yngre än Ocke. Hur gammal är Nutta?


Adventsproblem 21 december



Oscar har 4 syskon. Äldst är Filip född år 1996, Lucas är född 8 år senare, Emma är 6 år äldre än Lucas, Ida 5 år yngre än Emma och Oscar själv 4 år äldre än Ida.
Vilket år är Oscar född?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 22 december 2012



På några av rutorna i ett 2 x 9 rutnät ligger det mynt. Varje ruta innehåller antingen ett mynt eller har en kant gemensam med en ruta som innehåller ett mynt. Vilket är det minsta antalet utlagda mynt i rutnätet?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 22 december 2013


Alice har lagt en stor liksidig triangel av 55 stenkulor. Den har 10 kulor i varje ytterrad. Ovanpå den lägger hon en triangel av 45 likadana kulor. Varje kula i den andra triangeln stödjer sig på tre kulor i den första. Ovanpå den andra triangeln lägger hon en tredje av 36 kulor, sedan en fjärde triangel av 28 och ytterligare fem trianglar av 21, 15, 10, 6 och 3 kulor. På toppen lägger hon en kula. Hur många kulor befinner sig rakt under toppkulan?


Adventsproblem 22 december



I cirkusmanegen finns vilda myror och tama elefanter. Varje myra har 6 ben, varje elefant 4. Alla tillsammans har de 100 ben.
Vilken sorts ben är det flest av i manegen om elefanterna är 5 fler än myrorna?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 23 december 2012



Det tar 90 sekunder för tomten att gå uppför en rulltrappa när den står stilla. Det tar 60 sekunder för tomten att åka uppför samma rulltrappa när den är i funktion. Hur lång tid tar det för tomten att komma upp om han går uppför den fungerande rulltrappan?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 23 december 2013


Elsa tillverkar en kubisk ask av kartong för att i den kunna placera en julgranskula som har form av ett ägg. Askens botten ska alltså vara en kvadrat och askens höjd ska vara lika med kvadratens sida. Hon vill att asken ska vara tillräckligt stor för att kulan eller egentligen ägget ska rymmas i den men samtidigt så liten att ägget inte kan röra sig i den när asken skakas. När hon placerar ägget på askens botten så ska ägget vidröra askens alla sidor och när hon lägger locket på ska även locket vidröra ägget. Går det att tillverka en sådan ask? Och om hon lyckas med det, på hur många sätt kan hon placera ägget i asken så att det vidrör alla dess sex ytor?


Adventsproblem 23 december



Jultomten provflyger sin släde innan jul. Han flyger i en triangel från nordpolen till ekvatorn, lika långt utefter ekvatorn och sedan hem igen.
Hur stora är vinklarna i triangeln?
Hur stor är vinkelsumman i triangeln?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 24 december 2012



Fyra barn köpte en julklapp till sin far och en av dem gömde den. Modern frågade dem vem som hade gömt den.
Albin: ”Det var inte jag! ”
Bea: ”Det var inte jag!”
Carola: ”Det var Didrik! ”
Didrik: ”Det var Bea! ”
Ett av barnen ljög. Vem hade gömt julklappen?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 24 december 2013


Tomtemor ska gå till marknaden för att sälja julbröd. På vägen möter hon en hungrig tomtenisse som hon ger hälften av sina bröd plus ett halvt bröd. Efter en stund möter hon ytterligare en hungrig nisse som också får hälften plus ett halvt av tomtemors bröd. När hon kommer fram till marknaden säljer hon de tio bröd hon har kvar. Hur många hade hon från början?


Adventsproblem 24 december



De nio jämna heltalen från 2 till och med 18 ska placeras i rutnätet. Tre tal är ditskrivna.
Placera ut de övriga så att summan av talen i varje rad, kolumn eller diagonal är lika.


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 3 december 2012



Fem bullar ska fördelas mellan sex barn. Alla ska få lika mycket men varje bulle får delas i högst tre lika stora delar. Hur kan man göra?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 3 december 2013



Nisse tycker om att blanda kaffe i sin choklad. Han fyller en mugg med choklad och dricker upp hälften. Sen fyller upp muggen med kaffe. Han rör om ordentligt. Sen dricker han upp hälften och fyller på med kaffe igen, och blandar väl.
    Så fortsätter han tills han har druckit sammanlagt tre muggar. Hur mycket av chokladen finns kvar då?


Adventsproblem 4 december 2012



Hur många gånger måste det största tvåsiffriga talet läggas till det största ensiffriga talet för att ge det största tresiffriga talet?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 4 december 2013



Pontus och Maja köper kakor. En sockerkaka kostar 4 kr, en tigerkaka 5 kr och en chokladkaka 6 kr. Pontus valde 3 kakor och fick betala 16  kr, Maja valde också 3 kakor fast på ett annat sätt. Hon fick också betala 16 kr.
    Hur många sockerkakor köpte de?


Adventsproblem 4 december



I tomteverkstan fanns 1000 julklappar numrerade från 1 till 1000. Tomten har valt ut alla klappar sådana att han vet att han kan läsa numret rätt, även om han råkar hålla dem upp och ner och stoppat ner dem i sin säck.
Hur många klappar har tomten nu i sin säck?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 5 december 2012



Kan man lägga talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i två lådor så att summan av talen i varje låda blir lika stor?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 5 december 2013



Tomten får ont i ryggen om han lyfter en säck som väger mer än 25 kg. I år ska han ge bort många tunga klappar. I ett hem ska de vara 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 16, 17 och 18 kg tunga. Han får lov att lägga dem i flera säckar och bära en säck i taget.
    Hur många säckar behöver han om en tom säck väger ett kilo?


Adventsproblem 5 december



Pontus är dubbelt så gammal som Marko och Kalle är dubbelt så gammal som Pontus.
Hur gammal kommer Kalle att vara jämfört med Marko när Pontus är lika gammal som Kalle är nu?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 5 december



Pontus är dubbelt så gammal som Marko och Kalle är dubbelt så gammal som Pontus.
Hur gammal kommer Kalle att vara jämfört med Marko när Pontus är lika gammal som Kalle är nu?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 6 december 2012



Skriv med de 10 siffrorna upp två femsiffriga tal, så att skillnaden mellan talen blir så liten som möjligt. Varje siffra får bara användas en gång.


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 6 december 2013


Olivers bror Lucas är 9 år. När Oliver blir 8 år blir Lucas 10.
    Hur gammal är Oliver nu?


Adventsproblem 6 december



Tre tomtenissar delade på ett stort fat brysselkål. ”Nu är jag mätt”, sa den första nissen när fatet blev tomt. ”Jag har ätit precis en tredjedel av de vi hade att dela på.”
”Jag är proppmätt”, sa den andra nissen. ”Jag har ätit sjutton stycken.”
”Jag är också mätt”, sa den tredje nissen. ”Jag har ätit hälften av vad ni andra åt tillsammans.”
Hur många brysselkål var det på fatet från början?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 7 december 2012



Fem julgranskulor ligger i en rad.


Du får flytta ett par av kulorna i taget, bara sådana som nuddar varandra och utan att vrida paret eller skilja dem åt. Hur många sådana förflyttningar behöver du minst göra för att få en rad som ser ut så här?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 7 december 2013


Elias läste två tredjedelar av en bok och därefter ett kapitel till som var 12 sidor långt. Då hade han bara en fjärdedel av boken kvar att läsa.
    Hur många sidor hade boken?


Adventsproblem 7 december



En påse sega tomtar väger 110 gram. Tomtarna i påsen väger 100 gram mera än själva påsen.
Hur mycket kommer påsen att väga när alla tomtar är uppätna?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 8 december 2012



Går det att skriva talen 1 till 100 i en rad så att skillnaden mellan två intilliggande tal alltid är 50 eller mer?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 8 december 2013


På grund av isbildning på slädens underrede tvingas tomten nödlanda i ett 84 kvadratkilometer stort, triangulärt urskogsområde avgränsat av två slädstigar, en 15 km och en 13 km lång samt en 14 km lång frusen älv. Från landningsplatsen är det 5 km genom otrampad snö både till den ena och till den andra slädstigen.
    Hur långt är det från landningsplatsen till älven?


Adventsproblem 8 december



Beräkna utan miniräknare:


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 9 december 2012



I en adventsljusstake med fyra likadana ljus har man, som man brukar göra, tänt det första ljuset den första veckan, nästa vecka det första och andra osv. Varje dag hade man ljusstaken tänd 15 min. En dag var det första och tredje ljuset tillsammans lika långa som det fjärde, som ännu inte tänts. Hur mycket var det då kvar av det andra ljuset?


Skicka in din lösning ...

Adventsproblem 9 december 2013


Summan av två naturliga tal är 91 och dess differens 15.
    Hur stor är produkten?


Adventsproblem 9 december



I tomtens verkstad tillverkas kuddar. Två tygstycken som är 40cm x 60cm sys ihop och fylls med dun tills kudden är 20 cm tjock som mest.
Hur stor volym har en sådan kudde? (Man kan komma fram till lite olika svar. Det viktiga är hur man resonerar.)


Skicka in din lösning ...

Adventsproblemet den 1 dec




1 dec

Tomtemor lekte med nissarna och lade upp följande tändstickor. Sedan sa hon åt dem att flytta två för att göra fyra kvadrater. Hur ska nissarna göra?


 

Adventsproblemet den 10 dec




10 dec

Katten Sotis har fått ungar. Anna, Tor och Wille ska få varsin grå kattunge. Sedan är det slut på de grå. De randiga ungarna är två fler än de svarta som är en färre än de grå. Hur många kattungar var grå? Svarta? Randiga?


 

Adventsproblemet den 11 dec




11 dec

Tomtefar vill dela ut julpengar till sina barnbarn och ge dem 200 kr var. För att göra detta behöver han ytterligare 620 kr. I stället ger han barnbarnen 170 kr och får 70 kr över. Hur många barnbarn har tomtefar och hur mycket pengar hade han från början?


 

Adventsproblemet den 12 dec




12 dec

Lördagen den 12/12 samlades några vänner till julmiddag. Det blev en riktig festmåltid. Just när man skulle betala upptäckte de, att vännerna Daniel och Malin precis haft namnsdag. Man hade tänkt dela lika på notan som var på 1750 kr. “Nej vi övriga lägger en hundralapp var extra och bjuder Malin och Daniel!”, föreslog Felicia. Och så blev det förstås. Hur många var vännerna?


 

Adventsproblemet den 13 dec




13 dec

En glögghandlare har två fat glögg av samma sort, dock innehållande olika kvantiteter. För att få lika mycket i båda faten slår han först ur det ena fatet så mycket över i det andra, som detta redan förut innehåller. Därefter tappar han tillbaka i det första fatet en lika stor kvantitet, som nu finns kvar i detta, varefter han åter slår över lika mycket i det andra, som detta nu innehåller. Han lyckades i sitt uppsåt; båda faten visade sig nu innehålla lika mycket glögg, nämligen 64 liter. Hur mycket fanns från början i varje fat?


 

Adventsproblemet den 14 dec




14 dec

Det finns tre olika julgranskulor av olika färg i en låda: röda, blåa och gröna. Om fyra är gröna, fem är blåa och sex är röda, hur många kulor måste du plocka ur lådan så att du garanterat får två med samma färg?


 

Adventsproblemet den 15 dec




15 dec

Familjen Snöberg bakar pepparkakor. De gör hjärtan, granar och bockar. Hur många kakor kan de grädda på varje plåt?


 

Adventsproblemet den 16 dec




16 dec

Hissen i vårt höghus (66 våningar) har bara två knappar, U och N. Trycker man på U-knappen åker hissen 8 våningar upp, trycker man på N-knappen åker den 11 våningar ned. Är det verkligen möjligt att i vår hiss åka från en godtycklig våning till en godtycklig annan?


 

Adventsproblemet den 17 dec




17 dec

När tomten och nissarna ska åka med släden med alla julklappar är släden (med påkopplade vagnar) 300m lång. Den åker med en jämn fart av 10 m/s genom en 300 m lång tunnel. Hur lång tid tar det för släden att helt passera tunneln?


 

Adventsproblemet den 18 dec




18 dec

En teater rymmer antingen 120 människor eller 144 nissar. Om 90 människor har släppts in, hur många nissar kan man då också få plats med?


 

Adventsproblemet den 19 dec




19 dec

Det finns många sätt att arrangera siffrorna 1,2,3,4….,9 så att de bildar ett fyrsiffrigt och femsiffrigt tal, till exempel 5324 och 89716. Försök att arrangera siffrorna så att produkten av de två talen blir så stor som möjligt.


 

Adventsproblemet den 2 dec




2 dec

En fylld marmeladburk väger 800 g. Om burken är halvfylld med marmelad väger den 480g. Hur mycket väger burken?


 

Adventsproblemet den 20 dec




20 dec

Varje sida av figuren har längden 1. Använd två klipp för att dela figuren så den kan bli en rektangel vars dimensioner har förhållandet 2:1.


 

Adventsproblemet den 21 dec




21 dec

De tre nissarna ska gå ut och leka. Det finns tre mössor, en vit, en röd och en blå. Det finns också tre halsdukar, en vit, en röd och en blå. Lasse tycker inte om blått och Lena tycker inte om vitt, men Kalle kan ha vad som helst på sig. På hur många olika sätt kan de tre nissarna klä sig?


 

Adventsproblemet den 22 dec




22 dec

Par-torneringen höll på att börja då några okända riddare kom och ville vara med. Under torneringen skulle varje riddare kämpa mot alla andra riddare, förutsatt att de inte blev så skadade att de inte kunde delta längre. Kungen bestämde sig för att de okända riddarna skulle få vara med och ytterligare 26 partävlingar måste planeras. Hur många riddare skulle ha tävlat innan de okända riddarna dök upp och bad att få medverka? Hur många var de okända riddarna?


 

Adventsproblemet den 23 dec




23 dec

Gröten ska koka i 15 min. Men jag har bara två timglas som mäter upp 7 och 11 minuter. Timglasen ska starta samtidigt, hur ska jag gå tillväga för att mäta tiden?


 

Adventsproblemet den 24 dec




24 dec

Den 14 juli, 4 februari och 16 augusti har någonting gemensamt med julafton. Vad är det?


 

Adventsproblemet den 3 dec




3 dec

Jag är ett fyrsiffrigt positivt heltal och alla mina siffror är olika. När mina siffror skrivs i omvänd ordning så är det nya talet exakt fyra gånger större än jag själv. Vilket tal är jag?


 

Adventsproblemet den 4 dec




4 dec

Personerna i familjen Grankvist är tillsammans 60 år. Om fem år kommer de tillsammans vara dubbelt så gamla som de var för fem år sedan. Hur många är de i familjen Grankvist?


 

Adventsproblemet den 5 dec




5 dec

Två tomtar och deras två tomtegummor är på väg hem till de djupa skogarna. På några ställen måste de korsa en sjö med sin uppblåsbara båt. Båten klarar en vikt på max 100 kg. Tomtarna väger 100 kg var medan gummorna väger 50 kg var. Tomtarna bär också varsin ryggsäck på 25 kg. Hur kan de ta sig över sjöarna på ett säkert sätt? Alla fyra kan paddla båten.


 

Adventsproblemet den 6 dec




6 dec

Om kvadraten på PA är ADA, kvadraten på PP är SUS och kvadraten på EE är EPE, vilka tal motsvarar då orden PAPPA, SUSSA , SPADE och PADDA?


 

Adventsproblemet den 7 dec




7 dec

Tomten har 24 paket i sin säck. Hur många får paket om alla får lika många? Om han har 25 paket?


 

Adventsproblemet den 9 dec




9 dec

Två barn äter två skumtomtar på två minuter. Hur lång tid tar det för fem barn att äta fem skumtomtar?


 

Algebra - samlade länkar

Algebra

I Lgr 1I har algebra en framskriven plats i det centrala innehållet redan från årskurserna 1–3. I Nämnarens artikelregister finns mycket att läsa om algebra. Här är ett urval av artiklar och Uppslag som också leder vidare till introduktion av funktioner.


Att använda barns förmågor
Alla barn kommer till skolan utrustade med fantastiska mentala förmågor, som kanske används till matematiskt tänkande. I artikeln diskuteras hur lärare på ett kreativt och effektivt sätt kan utnyttja dessa förmågor. Att ordna och klassificera lyfts fram som en viktig förmåga.

John Mason, Nämnaren 2003:3, 14–21.


Tidigare algebra
Algebra har i alla tider ansetts besvärlig och abstrakt. Det kan vara ett långt steg att gå från att räkna med tal till att räkna med bokstäver. I andra länder har man börjat tidigare än vi. I denna och en följande artikel beskrivs hur man tänker och gör i Australien. Texten är illustrerad med flera exempel.
Johan Häggström, Nämnaren 1995:4, 17–22.


Kan 8–12-åringar lösa ekvationer?
Genom att inte på förhand bestämma att ekvationer är ”för svårt” för eleverna beskriver författarna hur de med rätt stöd fick sina elever i årskurs 2 och årskurs 6 att både lösa ekvationer och att använda dem vid problemlösning. Deras slutsats är att vi lärare inte ska vara rädda för att ha höga förväntningar på våra elever. I artikeln beskrivs hur arbetet genomfördes med det ekvationsspel som ofta kallas Bönspelet.
Maria Dahlin & Eva-Lena Eriksson, Nämnaren 2008:4, 7–10.


Är du ute och cyklar? Bra i så fall!
I artikeln diskuteras undervisning av algebra i skolan med hjälp av den algebraiska cykeln. Med utgångspunkt i några elevaktiviteter, bland annat med en almanacka, visar författaren hur vi i undervisningen kan arbeta med cykelns olika steg.
Stefan Löfwall, Nämnaren 2008:1, 42–45.


Variabler och mönster
Det är viktigt att eleverna får förståelse för grundläggande matematiska begrepp. Ett sätt att närma sig variabelbegreppet är via mönster som beskrivs med formler. I artikeln beskrivs och diskuteras hur ett sådant arbete kan gå till. Teorin illustreras med exempel på hur ett mönster med stenplattor växer fram samt ett exempel med ett växande tändsticksmönster.
Ronny Ahlström, Nämnaren 2001:1, 27–31.


Uppslaget – Algebra för alla
Algebra för alla är en NämnarenTEMA-bok som behandlar grundläggande matematikundervisning i både grundskolan och gymnasiet.
I dagens samhälle behöver alltfler kunna förstå och använda formler, tabeller och diagram. Inte bara nytta utan även spänning, utmaning och skönhet är viktiga ingredienser i en algebra för alla. Alla har glädje av algebraiskt tänkande som verktyg vid generaliseringar, problemlösning och beskrivning av mönster och samband mellan storheter. I detta Uppslag ges exempel på övningar med namn som Bottental, Talmagi och Slottet. Sistnämnda uppgift handlar det om 4- och 7-armade ljusstakar.
Uppslaget finns i Nämnaren 1997:3.


Uppslaget – Problemlösningsmetoder
För att träna problemlösning behöver man som lärare en mängd lämpliga och genomtänkta problem. De ska vara sådana att de både intresserar eleverna och gör dem nyfikna på lösningen. Sådana problem har vi alldeles för lite av i läromedlen, men varje lärare kan lätt komplettera ur en egen bank. Ska problemlösandet leda någon vart måste man försöka systematisera det man arbetar med och behandla olika moment i tur och ordning. I Uppslaget presenteras ett balansvågsproblem som kan lösas med åtminstone 10 olika metoder.
Lennart Skoogh, Nämnaren 1984:3, 31–33.


Att sätta ord på algebra
I två tidigare Nämnarenartiklar Att tänka algebraiskt och Att förstå algebra diskuterades problem som elever har i algebra. Här ges exempel på hur medveten användning av tal- och skriftspråk kan bidra till att förstärka inlärning. Att använda språket som redskap för att ge mening till symboler är viktigt för att utveckla begrepp. Prova de undervisningsaktiviteter som föreslås!
Liv Sissel Grønmo, Nämnaren 1999:1, 19–25.


Ett funktionsrum
I artikeln redogörs för en aktivitet med funktionslådor som eleverna får undersöka. En elev spelar funktionens roll och de andra experimenterar och försöker lista ut vilken funktionen är. Målet är att eleverna på ett aktivt och lekfullt sätt ska få möta funktioner. I artikeln ges flera förslag på färgpermutationer, funktioner med ord, chiffer och funktioner med tal som kan användas i funktionslådorna.
Laura Fainsilber, Nämnaren 2002:2, 16–19.


Funktionslådor
Med funktionslådor kan elever tidigt möta funktionsbegreppet på ett praktiskt och laborativt sätt. Artikeln bygger på ett arbete där elever i skolår 3 och 5 studerats. Är funktioner något för barn? Frågan ställs och besvaras inledningsvis med ett citat: Alla barn kan förstå abstrakta men viktiga begrepp, såsom funktion, om begreppet utvecklas ur konkreta aktiviteter och gradvis abstraheras över en tämligen lång tidsperiod (Willoughby, 1997).
Cecilia Kilhamn, Nämnaren 2004:1, 19–25.


Citatet ovan är hämtat från artikeln Functions from kindergarten through sixth grade, Stephen S Willoughby. I artikeln beskrivs hur funktionslådor kan användas med laborativt material redan från förskolan. Läs artikeln ...

Om du vill skriva ut texten ovan som en pdf, klicka här.

Anmälningar

Vi har läst...

Förbannade lögner
Gyllene snittet - naturens största hemlighet
Magiska tal och mängdernas mystik
Symmetri - ordningens princip


Förbannade lögner

Hur medier, företag och organisationer luras med statistik och hur du lär dig genomskåda det.
Peeter-Jaan Kask

En av de saker som gör matematik så tilltalande för många är att det är en exakt vetenskap. Utifrån bestämda siffror kommer man med logiska resonemang fram till ett givet korrekt resultat. (Jag använder här genomgående begreppet siffror även då tal avses.) Det skapar intryck av en objektiv och värderingsfri process. Siffror är hårda, kan man säga. Slutsatsen gäller förstås enbart räkneoperationerna, inte de sammanhang i vilka siffrorna förekommer. Men det förbises ofta.

Många uppfattar t ex statistikens siffror som sanningar, en gång för alla huggna i sten, trots att den statistiska beskrivningen av samhället i högsta grad bygger på subjektiva avgöranden och värderingar. Vad som ska mätas, hur det mäts och med vilka avgränsningar är frågor som det inte finns något givet svar på. Bara för att statistikens beskrivning av samhället görs med hjälp av siffror blir en sådan beskrivning inte mer sann än en beskrivning i ord. Statistikens siffror är mjuka.

Den skenbara motsättningen mellan den ”objektiva” matematiken och statistikens mjuka siffror förvirrar. Respekten för exaktheten i matematikens beräkningar är inte fel. Men baksidan är en överdriven vördnad för all information som bygger på siffror. Läsare/lyssnare/tittare förleds till respektfullt accepterande istället för att kritiskt ifrågasätta.

Det gäller att hålla två tankar om siffror i huvudet samtidigt: Det ena är att de matematiska operationerna leder till oantastligt korrekta resultat om de används på rätt sätt. När det gäller siffrorna i statistiken finns dock många gånger inte ens ett rätt eller fel. Frågan gäller istället om de använda metoderna ger en rimlig och rättvisande bild av verkligheten. Olika aktörer vill med sifferspäckade rapporter påverka opinionen och lyfta fram den egna verklighetsbeskrivningen. För dem är det naturligtvis frestande att anpassa siffrorna så att den egna uppfattningen framstår i bästa dager.

Det är mot den här bakgrunden som jag skrivit boken Förbannade lögner – hur medier, företag och organisationer luras med statistik och hur du lär dig genomskåda det.
Det är en bok om hur vi påverkas av siffror och statistik. En lättläst och (förhoppningsvis) underhållande bok som riktar sig till en bred publik. De vanligaste fallgroparna och manipulationsknepen illustreras med hjälp av en lång rad aktuella svenska exempel. På www.forbannadelogner.se finns ett 16-sidigt demoex. Huvudbudskapet i boken är just att siffror är mjuka, att siffror uttrycker värderingar. Företag, medier och organisationer väljer att visa den sanning som passar dem bäst.

I ”Förbannade lögner” visar jag hur val av perspektiv, utgångspunkt, avgränsningar i tid osv påverkar slutresultatet. Läsarna uppmanas att ifrågasätta de siffror som presenteras. ”Förbannade lögner” tar upp frågor som ligger i skärningspunkten mellan matematik och samhällskunskap. I matematikundervisningen kan boken erbjuda verklighetsbaserade exempel på statistiska problem och vara underlag för en diskussion om statistikens roll i samhället. Boken bör också vara användbar som bredvidläsning vid elevers projektarbeten.
I samhällskunskapsundervisningen handlar det framför allt om att stimulera ett kritiskt förhållningssätt till påståenden som framförs i samhällsdebatten.
Budskapet till matematiklärare och samhällskunskapslärare är ett och detsamma: Siffror är både hårda och mjuka.

Peeter-Jaan Kask


Gyllene snittet
naturens största hemlighet

Scott Olsen

Vilken var den stora och gyllene hemlighet som Leonardo da Vinci, Kepler, Platon och de andra antika magikerna kände till? Det gyllene snittet är bland de elegantaste proportionerna i universum. Överallt i naturen dyker det upp, i vatten, DNA, proportionerna för fiskar och fjärilar och antalet tänder vi har. Dessutom dyker det upp inom arkitektur, musik, filosofi och matematik.
I denna lilla men innehållsrika bok undersöker Scott Olsen alla tiders kanske största mysterium, en kod som verkar ligga bakom livet, universum och allting. Boken är utgiven av Shibstedförlagen, ISBN 978-91-7738-764-0.


Magiska tal och mängdernas mystik

Miranda Lundy

Miranda Lundy är formgivare och konstnär och har studerat de numeriska talen hela sitt liv. Numeriska tal genomsyrar snart varje aspekt av våra liv menar hon. Med hjälp av historiska illustrationer visar magiska tal och mängdernas mysterium de grundläggande räknesättens historia och utveckling, siffrornas betydelse för astronomi, geometri och musik, hur mängder och tal har påverkat arkitekturens utveckling m.m. Vi får också veta varför Pythagoras idéer fortfarande ger eko, och talen ett till tolv och vissa högre analyseras. Varför symboliseras till exempel livet med talet fem och cirkeln med elva? Och vad är det för poetiskt med talet sjutton? Boken är utgiven av Svenska förlaget, ISBN 91-7738-724-4.


Symmetri
ordningens princip

David Wade

Symmetri är inte bara intressant för matematker och fysiker. Det är minst lika viktigt och fascinerande för konstnärer, arkitekter och helt vanliga människor. I David Wades illustrerade lilla bok möter vi symmetrins huvudprinciper. Vi får förklaringar till fenomen och strukturer, med exempel från vetenskapens, naturens och kulturens alla hörn.Varför har bilar samma symmetriska former som trollsländor? Finns det verkligen ett underbart, dolt mönster i varje droppande istapp? Och vad har insektser gemensamt med världsrymdens planeter, och varför? Boken är utgiven av Schibstedförlagen, ISBN 978-91-7738-765-7.

ArkivN

Här finner du

Dokumenten är fria att laddas ner, skrivas ut och användas.


Alla dokument som finns tillgängliga för nedladdning och utskrift på denna sida är i pdf-format. Läs gärna vår informationssida om PDF. Där finns också en länk till programmet Acrobat Reader som du behöver för att kunna läsa och få utskrifter från denna typ av dokument.

Innehåll: UD

ArkivX-tra

ArkivX-tra innehåller det material som tidigare har funnits på Nämnaren på Nätets förstasida under rubriken X-tra. Dokumenten är fria att laddas ner, skrivas ut och användas.

Här finns även kopieringsunderlag för en lång rad olika sorters papper – prickpapper, triangelpapper, koordinatsystem, klockmallar etc – som används i matematikundervisningen. Den här sortens matematikpapper finns ofta i lärarhandledningar med fri rätt att kopiera.

Välj önskat X-tra i vänstermenyn eller välj bland nedanstående rubriker.

Artiklar
Här finns artiklar som har publicerats i Arkiv X-tra sorterade i alfabetisk ordning.

Aktiviteter
Här finns aktiviteter som har publicerats i Arkiv X-tra sorterade i alfabetisk ordning.


Alla dokument som finns tillgängliga för nedladdning och utskrift på Arkiv X-tra är i pdf-format. Läs gärna vår informationssida om PDF. Där finns också en länk till programmet Acrobat Reader som du behöver för att kunna läsa och få utskrifter från denna typ av dokument.

Innehåll: UD

X-tra 09:2

 
Artikel att ladda ner:
Multiplikation på taktilt vis ...
Artikel att ladda ner:
Multiplikation genom århundraden ...

X-tra 10:2

Nämnaren nr 4, 2009
 

GalleriN
Läs om Björn Carlén ...



Att läsa
Avancerad matematik med GeoGebra

X-tra 10:4

Nämnaren nr 4, 2009
 

Att läsa

Integraler - undersökande arbetssätt med GeoGebra ...


Aktivitet
Här kommer en aktivitet som kan passa i adventstider. Aktiviteten går att anpassa till olika nivåer. Passa gärna på att skriva till oss och berätta om era erfarenheter när ni genomförde aktiviteten.

Ladda ner Sannolika paket ...

Artiklar ordnade alfabetiskt

Debatt: Skriftlig huvudräkning är en katastrof för många elever

Nämnaren nr 4, 2009
 

Skriftlig huvudräkning är en katastrof för många elever
Matematik är ett utmärkt sätt att träna barns hjärnor, och man ska börja tidigt medan fantasin fortfarande flödar i barnens tankar. Men vad händer hos eleven då skolan ska förmedla redskap för att lösa problem som inte på ett rationellt sätt kan lösas med kreativt tänkande och huvudräkning? Där finns ett jätteproblem.

Jag, och många med mej, anser att så kallad "skriftlig huvudräkning", eller räkning med mellanled, är ett mycket sofistikerat och effektivt sätt att knäcka många elevers självförtroende i matte, eftersom eleven tvingas att tänka på ett visst sätt och inom vissa ramar, som kanske inte stämmer med det sätt som eleven själv tänker, eller som den hjälpande föräldern tänker.

En förälder berättade för mig i våras att hennes konstnärlige, fantasifulle son absolut inte förstod skriftlig huvudräkning. Föräldern försökte då lösa problemet genom att använda sin metod och sitt sätt att tänka, vilket stämde med hennes sons tänkesätt. "Men mamma, det här ju inte svårt" var hans kommentar. Glad i hågen gick han till skolan, för att sedan på eftermiddagen komma hem, djupt besviken. "Men mamma, du har ju lärt mig fel".

Skolor försöker nu hjälpa föräldrar med skriftlig huvudräkning genom att anordna kvällar med föräldramatte eller familjematte. Även olika utbildningsföretag erbjuder föräldrakurser. De flesta föräldrar vill ju hjälpa sina barn med läxorna. Med matematikläxan uppstår emellertid ofta problem som bottnar i att föräldern inte vet hur man undervisar på skolan och dessutom kanske har ett annat taltänkande än det som skolan anvisar. Tänk om det är så att de ”tänkeramar” som skriftlig huvudräkning bygger på, inte alls överensstämmer med det sätt som en stor grupp elever och föräldrar tänker tal. Då skapar ju dessa kurser ännu mer frustration. Hur ska man t ex få en elev eller förälder med en talbild som en talslinga (se bild) att tycka att skriftlig huvudräkning är en rationell metod?

I många läromedel finns det numera inga algoritmer alls under lågstadiet, vilket gör att elever inte ens får möjligheten att välja mellan skriftlig huvudräkning och algoritmräkning. På en direkt fråga, juni -10, om hur förlagen ser på skriftlig huvudräkning kontra algoritmräkning var de svar jag fick från förlagen rätt samstämmiga. De lägger stor vikt vid skriftlig huvudräkning, men påpekar samtidigt, kanske som en brasklapp, att de inte tonar ned ”gammaldags algoritmräkning”.

Jag har daglig tillgång till statistik som visar att behovet av hjälp med att förstå skriftlig huvudräkning och algoritmräkning är väldigt stort i Sverige. Eftersom min statistik bygger på endast några få procent av Sveriges elever tolkar jag det så att "väldigt" många elever har behov av hjälp inom detta område av matematiken.

Den centrala frågan är: Finns det verkligen vetenskap och beprövad erfarenhet, och då menar jag inte små forskningsrapporter och klassrumsförsök, som ger ett stöd för att så kraftfullt rekommendera "skriftlig huvudräkning" (räkning med mellanled), dvs finns forskningsresultat som visar att elevers sätt att tänka tal väl överensstämmer med metoden, och att den verkligen hjälper "alla" elever. Jag, och många med mej, tycker att metoden är en katastrof för många elever. Ett symtom på katastrofen är kanske den stora användningen av kapitlet Tal i WebMath.

Vi försöker fn, på amatörmässig nivå, sätta oss in i vad den senaste minnesforskningen säger om hur vårt minne fungerar ur både fysiologisk och psykologisk synpunkt, och jämföra det med vår erfarenhet av matematikundervisning, och tycker oss se att "skriftlig huvudräkning" är en metod som går stick i stäv med vad minnesforskningen säger. Därför skulle det vara intressant att veta vilken forskning som ligger till grund för införandet av "skriftlig huvudräkning". Vi har inte hittat något."

Välkommen med frågor!

Hälsningar
Fredrik Westman
fredrik@itsavar.se

X-tra 07:1

Kryptoskola

Nämnarens kryptoskola är ett studiematerial i fjorton delar, konstruerat av Stig-Arne Ekhall.

De tre första delarna är en introduktion och de följande elva är tänkta som underlag för arbete med elever. Var och en av dessa delar innehåller en inledande lärarsida med kommentarer och facit, sedan följer uppgifter för eleverna. Kryptoskolan är ett material som är skyddat av upphovsrättslagen. Materialet får dock fritt kopieras för användning i undervisning eller för enskilt arbete och rekommenderas från årskurs 4 till gymnasiet.

1. Introduktion
2. Matematik och språk
3. Historik
4. Lärarhandledning
5. Rövarspråket
6. Omkastning
7. Byggmästare
8. Sifferkrypto
9. Morse
10. Caesarkrypto
11. Forcering
12. Krypto utan ÅÄÖ
13. Extra Utmaningar
14. Examensarbete

Fördjupning
Nivån är nu högre och eleverna bör ha kommit något längre i sin matematikutbildning för att kunna tillgodogöra sig materialet. Eleverna kan själva ladda ned avsnitten, därför har dessa avsnitt inte några traditionella lärarsidor. Studiematerialet uppmanar till grupparbete och utmanar eleverna till datoranvändning.

15. Inledning
16. Språkstatistik
17. Caesarkrypto och språkstatistik
18. Engelska och andra språk
19. Dubbelt Caesarkrypto
20. Vigenères krypto
21. Sannolikt ord
22. Enkel substitution (ES-krypto)
23. ES-krypto – fortsättning
24. Språkstatistik – fortsättning
25. Enkel substitution – det allmänna fallet
26. Enkel transposition
27. Examensarbete

X-tra 07:3

Nämnaren nr 2, 2007
 
Aktiviteter

Klossar och lådor – introduktion
Enkla föremål såsom klossar och lådor kan vara mycket användbara i matematikundervisningen. Med dessa kan kopplingen mellan algebra och geometri åskådliggöras. Om man inte vill tillverka eget material finns många olika att köpa, se länkarna under matematikverkstad. Dessa material erbjuder ett sätt att synliggöra matematiska begrepp med andra representationer än de som vanligen förekommer i läroböckerna.

Här finns några artiklar av Lasse Berglund som belyser hur man med hjälp av klossar eller lådor kan visualisera räknelagar och ekvationer. Några andra aktiviteter som liknar dessa finns att hämta i Strävorna, i ruta 8E.

Klossar och lådor 1 ...

Klossar och lådor 2 ...

X-tra 07:2

Nämnaren nr 2, 2007
  Aktiviteter
Kalaha ...

Kvarn ...

Poliskonfrontationen ...

Att läsa
Med anledning av några artiklar i det aktuella numret av Nämnaren vill vi lyfta fram tre tidigare artiklar (pdf):
Ulf Persson
Cirkeln
Sfären

Christer Bergsten
Vad är en parabel?

X-tra 07:3

Nämnaren nr 2, 2007
 
Aktiviteter

Klossar och lådor – introduktion
Enkla föremål såsom klossar och lådor kan vara mycket användbara i matematikundervisningen. Med dessa kan kopplingen mellan algebra och geometri åskådliggöras. Om man inte vill tillverka eget material finns många olika att köpa, se länkarna under matematikverkstad. Dessa material erbjuder ett sätt att synliggöra matematiska begrepp med andra representationer än de som vanligen förekommer i läroböckerna.

Här finns några artiklar av Lasse Berglund som belyser hur man med hjälp av klossar eller lådor kan visualisera räknelagar och ekvationer. Några andra aktiviteter som liknar dessa finns att hämta i Strävorna, i ruta 8E.

Klossar och lådor 1 ...

Klossar och lådor 2 ...

X-tra 08:1

 
 

Kryptoskolan – fördjupning
Nu finns det en fortsättning på Nämnarens kryptoskola. Nivån är högre och eleverna bör ha kommit något längre i sin matematikutbildning för att kunna tillgodogöra sig materialet. Eleverna kan själva ladda ned avsnitten, därför har dessa avsnitt inte några traditionella lärarsidor. Studiematerialet uppmanar till grupparbete och utmanar eleverna till datoranvändning.

15. Inledning
16. Språkstatistik
17. Caesarkrypto och språkstatistik
18. Engelska och andra språk
19. Dubbelt Caesarkrypto
20. Vigenères krypto
21. Sannolikt ord
22. Enkel substitution (ES-krypto)
23. ES-krypto – fortsättning
24. Språkstatistik – fortsättning
25. Enkel substitution – det allmänna fallet
26. Enkel transposition
27. Examensarbete

För att komma till grundkursen i kryptoskolan klicka här.

X-tra 09:1

 
Aktivitet att ladda ner:
Tangrambrickor ...

X-tra 09:3

Nämnaren nr 3, 2009
  Att läsa
Trevisoartimetik ...

Här finns en utläggning om ett
av problemen från Nämnaren nr 1, 2009.
Gå till utläggning...

Läs mer om Nämnaren på nätet ...
Innehåll: UD

X-tra 09:4

Nämnaren nr 3, 2009
Att läsa

Matematik med mobiltelefoner




Navigering


Läs mer om Nämnaren på nätet ...
Innehåll: UD

X-tra 10:1

Nämnaren nr 4, 2009
 

GalleriN

GalleriN ställde vintern 2010 ut Matematiska beräkningar av Dorota Lukianska, som här berättar om sina bilder:

Att arbeta med frågor som rör vardagen har alltid legat i mitt intresse. Hur kan vi göra oss lyhörda för det som sker omkring oss? Att arbeta med det vardagliga är ett sätt att bli närvarande i samtiden och försöka göra denna synlig.

Många av mina projekt börjar när jag hittar material på antikvariat, loppisar, i dagstidningar och på nätet. Jag jobbar vidare med historier och händelser som har påbörjats eller är avslutade. Att söka efter information är en central del i mitt arbete men informationssökandet innehåller också ett moment av spänning. Att komma över material som öppnar ett nytt arbetsfält är väldigt givande. Matematiska, logiska och vetenskapliga fält hamnar i samspråk med personliga berättelser. För mig är matematik poesi.

Matematiska beräkningar handlar om att skapa någon slags ordning, försök till lösningar och förståelse. Jag utgår från två övningshäften, skrivna av någon som studerade till sjökapten under åren 1939-41. För att förstå vad det är man ville få beräknat, beslutade jag att komma i kontakt med en sjöfartstuderande vid Chalmers högskola i Göteborg. Genom detta samarbete kunde jag få insyn i uppgifterna och därefter jobba vidare med personliga och samtida problem vi har omkring oss.

Dorota Lukianska är utbildad vid Högskolan för fotografi i Göteborg samt Konstfack i Stockholm där hon tog sin magisterexamen 2001. För mer information besök Dorotas blogg.


Att läsa

Uppfinnarens kvadrat

Fler matematikpapper
Här finns papper med olika grundmönster att fritt använda i undervisningen. Om du har egna önskemål, förslag eller synpunkter, hör av dig till Lena Trygg.
Triangelpapper, små ...
Triangelpapper, mellan ...
Triangelpapper, stora ...
Hexagonpapper, små ...
Hexagonpapper, mellan ...
Hexagonpapper, stora ...

X-tra 10:2

X-tra 10:3

Nämnaren nr 4, 2009
 

Aktivitet: Mattepoker
Här är en aktivitet där eleverna i grupp tävlar mot varandra att lösa problem inom olika
matematikområden. Aktiviteten tränar bland annat muntlig kommunikation i matematik. Det krävs endast penna och papper och att du som lärare (eller elever själva)väljer ut ett matematikområde och sammanställer några frågor.

Ladda ner Mattepoker ...

X-tra 11:2

Nämnaren nr 4, 2009
 

Artikel
Noshörningstenen - en marksten bidrar till en vardagsanknuten matematikundervisning

Aktivitet
Grodhopp

En ny strävansaktivitet som vi även skriver om på Uppslaget i Nämnaren nr 2.

X-tra 12:4

Nämnaren nr 4, 2009
 

Åsa Brorsson
Till artikeln Algebra för lågstadiet har vi gjort ett urval av tidigare artiklar och Uppslag som handlar om Algebra.
Länkar om Algebra
Här finns också en aktivitet om att dela en kvadrat på olika sätt.
Dela kvadrater

 

Eva Pettersson
Till artikeln Elever med särskilda förmågor av Eva Pettersson finns här en länk till den avhandling som artikeln bygger på.
Läs avhandlingen

 

Maria Flodström & Lina Johnsson
Artikeln Framställningen av multiplikation påverkar taluppfattningen bygger på en uppsats av Maria Flodström och Lina Johnsson. Uppsatsen finns att läsa här.
Läs uppsatsen

 

Cecilia Lindegren & Ida Welin
Den uppsats av Cecilia Lindegren och Ida Welin som ligger till grund för artikeln Förståelse för tal i bråkform finns att läsa i sin helhet här.
Läs uppsatsen

 

K. Drageryd, M. Erdtman, U. Persson & C. Kilhamn
Vi har sammanställt en ordlista för ord, termer och begrepp som rör tal i bråkform som är kopplat till både Förståelse för tal i bråkform och Tallinjen - en bro mellan konkreta modeller och abstrakt matematik.
Läs ordlistan

 

Jonas Hall & Thomas Lingefjärd
Vad varje matematiklärare borde kunna, del 2 – Testa!
Triangelarea
Fiskodlingen
Modellera musik
Fotbollsskytten

 

Avancerade räknare - hjälper eller stjälper? – Jonas Hall

Hans Thunberg och Thomas Lingefjärd skriver i sin artikel "Öppet brev till skolverket: Avancerade räknare - hjälper eller stjälper?" i Nämnaren nr 4, 2006 om den oro de känner inför skolverkets beslut att tillåta symbolhanterande räknare på gymnasiets nationella prov i matematik. Författarna har lagt in brasklappar om att de inte har något emot att de används i undervisningen och att det bara är beslutet om att använda räknarna på de nationella proven de vänder sig mot men artikeln ger som helhet ändå en övervägande negativ bild av användandet av räknare i skolan.

Detta inlägg är ett försök att motverka den bilden. Jag skriver "försök" eftersom författarna intelligent nog har tagit udden av mitt inlägg redan innan det är skrivet. Jag är nämligen en av de "konsulenter" som Texas instruments "har i sin tjänst". Sålunda är jag antagligen åtminstone i artikelförfattarnas ögon part i målet och knappt värdig att läsas. Jag vill dock hoppas att andra ska finna det jag har att säga läsvärt.

Jag vill alltså först redovisa något om mig själv. Jag är lärare i matematik och fysik på Mörbyskolan i Danderyd. Jag undervisar på 50% av min tjänst och bedriver skolutveckling, dataansvar och är med i skolans ledningsgrupp på den andra halvan. Jag är dessutom T3-instruktör för Texas Instruments. "T3" står för "Teachers Teaching with Technology", ett begrepp som myntats av Texas Instruments. Det innebär att jag åker ut till skolor i landet som är nyfikna på grafritande räknare och håller tretimmarskurser för dem. Första gången en skola eller kommun gör detta kostar det dem ingenting. Själv får jag betalt samt får resekostnader betalda. En typisk termin håller jag mellan 1-5 sådana kurser, alltså ingenting man lever på, utan snarare ett roligt extraknäck. Förutom detta har vi nordiska samverkansmöten mellan instruktörerna 1-2 gånger per år och det finns möjlighet att åka till en internationell konferens i Texas med några års mellanrum för vår egen fortbildning. Jag vet inte om det är detta författarna menar med gratifikationer. Vi är ca 10 stycken i landet. Texas Instruments har förutom oss T3-instruktörer två personer anställda i Sverige, en marknadsförare och en (äkta) skolkonsulent vars arbete består i att knyta kontakt med och mellan skolor som jobbar med grafräknare. Självklart är vi medvetna om att Texas Instruments och andra aktörer är vinstdrivande företag. Vi som är instruktörer har våra egna åsikter i den frågan. De flesta är nog rätt neutrala, själv är jag övervägande positiv till Texas Instruments just eftersom de tar fram räknarna i samråd med lärare och vill att de ska kunna användas som inlärningsverktyg snarare än bara som räkneverktyg. Jag har valt att bli T3-instruktör eftersom jag känner att det ger mig ett utrymme att utvecklas i, både pedagogiskt och tekniskt. Författarna slår ned på främst fyra punkter. Dessa är:

  • Att grafritande miniräknare ofta används på ett destruktivt sätt i undervisningen; träning av grundläggande räknefärdighet uteblir då miniräknaren alltid finns till hands.
  • Den matematikdidaktiska forskningen har inte på något tydligt sätt kunnat påvisa generella positiva effekter på matematisk begreppsbildning och förståelse vid användning av symbolhanterande miniräknare i undervisningen.
  • De avancerade miniräknarna (grafritande och symbolhanterande) används inte i någon nämnvärd grad som verktyg i vardagsliv, yrkesliv eller vid högskolan.
  • De symbolhanterande miniräknarna är dyra, priserna ligger på 1500-2000 kronor.

Den första punkten är enligt min mening den mest intressanta. Jag menar att det är fullt möjligt att författarna har rätt. Räknare används ofta slentrianmässigt i undervisningen. Det pedagogiska användandet av räknarna förekommer, men tyvärr inte i den omfattning man skulle kunna önska. Frågan är vad man drar för slutsatser av detta faktum. Författarna drar uppenbarligen slutsatsen att räknarna är av ondo. Det är räknarna som försvagar undervisningen. Jag skulle tro att det var det som de katolska prästerna kände när Galileo började utföra sina experiment också. Vad ska mänskligheten ha vetenskapen till? Är vi inte lyckligare utan? Att på detta sätt demonifiera verktyget när det i själva verket handlar om människorna känns lite för simpelt tycker jag. Så låt oss uppehålla en stund vid människorna. För vad författarna säger mellan raderna är att som grupp betraktat är det svenska matematiklärarkollektivet oförmöget att använda räknare på ett pedagogiskt sätt. Det skrämmande här är kanske att jag håller med dem. Ja, jag ser alltså att just nu, i skrivande stund, så kan de flesta matematiklärare i Sverige inte tillräckligt om räknare - avancerade eller ej - för att kunna använda dem på ett pedagogsikt riktigt sätt i klassrummet (lysande undantag finns givetvis). De flesta ser på räknaren som just ett räkneverktyg - inte ett inlärningsverktyg.

Traditionellt har vi i matematikundervisningen haft två ingångar till matematiken, dels läraren och dels läroboken. Nu finns en tredje ingång till matematiken som fortfarande är så ny att väldigt få inser dess potential - räknaren. Hur mycket matematik skulle man inte kunna lära sig om man slängde ut läroboken och koncentrerade sig på att lära sig räknaren i ett par veckor? Men slutsatsen av detta kan varken bli att förbjuda räknare på prov eller att diskvalificera Sveriges samlade matematiklärarkår för all framtid. Slutsatsen måste i stället bli att det behövs mer lärarfortbildning, och här måste lärarhögskolorna ta sitt ansvar. Hur kan man idag släppa ut matematiklärare som aldrig vare sig fått eller behövt lära sig använda miniräknare, grafräknare och symbolhanterande räknare i sin utbildning?

Det är pga bristen av denna utbildning hos matematiklärare idag som Texas Instruments som företag och vi T3-instruktörer ska ses. Om lärarna kunde hantera dessa hjälpmedel skulle vi inte behövas. Teknologin är relativt ny och väljer som all teknologi sin egen väg oavsett hur mycket som forskas om den. Samhället har att anpassa sig. Det är värt att poängtera att matematiken som forskningsfält har genomgått en tyst revolution och är i dag inne i en guldålder just pga datorernas genombrott. Vad är inte en grafräknare om inte just en pedagogisk undervisningsdator med möjlighet till filöverföring och programmering? Skulle dessa verktyg bli bannlysta på prov? Ja, säkert om man fortfarande anser att man ska kunna allt i huvudet, men de som anser det blir nog allt färre. Snarare är det väl så att prov behöver vara av olika slag. Redan idag finns det olika delar på de nationella proven - en del där räknaren inte får användas och en del där den får användas - så vad är problemet? Det går f.ö. alldeles utmärkt att konstruera uppgifter så att det framgår hur (och att) elever tänker. Författarna vänder sig inte just mot detta utan snarare mot att effekten av beslutet kommer att medföra ett genomslag på bred front. Jag säger: Lärare! Fortbilda er! Jag vet att ni har det tufft men ni har klarat av mer än 4 års högskolestudier redan. Varför skulle inte ni kunna lära er hantera detta verktyg på ett pedagogiskt lämpligt sätt?

Vad gäller de andra punkterna kan de relativt lätt avfärdas. I och med att teknologin är ny finns knappast några längre studier att tillgå. Detta förklarar även att de inte används i hem, på arbetsplatser och högskolor. Priset lär sjunka undan för undan. Vad gäller prioriteringen om eleven ska få behålla läroboken eller ej finns där väl inget motsatsförhållande till om eleven ska ha en räknare eller ej? Givetvis borde de ha båda men självklart spelar ekonomin roll. Författarna är såvitt jag förstår högskolelektorer på Kungliga Tekniska Högskolan och Göteborgs Universitet. Jag har inte läst något av deras arbeten men jag noterar att de beskriver svepande (i ett citat från "Bergqvist") att "internationell forskning slår fast..." utan att lämna referenser till denna forskning. Däremot är de pigga på att lämna referenser till egna arbeten. Lingefjärd har till och med doktorerat på matematisk modellering med tekniska hjälpmedel, speciellt på problem som är konstruerade så att räknarna inte kan representera dem korrekt! Det torde säga sig självt att även lärarstudenter har problem med uppgifter som är så speciellt konstruerade. Men hur ofta dyker dessa situationer upp i praktiken under t.ex. tre års matematikstudier på gymnasiet? Aldrig? En enda gång? Jag tror knappt att jag sett något sådant exempel själv under alla år jag använt grafräknare, dvs från 1988 till nu, i drygt 18 års tid. Det är möjligen så att jag är färgad av mina positiva erfarenheter av att använda grafräknare i undervisningen men det verkar som om Lingfjärd aktivt har sökt efter de problem som finns i stället för att försöka lösa dem.

Avslutningsvis vill jag sammanfatta så här: Det är en stor pedagogisk uppgift att ta till vara de verktyg som bjuds och lära sig hantera dem på ett pedagogiskt lämpligt sätt. Lärarkåren är just nu i en fas som bäst beskrivs som en enorm kompetensutveckling vad gäller datorer, Internet och kommunikation. Att i det läget stänga dörrar kan i sämsta fall hejda kompetensutveckling och i bästa fall spränga dem.

Den 27 november 2006
Jonas Hall
Mörbyskolan
http://www.morbyskolan.se

Avancerade räknare – hjälper eller stjälper?

Svara på inlägget...


Dyra grafritande räknare!
Malin Christersson:

Mina elever (liksom jag själv) ägnar en stor del av sin fritid framför datorer. Min skola har datorer i ett mycket stort antal klassrum. Det finns program (läs GeoGebra) som vida överstiger miniräknare både när det gäller användargränssnitt och funktionalitet; program som är gratis. Det finns också en växande Internetkultur när det gäller utbyte av pedagogiska idéer och undervisningsmaterial, en kultur som genomsyras av ordetŠgratis!
Om jag hade fått fördela resurserna inom matematikundervisningen på min skola så hade jag valt miniräknare för någon hundralapp och istället lagt stålarna på bättre datorer. Nu är detta inte möjligt utan vi tvingas att köpa in grafritande räknare för skattepengar. Att symbolhanterande miniräknare tillåts på de nationella proven kan föra med sig att skattebetalarna i framtiden tvingas betala för ännu dyrare miniräknare, miniräknare som jag ändå inte kommer att använda i undervisningen eftersom de är sämre än ett gratisprogram.
Texas Instruments lönelistor borde intressera dem som tvingas köpa deras räknare, nämligen skattebetalarna. Varför är det inte större uppståndelse kring Texas Instruments?
Malin Christersson
Katedralskolan i Lund


Avancerade räknare - Debattinlägg 3
Per-Eskil Persson

Det är glädjande att Ann-Marie Pendrill, som arbetar med lärande inom ämnet fysik, deltar i debatten om avancerade räknare. Dessa används ju även inom andra ämnen än matematik, främst de naturvetenskapliga, men även sådana som elteknik, ekonomi etc. inom gymnasieutbildningarna. Hon påpekar också vikten av att använda tekniska verktyg för beräkningar, datainsamling och visualisering av matematiska och naturvetenskapliga begrepp och modeller. Men inlägget nämner inte räknare och datorer som verktyg för själva begreppsbildningen och hur en sådan användning av dem kan förändra lärares sätt att undervisa. Detta menar jag är centralt i diskussionen.

Läs mer ... (pdf)


Debatten om användningen av kraftfulla miniräknare i gymnasieskolan innehåller egentligen ett par olika frågor:
* Nyttan av tekniska hjälpmedel.
* Val av tekniska hjälpmedel
Den andra frågan verkar konsekvent ha undvikits i debatten

För den som upplever de stora möjligheterna med tekniska hjälpmedel för fördjupad förståelse av matematiska begrepp och modeller behöver inte slutsatsen bli att hjälpmedlet skall vara just avancerade miniräknare. För forskare och lärare inom naturvetenskapliga och tekniska ämnen på universitetet är en dator ofta det självklara arbetsverktyget - liksom den alltmer kommit att bli också för lärare och elever i grundskola och gymnasium.
Vid tentamen på högskolan tillåts ofta enbart enklare "typgodkända räknare". De nya studenternas kunskaper i användning av avancerade miniräknare är inte något som krävs - och inte heller något som tas tillvara. Om detta kan man ha olika åsikter, men det är inte något som är lätt att ändra på.
I kostnaden för användning av ny teknik i skolan bör även kostnaden för lärarfortbildning vägas in, liksom den tid det tar för elever att lära sig att använda hjälpmedlen. Tröskeln för att utnyttja ett bekant hjälpmedel (som datorn) är lägre! Kanske finns det också annan lärarfortbildning inom matematik som är mer angelägen än att lära sig använda en speciell typ av matematiskt hjälpmedel? Vi som tar emot nya studenter upplever också att det finns många andra färdigheter som är mer angelägna att fördjupa än förmågan att utnyttja en avancerad miniräknare.

Det är en viktig diskussion om hur vi bäst skall ge elever och lärare möjlighet att lära sig använda beräknings-, datainsamlings- och visualiseringshjälpmedel för att få en fördjupad förståelse, både av matematiska modeller och den verklighet de kan beskriva. Denna diskussion är inte identisk med diskussionen om användningen av avancerade miniräknare!

Ann-Marie Pendrill
Prof. i Fysik, Göteborgs universitet


Maria Bijlenga Civilingenjör och skolar om sig till lärare vid universitetet i Karlstad

I vårt samhälle har det de senaste tjugo åren skett en utveckling som saknar motsvarighet i historien. Vi kommunicerar och använder datorer på ett sätt som ingen av oss drömde om för trettio år sedan. Personligen tror jag att matematikundervisningen står inför en stor förändring där just hur vi integrerar de nya möjligheter som uppkommit är avgörande för hur människans förhållande till matematiken kommer att vara framtiden. Vi är skyldiga att utveckla vårt sätt att använda matematiken och det kommer att vara vårt bidrag till det kulturella arvet.
Läs mer ... (pdf)

Texten i inlägget är urspungligen inte skrivet som ett inlägg i räknar-debatten, utan är en inlämningsuppgift inom ramen för lärarutbildningen. Texten landar dock så småningom i den aktuella debatten, men på vägen dit berörs en del andra saker också.


Avancerade räknare – hjälper eller stjälper, en fortsatt diskussion
Hans Thunberg & Thomas Lingefjärd

Låt oss först säga att vi tycker att det är roligt att debatten har kommit igång, och att så många tankeväckande åsikter och erfarenheter har kommit till uttryck. Vi vill härmed vidare kommentera några av de frågor som har väckts i de nytillkomna debattinläggen. Speciellt vill vi kommentera Skolverkets andra och längre svar samt de två mycket tänkvärda inläggen från Per-Eskil Persson. Vår replik behandlar fyra olika infallsvinklar.

Läs hela inlägget ... (pdf)


Avancerade räknare - Debattinlägg 2
Per-Eskil Persson

Thunberg och Lingefjärd har i sitt andra debattinlägg mildrat sina tidigare kategoriskt negativa påståenden om grafräknare och symbolhanterande räknare. Istället ställs en rad frågor kring räknarnas användning i undervisningen, frågor som verkligen är av stor vikt, men som just i Sverige blivit väldigt lite undersökta. Men, som jag i mitt tidigare inlägg påpekat, finns det i den modernaste internationella forskningen en slutsats som verkar vara gemensam: Det är lärarens uppfattning om hur matematikundervisning ska bedrivas och dennes sätt att genomföra den som är avgörande för om räknarna används på ett didaktiskt fruktbart sätt. Och givetvis är även lärarens kunskaper i såväl matematik som didaktik grundläggande, och detta inkluderar räknaranvändningen.

Läs hela inlägget, (pdf) ...


Lingefjärd och Thunberg skriver i sitt nya inlägg:

"Vi noterar att inget av de svar vi har fått i sak bestrider de svårigheter och problem vi pekar ut i vår första artikel. Svaren genomsyras istället av en förtröstan på att den framtida utvecklingen skall ge oss bättre kunskaper, förnyad utbildning och billigare räknare. Men varför slänga in instrumentet först (i en form som kommer att bli ett de facto obligatorium) och hoppas på att det blir bättre av sig själv? Här finns alltför många oklarheter, anser vi. Hur använder vi tekniska hjälpmedel på ett kreativt sätt som inte undergräver andra viktiga kunskapsmål? Var finns den adekvata utbildningen, som gör att lärarna kan klara detta på ett förtjänstfullt sätt? Vad säger högskolorna om att tillåta denna typ av miniräknare på sina kurser och examina? Vem hamnar i kläm?"

Jag håller i stort med författarna i detta men anser fortfarande att slutsatsen måste bli annorlunda. Stimulera lärarna att fortbilda sig genom att vara välvillig till verktygen. Den största fortbildningsinsatsen gör nog de flesta själva när de funderar på hur de ska använda verktygen på ett pedagogiskt sätt i sin egen undervisning. De som inte funderar på detta kommer nog inte att gå utbildningar på lärarhögskolan heller. Det är de kollegorna vi måste nå. Tyvärr läser de troligen inte dessa debattinlägg heller. Så vem har förslag på hur man höjer "bottennivån" hos lärarkollegiet som helhet? Sådana förslag tror jag skulle vara värdefullare än huruvida man tillåter eller inte tillåter grafräknare på nationella prov. Och om det är några som kommer i kläm så gör de det på grund av dålig undervisning - inte om de får eller inte får ha räknare på proven!

Jonas Hall
Mörbyskolan


Bengt Åhlander
Rektor i Uddevalla

Öppet brev till Skolverket: Datorstöd hjälper elever!

Med anledning av Thomas Lingefjärds och Hans Thunbergs öppna brev i Nämnaren nr 4 i år
skriver jag detta brev till er.

Den tekniska utvecklingen går hela tiden framåt och när den kommer för nära inpå reviret blir en del tveksamma till fenomenet teknisk utveckling.

Redan år 1992 så presenterades den ”avancerade miniräknaren” . En symbolhanterande portabel minidator som klarar av i princip nästan all matematik. HT 07 blir den tillåten att använda på nationella prov på gymnasiet, 15 år senare! Under den tiden har många länder redan börjat använda den och även ha den med på studentskrivningar eller liknande tentamen. Vid användandet av symbolhanterande minidatorer så måste man självfallet även träna elevernas färdigheter utan minidatorn på samma sätt som vi tränade/tränar huvudräkning utan räknare. Alla verktyg kan användas felaktigt med dåligt resultat. Men vid både Pedagogen i Göteborg och KTH i Stockholm pågår det ju lärarutbildning och där bör man ju se till att lärarkandidaterna får rätt utbildning hur man använder minidatorer för att öka
begreppsförståelsen. Sker detta vid dessa högskolor?

Läs hela inlägget, (pdf) ...


Per-Eskil Perssons svar på "Avancerade räknare – en naturligt verktyg i gymnasiets matematikundervisning"

Med utgångspunkt i Skolverkets beslut att symbolhanterande räknare ska vara tillåtna vid delar av de nationella proven från och med nästa läsår, går Hans Thunberg och Thomas Lingefjärd i Nämnaren nr 4, 2006 till ett ganska hårt angrepp mot användningen av grafräknare i gymnasieskolans undervisning. I sin kritik menar de att de utgår från vad forskning och erfarenhet hittills visat, men detta vill jag starkt ifrågasätta.

Läs hela inlägget, (pdf) ...


Svar från Simon Fall till Avancerade räknare - hjälper eller stjälper?

Redan under min lärarutbildning kom jag i kontakt med Lars Jacobsson (en riktig "TEXAS-gubbe" och känd läromedelsförfattare). Vi hade totalt skilda uppfattningar om hur grafritaren skulle användas - och det slutade, underbart nog, med att vi inte kom överens alls (om just detta:)).

I min undervisning sedan dess har jag alltid satsat på gedigen matematisk utbildning utan att anänvda detta hjälpmedel i allt för stor utsträckning. Vad passar t.ex. bättre än att som vid räta linjen låta eleverna själva gå fram på tavlan och rita en rad med linjer - så de får känna på lutning, m-värde och en ljuvlig whitebordpennas doft? Känslan hos en lycklig elev som just lyckats rita y=2x-3, kan inte jämföras med ett par knapptryckningar på den gråa grafritaren.

Det är min bestämda uppfattning att eleverna själva inte önskar sig detta hjälpmedel, då de vill rita och tänka själva - framför allt gäller detta flickorna. Pojkarna distraherar sig gärna med diverse avarter som spel och annat som dessa maskiner också kan användas till.

Resultatet av mina "observationer" är att de som använder grafritaren i liten utsträckning lär sig matematiken på ett djupare plan. En annan stor nackdel är avsaknad av all form av huvudräkning och rimlighetsbedömning i uppgifterna.

Matematik läses för matematikens egen skull, och bör vårdas med varsam hand: penna och papper och ibland en RÄKNARE.

Det ska tilläggas att grafritaren däremot i FYSIKEN är ett oumbärligt hjälpmedel - då det där är just fysiken som ska läras ut. Fysiken är tillräckligt svår för eleverna som den är. Det matematiska i fysiken bör inte fälla en i övrigt fysikaliskt begåvad elev.

Jag är fullt medveten om min Stenåldersläggning - men visst är det skönt med lite "rabiata" inlägg i den annars så politiskt korrekta skolvärlden.

God Jul och ett riktigt Gott Nytt År (utan TEXAS)
önskar

Simon Fall
Ansvarig för Matematik- och Fysikinstitutionen vid Bollerups Naturbruksgymnasium på Österlen (där ca 80% av eleverna är flickor)


Thomas Lingefjärd och Hans Thunberg svarar på de inlägg som kommit som respons på deras debattartikel.

Läs inlägget (pdf) ...


Svar på Öppet brev till Skolverket

Skolverket har mottagit ert öppna brev angående beslutet att tillåta sk symbolhanterande räknare på nationella prov i matematik.

Skolverket förstår er oro att elevers matematikkunskaper ska försämras. Det finns, som redovisats i Matematikdelegationens betänkande (SOU 2004:97), olika signaler om att så är fallet. Så kunde t.ex. TIMSS 2003 redovisa att svenska elever i årskurs 8 hade betydligt lägre resultat 2003 än vad motsvarande elever hade 1995. Ett område där nedgången var särskilt påtagligt var algebra. Till stor del förklaras nedgången av att endast drygt 40 procent av eleverna fått undervisning i algebra före provtillfället. Detta är ett exempel på att algebrans andel av undervisningstiden har minskat och att undervisningstiden naturligtvis har betydelse för elevernas resultat. Denna förändring får ses som ett uttryck för att fokus i matematikämnet har förflyttats från de mer renodlade matematiska färdigheterna mot en större betoning av matematikens tillämpning vid olika former av problemlösning. Det är därmed alltför förenklat att fokusera enbart på användning av räknare i undervisningen vid bedömningen av varför elevers kunskaper och kunskapsutveckling i matematik förändras över tid. Diskussionen om vilka hjälpmedel som ska tillåtas eller inte tillå-tas är inte ny utan aktualiseras med mer eller mindre jämna mellanrum, i synnerhet när någon studie visat att vissa traditionella matematikkunskaper försämrats.

Läs vidare ...


Svar från Jonas Hall, Mörbyskolan:

Hans Thunberg och Thomas Lingefjärd skriver i sin artikel "Öppet brev till skolverket: Avancerade räknare - hjälper eller stjälper?" i Nämnaren nr 4, 2006 om den oro de känner inför skolverkets beslut att tillåta symbolhanterande räknare på gymnasiets nationella prov i matematik. Författarna har lagt in brasklappar om att de inte har något emot att de används i undervisningen och att det bara är beslutet om att använda räknarna på de nationella proven de vänder sig mot men artikeln ger som helhet ändå en övervägande negativ bild av användandet av räknare i skolan. Detta inlägg är ett försök att motverka den bilden. Jag skriver "försök" eftersom författarna intelligent nog har tagit udden av mitt inlägg redan innan det är skrivet. Jag är nämligen en av de "konsulenter" som Texas instruments "har i sin tjänst". Sålunda är jag antagligen åtminstone i artikelförfattarnas ögon part i målet och knappt värdig att läsas. Jag vill dock hoppas att andra ska finna det jag har att säga läsvärt.

Läs vidare ...


Skolverket svarar på kritiken ...


"Skolverket har beslutat att från och med läsåret 2006-07 tillåta så kallade symbolhanterande miniräknare på gymnasiets nationella prov i matematik. [...] Användningen av symbolhanterade miniräknare blir nu också i någon mening ”auktoriserad” och ”av myndigheten bedömd som lämplig” genom Skolverkets beslut. I själva verket måste avsikten med att tillåta dem vara att uppmuntra en utbredd användning i undervisningen.

Skolverkets beslut är av flera skäl mycket tvivelaktigt ..."

Läs vidare i Hans Thunbergs & Thomas Lingefjärds debattartikel i Nämnaren nr 4, 2006 ...

Hör intervju med Hans Thunberg i Dagens Eko, 24/11, 2006 ...



Bäste läsare!
Vi tar gärna emot fler insändare!
Svara på inlägget...

Innehåll: UD

Benjamin 2008: poängfördelning och lösningsfrekvenser

Poängfördelning procentuellt
Baserat på 423 skolor av total 908 anmälda.

Poäng Åk5 Åk6 Åk7
84 - 70 0 1 2
69 - 50 8 14 17
49 - 34 28 33 35
33 - 22 34 31 28
21 - 10 25 18 15
9 - 0 5 3 3
Summa 100 100 100
Elevunderlag 3736 6253 5576

 

Lösningsfrekvens procentuellt
Uppdelat mellan pojkar och flickor. Baserat på 3068 elever i åk5, 4525 elever i åk6 samt 4021 elever i åk7.

Uppgift Åk5
Åk6
Åk7

P F P F P F
1 35 32 42 41 47 42
2 50 48 52 52 53 55
3 66 66 71 77 72 75
4 23 23 29 29 34 30
5 73 76 75 78 75 77
6 39 33 45 41 48 43
7 44 41 51 50 55 54
8 57 60 66 70 66 69
9 36 37 39 42 42 43
10 51 60 58 71 57 67
11 17 12 15 15 16 14
12 26 27 30 31 32 32
13 19 20 20 20 21 20
14 21 18 27 24 30 27
15 12 12 18 18 21 19
16 46 48 53 58 54 56
17 20 16 23 22 24 24
18 38 33 42 43 45 45
19 33 33 39 44 40 45
20 29 26 33 27 29 25
21 19 13 19 14 16 14

 

Benjamin 2009: poängfördelning och lösningsfrekvenser

Poängfördelning procentuellt
Baserat på 332 skolor av total 832 anmälda.

Poäng Åk5 Åk6 Åk7
84 - 70 < 0.5 < 0.5 0.5
69 - 50 3 5 8
49 - 34 20.5 28 30.5
33 - 22 42 37.5 38
21 - 10 31 26 20.5
9 - 0 3.5 3.5 2.5
Summa 100 100 100
Elevunderlag 3467 4457 3396

Lösningsfrekvenser
Visa...

Biennalproblem, 2008

 

Vi säger grattis...


till vinnarna på NCM:s problemtävling på biennalen, 2008.

Tävlingskommittén har med lottens hjälp utsett följande vinnare:
Kajsa Sundqvist, Nyköping
Hellis Nilsson, Nordmaling
Johan Lindell, Eslöv

Nämnaren gratulerar. Priser kommer!

Här finner du problemet ...
...och lösningen...

Cadet 2008: poängfördelning och lösningsfrekvenser

Poängfördelning procentuellt
Baserat på 150 skolor av total 386 anmälda.

Poäng Åk8 Åk9
84 - 70 0 1
69 - 50 4 6
49 - 34 17 21
33 - 22 37 36
21 - 10 35 30
9 - 0 7 6
Summa 100 100
Elevunderlag 2638 2051

 

Lösningsfrekvens procentuellt
Uppdelat mellan pojkar och flickor. Baserat på 3012 elever i åk8 samt 2353 elever i åk9.

Uppgift Åk8
Åk9

P F P F
1 46 51 51 56
2 75 82 76 81
3 46 41 48 45
4 40 41 40 40
5 27 29 31 29
6 29 30 32 30
7 39 49 42 51
8 23 29 28 31
9 20 21 25 24
10 26 26 32 26
11 22 24 28 27
12 30 28 30 29
13 26 26 32 28
14 21 22 26 24
15 38 37 40 38
16 24 21 24 20
17 28 29 32 34
18 21 17 20 18
19 21 19 25 22
20 18 13 20 15
21 16 15 17 15

 

Cadet 2008: poängfördelning och lösningsfrekvenser

Poängfördelning procentuellt
Baserat på 150 skolor av total 386 anmälda

Poäng Åk8 Åk9
70 – 84 0 1
50 – 69 4 6
34 – 49 17 21
22 – 33 37 36
10 – 21 35 30
0 – 9 7 6
Summa 100 100
Elevunderlag 2638 2051

 

Lösningsfrekvenser

Cadet 2009: poängfördelning och lösningsfrekvenser

Poängfördelning procentuellt
Baserat på 87 skolor av total 305 anmälda.

Poäng Åk8 Åk9
84 - 70 < 0.5 < 0.5
69 - 50 3 5.5
49 - 34 22.5 30
33 - 22 44 40.5
21 - 10 27 22
9 - 0 3.5 2
Summa 100 100
Elevunderlag 2368 1934

Lösningsfrekvenser
Visa...

Cadet-gy, Junior & Student 2008: poängfördelning och lösningsfrekvens

Lösningsfrekvens
Cadet-gy | Junior | Student | Gymnasiet, alla kurser

Poängfördelning procentuellt

  Cadet-gy Junior Student
Poäng MaA MaB MaC MaD MaE
96 - 77 2 1 1 1 3
76 - 57 6 9 17 6 15
56 - 41 23 24 38 21 35
40 - 25 42 43 33 50 30
24 - 13 23 20 10 19 13
12 - 0 4 3 1 4 4
Summa 100 100 100 100 100
Elevunderlag 845 348 222 197 142
Skolunderlag 26 25   23  
Anmälda skolor 59 52   40  

 

Lösningsfrekvens procentuellt, Cadet-gy
Uppdelning mellan pojkar och flickor. Baserat på 733 elever.

Uppgift MaA

P F
1 60 70
2 90 91
3 61 54
4 52 48
5 41 36
6 39 36
7 56 59
8 62 61
9 33 36
10 39 34
11 42 34
12 36 31
13 29 23
14 38 33
15 29 35
16 15 14
17 39 34
18 26 18
19 37 36
20 21 14
21 27 21
22 25 19
23 16 11
24 14 11

 

Lösningsfrekvens procentuellt, Junior
Uppdelning mellan pojkar och flickor. Baserat på 733 elever i kurs B samt 187 elever i kurs B.

Uppgift MaB
MaC

P F P F
1 90 89 89 94
2 71 73 90 80
3 25 37 41 34
4 66 66 67 59
5 44 39 55 54
6 51 43 71 75
7 30 32 36 29
8 67 66 74 64
9 72 77 78 86
10 43 45 56 50
11 23 16 35 33
12 41 36 63 45
13 33 28 40 32
14 16 12 21 16
15 44 40 62 47
16 44 40 42 54
17 26 22 50 41
18 21 20 48 36
19 22 18 15 17
20 26 16 25 28
21 22 24 25 28
22 21 26 28 25
23 26 23 24 30
24 9 11 16 20


 

Lösningsfrekvenser procentuellt, Student
Uppdelning mellan pojkar och flickor. Baserat på 77 elever i kurs D samt 142 elever i kurs E.

Uppgift MaD
MaE

P F P F
1 84 75 72 78
2 Uppgift saknas

3 36 36 43 53
4 22 33 50 40
5 75 63 86 68
6 31 24 39 53
7 27 15 38 15
8 70 84 75 75
9 75 69 83 78
10 47 39 47 40
11 29 9 42 25
12 65 39 61 62
13 77 66 78 65
14 29 15 26 18
15 38 36 55 56
16 45 3 30 28
17 27 33 33 31
18 27 18 37 34
19 38 30 41 25
20 20 15 27 15
21 20 21 32 34
22 15 6 19 12
23 20 12 31 12
24 15 21 26 12

Observera att uppgift 2, kurs D, är felaktig i diagrammet nedan.

 


Observera att uppgift 2, kurs D, är felaktig i diagrammet nedan.

Cadet-gy, Junior & Student 2009: poängfördelning och lösningsfrekvens

Poängfördelning procentuellt

  Cadet-gy Junior Student
Poäng MaA MaB MaC MaD MaE
96 - 77 < 0.5 1 1 0 2.5
76 - 57 10 2.5 10.5 4 12
56 - 41 29 20 26 8.5 26.5
40 - 25 42 48 48 49 44
24 - 13 16 24 14.5 34.5 12
12 - 0 3 4.5 < 0.5 4 3
Summa 100 100 100 100 100
Elevunderlag 833 265 321 132 154
Skolunderlag 22 23   16  
Anmälda skolor 55 42   25  

Lösningsfrekvenser
Visa frekvenser för CadetGy...
Visa frekvenser för Junior...
Visa frekvenser för Student...
Visa frekvenser för hela gymnasiet...

Clone of Månadens problem, jan 2011

Skicka in era lösningar!

Problem 1

I hålet passar två pusselbitar. Vilka?

Lösning
2 och 3 barn.
En lösning vi fått är av Dennis Gudmundsson, åk 3 Kiaby skola.
"Först provade jag alla fyra. Då såg jag att 3:an passade där uppe och tvåan passade där nere." En enkel och bra lösning.
Man kan diskutera vad som egentligen menas med att en pusselbit passar i hålet och vad menas med att 2 pusselbitar passar i hålet. En rimlig tolkning av det andra är att man kan lägga de två över hålet så att de täcker hela hålet utan att överlappa varandra och utan att någon sticker utanför hålet. När man söker EN som passar i hålet så är man intresserad av en som kan läggas över hålet så att den har en och bara en del av omkretsen gemensam med hålet och utan att den sticker ut.
Om man råkar ut för ett liknande men svårare problem, så det är bra att veta att det finns metoder att förenkla provandet. Vi beräknar areor: hålet är 17 rutor, pusselbitarna är 9, 10, 7 och 8. Summan av pusselbitarnas areor måste vara lika med hålets area om de ska passa in. Endast bitarna 1 och 4 eller bitarna 2 och 3 kan möjligtvis passa (9+8=17 och 10+7=17). En ännu mer avancerad metod är att beräkna omkrets: Hålet har omkretsen 22 enheter, pusselbitarna 1 och 4 har 16 och 18. Vi drar slutsatsen att om bitarna 1 och 4 tillsammans ska passa i hålet, så måste de gränsa med varandra med 6 kantsidor. Lägger vi dem bredvid varandra och vrider på alla möjliga sätt så ser vi att det är omöjligt. Nu återstår bara bitarna 2 och 3. Sist försöker vi fylla hålet med bitarna 2 och 3 för att förvissa oss att de verkligen passar.



Problem 2

Mittpunkten i kvadraten KLMN är punkten O. Vinklarna AOB och COD är båda räta. Kvadratens sidlängd är 2 cm. Vilken area har den skuggade delen?
A) 1 cm²    B) 2 cm²   C) 2,5 cm²    D) 2,25 cm²   E) det beror på hur man väljer punkterna B och C





Problem 3

I en låda ligger tre röda kort, tre gröna kort, tre gula kort och tre blå kort. De tre korten av respektive färg är numrerade 1, 2 och 3. Tre kort tas på måfå ur lådan. Vilket av följande händelse är mest sannolik?
A) De tre korten är av samma färg
B) De tre korten har alla olika nummer
C) De tre korten är alla av olika färg
D) De tre korten har samma nummer
E) Alla uppräknade utfall är lika sannolika


problemen ...
Array
lösningarna ...
Array
Innehåll: UD

DPL – dialoger om problemlösning

DPL dök upp i Nämnaren för första gången i nr 1, 1998. Syftet var att ge möjlighet för våra läsare att arbeta med problem och utbyta personliga reflektioner kring problemlösning. Efter 10 års reflekterande är serien nu avslutad.


2009
DPL 40: Tre principer och fyra tankevanor

2008
DPL 37: Tre problem
DPL 38: Heureka!
DPL 39: Geometri

2007
DPL 36: Lagtävling
DPL 35: Djurkalkyl
DPL 34: Aha!
DPL 33: Vad är problemlösning?
2006
DPL 32: Konsten att generalisera
DPL 31: Geometri – en del av vår kultur
DPL 30: Kapten Oxensvans
DPL 29: Utmanande problem med procedurer

2005
DPL 28: Klassiska problem
DPL 27: Problem för nyfikna
DPL 26: Professorns inbjudan
DPL 25: Spara och återanvänd
2004
DPL 24: Osannolika systrar och opassande lekar
DPL 23: Demokratisk modellering
DPL 22: Problemlösning på bred front
DPL 21: Behagliga och ljuvliga problem
2003
DPL 20: Julkrypto
DPL 19: Matematik – ett pluggämne?
DPL 18: Tankeäventyr i Underlandet
DPL 17: Rikedomen finns i betraktarens öga

2002
DPL 16: Situationer och frågor
DPL 15: Osäker säkerhet eller säker osäkerhet
DPL 14: Laborativ problemlösning
DPL 13: För trettonde gången
2001
DPL 12: En fråga för alla!
DPL 11: Problem med portkoden?
DPL 10: Öppna problem
DPL 9: Chokladkakeproblemet igen - igen!
2000
DPL 8: Chokladkakeproblemet, igen...
DPL 7: Problem som utmanar
DPL 6: Jogging i mentala landskap

1999
DPL 5: Problemlösningslycka
DPL 4: Från SMaLs sommarkurs
DPL 3: Tankar kring broproblemet
DPL 2: En tågresa
1998
DPL 1: Problemlösare i gemenskap
   

För att du ska kunna läsa en pdf-fil behöver du programmet Acrobat Reader. Skulle du inte ha det så finns det att hämta kostnadsfritt här. Vi har även en informationssida där du kan få veta mer om pdf-filer.

Innehåll: UD

Dyskalkyli

Svar på inlägget från Fredrik Westman:

Hej Eva-Stina!

Dyskalkyli är en obegriplig stämpel på en elev, och vissa logopeders och psykologers verksamhet och frågeformulär har märkligt hög status. Men jag tror att det finns mycket gott för matematikubildning att hämta från psykologin. Borde inte de, vem det nu är, som ansvarar för inriktningen och styrdokumenten i matematik och matematikdidaktik lyssna på vissa delar av det som psykologer talar om, t ex minnesforskning. Hur kan man t ex i stor sett stillatigande låta läromedelsförlagen härja fritt med skriftlig huvudräkning, trots att det enligt mitt sätt att se går stick i stäv med hur vårt minne fungerar. I debattartikeln som finns på http://ncm.gu.se/node/4922 har jag försökt förklara vad jag menar. Jag har efter det att jag skrev artikeln varit i kontakt med en minnesforskare, och blivit ännu mer övertygad i min åsikt. De svar jag fått visar att det inte verkar finnas vetenskapliga belägg för metoden, utan vågen av skriftlig huvudräkning kan nog snarare ses som ett läromedelsburet och via en mängd personers övertygelser förmedlat fenomen.
Jag tycker att det borde skapas en kraftfull offentlig debatt omkring detta för att få en mera balanserad användning av metoden. För elever med stor kapacitet i arbetsminnet fungerar det säkert bra, men för alla övriga...
Tänk om man fick DN att ställa sig på elevernas och föräldrarnas sida och börjar gräva i detta? Det är mycket pengar och prestige investerade i läromedel, och det är ett stort etablissemang som ska "övertygas", och mitt lilla pipande är det ingen som bryr sig om, men om DN talar, då är jag övertygad att den nödvändiga debatten drar igång.

Många s k "dyskalkylielever" skulle då kanske övergå till "kalkylielever".

Hälsningar
Fredrik Westman


Inlägg från Eva-Stina Källgården:

Nu verkar det var på modet i vissa logopeders och psykologers verksamhet att använda test för att bedöma om en elev har s.k. dyskalkyli.

Nu vill jag att vi, som är matematikutbildade, får ett ord med i laget och får möjlighet att analysera dessa tester. För ett tiotal år sedan ”tittade” jag på frågeställningarna, som Björn Adler hade i sitt test. Ett mycket dyrt test. Det jag då kunde se var att det var många frågor som dels inte berörde elevens svårigheter i att räkna utan frågorna handlade mer om svårigheter att läsa och skriva tecken dels att förstå vad som menades i frågan.

Här kommer några exempel från nämnda test, där texten skall läsas av t.ex. specialpedagogen, som genomför och utvärderar testet:

-Skriv! Jag säger: ”Jag skall nu säga olika siffror som Du sedan skall skriva ner på ett vitt papper. Jag säger en siffra i taget…

-Läs siffror! Jag säger: ”Du ska nu läsa siffror som är skrivna på ett papper. Läs siffrorna en och en i lugn takt.”

-Kopiera siffror! Jag säger: ”Längst ner på detta papper har du några siffror. Du skall skriva likadana siffror rakt under varje siffra!”

-Vilken siffra är störst? Jag säger: Högst upp på detta papper ser du siffror som är skrivna två och två med ett streck emellan. Rita en ring runt den av siffrorna som är störst av dessa två?”

Vad har dessa två uppgifter för koppling till räkning? Det handlar i stället om hur elever skall läsa och skriva tecken. Inte symboler för tal!!

Jag fortsätter att citera från testet inom ett annat område:

-Vilken linje är längst? Jag säger: Längst ner på pappret ser Du två linjer. Sätt ett kryss på den linje som är längst!”
Här har författaren inte kunskap om att en linje är oändligt lång. Han menar förmodligen längden av två sträckor. Jag fortsätter med en annan geometriuppgift:

-Kopiera geometriska figurer! Jag säger: Du ska rita av dessa figurer så noga Du kan. Rita dina figurer under respektive figur. Gör din figur så lik som möjligt”. Tony fick ett papper med 6 geometriska figurer.

Hoppas med dessa exempel att fler matematiklärare hjälper till med att stoppa bluffen ”dyskalkyli”, som enligt min mening har skapats på elevernas bekostnad för att några personer skall tjäna så mycket pengar som möjligt på kortast möjliga tid utan att ha kunskaper vare sig i matematikämnet eller didaktik inom området.

Att stämpla elever med ett begrepp som ordet ”dyskalyli” är för mig, som matematik- och fysiklärare, en omöjlighet. Ordet ”dysfysik” finns inte heller för mig inte heller ”dyspedagogik”.

Skolverket eller NCM borde granska dessa test, som eleverna utsätts för, när de fått svårigheter i matematiklärande i den undervisning, som de utsatts för..

Eva-Stina Källgården
Högmoravägen 48
13836 Älta
Lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik
eva-stina@eskallgarden.se


Bäste läsare!
Vi tar gärna emot fler insändare!
Svara på inlägget...

Innehåll: UD

Ecolier 2008: poängfördelning och lösningsfrekvenser

Poängfördelning procentuellt
Baserat på 433 skolor av total 751 anmälda.

Poäng Åk3 Åk4
72 - 58 5 11
57 - 43 21 31
42 - 31 34 32
30 - 19 28 20
18 - 10 10 5
9 - 0 2 1
Summa 100 100
Elevunderlag 5241 7763

 

Lösningsfrekvens procentuellt
Uppdelat mellan pojkar och flickor. Baserat på 4242 elever i åk3 samt 6301 elever i åk4.

Uppgift Åk3
Åk4

P F P F
1 73 75 74 79
2 79 76 83 81
3 50 53 52 56
4 78 80 80 80
5 60 60 65 66
6 49 53 53 58
7 76 81 81 85
8 54 48 69 64
9 42 39 49 47
10 65 68 70 75
11 41 37 51 45
12 31 33 42 43
13 63 62 71 71
14 42 44 55 59
15 28 28 36 36
16 33 34 42 44
17 9 9 13 14
18 19 17 25 26

 

Ecolier 2009: poängfördelning och lösningsfrekvenser

Poängfördelning procentuellt
Baserat på 324 skolor av total 724 anmälda.

Poäng Åk3 Åk4
72 - 58 1 3
57 - 43 8.5 18.5
42 - 31 26 32.5
30 - 19 42.5 34.5
18 - 10 18 10
9 - 0 4 1.5
Summa 100 100
Elevunderlag 2842 5854

Lösningsfrekvenser
Visa...

Elevers tolkning av algebra

Svara på inlägget...


Svar från Thomas Ålander:

Ja, i svensk skola anses ju dessutom numera även noll (0) ett naturligt tal, vilket inte var fallet förr. Hur det är vid universiteten vet jag inte - det var så länge sedan.

Att tolka en formel, exempelvis den som originalfrågan resonerade kring, innebär ju att vi låter matematiken användas i ett praktiskt fall och då får vi nog lära oss leva med att hanteringen av faktorerna inte är så konsekvent alla gånger. Det blir en konst i sig att hålla koll på de olika termerna och faktorerna och deras storheter och enheter; fysikaliska beräkningar är väl praktexempel på detta. (Jag är dock inte säker på att det är den matematiska hanteringen i detta avseende som är problemet med fysiken på gymnasiet.)
y = 20 - 2x som matematiskt uttryck är ju dimensionslöst, medan med verklighetstillämpningen ju tilldelar enheter till alla delarna, även tvåan, och det krävs ju fantasi och/eller fingerfärdighet att lösa ut tvåan så att dess enhet cm/h framgår. Det är naturligtvis en träningssak att lära sig tolka uttryck korrekt, men det är ju mycket annat också.
(Sje-ljudets stavning i svenskan lär väl för en normalmänniska vara än nmer inkonsekvent; men språkhistorikern förstår den. Och engelskans stavning/uttal.... .)


Svar från Leif Önneflod:

Se där – en person som anar att matematik är mer än bara didaktik! Nog tyckte jag (i min oskuld?) att jag agnade kroken med ett fett bete, men det har bara blivit lite intresserat nafsande – tills nu. Äntligen har en TEORETIKER vaknat till och nappat.

Alldeles riktigt, Arne, det här berör gruppteori, abstrakt algebra o.dyl. Det jag har försökt sätta fingret på, är diskrepansen mellan teori och praktik. (Jag gav ett exempel med multiplikation.) Den teoretiska beskrivning av matematiken, som förmedlas av dagens didaktik har alltmer fjärmat sig från matematikens egen beskrivning av sig själv. (Detta beskrivs underhållande av prof. em. Hung-Hsi Wu, Berkeley University i artikeln ”’Order of operations and other oddities in school mathematics”. Se http://math.berkeley.edu/~wu/.) Detta är helt naturligt – ”teorin” är alldeles för svår och abstrakt. Löfwall ger två exempel på det:
1) Att ”− 2” i uttrycket ”20 − 2x” ska tolkas som en riktningskoefficient (i det som rätteligen kallas en ”lineär ekvation”, inte ”linjär funktion”, vilket Arne påpekar) är milt sagt avancerat. Barnen får ju lära sig prioriteringsregler som säger att 20 − 2x = 20 − (2•x). Vägen till 20 + (−2)•x är alltför lång.
2) Att vi vid manipulation av uttryck går in i en ”ren matematisk värld”.

Att man måste lämna det konkreta tänkandet vid symbolmanipulation är en grundföreställning, som stöds av flera namnkunniga personer, i dagens didaktiska paradigm. Det paradigmet tycks för övrigt säga, att alla problem i undervisningen ska lösas med didaktik. Denna har lösning sin begränsning i att det kan vara svårt att besätta alla lärartjänster med engagerade och skickliga lärare på den nivå som kan krävas. Att tiotusentals lärare skulle se jobbet som ett kall, är att begära för mycket.

Det hör också till naturen hos ett paradigm, att man följer det. Sålunda betonar Häggström att ”det är viktigt att elever kan följa de konventioner som finns”. Men om nu detta inte går – därför att vi själva bryter mot dem? Hur följer man inkonsekventa konventioner? Regelverket är dessutom så omfattande, att vi skulle behöva ”regler för hur vi ska följa reglerna”, vilket kunskapsteoretiker har visat är en omöjlighet att ta fram.

Ålander och Häggström tar upp tolkningen ”multiplikation = upprepad addition”. Jag kan väl inflika att multiplikation helt definieras av att distributiva lagen (D.L.) samt associativa lagen gäller. Vi har: 3 • 5 = (1 + 1 + 1) • 5 = 1 • 5 + 1 • 5 + 1 • 5 = 5 + 5 + 5, men även 3 • 5 = (1,5 + 1,5) • 5 = 1,5 • 5 + 1,5 • 5 = 7,5 + 7,5, som också är en ”upprepad addition”. Att additionen ”upprepas” är alltså en FÖLJD av en särtillämpning av D.L, inte en definition av multiplikation.

(I grundskolematematik skulle D.L. kunna tolkas, utnyttjande ”relationen mätetal–enhet”.
Ex: (3 + 2) fot = 3 fot + 2 fot = 3 • (12 tum) + 2 • (12 tum) = (3 + 2) • (12 tum), där vi har en multiplikation med en enhet, precis som Arne föreslår. Observera, att denna beskrivning INTE förutsätter heltal någonstans. Man kan också notera att enheten spelar rollen av en multiplikand.)

Med D.L. kan för övrigt ALLA teckenlagar visas. (Man kan helt undvika krystade hänvisningar till att kommutativa lagen m å s t e gälla, annars …)

Grundproblemet är att alldeles för mycket matematik handlar om uppövad intuition (med bistånd av didaktik). Dessutom har vi (i de delar som f.a. berör grundskolan) en teoribildning som strikt begränsar sig till symbolmanipulation för beräkning av numeriska värden. Följaktligen har man utmönstrat begrepp som blir överflödiga i en sådan teori, t.ex. ”innehållsdivision”, ”likadelning”, multiplikand och multiplikator. (”Delningsdivision” är en lika lustig tautologi som ”minsknings¬subtraktion”, här används G Malmers term.) Det är begrepp som underlättar förståelse för matematikens struktur. Genom att sträva efter STÖRSTA MÖJLIGA ABSTRAKTION har man skjutit sig själv i foten. Det blir inte förenligt med att största möjliga antal elever ska lära sig förstå matematik.

Thomas åsikt, angående ¼ • ⅔ överlåter jag till Kilborn att kommentera.

Arnes tankar om multiplikation mellan mätetal och enheter, samt om att olika enhetskombinationer motsvarar olika algebraiska strukturer är intressanta. Det är helt rätt, Arne, vardagsmatematiken är inte trivial.

Något som är hämmande för kreativitet är ”consensus-ångest”. Det lider inte jag av. Behovet av ”en klapp på huvudet” är minimalt. Angrepp på åsikter ≠ angrepp på person. Eller hur?

Jag ser fram mot fler ”napp”.

Och glöm inte: Didaktik är dörren in till matematikens värld – teorin dess innehåll.


Svar från Arne Söderqvist:

I gymnasiets fysikkurs brukar man säga att man ”multiplicerar enheterna med varandra om man multiplicerar antalen med varandra ” och att man ”dividerar enheterna med varandra om man dividerar antalen med varandra”. I fallet med ljuset var det fråga om x h och 2 cm/h. Därmed får 2x enheten cm.

Tar jag exemplet 7 m så finns inget officiellt ”räknesätt” mellan 7 och enheten m. Man kan dock betrakta det som att det är fråga om en binär operation och kalla den ”multiplikation”, fast då i generaliserad mening. Man kunde även säga att ”mängden av reella tal verkar på mängden av enheter”. Mängden av enheter kan anses ha olika algebraiska strukturer; ”multiplicerar man” tex. (här har multiplikationen ännu en generaliserad betydelse, inom mängden av enheter) enheter med varandra får man en grupp. Neutralt element är vinkelmåttet radian(!) som kan anses vara detsamma som m/m, cm/cm eller tom kg/kg, om man så ville. Det går bra att anlägga även andra algebraiska synpunkter på hela denna problematik.

En slutsats är i alla fall att ”vardagsmatematik” inte är trivial, utan att även vardagliga fenomen kan kräva en hel del matematik för att beskrivas.

En annan synpunkt är att funktionen y=kx+m faktiskt inte är en linjär funktion, vilket däremot funktionen y=kx är, enligt gängse definition. Att man har en egen definition i skolan ställer till problem när gymnasister börjar påbörjar akademiska studier.

Arne Söderqvist


Svar från Thomas Ålander:

Ett problem som Stefan L nämner är övergången från konkret till abstrakt. Det är stor skillnad på att lösa ett problem som "Två likadana pizzor kostar 80 kronor tillsammans. Hur mycket kostar de var?" jämfört med formuleringen "Lös ekvationen 2x = 80". Det är väl där en skillnad mellan matte A och matte B går om inte annat.

Vad gäller multiplikation som upprepad addition så fungerar det ju bra med heltal i åtminstone ena faktorn, men för multiplikation av bråk fungerar det sämre. 1/4 * 2/3 fungerar knappast som addition. Men det är väl heller inte någon grundläggande viktig operation för flertalet elever.

Thomas Ålander


Svar från Johan Häggström:

Det grundläggande problemet är att många elever tolkar multiplikation (endast) som upprepad addition där de två faktorerna har olika roller; ab blir då a st b:n, b+b+b+b+ ...

Som jag ser det är det viktigt att man som lärare är uppmärksam på detta. Det är lätt att (i många sammanhang) ta etablerade konventioner (t ex om hur man formulerar uttryck) för givna utan att diskutera dessa med eleverna. Jag menar att man inte bör skriva t ex 2x utan kommentar eller motivering, när en tolkning utifrån "multiplikation som upprepad addition" skulle ge x2.

Det är naturligtvis viktigt att elever kan följa de konventioner som finns, men vi bör inte införa dem utan diskussion.
mvh
Johan Häggström


Svar från Stefan Löfwall:

Hej Leif!

Det var en intressant fråga att fundera på. Hur lätt det är att tolka uttrycket beror kanske på när eleverna får den här uppgiften. I gymnasiets kurs A kanske? Uppgiftens syfte är antagligen att man ska träna på att känna igen ett linjärt samband och kunna tolka vad de olika delarna talar om i det här exemplet. För att kunna göra det behöver man tillräckliga förkunskaper. Man kan ju tänka sig lättare linjära samband än det här – och några sådana lättare bör man nog ha stött på och analyserat tidigare. Då har man nog också använt funktionens graf som hjälp vid analysen.

Att ursprungslängden är 20 cm är lättast att klara av. – 2, i y = 20 – 2x, är riktningskoefficienten för linjen. I ett tillämpat exempel tycker jag att man ska uttrycka riktningskoefficienten med enhet. Då förstår man bättre vad den säger oss. Riktningskoefficienten är alltså – 2 cm/h och den talar om för oss hur snabbt längden förändras: Den minskar alltså med 2 cm/h.
Hittills har jag inte svarat på din fråga. Men, jag menar att tanken är att man ska tolka formeln utan att skriva om den. Då stämmer enheterna: y är 20 cm minus 2 cm/h gånger x h. Men - är det inte OK att skriva om 2x som x + x? Jo – fast så fort man börjar skriva om det ursprungliga uttrycket lämnar man den praktiska anknytningen och tolkningsmöjligheten. Man har så att säga kört in uttrycket i den rena matematiska världen och där kan man manipulera med det som man vill för att utföra beräkningar bara man följer de matematiska spelreglerna.

Andra exempel: 24% av 120 kr = 24 x 1,20 kr. Rent matematiskt kan man skriva: 0,24 x 120 kr, men nu har man svårare att förklara den konkreta anknytningen. (Men, att använda det senare skrivsättet har andra fördelar). En gammal undersökning jag har läst om handlade om att i en uppgift hade många problem med att beräkna 1,20/0,60 (”man ska flytta decimaltecknen, men åt vilket håll…”), men de flesta kunde säga hur många 60-öres frimärken man kunde köpa för 1,20 kr. Visst, den situationen motsvarar vår kvot. När vi beräknar kvoten förlänger vi med 10 eller 100 och får t ex 120/60. Var har nu frimärkena tagit vägen? De är borta. Vi tog in uttrycket i den rena matematiska världen och manipulerade med det. Då försvann anknytningen.

Hälsningar
Stefan Löfwall


Inlägg från Leif Önneflod:

I algebran så förväntas eleverna tolka uttrycken. Det är inte alltid så lätt. Ett problem är att de resonemang vi för runt tolkningar av uttryck, inte hänger ihop. Tag som exempel att vi adderar 5 timmar med 5 timmar. Detta skrivs då enligt alla regler som 5 + 5 h = 2·5 h = 10 h. Om antalet timmar betecknas med x, så är x + x h = 2·x h = 2x h. Sedan kan eleven i en lärobok träffa på följande problem:

"Längden y i cm på ett ljus efter x timmars brinntid beskrivs av formeln y = 20 - 2x. Tolka formeln!"

Eleven förväntas inse att ursprungslängden är 20 cm och att ljuset blir 2 cm kortare för varje timme det brinner. Men "2x" är ju en fördubbling av antalet timmar! Följden blir att om x = 5 h, så får vi att y är 20 cm - 10 h. Det kan inte vara så lätt att förstå för en elev!

Jodå, JAG vet att multiplikation är kommutativ och att uttryck bara står för dimensionslösa tal, utan annan tolkning än sitt värde. Men nu var ju problemet, att eleven skulle TOLKA alla komponenter i uttrycket. Om nu 2x = x + x, så finns ingen möjlighet, att tolka det som att enheten är cm!

För att överhuvudtaget kunna diskutera saken får man använda de gamla (men lite "luddiga") uttrycken multiplikator och multiplikand. Vi lär i princip eleverna att tolka koefficienten framför x som en multiplikator. I vårt exempel är den uppenbarligen en multiplikand, och det är "x" som är multiplikatorn. Att börja reda ut alla turer kring hur man EGENTLIGEN ska resonera runt detta leder lätt ut på "bottenlös kvicksand" i en klassrumssituation. Vårt problem är att den teoribildning vi har för matematik faktiskt hanterar uttryck inkonsekvent och bara för de mest elementära uttrycken kan vi lätt förstå hur enheter och storheter integreras med de uttryck vi skriver. För uttryck med storheten "sträcka" o.d. för x, så blir koefficienten naturligt en multiplikator. Övergår vi till x med storheten tid, blir i stället x den självklara multiplikatorn. I teorin placerar vi en multiplikator främst i en produkt. I praktiken placerar vi den lite hur som helst.

Att lära sig tolka uttrycken rätt under dessa förutsättningar kan vara ett problem. Det kräver både träning och fallenhet att klara. Man kan lösa problemet genom att skapa goda och stimulerande övningsbetingelser för all träning. Den tar tid. Man kan också lösa problemet genom att skapa vettiga teoretiska förutsättningar. Det sparar tid.

Leif Önneflod


Bäste läsare!
Vi tar gärna emot fler insändare!
Svara på inlägget...
 

Innehåll: UD

Förskolan som lärandearena 1(4)

Elisabet Doverborg
Nämnaren nr 3, 2002
Förskolans matematik

Förskolan fick sin första läroplan 1998. Här kommenteras innehållet och ges exempel från vardagsarbetet med barns tänkande, erfarenheter och upplevelser.

Läs artikeln ...

Förskolan som lärandearena 2(4)

Elisabet Doverborg & Ingrid Pramling Samuelsson
Nämnaren nr 3, 2004
Varför skall barn inte märka att de lär sig matematik?

Här presenteras resultatet av en enkätundersökning, som genomförts på uppdrag från Matematikdelegationens arbetsgrupp F – 2. Syftet med den var att ta reda på hur verksamma lärare i förskolan och förskoleklassen tänker om matematik och hur de ser på sin roll och delaktighet i barnens lärande i och om matematik.

Läs artikeln ...

Förskolan som lärandearena 3(4)

Görel Sterner
Nämnaren nr 2, 2003
Morötter i Bergasalen

På förskolan Gläntan i Skövde startade man för drygt ett år sedan ett utvecklingsarbete om förskolans matematik, som vi berättat om tidigare. I denna artikel berättas om hur en påse nyupptagna morötter inspirerat till undersökningar kring uppdelning av tal och relationer mellan tal.

Läs artikeln ...

Förskolan som lärandearena 4(4)

Christina Eriksson, Carina Mattsson & Carina Strömbom
Nämnaren nr 3, 2002
Matematikspaning. Former och mönster

Här beskrivs det arbete som fick det största Nämnarenstipendiet vid Matematikbiennalen i Malmö i januari. Ett arbetslag berättar om hur barn i åldern 3 – 5 år fått möta grundläggande matematikbegrepp i närmiljön. Det börjar med en bilmatta och leder till kyrkbygge.

Läs artikeln ...

Gymnasieskolans matematik

I Nämnaren nr 1, 2008 startade Lennart Carlesson en diskussion om gymnasieskolans matematik. I nr 3, 2008 ger Gerd Brandell sin syn på saken. Här på nämnarens webbplats fortsätter diskussionen.

Svara på inlägget ...


Svar från Bengt Ulin:

Trots de talrika initiativ som efter fiaskot med ”the new math” tagits under de senaste 30 åren i Sverige befinner sig vår skolmatematik i en problematisk situation. Vår internationellt kända matematiker Lennart Carleson gav redan i sin bok ”Matematik för vår tid” (1968) värdefulla tips för skolmatematiken.
I den nyligen utkomna antologin ”Människor och matematik” skriver han: ”Det är synd att problemlösning har försvunnit i så hög utsträckning” och i en debattartikel i Nämnaren 1/2008 konstaterar han att geometri ”nästan helt försvunnit”. Carleson ställer där fram två principer för gymnasiematematiken:
den bör inriktas på användbar matematik och man ska återinföra ren matematik. Såväl i artikeln som i antologin betonar Carleson starkt vikten av att lära sig att tänka logiskt, skapa tankereda och förstå sammanhang, dvs sådant som är väsentliga inslag i en kreativ problemlösning.

I Nämnaren 3/2008 utvecklar Gerd Brandell sin uppfattning om den första av Carlesons två principer, matematikens användbarhet. Det är den som ”djupast motiverar ämnets plats i skolan” betonar hon och sätter därvid matematisk modellering i centrum. Hon anför att många exempel från matematikdidaktisk forskning visar att elever inte tränas i modellering, ja att elever ser skolmate-matiken som en sluten värld, ”där man ska bortse från sitt sunda förnuft och där orimligheter får accepteras”.

Jag tror inte att de citerade orden kan gälla särskilt många elever. Det är faktiskt bara hos Carl Gustav Jung som jag – till min stora överraskning –funnit en sådan hållning. Skolan tråkade ut mig, skriver Jung i sin självbiografi och samma erfarenhet gör många av våra elever av matematiken, ett ämne som Jung kände ångest inför. ”I synnerhet upprörde mig grundsatsen att om a = b och b = c, så är a = c., då dock genom definition stod fast att a betecknade något annat än b - - -.” Att han blev lika uppörd ”när läraren tvärt emot sin egen definition av parallella linjer påstod att de skar varandra i oändligheten” och såg detta som ett ”dumt bondfångarknep” kan vi uppfatta som en sund elevreaktion.

Läs hela inlägget...


Svar från Sture Sjöstedt:

Tar vi vara på matematikhistorien?
I NÄMNAREN nr 1 1998 har Bengt Ulin en intressant artikel på det temat. NCM har också gett ut en intressant bok av Bengt Ulin som på ett utmärkt sätt gör propaganda för moment som kan tas upp i såväl grundskola som gymnasium. Häftet heter : Fibonaccitalen och gyllene snittet.

Tar vi vara på matematikhistorien ? Bevarar vi de kunskaper grekerna och andra forntida kulturer hade ? Vad upptäckte A de Moivre 1718 ? Svaret på den sista frågan finner ni i Bengt Ulins bok om fibonaccitalen.
Iteration och rekursion kan med fördel tas upp i många av skolstadierna.

Jag tar fram några talföljder utan att skriva skrämmande formler och drar sedan några slutsatser om dessa talföljder.
Fibonacci 1: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55
Fibonacci 2: 1 , 1 , 3 , 5 , 11 , 21 , 43 , 85 , 171 , 341
Theon 2: 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 , 985 , 2378
Theon 4: 1 , 2 , 7 , 20 , 61 , 182 , 547 , 1640 , 4921 , 14762
Studera dessa och försök finna den rekursion jag använt. Två av dem kan itereras fram på två sätt . Vilka ???
Fibonacci 1: är den välkända Fibonacciföljden som förmodligen är den mest omskrivna
i världen. Fibonacci 2: och Theon 4: är intressanta ty de avslöjar A de Moivres upptäckt.
Med Theon 4: kan kvadratroten ur fyra beräknas.
Tar vi vara på matematikhistorien ?
Läs gärna Bengt Ulins inlägg Skolmatematiken och fundera.

Sture Sjöstedt


Svara på inlägget ...

Innehåll: UD

Historik

Tidskriften Nämnaren började utkomma 1974 som kontaktorgan mellan lärarutbildare i matematik. Den gavs ut från SÖ:s fortbildningsavdelning vid Lärarhögskolan i Mölndal, som hade riksansvar för centralt producerad matematikfortbildning från lågstadiet till gymnasiet och för lärarutbildarseminarier i matematik. Publikationen blev omedelbart efterfrågad.

Redan första utgivningsåret erbjöds skolor att abonnera. Från läsåret 78/79 flyttades teknisk produktion och distribution till Utbildningsförlaget. Fortbildningsavdelningens riksansvar för matematikfortbildning upphörde och redaktionen flyttade läsåret 81/82 till Lärarhögskolan. Ett avtal om Nämnaren slöts 1982 mellan Utbildningsförlaget, SÖ och Institutionen Lärarhögskolan, Göteborgs Universitet.

1984 ersattes Lärarhögskolan av Institutionen för ämnesdidaktik i avtalet. När Utbildningsförlaget lades ned 1 jan 1991 och SÖ 1 juli samma år tog Institutionen för ämnesdidaktik över hela ansvaret för projektet, innefattande ansvar för målsättning, utveckling och förvaltning av innehåll, produktion av tidskriften, distribution och marknadsföring.

Nämnaren blev 1991 ett externfinansierat projekt inom institutionen med egen budget. Projektet har en oberoende ställning med nära kontakter med forskare och lärarutbildare i matematikdidaktik och matematik i Norden. Nämnarengruppen följer även utvecklingen inom Mathematics Education internationellt.

Sedan 1999 är Nämnaren en permanent verksamhet inom Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, som har som ett av sina huvudmål att trygga Nämnarens existens.

För att utveckla utgivningen enligt målsättningen har det löpande skett en omfattande rationalisering och kompetensutveckling, inte minst när det gäller ny teknik.

Det pågår ett Nämnarenseminarium, där ett stort antal personer (kanske 10 000) med olika kunnande "möts". Praktikern kan bli mer reflekterande - teoretikern kan få större förståelse och respekt för det som utvecklas i klassrummets matematikundervisning.

Nämnaren används i lärarutbildning, påbyggnadsutbildning, examensarbeten, fortbildning och lokal skolutveckling t ex arbetsplaneskrivning, utvärdering och uppföljning.

Följande moment kan uppfattas ur både elev- och lärarperspektiv:

* Matematikämnets innehåll
* Elevernas utveckling, lärande och kunnade i matematik
* Matematikundervisningens ramar, organisation och process
* Matematikundervisningens praktik

Inom projektet utvecklas och förvaltas

* innehåll i tidskriften Nämnaren, ca 2300 artiklar sedan 1974.
* innehåll i serien NämnarenTEMA, från början ett skolverksprojekt 1993-95.
* lärarkunnande i matematik med stöd av utgivning & Nämnaren på nätet med Nämnarens databas,
* innehåll och former för kompetensutveckling, i t ex lärarutbildning, påbyggnadsutbildning, lokal skolutveckling, internetstrukturer, forskning.

Innehåll: KW

Insändare

 

Ibland får redaktionen synpunkter, inlägg och kommentarer från läsarna på olika artiklar i Nämnaren. Detta är något som vi uppskattar och uppmuntrar! Vi vill gärna få till stånd diskussioner och debatt! För att inte behöva vänta till nästa nummer av Nämnaren publicerar vi inlägg på webbplatsen.
De senaste inläggen ligger överst på varje dabattsida.

Hör gärna av dig med dina synpunkter och idéer! Vill du göra ett inlägg i någon diskussion eller lämna en synpunkt på något, skickar du ett mail till denna adress ...

Aktuella diskussioner

Dyskalkyli Nytt inlägg 10-11-26

Spetsutbildning Nytt inlägg 11-03-10

Släpp på sekretessen! Nytt inlägg 09-04-01

TIMSS-reaktion Nytt inlägg 09-04-01

Gymnasieskolans matematik Nytt inlägg 09-04-01

Rika matematiska problem

Målen i årskurs 3

Elevers tolkning av algebra Nytt inlägg 09-10-05

Avancerade räknare – hjälper eller stjälper?

Algoritmer Nytt inlägg 11-03-10

Slumpen och evolutionen

Innehåll: UD

Algoritmer

Algoritmdebatt
Svara på inläggen...


Skriftlig huvudräkning – framsteg eller katastrof? (pdf), Birgitta Rockström


Taluppfattning och lösningsmetoder i subtraktion (pdf), Bo Johansson


Svar från Lena Hoffman:
Skriftlig huvudräkning kontra algoritm

Jag gav ett gammalt nationellt prov, B1delen, som en test till en klass 9 för att se vad de skulle behöva träna mer på. Jag valde provet från 2009 och fick skrämmande dåligt resultat på tal 6, 91 - 19,8. Det var 9 stycken som hade fel svar på ett så förhållandevis lätt tal. Jag tittade igenom samtliga prov och sorterade i två högar. Den ena högen 10 st hade använt alternativa metoder = skriftlig huvudråkning och där var det 7 felaktiga svar. Den andra högen 12 st hade använt algoritm och det var 2 felaktiga svar varav det ena hade missat på 0,1 (slarvfel).
Skrämmande dåligt resultat för de som använt skriftlig huvudräkning. I varje fall för dessa elever har inte den skriftliga huvudräkningen fungerat över tid.
Det vore spännande att höra fler erfarenheter av detta.


Svar från Sture Sjöstedt:
Tabellen nedan har legat under algoritmer en tid (se längst ner på sidan). Nu skriver jag på andra ledden.
x 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 , 985 , ......
y 1 , 3 , 7 , 17 , 41 , 99 , 239 , 577 , 1393 , ......
A B A B A B A B A
Den som undersöker finner att villkoret 2*x² - 1 = y² är uppfyllt ovanför A och att villkoret 2*x² + 1 = y² är uppfyllt ovanför B.
Detta innebär att man kan lösa diofantiska ekvationer med hjälp av tabellen.
Den som vill veta mer kan skriva till sture.sjostedt@spray.se så kommer dokumentet TheonDebatt.

De Moivre gjorde en upptäckt som sedan glömdes bort , men den kan återuppväckas. Den finns i en något annorlunda form i H GASK:kompendiet som handlar om differentialekvationer. Godtycklig term kan beräknas med hjälp av t[k] = (r^k - s^k)/(r - s)
Gränsvärdet för kvoten t[k+1]/t[k]= r då k växer obegränsat.
Det ser teoretiskt ut , men man kan med hjälp av exempel visa detta redan i grundskolan. Den som vill veta hur jag vågar påstå detta kan skriva till sture.sjostedt@spray.se så sänder jag GASKDebatt
Väljer ni r=5 och s=3 ska inledningen vara
1, 8 , 49 , 272 , 1391 ,7448 , 37969 , 192032 , .......
Med ledning av de första kan man härleda en rekursionsformel. Kontrollera om gränsvärdet= 5.


Svar från Sture Sjöstedt:
I denna debatt har det skrivits om algoritmer.
Här följer ett räkneschema som löser ett klassiskt PROBLEM. Vilket?
1*1
2*3   1+1=2   1+2=3
5*7   2+3=5   2+5=7
12*17   5+7=12   5+12= 17
Nu har ni nog insett hur man kan fortsätta.

Sture Sjöstedt


Skriftlig huvudräkning är en katastrof för många elever Fredrik Westman

Elever har rätt att få lära sig räkna (pdf), Bengt Johansson

Debattartiklar från Nämnaren 1988-89 (pdf)

Varför nöja sig med mindre än att förstå algoritmer? (pdf), Jöran Peterson

Elever har rätt att få lära sig matematik Rolf Hedrén

Kan elever hitta på egna skriftliga räknemetoder? (pdf), Rolf Hedrén

Ska man lära sig algoritmerna Birgitta Rockström

Hjälp eleverna förstå matematiken i vågräta algoritmer (pdf), Jöran Peterson


Svara på inläggen...

Bäste läsare!
Vi tar gärna emot fler insändare!
Skriv till oss i vårt enkla formulär som inte är längre bort än ett klick!

Innehåll: RR

Slumpen och evolutionen

 

Svara på inläggen...


Svar från Bengt Mellin:

Avslutande inlägg från Bengt Mellin

Olle Häggström uppmanar mig i sitt senaste inlägg att jag skall "ta del av den evolutionsbiologiska litteraturen". Detta har jag redan gjort och gör så fortfarande. Enligt evolutionsläran är naturligt urval den dominerande faktorn bakom evolutionen och mutationer bidrar till processen. Vanliga exempel som framförs som bevis för dessa drivkrafter är färgförändringar hos fjärilar, antibiotikaresistans hos bakterier och sicklecellsanemi som ger skydd mot malaria.

Dessa exempel ger dock bara stöd för att arter kan förändras inom vissa gränser, så kallad mikroevolution. Man har dock genom bland annat datorsimuleringar gjort försök att teoretiskt bevisa att naturligt urval och mutationer även kan ge upphov till storskalig evolution. Dessa simuleringar är emellertid mycket förenklade och har ingenting med verkligheten att göra. Richard Dawkins visade sådana simuleringar i TV för ett antal år sedan, och de beskrivs också i hans bok "Den blinde urmakaren". Men hans streckfigurer var långt ifrån den komplexitet som kännetecknar levande varelser, och hans bevisföring innehöll också flera andra svagheter. Både Dawkins och Häggström – i sitt exempel med portkoden - undviker problemet med att varje mellanform måste ha ett ökat överlevnadsvärde. Som jag påpekat tidigare fungerar en portkod endast om alla siffror slås rätt. Om jag får feedback för att jag slår rätt siffra så förutsätter det att "den" som ger feedback också känner till slutmålet. Detta förekommer ej i naturen eftersom naturkrafterna är blinda och ej känner till något slutmål. Däremot förekommer det inom växtförädling och djuravel som är exempel på styrd evolution och som kan ge mycket snabba förändringar. Men det är enbart fråga om förändringar inom vissa gränser och sådana förändringar som är önskvärda för människorna. Växtförädling och avel leder på sikt till genetisk utarmning och försämringar för växterna och djuren.

Häggström säger i sitt förra inlägg att han redan i sitt första inlägg gett ett exempel på hur uppkomsten av komplexa system kan förklaras med Darwins evolutionslära. Jag citerar från hans första inlägg: "Biologin är full av intressanta exempel på sådana problem – ögats evolution är ett särskilt ofta diskuterat sådant – och kan utgöra nog så svåra forskningsproblem. Men hittills har inget sådant problem dykt upp i vilket evolutionsbiologerna kört fast." Detta är tyvärr det vanliga sättet för evolutionister att lösa svåra problem för evolutionsläran. I den litteratur jag har läst har jag inte sett ett enda exempel på att man försökt att ge en vetenskaplig förklaring på problemet med komplexa system. Man "löser" det genom att hänvisa till evolutions drivkrafter – det naturliga urvalet och slumpvisa variationer. Men om nu en evolution verkligen har ägt rum på vår jord så skulle fossilen innehålla mängder av mellanformer. Rent logiskt sett borde det också finnas massor av mellanformer bland dagens djur och växter. Men varken fossilen eller vår tids växter och djur vittnar om detta

Med detta avslutas denna debatt här

Bengt


Svar från Olle Häggström:

Sista inlägget i insändardebbaten om slumpen och evolutionen!

Bengt Mellin upprepar envist sin begäran om att jag skall ge exempel på komplexa system vilkas uppkomst på ett tillfredsställande sätt förklarats med Darwins evolutionslära, trots att jag redan i mitt första inlägg (och faktiskt också i min urprungliga artikel) explicit nämner ett sådant: ögat. För en närmare beskrivning går det bra att konsultera den biologiska litteraturen, som innehåller många tusen arbeten där forskare medelst olika kombinationer av exempelvis empiriska fynd, datorsimuleringar och sofistikerad matematisk modellering visar hur evolutionen av ögat, fågelvingen och andra komplexa organ kan gå till. Om vi för skojs skull vill vara lite patriotiska i sammanhanget skulle vi bland denna uppsjö av vetenskapliga arbeten kunna välja att studera Dan E Nilssons och Susanne Pelgers uppmärksammade artikel "A pessimistic estimate of the time required for an eye to evolve", publicerad 1994 i Proceedings of the Royal Society of London.

För att få en någorlunda överblick över detta fascinerande område kan det dock vara bättre att (åtminstone inledningsvis) konsultera något av de översiktsverk som finns att tillgå. Två av mina favoriter är Richard Dawkins "The Extended Phenotype" (1982) och Steven Pinkers "How the Mind Works" (1997), och jag vill varmt rekommendera dessa båda böcker. Den senare koncentrerar sig på utvecklingen av det kanske mest fantastiska och intrikata systemet i hela biologin: hjärnan och det mänskliga medvetandet.

Nu är måhända Mellin missnöjd över att jag åter ger litteraturhänvisningar istället för uttömmande egna förklaringar. Att jag måste göra på detta vis hänger ihop med en grundläggande asymmetri mellan å ena sidan kryptokreationister och "intelligent design"-anhängare, och å andra sidan företrädare för naturvetenskapen. Medan förstnämnda grupp bygger sin argumentation på klatschiga slagfärdigheter och slogans, så är de naturvetenskapliga argumenten av långt mer resonerande och djuplodande art, så till den grad att det helt enkelt inte är möjligt att göra dem rättvisa på det begränsade utrymme som Nämnarens insändarspalt erbjuder.

Om Mellin tar mina rekommendationer på allvar och ger sig i kast med att ta del av den evolutionsbiologiska litteraturen, så kan han emellertid inte vänta sig en fullkomlig detaljeringsnivå, där evolutionens exakta väg redovisas nukleotidpar för nukleotidpar. Och kanske kommer han då att utropa "Vad var det jag sa!". Men att på sådana grunder avvisa evolutionära förklaringar vore som att efterfråga en exakt beskrivning av vartenda steg Josef Stalin tog i sitt 74-åriga liv, och i avsaknad av en sådan hävda att det tydligen är obevisat att han överhuvudtaget funnits.

Med dessa litteraturtips till Mellin sätter jag för egen del streck i denna debatt. Jag tror och hoppas att Mellin är beredd och villig att lära sig mer om detta spännande ämne, trots att han därmed riskerar att förlora vad som uppenbarligen är hans favoritargument: hänvisandet (med formleringar som t.ex. "jag har dock hittills aldrig sett något sådant") till den egna okunskapen.

Olle


Svar från Arne Söderqvist:

Såsom jag uppfattat det uppstår mutationer slumpvis. Oftast leder en muterad gen till sämre fömåga för en varelse att överleva. Ibland, såsom när miljöbetingelserna förändras, kan en lämplig mutation innebära nya chanser för artens fortlevnad i form av en bättre anpassad ny generation. Naturen slösar med mutationer och de allra flesta av dem leder inte till positiva effekter. Det är alltså ingen speciell trajektoria utvecklingen följer utan varje ögonblick innebär nya försök med mest misslyckade och möjligen några lyckade försök. Betingelserna har ändrats på vår planet långt innan människan uppenbarade sig. Utan mutationer skulle inga arter kunnat anpassa sig eller ha utvecklats till andra, bättre anpassade arter.

Naturen bjuder dessutom på en helt annan metod att anpassa nya generationer, nämligen genblandningen vid sexuell förökning. Den som hänvisar till en "intelligent Skapare" har inte förklarat något i och med detta. Nästa naturliga fråga blir då varifrån denna härstammar. Att den alltid skulle ha funnits strider mot modern uppfattning om kosmologi.

Arne Söderqvist
Matematiklärare vid KTH-Syd


Svar från Bengt Melin:

Häggström hänvisar till en webbsida, eftersom han tycker att en diskussion om evolutionens drivkrafter inte hör hemma i en matematiktidskrift som Nämnaren. Jag håller med om det, men det var ju Häggström själv som startade diskussionen genom att skriva sin artikel om slumpen och evolutionen i Nämnaren och då måste diskussionen om innehållet i hans artikel föras i Nämnaren. Kärnfrågan är alltså om komplexa system kan uppkomma genom evolution utan någon intelligent styrning. Jag har hört många evolutionisters försök till att förklara hur detta går till, bland annat Richard Dawkins i sin bok "Den blinde urmakaren", men jag har inte kunnat se ett enda bra exempel på hur man har lyckats lösa problemet. Men det är möjligt att Häggström kan ge sådana exempel.

Bengt Mellin


Svar från Olle Häggström:

Suck. Mellin är inte precis behjälplig med att föra diskussionen framåt. När jag i mitt förra inlägg hänvisar till en webbsida där svagheterna i resonemangen i Michael Behes bok "Darwin's Black Box" exponeras med all önskvärd tydlighet, så svarar Mellin med att hänvisa till - hör och häpna - just denna bok. (Jag antar att det är den boken han syftar på; någon bok av Behe med titeln "The black box" finns inte.)

Olle


Svar från Bengt Mellin:

Häggströms artikel ger intrycket av att evolutionskritikerna tror att evolutionen enbart drivs av slumpmässiga mutationer utan feedback eller selektionsmekanism. Jag har dock inte stött på en enda evolutionskritiker som är så okunnig om evolutionsläran. Att det går oerhört mycket snabbare att slå rätt portkod med hjälp av feedback är nog alla - både förespråkare och motståndare till evolutionsläran - överens om. Men det är just feedbackmekanismen som har ifrågasatts av många vetenskapsmän, eftersom man menar att komplexa system ej kan uppkomma gradvis. En ökad överlevnadsförmåga kräver stora samtidiga förändringar, och sannolikheten för sådana är så små att metaforen med skrotupplaget och Boeingplanet trots allt är relevant, åtminstone i den bemärkelsen att i båda fallen är sannolikheten lika med noll. Michael Behe, författare till boken "The black box", och som för övrigt inte är skapelsetroende, använde sig av en råttfälla för att illustrera hur komplexa system är beroende av att alla delar finns på plats samtidigt för att systemet skall fungera. Behe kunde lika gärna ha använt sig av Häggströms portkod för att visa samma sak. Häggström tar i och för sig upp de här problemen för evolutionen, men löser det hela genom att påstå att "hittills har inget sådant problem dykt upp i vilket evolutionsbiologerna kört fast" (s. 30). Jag har dock hittills aldrig sett något sådant problem som man lyckats lösa.

Bengt Melin


Svar från Olle Häggström:

Mellin är uppenbarligen inte intresserad av att föra en fördjupad diskussion, då han ju inte ens bemödat sig med att läsa min artikel ordentligt. Om han gjort det så hade han på sidan 30 funnit följande passage, som besvarar hans invändning.

Av de förda resonemangen i detta avsnitt kan vi också dra följande lärdom. Det är en viktig uppgift för evolutionsbiologer att finna plausibla vägar mellan tidigare livsformer och de nuvarande, som dels innebär successiva förändringar i små steg, och som därtill har egenskapen att varje (eller nästan varje) steg innebär en förbättring av individernas överlevnadsduglighet och konkurrenskraft. Ty just det senare är ju vad som krävs för att feedbackmekanismen skall fungera. Biologin är full av intressanta exempel på sådana problem – ögats evolution är ett särskilt ofta diskuterat sådant – och kan utgöra nog så svåra forskningsproblem. Men hittills har inget sådant problem dykt upp i vilket evolutionsbiologerna kört fast och någon längre tid misslyckats med att finna rimliga utvecklingsvägar.

Dessa synpunkter förtjänar naturligtvis att utvecklas och fördjupas, vilket en rad författare gjort, men diskussionen hör knappast hemma i en matematiktidskrift som Nämnaren, varför jag avstår och istället hänvisar till denna webbsida.

Olle Häggström


Inlägg från Bengt Mellin:

Olle Häggström skriver i Nämnaren nr 3, år 2005, om slumpen och evolutionen. I sin artikel "Slumpen och evolutionen" försöker han bevisa att evolutionen är möjlig tack vare feedbackmekanismen som ökar evolutionshastigheten dramatiskt. Hela hans resonemang faller dock eftersom en portkod är ett exempel på ett system där alla delar måste finnas samtidigt för att systemet skall fungera. Det räcker med att en siffra är felaktig så blir det ingen feedback alls. Portkoden är en bra illustration på att avancerade system i naturen inte kan ha uppkommit genom naturligt urval och slumpartade mutationer.

Bengt Mellin
Lärare på Holavedsgymnasiet i Tranås


Bäste läsare!
Vi tar gärna emot fler insändare!
Svara på inläggen...

Innehåll: UD

Journals and books

A central part of the NCM enterprise is the Nämnaren Project. The project is aimed at teachers, teacher trainers, researchers and the staff responsable for basic education, further education and development work - and consists of different parts:

Nämnaren
the journal for mathematics education, publishes four issues annually. Plans are made for a fifth issue in English. In December 2000 a new book was published, "Matematikk & undervisning, Norden 2000". On the occasion of the World Mathematics Year, 2000, the editors for the Nordic journals have decided to publish a book about "Mathematics education in the Nordic classroom. Year 2000". Studies at different ages are described - from six-year-olds to trainee teachers. The purpose is to stimulate communication concerning the development of mathematics as a subject in the Scandinavian countries. The book has been forwarded to all subscribers of Nämnaren as a gift to mark the occasion of the World Mathematics Year 2000.

Nämnaren on the web
inclusive of Nämnaren's data base, a searchable data base which can be located via the NCM web site. The data base contains an outline of approximately 2300 articles published since the start in 1974.

NämnarenTEMA
began with some smaller projects followed up by the National Agency for Education project for support and stimulance material for teachers (1993-95). The aim was to analyse the news, facilitate interpretation of the curriculum and evaluation, deal with the area of weaknesses in the field of Swedish mathematics education in compulsory and upper secondary schools documented in Swedish and international studies. The responsibility for this work was transferred in 1995 to the Nämnaren project. So far, four books have been published, and three more are in preparation. The series is a result of cooperation between researchers, teacher educators and teachers.

The Mathematics Biennial 2000 - Time For Mathematics
One of the first assignments of the NCM was to organise and implement the 11th mathematics biennial in Göteborg 27-29 January, 2000 - up to now the biggest biennial. 280 lecturers provided 334 programme points for 5000 participants.
 Three students were invited from every teacher training area; in return they brought exhibition materials about their own education. Special seminars were built into the programme for the exchange of experiences between 170 students from different universities, and between students and the NCM.
 A Research conference for 130 participants in collaboration with the Swedish Association for Mathematics Education Research, SMDF and NCM started. International researchers from 16 different countries participated and took part later in the biennial. The documentation is produced by SMDF with support from NCM.
 Ten discussion groups with a total of 500 participants were initiated within chosen problem areas where the possibilities for improvement are considerable. The conference site on the NCM web site will be available. The discussions will hopefully lead to a mapping of the needs of competence development and development work within the respective areas.

Innehåll: KW

Kommentarer till fiskproblemet, april 2013

Tävlingsbidrag har kommit från:
David Ström Lärare matematik/fysik Forum Ystad
Anna Schastnaya Lärare i matematik på Klara Norra Gymnasium, Stockholm
Vera P. Lilla Adolf Fredrik 4a Stockholm
Mattias Åman, Matematiklärare på Mediagymnasiet Nacka Strand
Ismail A. 9:an i Römosseskolan i Göteborg
Maryam P.
Andreas B.
Conny Thorsélius Lärare i matematik, fysik
Viktor H.
Lisa L.
Lena Jönsson, lärare i Källbrinksskolan i Huddinge
Ulme W.
Anton Z. i klass 4A och hans matematiklärare Ingegerd Carlsson på FridtjuvBergskolan i Ödeshög.
Niclas Larson Doktorand, fil. lic. Matematiska institutionen, Linköpings universitet
David Pettersson Lärare på Peder Skrivares skola, Varberg
Cecilia Christiansen
Eva Palmqvist, biologilärare med matte år 7-9 som sidoämne.
Josefin L. och Sara L.
Anders Enbom, Lärare i matematik, filosofi och psykologi, Komvux
Kurt Svensson Ma/No/Tk-lärare på Lorensbergaskolan i Ludvika.

Svaret är att den största fisken har mindre area än de två övriga tillsammans. (Var och en av dessa tre fiskar har mindre area än de två övriga tillsammans, vilket egentligen betyder samma sak. Detta påstående är ekvivalent med det i svaret.)

Viktor H. har också fastställt fiskarnas art. De måste vara lutfiskar eftersom de lutar i olika vinklar. ☺
Vad menas egentligen med att tre fiskar bildar en triangel?
Lisa preciserar det en aning: längdenr på fiskarna är sidorna i triangeln.
Kurt utvecklar det mera: Dom tre fiskarna ligger i en triangelliknande figur med parvis punktkontakt mellan undre käkspets nedre stjärtfena. Dessa tre kontaktpunkter får bilda hörn i en spetsvinklig triangel.
"Om min lösning är snygg vet jag inte." tvivlar Niclas L.
Kan det vara "så enkelt" att de tre fiskarnas längder betecknas med a, b resp c och därav blir längdskalan a:b:c. Eftersom de är likformiga blir deras areaskalor a^2:b^2:c^2. Sedan gäller ju cosinussatsen så att a^2=b^2+c^2-2bccosA där b och c och cosA alla är positiva. Alltså är a^2 garanterat mindre än b^2+c^2. undrar Conny T. Niclas, Conny och flera andra åberopar cosinussatsen. Den ger ett enkelt bevis av olikheter som a^2+b^2 > c^2. Ur tävlingssynpunkt har vi valt bort sådana lösningar till förstapriset då vi ville ha förklarningar som även grundskoleelever kan förstå.

Förresten, den som inte hade ett eget intressant bevis av olikheten kunde åberopa beviset i lösningen av februariproblem nr 3, där fiskproblemet formuleras. Vera P. och Eva P. har gjort det. Cecilia bevisar olikheten på ett sätt som liknar vårt bevis. Man utgår från Pythagoras sats och använder satsen som säger att om vinkeln mellan två sidor i en triangel minskas utan att sidornas längd ändras så minskar den motstående sidan. En gammal sats som få minns och ännu färre kan bevisa.

Elementa 1-24

Vårt problem handlar huvudsakligen om likformighet. Två punktmängder (figurer, kroppar…) är likformiga om det finns en likformighetsavbildning mellan dem. D.v.s. en avbildning där avståndet mellan två punkter multipliceras med en konstant skala > 0.

De flesta som lyckades förklara varför det råder samma förhållande mellan fiskarnas areor som förhållandet mellan kvadrater av triangelns sidor, använde formeln areaskala=längdskala2, men i vissa sammanhang skulle det vara mer bekvämt att åberopa andra principer som gäller vid likformigheten:
1. Likformighetsavbildning bevarar avståndsförhållanden, dvs. om vi har två par av punkter med avstånden a och b i en figur och deras bilder i den andra figuren har avstånden a’ och b’, så gäller a’/b’= a/b.
2. Den bevarar längdförhållanden, dvs. om vi har två kurvor med längder A och B i en figur och deras bilder i den andra figuren har längder A’ och B’, så gäller A’/B’= A/B .
3. Den bevarar arealförhållanden, dvs. om vi har två delområden med areor A och B i en figur och deras bilder i den andra figuren har areor A’ och B’, så gäller A’/B’= A/B .
4. Den bevarar vinklar. För två trianglar gäller också det omvända: har de lika vinklar, så är de likformiga.
Mycket annat bevaras under en likformighetsavbildning och det är lite som ändras. Två likformiga figurer kan vara olika stora och spegelvända mot varandra men i övrigt är de väldigt lika.

Några intressanta bidrag:
Matias Åman utgår från Pythagoras sats och hans lösning liknar en ordentlig lektionsgenomgång där viktigaste moment förklaras och betonas.
David Pettersson ersätter den största fisken med ett gummiband, ett experiment som säkert kan övertyga fler elever än en matematisk utläggning. Det skulle kunna följas av en förklarning med användning av svårare begrepp som vektorer derivata och monotona funktioner.
En mera traditionell laborativ undersökning, att klippa ut fiskarna och mäta dem, gjordes av Anton Z. under överinseende av Ingered Carlsson.
Viktor H. delar triangeln i två rätvinkliga och undersöker dem hjälp av Pythagorassatsen. Anna Schastnaya, Vera P. Cecilia C. m.fl. ersatte fiskar med geometriska figurer: kvadrater, rektanglar, trianglar eller ellipser vilkas areor kunde utryckas med kända formler och de visade att för dessa figurer gällde att den största figurens area var mindre än de övriga två tillsammans. Per analogi borde det även gälla fiskar. Princip nr 3 ovan skulle bättre förklara detta.

Nämnarens och Månadens problems priskommitté har ur ett flertal ungefär lika bra lösningar valt lösning inskickad av Kurt Svensson, Mattias Åman och ”metod 3” inskickad av Cecilia Christiansen.
De tilldelas priset: ett års prenumerationer av Nämnaren.
Kurt Svenssons lösning
Mattias Åmans lösning
Cecilia Christiansens lösning, metod 3

Leo Rubinstein
Innehåll: UD

Kompletteringar till Nämnaren nr 1

Nämnaren nr 1, 2010
 

Artikeln Talens dag lovade ett planeringsunderlag här på NpN.
Ladda ner dokumentet ...

Till Lennart Undvalls artikel finns här fler exempel på uppgifter.
Ladda ner uppgifterna ...

Här finns en länk till Niclas Larsons avhandling som han skriver om i sin artikel Myra på villovägar.
Till avhandlingen ...

Kompletteringar till Nämnaren nr 1

Nämnaren nr 3, 2010
 

Anette Jahnke som skrivit artikeln "Det handlar om symmetri" lämnar här med en läs och länklista med mer läsning för nyfikna.

Som vi lovat i numret kommer här Frode Rønnings artikel samt de länkar och plug-in som han hänvisar till.
Gå till artikeln och plug-in ...

Artikeln "Intensivundervisning med gott resultat" av P Lundqvist , B Nilsson, E-G Schentz & G Sterner kompletteras här med fler aktiviteter.






Kompletteringar till Nämnaren nr 1

Nämnaren nr 3, 2008
 

Här finner du extramaterial knutna till Nämnaren nr 1, 2009.

Fler referenser kopplat till artikeln TIMSS 2007 – En djupanalys av svenska elevers matematikkunskaper

Om arbetsminnet
Baddeley, A., D.(1986). Working memory. Oxford, UK: Oxford University Press.
Baddeley, A., D.(1996). Exploring the central executive. Quarterly Journal of ExperimentalPsychology: Human Experimental Psychology, 49A, 5-28.
Baddeley, A., D.& Hitch, G., J. (1974). Working memory. In Bower, G. (Ed.), The psychology of learning and motivation, 8, 47-90.
Logie, R., H.(1995). Visual-spatial working memory. Hove, UK: Lawrence Erlbaum AssociatesLtd.

Om aritmetik
Fischbein, E.,Deri, M., Nello, M. S. & Marino, M. S. (1985). The role of implicit modelsin solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Researchin Mathematics Education, 16, 3-17
Fuson, K., C.(1992). Addition and subtraction. In Grouws, D., A. (Ed.), Handbook of researchon mathematics teaching and learning. New York: Macmillian Publishing Company.

GeoGebra - för de yngre.
Titta på de konstruktioner som beskrivs i Thomas Lingefjärds artikel.
Konstruktioner med GeoGebra

Material till Uppslaget – Jämförelse av kroppar.
Här finns arbetsbladet till aktiviteten i numrets uppslag.
Kopieringsunderlag "Jämför volym och area"

Kompletteringar till Nämnaren nr 1, 2012

Nämnaren nr 1, 2012
 

  • Ansök om stipendium för att besöka ICME-12 i Seoul, Sydkorea 8-15 juli 2012 ...
    Kleindagarna 2012 ...

  • Inledningsvis i Uppslaget:Procent i vardagen skriver författaren att hon tagit del av litteratur som också stärkte henne i beslutet att påbörja detta arbetsområde. Den litteraturen finns redovisad i ett kursarbete som finns tillgängligt nedan.

    Kursarbete ...
    Kopieringsunderlag och ytterligare uppgifter ...

  • Här fortsätter artikeln Konst och matematik av Gunnel Berlin med fler exempel:
    Läs artikelns fortsättning ...

  • Här en utvecklad text om strategiers begränsade effektivitet som är en del av Kerstin Larssons artikel Subtraktion:
    Läs texten ...

  • Nedanstående artikel är en utökad version av Svante Silvéns artikel i Nämnaren 2012:1 med samma titel. Här ges utöver ursprungsartikeln även uppgifter med facit.
    Läs artikeln ...

  • Ulrika Ryan skriver i Nämnaren nr 1 om IKT-arbete med yngre elever. Här kompletteras artikeln med en redovisning av arbete med Geogebra där eleverna får att lösa olika uppgifter med hjälp av koordinater på en skattkarta.
    Läs artikeln ...

  • I boken Matematikk & undervisning - Norden 2000 finns kapitlet "Bankbok som lärobok", av Lennart Högstedt. Kapitlet kan ses som ett komplement till "Uppslaget: Procent i vardagen".

    Läs artikeln ...

  • Birgitta Rockströms artikel Skriftlig huvudräkning – framsteg eller katastrof? är också ett inlägg i debatten om algoritmer på Nämnaren på nätets debattsida.
    Ta del av debatten ...

Kompletteringar till Nämnaren nr 2

Nämnaren nr 1, 2010
 

Galleri N: Björn Carlén ...

Artikeln Tio sätt att göra bråk levande finns i en längre version med referenser.
Ladda ner artikeln ...
I artikeln hänvisas också till aktiviteten Färglägg bråk.
Ladda ner aktiviteten ...

I artikeln Procesorienteret opgaveløsning i matematik hänvisas till ett skrivverktyg som kallas MatematiKan.
Läs mer om MatematiKan ...

Här finns en länk till konferensen som Lars Gustafsson skriver om i sin artikel Matematik och vuxna – rapport från en konferens.
En mer utförlig version av artikeln kan du läsa här ...
Rapportering från konferensen ...

Kerstin Hagland ger oss fler uppgifter där en tabell lämpar sig som lösningsstategi.
Ladda ner uppgifterna ...



Kompletteringar till Nämnaren nr 2

Nämnaren nr 3, 2010
 

Sture Sjöstedt har läst Nämnaren nr 2 och skickat in tre olika kommentarer knutna till numret.
Kommentar till Nämnaren nr 2 ...
Vår kära konjugatregel ...
Tar vi vara på matematikens historia? ...

Therese Vegerfors och Hanna Skagerlund har skrivit en artikel i aktuellt nummer om sitt examensarbete som de fick Göran Emanuelsson-stipendiet för.
Läs hela examensarbetet ...

Uppslaget: Grodhopp kompletteras här med en beskrivning av hur aktiviteten kan lösas.
Läs tricket ...

Eleven Mogens Hestholm beskriver i sin artikel om ett mönster han hittat då han undersökte Fibonaccis talserie. Här analyseras hans arbete av Christoph Kirfel.
Läs Kirfels artikel ...

I artikeln Visualisering av intervall i musik ser Leif Bjørn Skorpen på hur matematik kan användas för att visualisera och analysera intervall, ackord och släktskap mellan ackord.
Lyssna och läs ...

Artikeln Noshörningstenen, skriven av Volker Berthhold, ger konkreta förslag till arbete, även om man
inte har tillgång till just noshörningstenar, som är en dansk marksten.
Läs Noshörningstenen ...

Vi har också samlat några tidigare artiklar om mönster. De är som vanligt också åtkomliga via artikelregistret, men med anledning av detta nummer har vi samlat några av dem så att det ska gå lätt att sätta samman ett eget material kring mönster.
Se listan ...





Kompletteringar till Nämnaren nr 3

Nämnaren nr 3, 2009
 

I samband med artikeln Interaktiva skrivtavlor – en möjlighet till ökad lust och lärande i matematik? finns här en attitydundersökning gjord i klassen.
Ladda ner undersökningen ...

På sista sidan av problemavdelningen finns en blå ruta som berättar om Katalin Földesis utförliga lösning på ett problem i Nämnaren nr 1, 2009.
Ladda ner lösningen ...

I artikeln Hvor mange kanter har en firedimensjonal terning? lovades en fördjupning här på nätet.
Se fördjupningen ...

Det finns en bilaga till artikeln Metatrianglar – trianglar med ögon.
Se bilagan...

Extramaterial till Kängurusidan finns här. Ladda ner...

Kompletteringar till Nämnaren nr 3

Nämnaren nr 3, 2010
 

Artikeln Burkexperimentet finns i en längre version, författarens masteruppsats....
I artikeln hänvisas också till aktiviteten Vilken burk rymmer mest?.

Med utgångspunkt i sin artikel Hur diskuterar du egentligen med dina elever? diskuterar Stefan Löfwall Ugnsproblemet.

Här finner du lösningar till problem 3713–3717 i problemavdelningen 174, i Nämnaren 2010/2.

En längre artikel om Martin Gardner finns också tillgänglig här. Artikeln är egentligen avsedd för publicering i Normat men vi har fått Ulf Perssons, författarens, löfte om att publicera den även på Nämnaren på nätet.

Extramaterialet till Lös en mordgåta med matematik finner du här:
– Modul 1
– Modul 2
– Modul 3
– Modul 4

Kompletteringar till Nämnaren nr 3

Nämnaren nr 3, 2011
 

Kompletteringar till Nämnaren nr 3

Nämnaren nr 3, 2008
 

Här finner du extramaterial, bilder för utskrift, andra artiklar med mera knutna till Nämnaren nr 3, 2008. Följande artiklar finns extramaterial till:

Även mästaren kan fela
Konkretion av matematik i de senare årskurserna
Elever med särskilda förmågor
Uppslaget: Laborera med rektanglar

Material till artikeln Även mästaren kan fela - en historisk uträkning.

Den akustiska/musikaliska bakgrunden
Se artikeln av Bengt Ulin i Nämnaren nr 2, 2003: Matematik i musiken.
På bilden av lutan på sid 53 visar den långa pilen avståndet mellan sadeln (vid stämskruvarna) och stallet (nere på locket).

Hur räknade Faggot?
Faggot använde sig av trigonometri. Så här gick han tillväga...

Hur räknade Barbour?
Barbours bok, Tuning and Temperament, kan man hämta på nätet. I den skriver han om Stråhles påfund och Faggots uträkning. Lägg till bokstaven P där MR skär OQ i figuren på sid 66. Bokstaven B ligger på band 6, där MR skär den vertikala linjen från O. Band 6 ska ge tonen F# om strängens grundton är C. Då ska MR/M6 vara lika med √2 .

Stråhles påfund
Figuren färdig för utskrift i A4-format.
Ladda ner figuren...


I artikeln Konkretion av matematik i de senare årskurserna berättar Åsa Hammarlund och Frida Wirén hur ett nytt laborativt arbetssätt växte fram då de fick ett Gudrun Malmer-stipendium. Åsa och Frida låter oss publicera/lägga ut ett smakprov av de dokument de arbetat fram och använt under projekttiden - och som de kommer att fortsätta att använda och vidareutveckla med nya elever. Samtliga dokument hör till området Samband och består av olika planerings- och bedömningsunderlag samt elevaktiviteter.
Begreppsdiagnos
Planering åk 8
Planering åk 9
Laboration: Kulikuligt
Temauppgift: Ring ring
Laboration: Är du negativ eller?
Bedömningsmatris
Provräkning
Reflektionsblankett

Om du är intresserad av att veta mer, utöver det som står i artikeln, är du välkommen att ta kontakt med Åsa eller Frida.
Asa.Hammarlund@helsingborg.se
Frida.Wiren@helsingborg.se


Med anledning av artikeln Elever med särskilda förmågor vill vi lyfta fram tidigare artiklar i Nämnaren:

Rita Barger: Begåvade elever behöver också hjälp
Arne Engström: Matematikbegåvningarnas revansch?
Inger Wistedt: En förändrad syn på matematikbegåvningar
Simon Wigzell & Anna Palbom: Utmaningar för understimulerade


Här kommer en kort instruktion för hur du använder räknaren TI83-84 till Uppslaget: Laborera med rektanglar.
Instruktion för användning av räknare

Kompletteringar till Nämnaren nr 4

Nämnaren nr 4, 2009
 

I samband med artikeln Ordbehandlare och matematikvektyg finns här en längre artikel skriven av Karsten Enggaard.
Ladda ner artikeln ...

Kompletteringar till Nämnaren nr 4

Nämnaren nr 3, 2010
 

Ola Helenius artikel Räkna på hawaiianska kompletteras här med förslag på fördjupningar och vidare läsning.

Artikel som behandlar intensivundervisning kompletteras här av Anna Pilebro Bryngelsson med exempel på aktiviteter.




Kompletteringar till Nämnaren nr 4

Nämnaren nr 4, 2011
 

  • Till artikeln Cirklar, liksidiga trianglar och rymdfigurer finns ett antal mallar för att tillverka olika polyedrar:
    Tetraeder ...
    Oktaeder ...
    Ikosaeder ...
    Dubbelpyramid ...

  • Här finns ytterligare några uppslag från boken Matte I Ljungby:
    Ljungby bredband ...
    Ljungby ambulans ...

  • Till artikeln Verkliga och konstruerade problem finns ett exempel på ett problem från Högskoleprovet:
    Ladda ner problemet ...

  • Till artikeln Läromedel som stöd eller hinder finns här som komplement författarens C-uppsats med samma titel:
    Ladda ner uppsatsen ...

  • Till Uppslaget Lek med tärningar finns en mall för att vika en kub.
    Ladda ner mallen ...

  • Som komplettering till artikeln Medelvärdenas släktskap och gestaltning av Pesach Laksman finns här uppgifter från en gymnasiekurs på Lerums gymnasium.
    Ladda ner uppgifterna ...

  • Ytterligare en komplettering till artikeln Medelvärdenas släktskap och gestaltning:
    Svante Silvén och David Ström
    Att resonera med sina gymnasieelever
    Läs artikeln ...

  • Bengt Ulin har kommenterat två artiklar i detta nummer: Medelvärdenas släktskap och gestaltning av Pesach Laksman och Proportioner och reguladetri av Lucian Olteanu.
    Läs kommentaren ...

Kompletteringar till Nämnaren nr 4

Nämnaren nr 3, 2008
 

Här finner du extramaterial knutna till Nämnaren nr 4, 2008.

Några kommentarer till artikeln Delbarhetsregler.
Jens Carstensen vill komplettera artikeln med några regler för delbarhet med 17 och 19.
Läs Jens komplettering

Material till Uppslaget – Tankeläsaren.
De fem korten som behövs till Binär tankeläsning finns här i större format. Skriv ut arken och kopiera upp till A3-format. Om du vill kan du göra egna ark där du skriver talen på respektive ark huller om buller. Det gör det lite svårare att genomskåda tankeläsningen.
Kopieringsunderlag talkort >>

Vad är Cuisinairestavar?




Cuisenairestavar: En fallstudie om Cuisenairestavar i användning

På Multimediabyråns webbplats finns en artikel om konkret matematik med Cuisinairestavar.
Se artikeln …

I artikeln Fraktaler - en fråga om upprepning finns uppgifter att arbeta med.
Här finns lösningar till fraktaluppgifterna.

Även till Jonas Halls Frågesport i historiens tecken finns lösningar.
Här finns lösningar till frågesporten.

Kontakta Nämnaren

Använd detta formulär när du vill komma i kontakt med Nämnaren.
Se även NCM:s medarbetarlista.

Kursmålen för årskurs 3

I Nämnaren nr 2, 2008 diskuterar Olof Magne mål i matematik, med anledning av det pågående arbetet med mål och prov i årskurs 3. Vi hoppas att fler av våra läsare vill delta i diskussionen med inlägg på nätet, namnaren.ncm.gu.se

Svara på inlägget...


Inlägg från Argus:

Visst har lärare och planer betydelse.
Det är väl tydligt vad uppnåendemålen från 94 och framåt lett till.
Sveriges lärare borde få ta ställning till några olika förslag med goda mål att uppnå (Innan nästa kursplan skrivs).
De får gärna innehålla intensitetsaspekter.

Argus


Inlägg från Annonym:

Att säga "I analysen av Skolverkets förslag är vår bedömning att målen ligger alldeles för högt. Bara eleverna över medianen skulle nå alla de föreslagna målen." känns som att kasta in handduken och acceptera det som skolan just nu råka prestera. Är det inte just det som man vill ändra på? Först sätter man upp de mål man VILL nå. Sedan bygger man upp och bedriver utbildning av både lärare och elever så. Eleverna idag är rimligen inte mindre kapabla än de för 30 år sedan. Borde inte målen och lärarna kunna ha något slags inverkan på resulaten?

Annonym


Inlägg från Argus:

Olof Magne har rätt.

  • Den svenska mål och kunskapsrelaterade modellen har inte givit de svenska eleverna tillräckligt goda resultat
  • Medicinen är att även i planerna ta hänsyn till elevernas förmåga och ambition

    Ett förslag i denna riktning kan vara att ”nästa” kursplan ger mål av tre typer:
    ..baskunnande för alla
    ..merkunnande för många
    ..djupkunnande för intresserade

    Dessa fastställes på ämnets olika områden och ges kontinuitet genom att återkomma under åk F, 3, 6 och 9. Elev och lärare utformar en lämplig blandning av de tre måltyperna för att befrämja elevens utveckling.

    Mamors / Argus

    PS Vilken typ av kursplan som kan åstadkomma detta överlåtes till kursplaneskrivarna att avgöra.


    Inlägg från Arne Engström:

    Som ett led i att förbättra måluppfyllelsen i grundskolan har regeringen förutskickat införandet av nationella mål och prov i årskurs 3. Skolverket har fått i uppdrag att ta fram mål och dessa är överlämnade till regeringen. Proven har Skolverket gett PRIM-gruppen vid Stockholms universitet i uppdrag att utforma.
     
    Jag ska inte här diskutera om mål och prov i årskurs 3 är bra eller dåligt, önskvärt eller förkastligt. Dessa olika uppfattningar har framförts av andra i olika sammanhang. Jag ska i stället försöka illustrera dilemmat som uppstår när man försöker ta fram mål och prov i årskurs 3.

    Läs hela inlägget ...


    Bäste läsare!
    Vi tar gärna emot fler insändare!
    Svara på inlägget...

    Innehåll: UD

  • Kängurulotteriet 2008

    Det är av stor vikt att vi som arbetar med Kängurutävlingen får veta hur det har gått i tävlingen. Vilka uppgifter var svåra, vilka var lätta, låg uppgifterna ordnade på ett bra sätt, hur var fördelningen mellan pojkar och flickor, allt sånt behöver vi få veta för att göra Kängurutävlingen bättre.

    För att uppmuntra till ökad redovisning av deltagare och resultat i tävlingen lottar Känguru-kommittén varje år ut ett antal bokpris bland de som redovisat detta. Nämnarens Kängurusida finns också på webben.

    Bland dem som redovisat har vi dragit följande vinnare:

    Katrinedalsskolan, Karlskoga
    Vislandaskolan, Vislanda
    Glumslövs skola, Glumslöv
    Tenhultsskolan, Tenhult
    Ånestadsskolan, Linköping
    Forsdalaskolan, Lycksele
    Gymnasieskolan Vipan, Lund
    Ehrensvärdska gymnasiet, Karlskrona
    Alléskolan, Hallsberg

    En bok kommer på posten!
    Vi önskar alla ett fint sommarlov.

    Länklista Symmetri

    Nämnaren nr 3, 2010
     

    Böcker att läsa:
    • Hillary Devonshire: Symmetri. Aktiviteter att göra tillsammans med barn. Berghs, 1995.
    • Magdoln Hargittai och Istvan Hargittai: Upptäck Symmetri. Fina bilder av symmetri i naturen, i bruksföremål, i hantverk och konst. Natur och Kultur, 1998
    • Bengt Ulin: Matematisk design i naturen. Artikeln ”Att finna matematikspår i naturen” i Nämnaren 2007:1 har exempel ur boken. Telleby, Järna (2007).
    • Keith Devlin: Mathematics – The Science of patterns. Här betraktas matematiken som vetenskapen om mönster inom olika områden som tal, förändring och rörelse, form osv. Boken har ett kapitel om symmetri. Scientific American library, New York. (1994).

    Tidigare artiklar i Nämnaren kan sökas i Nämnarens artikelregister http://ncm.gu.se/artikelsok.

    I dokumentationerna från tidigare matematikbiennaler, bl a i Dokumentation av 11:e Matematikbiennalen, Göteborg, 2000:
    • 12: Thomas Martinsson. Symmetri – skön matematik för många sinnen.
    • 13: Bengt Ulin. Symmetri – centralt men eftersatt
    • 14: Bengt Ulin & Carl-Olof Fägerlind. Med passare och linjal till geometrins hjärtpunkt

    http://matematikbiennalen.ncm.gu.se/ finns dokumentationer från matematikbiennalerna 2004-2010

    På webben:
    • Utbildningsradion
    http://www.ur.se/Ung/Amnen/Matematik/Symmetri/ http://www.ur.se/Mega/Matteverkstad/Monstermakaren/
    • En illustrerad lektion, i form av en liten film med övningar om spegelsymmetri: http://www.linkslearning.org/Kids/1_Math/2_Illustrated_Lessons/
    • En enkel förklaring av symmetri, med fördjupning och frågor: http://www.mathsisfun.com/geometry/symmetry.html
    • Ett program för att rita figurer med bestämd symmetri: http://www.mathsisfun.com/geometry/symmetry-artist.html
    • En webbplats med mycket trevlig och konkret geometri: http://euler.slu.edu/escher/index.php/Math_and_the_Art_of_M._C._Escher
    • Material tänkt för skolarbete (material för ”High School” kan användas i grundskolan), med text och arbetsblad om bl a symmetri: http://euler.slu.edu/escher/index.php/High_School_Materials#Part_III_.E2...
    • Skapa egna tapetmönster: http://escher.epfl.ch/escher/ Du väljer en av de 17 möjliga symmetrierna för tessellering av planet (tapetmönster), och ritar sedan en liten bild. Vips täcker det hela planet ... Du kan spara din design

    Youtube:
    • Symmetrier kan representeras eller uttryckas på olika sätt, med matematiska termer (t ex reflektion, rotation, translation, glidreflektion), med konkreta konstruktioner eller via drama, dans, rörelser, filmer osv. På youtube finns elevarbeten (sök på ”mathematics symmetries”), men också lärare som berättar om symmetri.
    • Symmetry, reality's riddle, Marcus du Satoy, professor i matematikens popularisering Oxford: http://www.youtube.com/watch?v=415VX3QX4cU

    Från NCM:s aktuellt:
    • Symmetribegreppet i focus. Om aktuell matematisk forskning kring symmetri: http://ncm.gu.se/node/3413
    • Förutseende matematik. Om matematikernas förmåga att skapa nya matematiska objekt och strukturer som kan förutsäga existensen av mönster och fenomen i verkligheten. Med ett aktuellt exemplet från forskning om komplexa symmetrier: http://ncm.gu.se/node/4176

    Texter tillgängliga på webben:
    • David Hallgren: Vad är symmetri? Om matematik bakom symmetrier, relativt abstrakt: http://www.davidhallgren.se/privat/symmetri/whatissymmetry.html
    • Marcus du Sautoy: Sexy maths: in search of the poetry of Muslim symmetry. Galois’s group theory allowed mathematicians to articulate the theory of symmetry. Ur The Times: http://technology.timesonline.co.uk/tol/news/tech_and_web/article6274680...
    • Marcus du Sautoy: Sexy Maths: the symmetry of sneezing.Viruses blight many people's lives in winter but the molecular structure of many are things of mathematical beauty. Ur The Times: http://technology.timesonline.co.uk/tol/news/tech_and_web/article5314838...
    • En systematisk matematisk text om symmetri:
    http://euler.slu.edu/escher/index.php/Introduction_to_Symmetry



    Lösning adventsproblem 1 december 2012



    Nio tomtenissar klär på sig; tre har gröna jackor, tre har blåa och tre har röda. Det finns också tre luvor i varje färg. Para ihop varje nisse med en luva så att alla par skiljer sig åt.

    Lösning
    Vera P. 4a i Lilla Adolf Fredrik Stockholm, klass 5B på Kopperskolan i Stenungsund, Jesper L. i Vårgårda, Elisabeth S. i Karlskrona, Klass 2B i Viksskola på Värmdö, Linnea H. år 6 på Täby Friskola, Ella W., Jennie A. Hanna J; Emelie; Erika R. Fridaskolan; Maja & Clara; Cornelia S. 4A ; Samuel, Josh, Martin, Tor och William i år 4 Trägårdsstadsskolan i Tullinge; Gabriel H. i Gävle; Dew E. B. samt Katarina I. i Fredrikshov skickade in lösningar.

    Här har vi nio tomtenissar, i gröna, blåa och röda jackor.

    Det är lätt att skilja tomtenissar i gröna jackor från de i blåa jackor och de i röda jackor, men de som har jackor av samma färg kan inte skiljas åt. Då sätter vi på dem luvorna.

    Nu kan vi se skillnad på alla. Det finns inte två nissar här som ser likadana ut.


    Lösning adventsproblem 10 december 2012



    Vilka figurer kan dölja sig bakom korten? Vilka är möjliga? Vilka är inte möjliga?

    Lösning
    Svar:
    Det kan tex vara kvadrat, cirkel och romb. Men exempelvis en liksidig triangel kan inte vara någon av de figurer som sticker ut underifrån något av korten.


    Det har kommit svar och lösningar från fyrorna i Glanshammars skola i Örebro kommun, Elin A, Linnea W och Albin T på Täby Friskola åk 6 samt Gustav S. i 7B på Henåns skola.

    Så här skriver fyrorna från Glanshammar:
    1) Möjliga: Kvadrat, Triangel, 4-hörning, Rektangel, 8-hörning, 6-hörning, 5-hörning
    Inte möjliga: Cirkel, Oval, Stjärna, Kub
    2) Möjliga: Oval, cirkel
    Inte möjliga: Kvadrat, Triangel, Rektangel, Stjärna, 8-hörning, 4-hörning, 6-hörning, 9-hörning
    3) Möjliga: Triangel, Stjärna, 7-hörning, 4-hörning
    Inte möjliga: Cirkel, Rektangel

    Lösning adventsproblem 11 december 2012



    På en vanlig tärning finns ettan alltid mittemot sexan, tvåan mittemot femman och trean mittemot fyran. Hanna slår en röd och en grön tärning. Hon multiplicerar antalet prickar på tärningarna och skriver upp resultatet. Sedan vänder hon den röda tärningen upp och ner, multiplicerar åter antalet prickar och antecknar resultatet. Hon gör samma sak efter att ha vänt den gröna tärningen och slutligen en fjärde gång efter att ha vänt den röda tärningen tillbaka. Därefter adderar hon produkterna. Vilken är den största summan, hon kan få på detta sätt?

    Lösning
    Det har kommit svar och lösningar från Klass 5B på Kopperskolan i Stenungsund, Hjalmar U. och Jacob N. i Solhemsskolan, klass 5 i Brattåsskolan, Erika och Erika i 6c på Parkskolan i Laholm samt från Vera.

    Svar: 49.
    49 är både den största och den minsta summan Hanna kan få.
    Summan av antal prickar på ett par sidor mittemot varandra på en tärning är alltid 7, (1+6= 2+5= 3+4= 7). När Hanna slår sina två tärningar och får r prickar på den röda och g prickar på den gröna, så finns det på tärningarnas undersidor 7-r respektive 7-g prickar. Hanna får i tur och ordning följande fyra produkter: r*g, (7-r)*g, (7-r)*(7-g) och r*(7-g). Vi tillämpar den distributiva lagen för addition och multiplikation (många kan den utan att minnas att det heter så) och vi får fram att summan av Hannas produkter är: r*g + (7-r)*g + (7-r)*(7-g) + r*(7-g) = (r+(7-r)) * (g+(7-g)) = 7*7 = 49. Summan blir 49 oberoende av hur tärningarna faller.

    Ett exempel: Hanna kastade tärningarna och fick en trea på den röda tärningen och en femma på den gröna. På undersidan på den röda tärningen måste det vara en fyra medan på undersidan av den gröna en tvåa. Produkterna blev 3*5, 4*5, 4*2 och 3*2.


    Lösning adventsproblem 12 december 2012



    Finns det två tresiffriga tal vars summa är fyrsiffrig och där alla siffrorna i dessa tre tal är olika?

    Lösning
    Svar: Ja, det finns en handfull par av tresiffriga tal som har dessa egenskaper.
    Några exempel är 423+675=1098 eller 784+269= 1053.
    Man kan bevisa att den fyrsiffriga summan måste vara ett av de följande: 1089, 1098,1026,1035, 1053, 1062, 1206, 1305, 1503 eller 1602.
    Till varje av dessa 10 tal kan ett par tresiffriga tal väljas på flera sätt, t.ex. 324+765=637+452=1089 eller 743+859=843+759=1602.

    Det har kommit svar och lösningar från Petronella i klass 5B på Kopperskolan i Stenungsund, 6A på Centralskolan i Malung, klass 4da grupp1 på Kungliga Svenska Balettskolan i Stockholm, Wilhelm L., Moa, Ronja och Hannah, Amala, Wilma och Stella, Pauline & Marit, Elin och Minnah, Therese och Rebecca i 8C på Sätilaskolan, Vera P., Mattegrupp år 8 på Täby Friskola, Filippa på Jonstorpsskolan i Höganäs samt William O. i 5A.
    De flesta skickade lösningar med summan 1089 eller 1098 men mattegruppen i Täby skickade också ett av de svårare exemplen: 743+859=1602.


    Lösning adventsproblem 13 december 2012



    Tomtefar bakar pepparkakor till julmarknaden. Han funderar över priset på kakorna och summerar för varje rad och kolumn. Men vad kostar gubben, stjärnan, hjärtat, granen och cirkeln var och en för sig?

    Lösning
    Det har kommit 30 svar från enskilda, klasser och grupper. Flera förklarar också hur de tänker. Först beräknar man hur mycket gubbarna kostar, sedan stjärnor och cirklar och sist hjärtat och granen.
    Svar:
    Gubben 4
    Stjärnan 3
    Hjärtat 1
    Granen 8
    Cirkeln 5

    Det har kommit 27 svar från enskilda, klasser och grupper. Flera förklarar hur de tänker och räknar och eftersom alla svarar rätt så kanske det just här inte behövs några förklaringar.


    Lösning adventsproblem 15 december 2012



    Tomtemor har gjort egna kolor och lagt fram dem för provsmakning, var och en vid en siffra. Chokladkolan ligger vid ett jämnt tal. Hallonkolan ligger mellan nötkolan och lakritskolan. Lakritskolan finns vid en röd siffra. Vaniljkolan har ett udda tal. Nötkolan finns inte vid de tre sista siffrorna.

        1    2    3    4    5

    Kan du lista ut vilka kolorna är från vänster till höger?

    Lösning

    De ligger i följande ordning: 1: nötkola, 2: hallonkola, 3: lakritskola 4: chokladkola, 5: vaniljkola.

    Svar har kommit från Från Vera och från Oskar J., klass 5B; Kopperskolan, Stenungsund; Måns A.; Alexander W.; Casper M. i Fridaskolan; Adam Jönsson som går i 5B på Kalmarsundsskolan i Kalmar samt Emilia.A, Rick.Ö, Natti.S, Steff. S, Tugce.G Klass 6b Bergshamraskolan Solna.

    Vera sammanställer alla möjligheter i en tabell och utesluter steg för steg alla möjligheter utom den som är svaret. Här återges hennes resonemang med ord bara.
    Chokladkolan ligger vid siffran 2 eller 4 (jämnt tal)
    Hallonkolan vid 2,3 eller 4. (Ej 1 eller 5 eftersom den ligger mellan 2 andra)
    Lakritskolan vid 2 eller 3. (röd siffra)
    Ingen annan kola än vaniljkola kan ligga vid 5 alltså vaniljkola ligger där.
    Då kan bara nötkola ligga på 1.

    Lösning adventsproblem 16 december 2012



    Emil, Ida och Anton knäckte nötter och lade skalen i varsin hög framför sig. För varje nöt blev det 4, 5 eller 6 skalbitar. Emil knäckte dubbelt så många nötter som Anton medan Ida knäckte hälften så många som Emil och Anton knäckte tillsammans. Efteråt hade Ida och Anton lika många skalbitar var och tillsammans hade de en skalbit mer än Emil hade. För hur många nötter blev det 5 skalbitar?

    Lösning
    Svar 1.

    Skalen hör till nötter och nötter hör till julen, därför räknar vi skalbitar idag!

    Svar har kommit från Vera samt Klass 5B, Kopperskolan, Stenungsund.

    Låt A vara antal nötter som Anton knäckte. Emil knäckte 2A nötter, Ida (A+2A)/2 =1,5A nötter.
    För Anton kunde det bli som mest 6A skalbitar, för Ida som minst 4*1,5A=6A. Men Anton och Ida hade lika många skalbitar till slut vilket bara kan betyda att de hade just 6A skalbitar var, alltså fick Anton 6 bitar av varje nöt och Ida 4 av varje. Emil hade en skalbit färre än Anton och Ida tillsammans, alltså 6A+6A-1=12A-1 bitar från sina 2A nötter. Det kan bara betyda en sak, att han fick 5 skalbitar av en nöt och 6 av varje av de övriga.

    Lösning adventsproblem 17 december 2012



    En kub med sidan 4 kan delas i 64 småkuber (1x1x1) om man skär den med 9 snitt. Hur gör man? Om man får arrangera om bitarna efter varje snitt, kan man då dela den i så stora bitar med färre snitt? Hur många minst? Kan man veta att ingen kan göra det med ännu färre snitt?

    Lösning
    Det har kommit in två bra lösningar, en från Vera och en från Madeleine C. och Rebecka L. matteprofil år 7 Täby Friskola. Deras lösningar skiljer sig från varandra och från den som följer. Det finns många sätt att arrangera om bitarna för att åstadkomma den önskade delningen med bara 6 snitt.

    Vi börjar med en mycket enkel fråga. Kan en 4 cm lång remsa delas med tre klipp i 4 st encentimeters långa remsor?
    Klart att den kan det, se bilden.

    OK! Kan då en kvadrat på 4 cm x 4 cm delas med 6 klipp 16 st 1 cm x 1 cm kvadrater?
    Visst! Det ser man på nästa bild.

    Tre horisontella och tre vertikala linjer delar kvadraten i 16 småkvadrater.
    Nu delar vi med 9 snitt en 4 cm x 4 cm x 4 cm kub i 64 småkuber.

    Här till vänster ser vi kuben innan delningen, de 9 plan som ska dela den och de 64 småkuber som blir av detta ser vi till höger. Nu tar vi om allt från början men snålar med klipp och snitt. Vi delar remsan itu, lägger bitarna jämsides och med andra snittet delar dem i 4 st encentimeters bitar. Alltså bara två snitt.

    Kvadraten kan delas med 4 snitt om vi får arrangera om bitatna mellan snitten:

    Två horisontella och två vertikala snitt.
    6 snitt räcker för en 4 x 4 x 4-kub, vi börjar med ett horisontell snitt, vi får två delar som vi lägger bredvid varandra och efter andra snittet är kuben delad i 4 skivor som vi lägger tillbaka så att de förmar en kub igen.


    Det var bara två horisontella snitt och när vi gör likadant med de två vertikalla riktningarnaså blir den ursprungliga 4cmx4cmx4cm-kuben uppdelad i 64 st. enkubikcentimeter stora kuber med bara 6 snitt.
    Det var nog smart men hur kan vi veta om 6 är det minsta möjliga antalet snitt som behövs för att dela en 4x4x4-kub i 1x1x1-kubar. Vi tar en liten kub som från början befan sig mitt inne i den stora kuben, någon av de små kuberna måste ju ha innehålit punkten precis i centrum av den stora kuben. En sida av en sådan kub kunde inte från början ha varit en del av en av den stora kubens sidor. Den lilla kubens alla 6 sidor skapades genom snitten. Men en och samma snitt kunde inte skapa en och samma kubens två olika sidor. Därför behövdes det minst 6 snitt.
    Vårt problem skulle nu vara löst om inte en elak troll hade ändrat i den ordet ”kuber” mot ”bitar”. Bitar kan nog ha vilken form som helst, kanske tetraedrar eller prismer och då fungerar inte resonemanget ovan länge. Det är fortfarande sant att det behövs minst 6 snitt men det är svårare att förklara. Jag ska försöka, även om det kanske kan bli fel.
    Den stora kuben har volymen 64 kubikcentimeter. När man tudelar den med ett snitt så får man kanske två delar som är 32 kubikcentimeter eller om man delar ojämnt så i alla fall den största delen blir 32 kubikcentimeter eller mera. Vid nästa delning blir minst en del av den delen som vid första delning blev minst 32, den största delen av den blir minst 16. Efter tredje delning får vi minst en del som är minst 8, efter fjärde 4, efter femte 2. Så fem snitt räcker inte för att dela kuben i bitar som alla ska vara en kubikcentimeter stora. Det behövs minst 6 delningar. Har jag inte rätt?
    Resonemanget ovan verkade vara övertygande tills jag behövde dela en falukorv till lunchen.

    Om man delar den så, så får man två halvor eller minst en del som är större än en halv om man delar den ojämnt.
    Men en falukorv kan också delas så och då delas den med en enda rakt snitt i tre delar som alla är mindre än hälften. Resonemanget ovan gäller altså inte för falukorvar. Kan vi vara säkra att det gäller för kuben?

    Det speciella med en falukorven är att man kan välja två punkter A och B inne i falukorven, så att om man drar streckan AB mellan dessa två punkterna så går streckan delvis utanför korven.

    Sådant kan man inte göra med en kvadrat eller en kub eller en cirkel eller en triangel eller en klott eller … ja det finns många sådana figurer för vilka det inte låter sig göras. De alla kallas konvexa figurer eller konvexa kroppar. En falukorv är ingen konvex kropp medan en kub är det.

    För en konvex kropp gäller att om den delas med ett plan, så delas den aldrig i fler än två delar och desutom delarna blir också konvexa. Så eftersom en kub är konvex är resonemanget om delning av kuben korrekt i alla fall.

    Lösning adventsproblem 18 december 2012



    Pappa, mamma och lillasyster Tomtesson har tillsammans ätit 73 pepparkakor. Pappa har ätit fem pepparkakor mer än mamma. Lillasyster har ätit 12 pepparkakor. Hur många har mamma ätit?

    Lösning

    Svar 28.

    Lillasyster åt upp 12 av 73 pepparkakor. Resten, dvs 73-12=61 pepparkakor, åt mamma och pappa upp. Om pappa hade ätit 5 pepparkakor färre än han åt och mamma lika många som hon åt, så hade pappa ätit lika många pepparkakor som mamma och tillsammans hade de ätit 5 färre pepparkakor än de åt, alltså 61-5= 56 tillsammans eller 28 var. Men mamma skulle ha ätit just lika många som hon faktiskt åt, alltså åt hon 28 pepparkakor.

    Lösningar har kommit från Elise och Ellen från Väringaskolan i Sigtuna; Sabina M.; Isak och Klass 5B, Kopperskolan, Stenungsund; Claes Göran G. i Lessebo; Otto & Skappel
    i Fridaskolan, Mölnlycke; Wilma F. och Molly D.; Sandra, Alfred och Lukas samt Stina A. i Ytterbyskolan 12E; Hampus W.; Erik S.; Vera; elever i 6A vid Glada Hudikskolan i Hudiksvall samt matteprofil år 7 Täby friskola.

    Lösning adventsproblem 2 december 2012



    Trollkarlen hängde upp sin adventsstjärna.


    – Ååå! sa Pepparkaksgubbe Mörkbrun.
    – En sjuuddig stjärna! sa Pepparkaksgubbe Ljusbrun.
    – Hur gör man en sådan? frågade Pepparkaksgubbe Mellanbrun.
    – Jag ritade en cirkel, markerade sju punkter med jämna mellanrum på cirkeln, drog sju linjer, raderade cirkeln och målade stjärnan gul, sa trollkarlen.
    – Du ritade nog linjer som gick genom punkter närmast varandra, sa Pepparkaksgubbe Mörkbrun.
    – Nej! Genom varannan, sa Pepparkaksgubbe Ljusbrun.
    – Mellan var tredje, sa Pepparkaksgubbe Mellanbrun.
    Trollkarlen sa ingenting. Vilken pepparkaksgubbe hade rätt?

    Lösning
    Vera P. 4a Lilla Adolf Fredrik Stockholm, Elias 11 år, Isak i 5B Kopperskolan i Stenungsund, Jesper L. i Vårgårda, Johannes, Theo, Amanda och Luna i klass 5B i Ljungviksskolan, Fabian och Otto i 5c Sturebyskolan i Sienna, Ella W., Mirza M. samt Elisabeth S., klass 6B Centralskolan i Malung; Erika R. Fridaskolan; Benjamin J. samt Dew E. B. skickade in lösningar.

    De flesta tyckte att pepparkaksgubbe mellanbrun hade rätt. Någon röstade på pepparkaksgubbe Ljusbrun och någon på mörkbrun och Elias tyckte att både pepparkaksgubbe mellanbrun och ljusbrun hade rätt.
    Alla ni hade rätt!

    Trollkarlen kunde ha dragit linjer genom punkter närmast varandra på den röda cirkeln eller genom varannan punkt på den gula eller mellan var tredje punkt på den blåa. Någon cirkel finns inte kvar på trollkarlens stjärna så vi kan bara gissa. Ofta när man vill rita en figur så ritar man också linjer, punkter och cirklar som inte ska vara med i den färdiga figuren men är till hjälp när man ritar den. Det kalas en hjälpkonstruktion. I regel brukar det vara så att ju större en hjälpkonstruktionen är desto lättare är att rita den önskade figuren med god precision. Det mest troliga är att trollkarlen använde den stora, blåa cirkeln och i så fall var det pepparkaksgubbe mellanbrun som hade rätt, men säker kan man inte vara!


    Lösning adventsproblem 3 december 2012



    Fem bullar ska fördelas mellan sex barn. Alla ska få lika mycket men varje bulle får delas i högst tre lika stora delar. Hur kan man göra?

    Lösning
    Lösningar till problemet har skickats in är klass 5-6 i Dunkers skola, Klass 5B på Kopperskolan i Stenungsund, Louise Ottosson på Hillerstorpskolan, Jesper L. i Vårgårda, Kunskapsskolan i Jönköping, Johannes, Luna, Amanda och Theo, klass 5 Bratåsskolan, Ella W., Emil R-A., Erik E. och Alma F. och matteprofilen i årskurs 6, Rasmus A., klass 5B i Ormkärrskolan, Västerås, Vera P. 4a Lilla Adolf fredrik Stockholm, Jennie A. Fabian och Otto i klass 5c i Sturebyskolan, Sienna, Oscar och Carl, Lindens skola i Lanna, Simon S., Anna-Nora klass 3, Bergvallaskolan, Borensberg, Erika R.

    Man kan dela tre bullar i halvor var och två bullar i tredjedelar. Det blir sex halvor och sex tredjedelar. Varje barn får en halva och en tredjedel.

    Sedan delar man ut delarna rättvist till alla sex barn.


    Lösning adventsproblem 4 december 2012



    Hur många gånger måste det största tvåsiffriga talet läggas till det största ensiffriga talet för att ge det största tresiffriga talet?

    Lösning
    Lösningar har skickats in av klass 5-6 Dunkers skola, Jesper L. i Vårgårda, Jenny, Mattias, Natthamon och Emelie i Cederbergskolan, klass 5B, Beringskolan i Örkelljunga, klass 6B Centralskolan i Malung, Emanuel F., Djibril K., Petronella i klass 5B, Kopperskolan, Stenungsund, Sienna, Fabian och Otto i 5c i Sturebyskolan, Vera P. i 4a i Lilla Adolf Fredrik, Stockholm, Ella W., Gustav S. Henåns 7B, Anton L., Erika R. i Fridaskolan, Ulrika E. i Sollentuna, Maja, Linus, Clara och Wilma från åkurs 6 på Fridaskolan i Mölnlycke samt Tina Å. och Dew E.B.

    Vi menade egentligen att talen skulle ”adderas” men tyckte att det var bättre att använda ett enkelt uttryck som alla förstår, ”läggas till”.

    Så skriver elever i klass 5-6 Dunkers skola
    Vi har tolkat frågan på två sätt:
    1. Om man läser frågan "klurigt" så kan man få svaret 1 gång. Nämligen om man har 9 och då kan man bara "lägga till" 99 efter så står det 999!!!
    2. Nästa tolkning är 9+99+99+99+99+99+99+99+99+99+99=999 Alltså 10 gånger kan man lägga till (addera).
    Många andra tolkade det på det ena, på det andra eller på båda sätt. Vi måste betrakta både 1 och 10 som rätta svar.


    Lösning adventsproblem 5 december 2012



    Kan man lägga talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i två lådor så att summan av talen i varje låda blir lika stor?

    Lösning
    Johanna G. med åk 4 Ardalaskolan utanför Skara har skickat in lösning.
    Svar: Nej, det går inte.
    1+2+3+4+5+6+7+8+9= 45 är ett udda tal, så summan i en av lådorna måste bli jämn och udda i den andra, tex 22 och 23.

    Lösningar kom från klass 5B på Kopperskolan i Stenungsund, Ella W., Claes Göran G. i Lessebo, Gustav S. i 7B på Henåns skola, Matilda L. i Vårgarda, år 4-5, Orrestaskolan, Farshad V., Vera P., Monica W. och Johan, Erika R., Fahd H., Sofia H. samt Dew E.B.


    Lösning adventsproblem 6 december 2012



    Skriv med de 10 siffrorna upp två femsiffriga tal, så att skillnaden mellan talen blir så liten som möjligt. Varje siffra får bara användas en gång.

    Lösning
    Det har skickats in många svar. Helt rätta svar har kommit från: Vera P.; Johannes M. i klass 4 i Lötkärrskoaln, Vendelsö; Klass 5B i Kopperskolan, Stenungsund; klass 6B i Centralskolan i Malung; Sofia Hedgren, Malung. Dew E.B, Emily S., Elina G. i Vårgårda samt Sara N. i Svedala.

    Svar: 50123 och 49876.
    50123-49876= 247 är den minsta möjliga skillnaden. De första och mest signifikanta (viktigaste för storleken) siffrorna i varje tal, de ”ledande” siffrorna, måste vara olika eftersom varje siffra bara får användas en gång. Efter den största av dessa två fyller man på med så lite som möjligt: 0123 och efter den minsta med så mycket som möjligt: 9876. Siffrorna 0,1,2,3,6,7,8,9 är nu med i ”påfyllningarna”. De två siffror som återstår, 4 och 5, passar bra till att vara de ledande siffrorna, de skiljer sig åt så lite som möjligt när de ändå måste vara olika.


    Lösning adventsproblem 7 december 2012



    Fem julgranskulor ligger i en rad.


    Du får flytta ett par av kulorna i taget, bara sådana som nuddar varandra och utan att vrida paret eller skilja dem åt. Hur många sådana förflyttningar behöver du minst göra för att få en rad som ser ut så här?

    Lösning
    Svar: Det behövs minst 3 förflyttningar.
    Och jo, 3 förflyttningar räcker faktiskt. Det kan vara en bra idé att testa motsvarande problem med markörer eller med mynt innan man börjar flytta julgranskulor.
    En lösning i tre steg ses nedan. Först flyttas kulor markerade med svarta prickar, sedan de med röda och sist de med blå.

    Den erhållna raden är vriden 60 grader i förhållande till den ursprungliga men varje förflyttning gjordes utan att vrida på det flyttade paret.
    Här kommer en annan lösning:

    Många svarar att de klarat det i två drag, t.ex. klass 6B Centralskolan i Malung
    som har skickat det här flyttschemat.

    Men det står i problemet att man endast får förflytta ett par av kulorna i taget. Om man förflyttar två kulor och samtidigt knuffar undan två andra, så har man flyttat fyra kulor. Förflyttning i två drag om man räknar strikt är omöjlig.

    Vera räknade ärligt alla förflyttningar och då behövde hon 4 drag.
    Erika R. svarar bara: ”4 flytt minst.”
    Elina G. ger svar: ”Man behöver flytta dem minst tre gånger!” – rätt, men gjorde du?


    Lösning adventsproblem 8 december 2012



    Går det att skriva talen 1 till 100 i en rad så att skillnaden mellan två intilliggande tal alltid är 50 eller mer?

    Lösning
    Svar har kommit från Vera P., Sara N., Otto, Sienna, Fabian, i 5C Sturebyskolan samt Sara N. i Svedala. Victoria B., Linnea H. på matteprofilen i Täby Friskola skriver att det går och visar hur.

    Svar: Ja.
    Man kan börja med 50, 100, 49, 99, 48, 98, 47, 97, … och fortsätta så. Varje tal är ett mindre än talet två steg innan. Raden slutar med … , 2, 52, 1, 51.
    Ett annat sätt är att skriva samma rad baklänges: 51, 1, 52, 2, 53, 3 … … 99, 49, 100, 50.
    Dessa sätt är de enda, några andra sätt finns inte.
    Varför inte?
    Kalla två tal som skiljer sig med 50 eller mer för vänner, annars är de fiender. Varje heltal bland 1 till 100 har minst en vän i gänget. 50 och 51 har var sin vän, de andra har flera. Inget tal vill stå bredvid sin fiende i raden, så 50 och 51 får stå i början och i slutet av raden.
    Om vi väljer att börja raden med 50, så måste nr 2 i raden vara 50s enda vän 100. Eftersom 49 bara har två vänner, 99 och 100, så måste 49 och 99 komma efter 100. 48 har tre vänner 98, 99 och 100 men 100 är redan upptaget, så efter 99 måste följa 48 och 98. Nu har 47 bara två lediga vänner, så efter 98 måste följa 47 och 97…
    Dessa måsten kommer att fortsätta tills hela raden blir fylld. Talen som från början hade många vänner ska, när allt fler av deras vänner blir upptagna, ska tvingas att ställa sig efter sin nästsista vän och dra efter sig sin sista. Det enda val man kan göra är att bestämma om 50 eller 51 ska vara det första.


    Lösning adventsproblem 9 december 2012



    I en adventsljusstake med fyra likadana ljus har man, som man brukar göra, tänt det första ljuset den första veckan, nästa vecka det första och andra osv. Varje dag hade man ljusstaken tänd 15 min. En dag var det första och tredje ljuset tillsammans lika långa som det fjärde, som ännu inte tänts. Hur mycket var det då kvar av det andra ljuset?

    Lösning
    Det har kommit svar och lösningar från Vera, Claes Göran G. och från Sara N.

    Svar: hälften av ett nytt ljus.
    Det handlar naturigtvist inte om elektriska ljusstakar utan om sådana med levande ljus, som blir lite kortare för varje minut de brinner.
    När det fjärde ljuset ännu inte tänts fanns lite av det första ljuset kvar, det skulle räcka ända till jul. Det första och det tredje ljuset var tillsammans lika långa som det fjärde, alltså hade det tredje redan tänts minst en gång. . Det andra ljusets längd var alltså mittemellan det första och det tredje ljusets, de två längdernas medelvärde. Det andra ljuset var då hälften så långt som det första och det tredje ljuset tillsammans alltså hälften så lång som ett nytt ljus.
    Vi kanske ska lägga till att det borde bli ungefär hälften, verkligheten brukar inte exakt stämma överens med den matematiska modellen.


    Lösning på adventsproblemet den 1 dec




    Här är tre sätt:

    Det sista sättet bygger på att man tar bort två tändstickor.
    Finns det fler sätt?

     

    Lösning på adventsproblemet den 1 dec



    100 = 111 – 11 är den enda kända lösningen.

     

    Tack för alla svar vi fått inskickade!

    Lösning på adventsproblemet den 10 dec



    3 grå, 2 svarta och fyra randiga kattungar.

    Tre kattungar var grå eftersom varsitt av de tre barnen fick en grå, och så fanns det inga fler kvar då. De svarta kattungarna var en färre än de grå, alltså två. De randiga var två fler än de svarta, alltså fyra.



     

    Lösning på adventsproblemet den 10 dec



    Här gäller det att gissa och testa:

    2 x 5 - 3 = 7
    2 - 3 + 5 + 7 = 11
    2 + 3 x 5 + 7 - 11 = 13
    2 x 3 + 5 x 7 = 11 + 13 + 17
    (2 x 3 x 5 + 7 - 11) / 13 + 17 = 19

     

    Lösning på adventsproblemet den 11 dec



    23 barnbarn, 3980 kr.

    Om vi skriver antalet barnbarn med bokstaven n och den summa pengar tomtefar hade från början med bokstaven S så får vi två ekvationer:

    S = 200n-620 (200 kr gånger antalet barnbarn och dra bort 620 kr)
    S = 170n+70 (170 kr gånger antalet barnbarn och få 70 kr över)

    Eftersom båda ekvationerna har samma vänsterled, får vi ekvationen 200n-620= 170n+70. Lös ut n och vi får att n=23. Sätt in i någon av ekvationerna och få ut S=3980kr.


     

    Lösning på adventsproblemet den 11 dec



    Man kan köpa exakt K kolor i butiken om och endast om talet K kan utryckas i form K = 5 * m + 8 * n där m och n är heltal större eller lika med 0.

    Varken 12 eller 14 kan uttryckas så men 26 (summan av 12 och 14) kan, 26 = 5 * 2 + 8 * 2.

    Så Birgit och Görel kan slå ihop sina kronor, köpa 2 paket á 5 kolor och 2 á 8 kolor och sedan dela dem rättvist mellan sig. Det finns säkert flera lösningar.

     

    Vi har fått in många svar och alla har haft rätt! Emelie Kello Smaragden år 3, Strängnäs montessoriskola skriver lösningen så här:

    Birgit har 12 kr och Görel har 14 kronor, då blir det 26 kr. 8+8=16 och 5+5=10. Då blir 16+10=26
    dom köper 2 påsar med 8 st och 2 påsar med 5 st.

    Lösning på adventsproblemet den 12 dec



    Det var sju gäster i sällskapet.

    Antag att antalet gäster var x. Då skulle x gäster dela på notan först. Men två slapp betala, alltså skulle x-2 gäster dela på notan. Hur mycket var skulle x-2 gäster då betala? Jo 1750/(x-2). Men informationen i uppgiften gav oss också att det räckte att de x-2 gästerna tillsammans lade 100 kr extra jämfört med ursprungliga summan då alla skulle dela, alltså 1750/x+100kr.
    Då får man ekvationen 1750/(x-2)=1750/x+100. Löser man denna andragradsekvation får man lösningarna 7 och -5, där 7 är den enda rimliga lösningen i vårt fall.



     

    Lösning på adventsproblemet den 12 dec



    I böcker för civilingenjörer kan man se en formel som beskriver hur en kedja formar sig när den hängs upp på detta viset. Men just i det här fallet behöver man inga formler.

    En linje som från en meters höjd går ner till golvet och sedan till en meters höjd igen är 2 m och inte längre endast om den går rakt ner till golvet och sedan rakt upp. Den börjar och slutar alltså på samma ställe. Därför ska avståndet mellan krokarna vara 0.

     

    Från en norsk okänd avsändare fick vi följande svar som är värt att tänka på:

    Fra et pragmatisk ståsted vil jeg si at dette problemet ikke har en entydig løsning. Umiddelbart er det fristende å tenke på kjeden som et sirkelsegment, noe som vil gi en "forholdsvis kort" kjede innenfor rammene av oppgaven. Men hvis en tenker seg en lang og sterk kjede som forsøkes å strammes mest mulig, vil denne påvirkes av både strekkrefter og av tyngdekraften. Dette gjør at den mentale modellen av kjeden som segment av en sirkel må forkastes. Problemet har uendelig mange løsninger innenfor området 2-uendelig mange meter.

    Lösning på adventsproblemet den 13 dec



    40 och 88 liter.

    Säg att det fanns mängderna a liter i fat A och b liter i fat B. Häll över b liter till fat B.
    Nu finns det a-b i A och 2b i B.
    Steg 2: 2(a-b) i A och 2b-(a-b)=3b-a i B
    Steg 3: 2(a-b)-(3b-a) i A och 2(3b-a)
    Nu var det färdigt och det fanns 64 liter i varje fat, dvs 2(a-b)-(3b-a)=64 och 2(3b-a)=64. Detta blir ett linjärt ekvationssystem och lösningen ger att A innehåller 88 liter från början och B 40 liter.

    En annan lösningsstrategi är att lösa problemet bakifrån, dvs börja med att det finns 64 liter i båda faten och jobba sig baklänges i alla stegen.



     

    Lösning på adventsproblemet den 13 dec



    Undersök om talen 14,15,16,17 och 18 kan skrivas som summan av 2,3,4 eller 5 på varandra följande heltal.
    Tabell:

    Talet 16 kan inte skrivas som en sådan summa, så det måste vara det första talet som Gunther skrev.

    Talet 17 är en summa av 2 på varandra följande heltal men inte av 3, 4 eller 5, så det måste vara det andra talet som Gunther skrev.

    Talet 14 är en summa av 4 på varandra följande heltal men inte av 3 eller 5, så det måste vara det fjärde talet som Gunther skrev.

    Talet 18 är en summa av 3 på varandra följande heltal men inte av 5, så det måste vara det tredje talet som Gunther skrev.

    Återstår gör talet 15 som faktiskt är en summa av 5 på varandra följande heltal och det måste vara det femte talet som Gunther skrev.

    Gunther skrev alltså sina tal i följande ordning: 16, 17, 18, 14 och 15.


     

    Lösning på adventsproblemet den 14 dec



    Du måste plocka fyra kulor.

    Här har ordet garanterat en central roll. Om du plockar två kulor kan du ju få två med samma färg, det är sannolikt. Och om du plockar tre är det också sannolikt att få två med samma färg eller kanske tre med samma färg! Men när ordet garanterat står med så måste du verkligen få två av samma färg. Det finns tre sorters färger på kulorna. Om du då plockar precis fyra kulor eller fler så måste vi få ett par av samma färg, det finns ju bara tre färger.



     

    Lösning på adventsproblemet den 14 dec



    Jag är en bagare. Jag har två systrar, en är lärare och en är frisör.
     

    Alla som skickat in har haft rätt svar!
    Emmie skriver lösningen så här:

    Systern som är frisör är ju en tjej och hon har en bror som är en bagare som är en kille och han har en syster som är lärare och hon är tjej.

    Lösning: Bagaren är han som inge bröder har för att han 'är ensam bland 2 systrar och inga bröder.
    om man hade tagit någon av tjejerna så hade de ju haft en bror och en syster var så alltså blir det bagaren!

    Lösning på adventsproblemet den 15 dec



    Får lösas experimentellt. Resultaten kan variera från ett tillfälle till ett annat.
    Ta gärna med lite formar och låt eleverna testa hur det kan se ut.



     

    Lösning på adventsproblemet den 15 dec



    Det finns fler exempel på lösningar, här visar vi ett exempel.


     

    Peter Persson, 16 år i Staffanstorp:

    1 2 3
    4 5 6
    7 8 9
    Åk från hus 2 till hus 3 och fortsätt en bit ut. Sväng sedan snett neråt över hus 6 och 8, fortsätt en bit ut. Sväng lodrät uppåt över hus 7, 4 och 1. Sväng diagonalt ner över hus 5 och 9.

    Lösning på adventsproblemet den 16 dec



    Genom att trycka på knappen U sju gånger kan man från vån 1 komma till vån 57. Om man då trycker fem gånger på knappen N kommer man ner till våning 2. Med samma följd av knappar kan man ta sig från vån 2 till 3, 3till 4 osv och slutligen 10 till 11 (till vån 11 åker man alltså via vån 66). Genom att trycka 4xU och sedan 3XN kan man ta sig från 2 till 1, 3 till 2, och slutligen 11 till 10. Vi kan konstatera att vi kan åka mellan godtyckliga våningar mellan 1 och 11.
    Anta att vi befinner oss på våning k och vill komma upp till k+1. Låt oss skriva k=11xt+r samt k+1=8xm+s, där resttermen r är större än 0 men mindre än 12 medan resttermen s är större än 0 men mindre än 9. Genom att trycka txN kommer vi ner till våning r. Sedan kan vi genom att åka i hissen enligt proceduren beskriven i förra stycket nå våning r. Trycker vi då mxU kommer vi upp till våning k+1. Om vi skriver k=11xt+r samt k+1=8xn+u, r mellan 1 och 11 och u mellan 1 och 8 kan vi på liknande sätt beskriva färden från k tll k-1. Från detta följer att man kan åka mellan två godtyckliga våningar.

    Man kan också bevisa det på följande sätt:
    På grund av att 8 och 11 är relativt prima och 8+11<= 66 så kan man ta sig till vilken våning som helst.

    Huset har v våningar och man kan åka med hissen u våningar upp eller n våningar ner.
    Om u och n skulle t.ex. vara båda delbara med 3 så skulle man från våning 3 kunna åka bara till våningar som är delbara med 3.
    Om u=8 och n=11 som är fallet men v=18 så från våning 11 kan man inte åka någonstans.
    Man kan bevisa att om u och n är relativt prima och u+n<=v så kan man åka vart man vill.
    Man kan använda satsen som säger att om vi har två relativt prima tal så varje heltal kan utryckas som heltalskombination av dessa två. Satsen ingår inte i skolans kurser men så gott som varje år förekommer ett enkelt specialfall av det i julkalendern, t.ex. nr 11 förra året.



     

    Lösning på adventsproblemet den 16 dec



    Hunden sprang lika länge som Jesper men dubbelt så fort. Alltså sprang hunden dubbelt så lång sträcka: 2 * 3 km = 6 km.
     

    Elias formulerar sig så här:
    Vi i min grupp resonerat oss fram till att hunden bör springa 6km. I och med att hunden springer dubbelt så snabbt så bör han ha hunnit dubbelt så långt.

    God Jul!
    Elias

    Lösning på adventsproblemet den 17 dec



    En minut.

    Då loket just ska gå in i tunneln är hela tåget utanför. När loket går ut ur tunneln är hela tåget inne. Tåget måste alltså gå ytterligare 300 m innan sista vagnen lämnar tunneln. Tåget måste alltså gå 2x300 =600 m. Med hastigheten 10m/s tar detta 60 sek.



     

    Lösning på adventsproblemet den 17 dec



    Vi tänker oss händelsen baklänges. Då ligger det inga kex i skålen.

    Det sista som den lilla hunden gör är att äta ett kex. Innan dess så äter han upp ett kex till. Då låg det alltså 2 kex i skålen, dubbelt så många som innan det näst sista kexet ätits upp.

    Sen är det den näst minsta hundens tur. Han äter upp ett kex, dvs det ligger innan dess 3 kex i skålen. Dessförinnan åt han upp hälften av kexen. Då var det alltså 2*3= 6 kex i skålen.

    Näst största hunden har tagit ett kex, innan låg det alltså 7 kex. Dessförinnan åt han upp hälften, dvs det låg 2*7=14 kex i burken.

    Den största hunden åt till sist ett kex, dvs det låg 15 kex i skålen. Det första den största hunden gör är att äta upp hälften av kexen, det låg alltså 15*2 = 30 kex i burken.

     

    Lösning från en okänd problemlösare i Ängelholm:
    Detta är väl ett typiskt "börja bakifrån-problem". När fjärde hunden ska äta finns det (0+1)x2=2 bitar i skålen, nr tre: (2+1)x2=6, hund nr två: (6+1)x2=14 och hund nr ett: (14+1)x2=30.

    Lösning på adventsproblemet den 18 dec



    36 nissar.

    Det är fullsatt finns 120 människor på teatern. Om det är 90 människor där så är teatern fylld till ¾ (= 90/120). Alltså ska nissarna fylla teatern till ¼, alltså 144*¼ = 36 st.



     

    Lösning på adventsproblemet den 18 dec



    Det brukar gå snabbt att räkna till 20 och lite långsammare därefter.

     

    Kul att få in svar och kommentarer från både elever och lärare!

    Det blev en mycket lystig situation när större delen av klassen satt och räknade högt tillsammans med kamrater som tog tid på sina telefoner. Mycket lyckat! Tackar!
    Karin Wedin
    lärare

    Edvin skriver:
    1. Det tar 30 sekunder att räkna till hundra.
    2. Ja, vi kan komma under en minut.
    3. Som högst kom vi till 193 och som lägsta 175.
    Vi var 3 personer som testat.

    Lösning på adventsproblemet den 19 dec



    9642*87531=843973902

    En strategi att lösa sådana här typer av uppgifter är att starta med den största siffran i början av talet och alternera siffrorna mellan det fyrsiffriga och femsiffriga talet. Samtidigt ska man se till att hålla siffrorna så nära varandra som möjligt.
    Jämför med att ha en rektangel där sidorna är lika stora som de två talen. Du vill maximera arean, och ju närmre en kvadrat du kan komma desto större blir arean.



     

    Lösning på adventsproblemet den 19 dec



    Vi tar slumpmässigt fram två tal som inte är större än två miljoner: 1655315 och 794806, "en miljon sex hundra femtiofem tusen tre hundra femton" och "sju hundra nittiofyra tusen åtta hundra sex".
    De innehåller 10 respektive 8 ord (Quickspeak säger 2 ord ur sitt vokabulär när den säger "femtiofem" eller "nittiofyra"). Det blir 9 ord i snitt per tal.

    När den räknar till två miljoner uttalar den ungefär 2 mijoner x 9 = 18miljoner ord, och det tar cirka 18000000/5=3600000 sekunder eller 1000 timmar eller nästan sex veckor. Man bör lotta fram och undersöka flera tal om man vill ha en pålitlig uppskattning.

    Nu beräknar vi tiden med en tiondels sekunds noggrannhet.
    Låt a(m,n) = nm + 1 betyda antalet heltal mellan m och n inklusive m och n.
    Låt r(n) betyda antal ord som man uttalar när man räknar till n.
    r(20) = a(1,20) = 20
    r(99) = r(20) + a(21,99) x 2 – a(3,9) = 20 + 79 x 2 – 7 = 171
    r(999) = 100 x r(9) + 900 + 10 x r(99) = 100 x 9 + 900 + 10 x 171 = 3510
    r(999999) = 1000 x r(999) + 999000 + 1000 x r(999) = 1000 x 3510 + 999000 + 1000 x 3510 = 8019000
    r(1999999) = 1000000 x 2 + 2 x r(999999) = 2000000 + 2 x 8019000 = 18038000
    r(2000000) = r(1999999) + 2 = 18038002
    Det blev alltså 18038002 ord och Quickspeak behöver 18038002 / 5 = 3607600,4 sekunder för att räkna till två miljoner, eller 1002 timmar 6 minuter och 40,4 sekunder.


     

    Lösning på adventsproblemet den 2 dec




    Den väger 160g.

    800-480=320g, dvs halva mängden marmelad väger 320g. Då väger all marmelad 640g. 800-640=160g, burken väger alltså 160g.

    Här publicerar vi några lösningar som elever på Carlssons skola har skickat in till oss.
    Ladda ner lösningar...


     

    Lösning på adventsproblemet den 2 dec



    Kurt och Ola har lika många nötter och Kurt har lika många valnötter som Ola kokosnötter, så om vi tar alla valnötter från Kurt och alla kokosnötter från Ola så har de fortfarande lika många nötter kvar. Nu tar vi också Kurts alla kokosnötter och Olas alla valnötter, då har vi tagit fler nötter fån Ola än från Kurt eftersom Ola hade fler valnötter än Kurt kokosnötter. Nu har Kurt fler nötter kvar än Ola. Och de nötter som de har kvar nu när vi har tagit alla deras kokosnötter och valnötter, det är de hasselnötter som de hade från början. Alltså hade Kurt flest hasselnötter från början.
    (När vi har räknat färdigt lämnar vi tillbaka alla nötter som vi tog från Kurt och Ola)


    Från Devik Svalstedt, 8 år, har vi fått följande lösning:

    Olas kokosnötter är lika mycket som Kurts valnötter så dem tog jag bort. Då har de fortfarande lika många nötter. Om Olas hasselnötter är fler än Kurts då måste Olas valnötter vara färre än Kurts kokosnötter. Men det kan inte vara sant för Olas valnötter är fler äen Kurts kokosnötter. Så det måste vara tvärtom så då är Kurts hasselnötter fler än Olas.



     

    Lösning på adventsproblemet den 20 dec



    Dela så här och flytta de 2 mindre delarna.



     

    Lösning på adventsproblemet den 20 dec



    Jag har 5 fler än du från början. Om jag ger dig tre så har jag kvar två fler än vad du hade från början. Du däremot, har numera tre mer än vad du hade från början. Alltså har du ett klistermärke mer än mig.


    Edvin Jonsson och Moa Johansson från Lidköping skickade in följande lösning:

    Person A har 5 klistermärken mer än person B har. Men när person A ger person B 3 klistermärken så får han 1 mer klistermärke än person A.
    För att 5-3=2.



     

    Lösning på adventsproblemet den 21 dec



    Om de går ut var för sig så kan Lasse variera sin klädsel på 4 sätt, Lena på 4 sätt och Calle på 9 sätt.
    Men om vi säger att alla tre ska gå ut samtidigt får vi tänka till.
    Lasse vill ju inte bära blått. Om vi säger att Lasse har en vit mössa. Då kan Lena ha en röd eller blå och Calle likaså. Detta blir två varianter; Lasse – vit, Lena – röd, Calle – blå eller Lasse – vit, Lena-blå och Calle – röd.
    Om vi säger att Lasse har en röd mössa så måste Lena ha den blåa (hon gillar ju inte vit) och Calle ha den vita.
    Totalt antal variationer av mössor blir 3.



     

    Lösning på adventsproblemet den 21 dec



    För den som kan regler för delbarhet med 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, och 10 blir uppgiften ungefär som att lösa en sudoku.

    ∠ Tionde siffran måste vara 0 eftersom hela talet är delbart med 10.
    ∠ Siffran i position 5 måste vara 5 (inte 0 därför att en nolla finns redan i position 10)

    Talet bildat av de första 9 siffrorna (som är siffrorna 1 till 9) blir delbart med 9 oavsett i vilken ordning dessa siffror kommer (ty siffersumman är 45).

    Vi delar sifferraden i fyra intervall: 1 till 3, 4 till 6, 7 till 9 och en ensam nolla i position 10. Siffersumman i varje intervall måste vara delbar med 3. (Kom ihåg att differensen av två tal delbara med 3 är också delbar med 3.)

    Siffrorna i positioner med jämna nummer: 2,4,6 och 8 måste vara jämna, alltså 2, 4, 6 eller 8. I udda positioner: 1, 3. 7 och 9 får de siffror som blev över stå, alltså just 1, 3, 7 och 9. Men nu när det ska stå udda siffror i positionerna 3 och 7, så måste siffrorna i positionerna 4 och 8 vara 2 eller 6 (p.g.a. delbarhet med 4) och därför får siffrorna 4 och 8 stå i positionerna 2 och 6 (ännu i okänd ordning).

    Följande rad sammanfattar vad vi nu vet om det sökta talet:

    :(1379)(48)(1379):(26)5(48):(1379)(26)(1379):0

    Så ser det sökta talet ut. Flera siffror inom parantes betecknar flera möjliga siffror i en position och kolon skiljer åt intervall där siffersumman ska vara delbar med 3.

    Andra intervallet (positionerna 4 till 6) :(26)5(48): är nästan klar. Det kan bara vara 258 eller 654 om siffersumman ska vara delbar med 3.

    Talet bildat av de 8 första siffrorna är delbart med 8. Alltså är talet bildat av siffrorna i positionerna 6 till 8 delbart med 8 och nu när siffran i position 6 är jämn måste siffrorna i positionerna 7 och 8 bilda ett tal delbart med 8.

    Låt oss titta närmare på det tredje intervallet (positionerna 7 till 9) :(1379)(26)(1379):
    De första två siffrorna i intervallet ska bilda ett tal delbart med 8. Bara följande tvåsiffriga tal är möjliga 16,32,72 och 96 och när alla 3 ska bilda ett tal delbart med 3 så bara följande är möjliga: 321, 327, 723, 729 eller 963.

    Matchar vi andra och tredje intervallet så att siffrorna 2 och 6 förekommer bara en gång så blir det följande möjliga 6-sifferskombinationer i positioner 4 till 9: 654321, 654327, 654723, 654729 eller 258963.

    Det hela sökta tiosiffriga talet måste passa in i ett av de 5 följande mönster:
    (79)8(79)6543:210
    (19)8(19)6543:270
    (19)8(19)6547:230
    (13)8(13)6547:290
    (17)4(17)2589:630
    där siffror inom parenteser står för flera möjliga siffror i en position medan kolon skiljer åt de första 7 siffror från de sista 3, eftersom det är delbarhet med 7 som ska ge utslag i det sista testet.

    För varje av de 5 mönster finns 2 tiosiffriga tal som passar in, tio sammanlagt. Ett av de tio uppfyller också villkoret att talet bildat av dem 7 första siffrorna är delbart med 7, Det är 3816547290.

     

    Lösning på adventsproblemet den 22 dec



    Antal riddare från början är fem, tillkomna riddare är fyra.

    Låt oss börja med ett exempel. Om vi antar att fyra riddare ska tävla mot varandra, hur många tävlingsomgångar blir det då? Var och en tävlar mot tre andra, 4x3=12. Men då får vi även kombinationen att A möter B och B möter A så 12 måste delas på 2.

    Nu gör vi en generell lösning. Anta att riddarna från början är x st. Då blir antalet kombinationer x*(x-1)/2 om vi räknar som exemplet ovan. Med ytterligare y st riddare blir antalet tävlingsomgångar (x+y)(x+y-1)/2. Nu var det så att det tillkom 26 tävlingsomgångar när y st riddare kom till, dvs (x+y)(x+y-1)/2- x*(x-1)/2=26. Förenkling ger att y(2x-1+y)=52. Då y är positivt är y och parenteser faktorer i talet 52. Faktorerna till 52 är 1, 2, 4, 13, 26 och 52. Test ger att de enda möjliga värden på y är 1 och 4, den första inte är trolig med tanke på textens utformning ” några okända riddare” . Om y=4 blir x=5.



     

    Lösning på adventsproblemet den 22 dec



    Låt S vara summan av siffrorna i tomtens ålder. Multiplicerar man den med sig själv så får man tomtens ålder.

    Vi undersöker för vilka S det är möjligt:
    S = 0    0*0=0 siffersumman av 0 är 0, stämmer!
    S = 1    1*1=1 siffersumman av talet1 är 1, stämmer!
    S = 2    2*2=4 siffersumman av talet 4 är 4, ej 2!
    S = 3    3*3=9 siffersumman av talet 9 är 9, ej 3!
    S = 4    4*4=16 siffersumman av talet 16 är 7, ej 4!
    S = 5    5*5=25 siffersumman av talet 25 är 7, ej 5!
    S = 6    6*6=36 siffersumman av talet 36 är 9, ej 6!
    S = 7    7*7=49 siffersumman av talet 49 är 13, ej 7!
    S = 8    8*8= 64 siffersumman av talet 64 är 10, ej 8!
    S = 9    9*9=81 siffersumman av talet 81 är 9, stämmer!
    S = 10    10*10=100, siffersumman av talet 100 är 1, ej 10!

    Bland talen 0 till 10 har vi hittat tre som har en egenskap som krävs för att kunna vara siffersumman i tomtens ålder: 0,1 och 9. Tomten är nog 81 år - en mycket lämplig ålder för en jultomte. Tomtenissarna däremot kanske är 0 resp 1 år.

    Fortsätter man testa på samma sätt för S=11, 12 osv. så hittar man inte fler S som passar. Jultomten är alltså 81 år gammal.


    En inskickad lösning ser ut så här:

    Antag att tomtens ålder är tvåsiffrig: T=A*10+B där A och B är heltal mellan 0 och 9.

    T= (A+B)^2 = A*10+B

    Lös ekvationen map A:
    A = -B +/- sqrt(25 - 9*B) + 5

    Endast heltalslösningar efterfrågas varför B inte kan vara 3 eller större (då blir roten imaginär).

    Pröva:
    B = 0 ger A= 0 +/- 5 + 5 (endast noll är giltig lösning)
    B = 1 ger A= -1 +/-4 + 5 = 0 alternativt 8
    B = 2 ger ingen heltalslösning

    Tomten kan alltså vara nyfödd, ett år eller 81 år gammal (och åldern 81 år den enda rimliga om han skall kunna
    ställa frågan om det finns några snälla barn).
    Eventuella lösningar för från 100 år och uppåt är ej beaktade.


     

    Lösning på adventsproblemet den 23 dec



    Starta båda timglasen samtidigt, men gröten låter du vara än så länge. Låt gröten börja koka när timglaset som mäter sju min blir tomt. När timglaset som mäter 11 min blir tomt, vänd det. Gröten är klar när timglaset som mäter 11 min blir tomt igen.



     

    Lösning på adventsproblemet den 24 dec



    Datumet i månaden är dubbelt så stor som månadens nummer, 14/7=4/2=16/8=24/12=2.



     

    Lösning på adventsproblemet den 3 dec




    2178.

    Hej abcd!
    Eftersom du är fyrsiffrig och det är även din syster dcba som är 4 gånger så stor så måste du ligga mellan 1000 och 2499, alltså a är 1 eller 2. Men a måste vara jämn eftersom det är din systers sista siffra och hon är ju delbar med 4 alltså a=2. Du är minst 2000, dcba minst 8000 alltså d kan bara vara 8 eller 9. Men din sista siffra d kan inte vara 9 för då systerns sista (a) skulle vara 6 och inte 2. Nu vet jag att a=2 och d=8, därmed 2bc8 * 4 = 8cb2 dvs. (2008 + 10 * bc) * 4 = 8002 + 10 * cb
    Med lite algebra får vi 3 + bc * 4 = cb , alltså b kan inte vara större än 2 .
    Men 3 + bc * 4 är ett udda tal, alltså cb är udda, alltså b är udda alltså b=1.
    Nu har vi 3 + 1c * 4 = c1 vilket betyder 3 + (10 + c ) * 4 = 10 * c + 1 och med lite algebra igen får vi c = 7.

    Nu vet jag allt om dig 2178. Det stämmer att alla dina siffror är olika. Jag behövde inte använda den upplysningen.


    Vi har fått inskickat en lösning till problemet, se nedan. Har du någon annan lösning?

    Vi kallar siffrorna i det fyrsiffriga talet A, B, C och D.
    A måste vara 1 eller 2. Detta för att det fyrdubbla värdet måste ha fyra siffror.

    Om vi testar med siffran 1 för A så måste D vara mellan 4 och 7 (1000 * 4 = 4000, 1987 * 4 = 7948).

    Vidare måste vi kunna multiplicera D med 4 och få dess entalssiffra till 1 (som A är). Men:

    4 * 4 = 16, dvs entalssiffran är 6
    5 * 4 = 20, dvs 0
    6 * 4 = 24, dvs 4
    7 * 4 = 28, dvs 8

    Därför kan inte A = 1, då måste alltså A = 2.

    Då gör vi samma uträkning för D en gång till, denna gången med A = 2.

    D måste vara 8 eller 9 (2000 * 4 = 8000, 2500 * 4 = 9996)

    Då tester vi att multiplicera D med 4 med de giltliga värden D kan ha. Dess entalssiffra skall vara 2 (=A):

    8 * 4 = 32, entalssiffran blir 2
    9 * 4 = 36 entalssiffran blir 6

    Alltså måste D = 8.

    Då har vi klart att A = 2, D = 8 (2BC8)

    Om vi nu antar att B = 3, så skulle det fyrdubbla värdet vara minst (2300 * 4=) 9200, men eftersom D = 8, så måste B vara en lägre siffra. Men 2 är redan upptagen av A, så då måste B = 1 eller B = 0. (20C8 eller 21C8)

    Om vi antar att B = 0, så blir det fyrdubbla värdet som minst 2018 * 4 = 8072, vilket är för lågt (baklänges DCBA=8102), samma gäller det högsta möjliga värdet 2098 * 4 = 8392, vilket är för lågt, borde vara 8902. (Man kan också testa alla värden av C 2018->2098 där inget ger B = 0 vid multiplicering med 4.) Alla värden blir alltså för små. Då måste B = 1. Då har vi 21C8.

    Då kan vi enkelt räkna ut att C = 7, 2178 * 4 = 8712



     

    Lösning på adventsproblemet den 3 dec



    Pappa var 40 för ett år sedan så nu är han 41, mamma är lika gammal, alltså 41 (fyra och etta). Johans bror är då 14 (etta och fyra) och Johan själv hälften så gammal, alltså 7 år.

     

    Vi har fått in några lösningar där Johans bror är 14 år. Då har problemet tolkats som att det är Johans ålder som kan skrivas baklänges från deras mamma. Kul att ni är uppmärksamma, formuleringar är viktiga!

    Lösning på adventsproblemet den 4 dec



    Minst antal personer i familjen är 4 st.

    För att få fram antalet familjemedlemmar kan man antingen gissa sig fram eller skriva upp en ekvation som löser problemet.
    Om vi testar så börjar vi med att familjen består av 1 person (det brukar väl inte kallas för familj, men vi börjar här).
    1 person:
    Personen är 60 år. Om fem år är han/hon 65 år och för fem år sedan 55 år. 65 är inte dubbelt så stort som 55. Går ej.
    2 personer :
    Tillsammans 60 år. Om fem år är de tillsammans 70 år (två som blir fem år äldre) och för fem år sedan 50 år. 70 är ej dubbelt så mycket som 50.
    Fortsätt på samma vis så märker du att om de är fyra i familjen är de tillsammans 80 år om fem år och 40 år för fem år sedan. 80 är dubbelt så mycket som 40.
    Om du vill göra en ekvation så kan man beteckna antalet personer i familjen med n. Om fem år är hela familjens ålder 60 +5n. För fem år sedan hade familjen en ålder på 60-5n. Då får man ekvationen 60+5n=2(60-5n). Om man löser ekvationen så får man n=4.

    En annan variant kan vara att de är fem personer i familjen, och att för fem år sen fanns inga barn i familjen. Den blivande mamman och pappan är 21 och 23 år gamla, totalt 44 år då. Fem år senare är familjens ålder 26+28+3+2+1= 60 år (tre barn har tillkommit). Om ytterligare fem år är familjens ålder 31+33+8+7+6+3= 88 år (ytterligare ett barn har tillkommit).


    Vi har fått in en elevlösning från Chrisitan på Carlssons skola, år 9.
    Se lösning ...



     

    Lösning på adventsproblemet den 4 dec



    Ettor är lätt att räkna när man tittar på en urtavla, de är 5 (lite svårare om man blundar och bara föreställer sig en urtavla).

    Summan av alla siffror på en vanlig urtavla är 51 så det blir 17 i varje av de 3 delarna. Tänk på att linjerna inte får korsa varandra på urtavlan för då skulle de dela tavlan i 4 delar. När man söker en lösning kan man börja med siffrorna 8 och 9. Antingen hamnar de i samma del och då får inga andra siffror vara med i samma del utom möjligen en nolla eller i olika delar d.v.s. skiljs åt av en linje. I första fallet hittar man en lösning – i andra fallet ingen.

     

    Lösning på adventsproblemet den 5 dec



    Så här kan det gå till, det krävs minst 11 överfarter:

    De två gummorna åker över tillsammans, en av dem återvänder till tomtarna.
    En tomte åker över själv, går av båten och gumman som är där åker över till startsidan igen.
    Upprepa samma procedur igen för att få över den andra tomten. Då kommer de två gummorna finnas på startsidan och de två tomtarna är över på andra sidan.
    De båda gummorna åker över och en av dem återvänder, hämtar ryggsäckarna och åker över till de andra. Nu är alla gummor, tomtar och ryggsäckar över sjön.



     

    Lösning på adventsproblemet den 5 dec



    Bengt har förberett en fruktkorg åt sina gäster. Eftersom han har räknat med att eventuellt 6 gäster skulle komma har han lagt minst 6 frukter i korgen. Naturligtvis får varje gäst välja vilken frukt han/hon vill ta. Att gästerna måste bland 4 frukter ta två av samma sort måste bero på att det inte finns fler än 3 sorters frukter i korgen. Bland de 5 frukter som de tar ur korgen måste minst två vara av olika sorter. Det måste bero på att det inte finns fler än 4 frukter av samma sort i korgen.

    I korgen ligger alltså minst 6 frukter av inte fler än 3 sorter och inte fler än 4 av någon sort. Om vi betecknar antal frukter med A av den sort som det finns flest frukter av, antal frukter av den sort som det finns minst frukter av med C och antal frukter i mellansorten med B så kan vi sammanfatta det med följande olikheter:
    4 ≥ A ≥ B ≥ C ≥ 0 och A + B + C ≥ 6 där A, B och C är heltal.

    Vi vet inte än hur många sorters frukt det ligger i korgen men om det är färre än 3 sorter så får C (och kanske B) vara lika med noll.
    Om gästerna tar 6 frukter blir det olika sorters frukt kvar i korgen (alltså minst 2 olika)
    A + B + C – 6 ≥ 2

    Men den senaste upplysningen säger egentligen mera, för om gästerna först tar frukter av C-sorten, sen B-sorten och lämnar A-sorten sist, blir det ändå olika sorters frukt kvar och då måste alla frukter av sorten A vara bland dem:
    A + B + C – 6 ≥ 1 + A alltså B + C ≥ 7

    Detta i kombination med den allra första olikheten 4 ≥ A ≥ B ≥ C ≥ 0 ger A = 4, B = 4 och C är antingen 3 eller 4 (kom ihåg att A, B och C är heltal).
    Antalet frukter i korgen A + B +C är antingen 11 eller 12.

    Den sista upplysningen i texten lyder: ”det behöver inte bli så om de tar 7” dvs. gästerna kan ta 7 frukter och låta de som lämnas kvar vara alla av samma sort, alltså inte fler än 4 för det finns inte fler än 4 frukter av samma sort i korgen:
    A + B + C – 7≤4 och därmed A + B + C ≤ 11
    Svaret är: Det ligger 11 frukter i korgen.


    Vi har fått in flera svar men ingen med lösning.


     

    Lösning på adventsproblemet den 6 dec



    PAPPA översätts till 26226, SUSSA översätts till 48446, SPADE översätts till 42671 och PADDA översätts till 26776.

    De tvåsiffriga heltal som har tresiffriga kvadrater ligger mellan 10 och 31 (9²=81, 10²=100 och 31²=961, 32²=1024). Det är enbart 11 (EE), 22 (PP) och 26 (PA) som kan stämma med de givna uppgifterna.
    En början kan vara att starta med PP och EE. Mellan 10 och 31 finns bara 11 och 22 som har samma siffror både som ental och tiotal.



     

    Lösning på adventsproblemet den 6 dec



    Två vägningar räcker. Om han har fyra mynt: A, B, C och D så lägger han i första vägningen A i ena skålen och B i den andra. I andra vägningen jämför han A och C. Blir det jämvikt i båda vägningarna så är D falskt. Blir det jämvikt i den första vägningen men inte i den andra så är C falskt. Visar den första vägningen ojämnt men inte den andra så är B falskt och om båda vägningar visar ojämnt så är A falskt.

     

    En inskickad lösning av okänd avsändare löser problemet så här:

    Man tar två mynt i ena skålen två mynt i den andra skålen och väger, de två mynten som väger mindre än de andra två mynten tar man och väger igen fast i varsinn skål och då får man reda på vilket mynt som väger minst (förfalskat).

    Lösning på adventsproblemet den 7 dec



    Talet 24 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 eller 24.
    Om det finns ett barn får hon alla 24 paket.
    2 barn: 12 paket var.
    3 barn: 8 paket var.
    4 barn: 6 paket var.
    6 barn: 4 paket var.
    8 barn: 3 paket var.
    12 barn: 2 paket var.
    24 barn: ett paket var.
    Om tomten har 25 paket så finns det inte lika på många varianter. Talet 25 har faktorerna 1, 5 och 25.
    1 barn: 25 paket själv.
    5 barn: 5 paket var.
    25 barn: 1 paket var.
    Diskutera med eleverna hur det blir om man har 17 paket? Prata om primtal och om sammansatta tal.



     

    Lösning på adventsproblemet den 7 dec



    Troligen håller han lappen upp och ner när han läser Lisas husnummer. I så fall är Lisas adress Lilla gatan 16.

     

    Vi har fått in ett annat alternativ till lösning:

    Lösningen 16 är ju självklar, men jag hittar ett par till:
    Med slarvig handstil kan "6" och "b" se lika ut. Hon kan bo på 1b.
    Med spritpenna kan det hända att texten går genom pappret, så att man inte vet vilken sida som texten ursprungligen skrevs på. Hon skulle kunna bo på 1p.

    Lösning på adventsproblemet den 8 dec



    Den triviala lösningen är att klippa rektangeln parallellt med en kant och få två rektanglar som kan läggas ihop på olika sätt. En annan variant är att klippa längs diagonalen och lägga ihop. Nedan följer två andra exempel:

    Den vänstra bilden går att göra på flera sätt men för att få en kongruent rektangel finns endast möjligheten att lägga bitarna precis så att man får samma rektangel som den ursprungliga. Däremot i bilden till höger blir det annorlunda. Om man klipper enligt bilden och flyttar den högra delen ner en cm och en cm till vänster så får man en rektangel som är kongruent med den ursprungliga men vriden 90 grader trots att man inte har vridit någon av delarna. Kan du hitta fler sätt där den nya rektangeln är vriden jämfört med den första?



     

    Lösning på adventsproblemet den 8 dec



    Man kan inte dra några slutsatser om pepparkakornas form av det att Nisse kunde bilda en stortriangel av dem. Man kan faktiskt göra som Nisse gjorde med vilka triangulära pepparkakor som helst.

    Gör så här:
    Ta 4 likadana triangulära pepparkakor. De har sidor a, b och c. Lägg dem på bordet alla vända och vridna på samma sätt. Vrid en av dem 180 grader. Flytta en annan pepparkaka till den första så att de ska ligga an mot varandra med sidorna a mot a. Flytta en tredje pepparkakan till den första så att de ska ligga an mot varandra med sidorna b mot b. Flytta den fjärde pepparkakan till den första så att de ska ligga an mot varandra med sidorna c mot c. Stortriangeln är klar.


     

    Lösning på adventsproblemet den 9 dec



    2 minuter.

    I första fallet kan man komma fram till att det tar två minuter för ett barn att äta upp en skumtomte. I andra fallet delar fem barn på fem skumtomtar, alltså en var. Det tar också två minuter.



     

    Lösning på adventsproblemet den 9 dec



    En cykelbanas area A (i kvadratmeter) är lika med dess längd L (i meter) gånger dess medelbredd B (i meter).

    En cykelbanas omkrets består huvudsakligen av dess högerkant och vänsterkant som har en sammanlagd längd lika med 2 * L. Att en cykelbanans omkrets är lika med dess area betyder alltså att: 2 * L = L * B, vilket ger B = 2 (det finns ju inga cykelbanor som är 0m långa).

    Cykelbanan är cirka 2 m bred.

     

    Lösning: Adventsproblem 10 december



    På en lång och smal skogsstig åker tre snöslädar, alla dragna av renar. De ska till nordpolen. Samtidigt kommer det tre likadana snöslädar i motsatt riktning, från nordpolen.

    Två snöslädar kan inte passera varandra på den smala stigen. En släde kan dras bakåt några meter när man hjälps åt, men det är minst en mil till en bredare väg. Kuskarna vet att det finns en liten glänta intill stigen, där en släde åt gången kan få plats.

    Hur ska de göra för att komma förbi varandra?


    Den första släden av de som ska till nordpolen kör in i gläntan. De andra två väntar på lagom avstånd. De 3 som kommer från nordpolen kör förbi gläntan så att den som står i gläntan kan köra ut och fortsätta mot nordpolen. Därefter backar de och upprepar samma manöver med den andra som ska mot nordpolen och samma sak med den tredje släden bara med den skillnaden att nu behöver de inte backa utan kan direkt fortsätta dit de ska.
    Det är i princip den lösning som föreslås av David, Vera och Monica.

    Philip har något annorlunda lösning (en bild följde med men även utan bild kan man förstå hur Philip menar):

    Först åker den 1: a röda släden in i gläntan. Sen åker alla gula förbi gläntan och den röda kör i väg. Sen backar alla gula tillbaka då kör en av dem in i gläntan, alla röda kör förbi och den gula i gläntan kör i väg. Efter detta håller de på så tills alla är förbi. Alltså i Philips lösning ska varannan gång en av de som kör mot nordpolen köra in i gläntan och varannan gång en av de andra.
    Den första metoden är den enklaste och smartaste men Philips är nästan lika bra.

    Det kan vara roligt att testa både metoder i ett klassrum, på en korridor eller i en gymnastiksal eller var som helst med 6 elever som ska vara slädenDom byter slädar. Testa gärna med andra antal släden i varje följe och gärna med olika antal i olika följen.

    Jo, Gustav H. kom ett förslag till, lite i still med en viss Alexander den Store. ” Dom byter slädar”
    Det är inte så enkelt som det låter. Man måste ju lasta om och dessutom vända alla slädar. Det kanske går. Men i så fall måste vara mycket jobbigt.

    Astrid L. A. H. ES2a (teater) i Anderstorpsskolan i Skellefteå meddelar på facebook: ‎men renar kan ju flyga!
    Det fans alltså inget problem.
    Leo

    Lösning: Adventsproblem 11 december



    Lillnissen spelar kula med sina kompisar. Han tog med sig sina 10 kulor, 5 röda och 5 blå. I första matchen förlorar han 2 röda och vinner 4 blå. I andra matchen vinner han lika många röda som han förlorar blå. I den tredje och sista matchen förlorar han 3 blå och 1 röd.
    Hur många kulor har Lillnissen kvar efter sista matchen?


    Svaret är: 8 kulor.

    Alla är Nissar nu förtiden men vi som löser ”Månadens problem” känner igen vår vän, sköldpaddan Sixten, där under tomtemössan.

    Här kommer ett par lösningar.

    Vi på Lilla Trulsegården i klass 3 har ett svar:

    Vi lade till och tog bort det Lillnissen vann och förlorade i 1:a och 3:e matchen. Det han vunnit och förlorat i 2:a matchen struntade vi i eftersom han vann lika många som han förlorade. Det påverkar alltså inte hur många kulor han har i slutet.

    Han hade 8 kulor kvar när matcherna var slut.

    Inga beräkningar alls?! Nej, det behövs inte i det här fallet. Vem som helst som kan räkna plus och minus kan starta med 10, räkna som det står att klass 3 räknade och se att det blir 8.

    Hilda A., ES2c (dans) gör tvärtom och skriver kort: ”Han har åtta. 10-2+4+-0-3-1=8”

    Bara beräkning?! Ja, för oss som redan vet hur man ska räkna, räcker det för att se att även Hilda visste. För de som vill lära sig behövs kanske mera förklaringar. Men detta var ett inlägg i Anderstorpsskolan i Skellefteås tävling. Där gällde det att komma först med rätt svar.

    Och så ett bidrag av Monica W. med både förklarning och beräkningar:
    10 kulor --> 5 röda och 5 blå
    Match 1 --> förlust 2 röda vinst 4 blå, ger 3 röda 9 blå -- 12 kulor
    Match 2 --> vinner lika många röda som han förlorar blå... -- 12 kulor
    Match 3 --> förlust 3 blå och 1 röd -- 12 - 4 = 8 kulor

    Svar: Han har 8 kulor kvar till slut.

    Vi har fått många fler bra svar.
    Nu kommer en fråga till att tänka på.
    Hur många röda kulor som mest kunde Lillnissen/Sixten ha efter andra matchen?

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 12 december



    Så här tänkte Emelie, Jenny (lösning 2) och Hanna:

    Jag tar den minsta hinken (4 liter), fyller den med vatten, häller i 9-liters-hinken. Sen fyller jag halva 4-liters-hinken och häller i det också. Då skall det finnas 6 liter vatten i den stora hinken.

    Men hur mäter man upp en halv hink vatten? Hinkarna är ograderade. Har man inte tittat på en hink på länge så kanske föreställer man sig den som cylinderformat. Då skulle det gå. Den praktiskt sinnade använder kanske ögonmått men här gäller bara strikt matematik.

    Här kommer en matematisk lösning av Philip S.

    Jag häller i 4 l + 4 l + 1 l då har jag 3 l kvar i den lilla hinken.
    Jag tömmer den stora hinken.
    Jag häller i 3 l + 4 l + 2 l då har jag 2 l kvar i den lilla hinken.
    Jag tömmer den stora hinken igen.
    Jag häller i 2 l + 4 l då har jag 6 l i den stora hinken.

    Och här en av David S.

    Mät upp 9 L, häll ut 2x4 L. Töm den mindre hinken och häll upp återstående 1 L.
    Fyll 9 L och fyll upp 4 L-hinken. Kvar blir då 6 L. Vattenåtgång 18 L.

    Följdfrågor:
    Går det att mäta upp 6 L, med mindre vattenåtgång?
    Vilka volymer går att mäta upp exakt med två hinkar, som rymmer x resp. y L?
    På dessa är jag f n svaret skyldig ...

    Jag tror att fler än David funderar på det.

    Säkert kan man uppfinna tekniker som det inte var meningen att de skulle tillåtas men om man tolkar villkoren som de flesta gör så gäller följande svar på Davids frågor:

    1. Det finns egentligen bara två sätt att mäta upp 6 liter: Philips och Davids om man bortser från varianter där man utför onödiga åtgärder bara för att hamna tillbaka i ett läge som man redan hade nått. Sådana åtgärder ger ingen vattenbesparing. Av dessa två är Davids vattensnålaste, alltså vattensnålaste av alla.

    2. Om x/y är ett rationellt tal, alltså ett sådant som kan skrivas som ett bråk och bråkets förkortade form är p/q, så är vattenmängder möjliga att uppmäta de som kan uttryckas med m*n där m= x/p= y/q och n är ett naturligt tal mindre eller lika med p+q. Om x/y inte är ett rationellt tal, så är det teoretiskt möjligt att mäta upp godtycklig volym mellan 0 och x+y av vattnet med hur stor noggrannhet som helst, även om en mycket hög noggrannhet kan kräva väldigt många steg. (Med ”teoretiskt ” menar jag att man antar att varje enkel steg som t ex fyllning av en hink utförs med absolut noggrannhet. Verkligheten är naturligtvis helt annan.)

    Vi har också fått bra lösningar från Viktoria, Monica, Rasmus ES2a (musik), Cecillia ES2c (dans) samt Axel, Jonatan, William och Teodor samt elever i Lärken åk6, Hållänget i Domsjö

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 13 december



    Tärnorna, Hanna, Matilda och Sofia har olika hårfärg. En är mörk, en är blond och en är rödhårig. Den mörka tärnan är yngst och har inga syskon. Sofia är äldre än den rödhåriga tärnan. Hanna är kär i Matildas bror.
    Vem har vilken hårfärg?


    Svar: Hanna har mörkt hår, Matilda rött och Sofia blont hår.

    Så här tänkte Vera P:
    Eftersom den mörkhåriga tärnan är yngst och Sofia är äldre än den rödhåriga tärnan då vet jag att Sofia är blond. Eftersom Matilda har en bror och mörkhåriga tärnan inte har några syskon då vet jag att Matilda är rödhårig. Då betyder det att Hanna är den mörkhåriga tärnan.

    En perfekt lösning! En enklare men ändå lika klar motivering är inte möjlig.

    Det kom också korrekta lösningar från Monica W. Felix M-N, Philip S., Hilde B och Victoria Ö.

    Vi har dessutom fått korrekta svar, några med mer eller mindre fullständiga förklaringar, från: klass 5A i Solhemsskolan i Spånga, klass 4B i Kopperskolan i Stenungsund och 3:an på Lilla Trulsegården, Rasmus J., Carina C., Hanna L., Madelen S., Johanna S., Agge och Fabbe samt Moa L.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 14 december



    Tomtefar sitter hos frisören för att få hår och skägg putsat. I en spegel får han syn på en klocka. Den visar tio över sju.
    Vad är klockan egentligen?


    Svar: Tio i fem.

    Jag gjorde så här:
    Jag tog en analog klocka, ställde den på tio över sju, då blev hon tio i fem, då ställde jag klockan på tio i fem och då blev hon tio över sju så svaret är att klockan egentligen var tio i fem.
    Philip S.

    Bra tänkt! Om man tar spegelbild av en spegelbild så får man en rättvänd bild tillbaka.

    Det kom många svar. Några hade testat med spegel, andra bara tänkt, ett par tänkte fel, man måste komma ihåg att både timvisare och minutvisare brukar hamna på fel sida i spegeln.

    Det finns två klockslag som ser likadana ut i spegel och utan spegel, det är klockan 6:00 och klockan 12:00. Annars är det klockslag som klockan egentligen visar och det som syns i spegeln lika långt (i tid räknat) från 6:00 och lika långt från 12:00. T ex tio över sju och tio i fem ligger båda två en timme och tio minuter från 6:00 och två fyra timmar och femtio minuter från 12:00

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 15 december



    Sex mynt ligger i en pyramidform. Med minsta möjliga antalet förflyttningar ska de bilda en ring.
    Hur många mynt måste flyttas?


    Svar: Det behövs 2 förflyttningar.
    Den översta och den i mitten i treraden flyttas ned och sätts som i tvåraden.
    Hälsar åk 4-5 i Magra skola

    Hej här är vår lösning från klass 7b Risbroskolan, Fagersta:

      o
     oo
    ooo

    Vi flyttade två steg, den översta och den i mitten nederst.

     oo
    o  o
     oo

    Det kom flera rätta svar, en del med bilder som t ex den här:

    Så här ser den ut först:


    Så här ser den ut när man har flyttat 2 mynt:


    Vera P.

    Liknande svar kom också från Peter G.(musik), Felix M-N.(musik), David S., Monica W. och Emelie R.

    Några tyckte att det räcker med att bara flytta ner myntet från toppen och att man då har bildat en ring med fem mynt och ett mynt mitt i ringen. Nja, det är en tolkningsfråga, jag tycker ringen ska bestå av alla sex mynten, annars kan man, om man riktigt vill hårddra det, svara som Rasmus L, ES2c (dans): ”Jag ser redan sex ringar, det var ju mer najs än att bilda en av dom. Låt dom ligga kvar!”

    Några svarade att man ska förflytta tre mynt. Om man tar de tre mynt som ligger mitt i triangelns alla sidor och förflyttar dem lagom mycket utåt så bildas en fin ring av alla sex mynten. Ja, men frågan var hur många mynt man måste förflytta som minst och man behöver inte flytta tre när det räcker med två.

    Alla som flyttade två mynt (eller bara en för den delen), flyttade ner myntet i toppen, men det skulle ju gå lika bra att ta ett mynt i vilken som helst av triangelns hörn och en mitt i motstående sida och lägga dem lite utanför sidan.

    Agnes B. ES2c (dans) räknar upp alla tre möjligheter:
    Det går att bara flytta två mynt. Men för det finns det tre olika sätt, vilka alla mynnar ut till en cirkel, bara på olika ställen. Man kan exempelvis ta den översta och den i botten i mitten och placera de som de två i andra lagret fast under det understa.

    Men så kan man göra från de andra två sidorna också. Att man då tar exempelvis nummer 3 (från vänster) i undre lagret och nr1 (fr. v.) i andra lagret och lägger till vänster om triangeln som "emellan raderna". Så går även att göra på höger sida.

    Tack för alla bidrag!

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 16 december



    Tomtemor ville köpa ett nytt bälte. På ett torg i Snölandet kostade ett flätat läderbälte 54 renmark och 50 barr (1 renmark=100 barr). Tomtemor hade en hundra-renmarkssedel och en tio-renmarkssedel.

    Handlaren kunde inte betala tillbaka på 100 renmark, han hade bara en 50 renmarkssedel och ett 1 renmarkmynt. Säljaren ropade på en kollega och frågade om han kunde växla åt dem men kollegan hade bara två mynt på 5 renmark och två på 50 barr. Tillsammans lyckades de ändå ordna så att Tomtemor kunde betala för bältet.

    Hur gjorde de?


    Tomtemor lämnar alla sina pengar, 110 renmark. Handlaren ger henne 50 renmark tillbaks. Kollegan ger henne 5 renmark och 50 barr.
    Philip S.

    Ja, det går nog bra och sedan får handlaren göra upp med kollegan. Men tänk om de minns olika om hur det gick och blir ovänner på köpet? Jag föredrar nästa lösning där de gör tre enkla affärer och börjar inte nästa innan den förra är avslutat.

    Vi är klass 8a, Risbroskolan, Fagersta:
    Tomtemor växlar med kollegan, hon ger 10 renmarkssedeln och får två 5 renmark mynt
    Handlaren växlar sin renmark med kollegan och får då två 50-barrs mynt.
    Tomtemor ger handlaren 100 renmarkssedeln och fem renmarksmyntet och får 50 renmarkssedeln och ett 50 barrs mynt tillbaka. Hon går gladeligen hem med sitt ursnygga bälte.
    Ungefär så tyckte också Klass 6 i Orrestaskolan och Vera P.

    Lösningar som mera liknade Philips kom från Peter G, ES2a (musik), David S. klass 4B i Kopperskolan och från Hilde B.
    (Tänk om valutan varit t ex 1 renmark=12 kottar, 1 kotte=8 barr – krånglar till David på slutet - fast då kan man ju hitta växel överallt i skogen... ;).
    Så skönt att vi använder decimalsystemet i Sverige!

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 17 december



    Alla stolar i ett rum är numrerade: 1, 2, 3 osv. De står i nummerordning i jämna avstånd runt ett runt bord. Nisse Grå och Nisse Röd sitter bredvid varandra och summan av deras stolnummer är 6.
    Vilket stolnummer har Lillnissen som sitter mittemot dem?


    Vi tror att lillnissen mittemot har nummer 3 på sin stol.
    Varför?
    Jo, Nisse Röd och Nisse Grå kan inte sitta på två stolar i nummerordning.
    2 och 3 blir för lite, och 3 och 4 blir för mycket. Summan ska ju vara 6.
    Enda sättet är att det finns fem stolar runt bordet, så att nissarna sitter på stol 1 och 5.
    Mittemot varje nisse finns ingen stol, men mittemot båda nissarna (dvs från punkten mellan dom) står stol nummer 3.
    Klurat ut av
    Ludvig 8 år och lite hjälp av pappa Uffe, 50.

    Summa av två på varandra följande heltal är alltid udda medan 6 är ju jämnt.

    Så skriver Hanna och Rebecca:
    Det är 5 stolar för att det inte finns andra möjligheter att få summan 6 av två stolar som står bredvid varandra. Nisse röd och Nisse grå sitter på stolarna 1 och 5 som står bredvid varandra. Mittemot stolarna 1 och 5 står stol nummer 3. Alltså sitter Lill-nissen på stol nr 3.

    Så såg bordet ut enligt Rasmus J. ES2a (musik):

    Det kom också svar, en lösning och en bild av våra trogna nötknäckare David, Vera och Philip.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 18 december



    Dela följande figur i
    a) två lika delar
    b) tre lika delar
    c) fyra lika delar.


    Det har kommit lösningar från Vera P, Hanna K; Maria S och Sara F klass 7c i Fridaskolan Mölnlycke, Philip S; Klass 7b i Risbroskolan i Fagersta, Felix M-N, Monica W och David S, alla med bilder. Det är svårt att hantera så många bilder gjorda i olika program, därför visar jag här bara egna bilder.
    Så här kan man dela figuren i två, tre eller fyra lika delar, lika både till formen och till storleken.

    David skriver: Fem lika delar verkar omöjligt, men sex lika delar går på oändligt många olika sätt pga kvadratens symmetri. Jag har försökt med fem och lutar åt att hålla med David. Så kan man dela figuren i sex lika delar: Man tar en kvadrat, delar den med en rak linje som har en godtycklig riktning men går genom kvadratens mittpunkt och sedan delar figuren i tre sådana tudelade kvadrater.

    Om man nöjer sig med att delarna ska vara lika bara till formen men olika till storleken, så finns det många olika möjligheter och man kan dela figuren i hur många ”lika” delar som helst.

    Lösning: Adventsproblem 19 december



    Hur mycket är 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10?
    Hur mycket är summa av alla tal från 1 till 20?
    Måste man addera alla dessa tal i tur och ordning eller finns det genvägar?


    Så här tänkte Allan, Viking, Amanda och Ludvig i klass 3cd på Sjöstadsskolan:
    (10+9+1)+(2+3+5)+(4+6)+(8+7)=20+10+10+15=55.
    På andra frågan tänkte vi:11-20 är samma fast 10+ på varje tal och det blir 155.
    155+55=210
    Så, nej, vi behöver inte addera i ordning.

    Vi på Lilla Trulsegården i 3:an vi har en lösning:
    Vi använde 10-kompisarna och 20-kompisarna.
    10-kompisarna 9+1 8+2 7+3 6+4 5, summan= 55
    20-kompisarna 19+1 18+2 17+3 16+4 15+5 14+6 13+7 12+8 11+9 10, summan= 210

    Philip skriver ”jag använde 10-kompisar och 30-kompisar” och han fick rätta svar. Jag gissar att han använde 10-kompisar för att beräkna summan från 1 till 9 och 30-kompisar för summan från 10 till 20.

    David använder två metoder det första kan nog kallas elvakompisarna:
    Summera störst-minst parvis: (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) = 11*5 = 55
    Tag medelvärdet av det största och det minsta: (1+20)/2=10,5 * antalet tal: 20 = 210

    När jag gick i skolan, så fick vi inte lära oss 10-kompisar, än mindre elvakompisar, men jag vill försöka:
    (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)= 11*10= 110
    Det blev för mycket därför att jag räknade varje tal två gånger, men då är det bara att dela med 2, 110/2= 55. Nu är det rätt. Man kan skriva 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= (1+10)*10/2= 55 eller allmänt:
    Summan_av_alla_heltal_från_m_till_n = (m+n)*antalet/2

    Jag testar det på 1 till 20. Det första talet är 1, det sista 20 och de alla är 20 till antalet. (1+20)*20/2= 210. Det stämmer!
    Antalet heltal från (och med) m till (och med) n är n-m+1. Så vi kan skriva (n-m+1) i stället för ”antalet” i vår formel
    Summan_av_alla_heltal_från_m_till_n = (m+n)*(n-m+1)/2.
    T ex summan av alla årtal från 1523 till 2012 (med lite hjälp av miniräknare) blir
    (1523+2012)*(2012-1523+1)/2=3535*490/2=866075.

    Vera räknar med 11-kompisar och med 21-kompisar och skriver om formeln: n/2 * (n+1) för summan av alla tal från 1 till n, där n kan vara vilket (naturligt) tal som helst och att en sådan summa kallas ett triangeltal och att alla triangeltal finns i något som heter Pascals triangel.

    Andra som skickade svar (eller diskuterade på Facebooken) var: Hilde B, Ann-Britt L, Fredrik L, Agnes B; klass 5c på Villanskolan och Wilma W.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 20 december



    Tomtefar är trött på alla pepparkakor. Han gräddar våfflor istället.
    Vem får den största?
    Vem får den minsta?

    Nisses, tomtemors och tomtens våfflor.

    Hämta en pdf med större våfflor ...


    Ett försök av Astrid Lone Amanda (ES2c, teater) (något förkortat): Om alla är lika höga och lika breda är stjärnan minst för att det är mest borttaget från en rektangel och den längst till vänster (vad kallas det?) är störst för att det är minst borttaget från en rektangel.

    Formen till vänster är en månghörning med 5 hörn alltså en femhörning. Vill man låta lite gammalgrekisk så säger man en polygon med fem hörn eller en pentagon. Astrid har dragit de rätta slutsatserna, stjärnan (som tomten ska få) är minst och femhörningen (som Nisse ska få) är störst. Men inom vetenskapen och i synnerhet inom matematiken räcker det inte att övertyga sig själv, man måste komma med argument som övertygar alla andra.

    En lite säkrare metod skulle vara att printa ut bilden med de tre figurerna och klippa ut dem. Lägger man stjärnan på femhörningen så ser man att hela stjärnan får plats i den. Lägger man stjärnan på hjärtat, så man kan vrida den och placera så att bara två små uddar sticker utanför hjärtat medan de områden av hjärtat som inte täcks av stjärnan är betydligt större. Så det är klart att stjärnan är minst av de tre våfflorna.

    Om man sedan lägger hjärtat på femhörningen och placerar och vrider det så att det täcker så mycket som möjligt av den, så kan man övertyga de flesta som ser det att det är mera av femhörningen utanför hjärtat än hjärtat utanför femhörningen, alltså femhörningen är störst.

    Men det finns ett ännu säkrare och mera precist sätt att jämföra våfflor. De har ju ett regelbundet rutmönster. Räknar man rutorna på varje våffla så får man ett mått på dess areor.

    Så har både David och Philip gjort. En fråga när man räknar rutor är hur de vid våfflans kant ska räknas, de som inte är hela. Jag tycker att de som är mera än hälften ska räknas som hela, de som är mindre än hälften ska inte räknas alls och när man har svårt att avgöra så räknar man dessa som en halv. En annan sak är att det är så många rutor och jobbigt att räkna och det händer lätt att man räknar fel. David delade sina våfflor i kvadrater om 3x3 rutor, då går det smidigare och säkrare.
    Kanske såg Davids våfflor ut så här?

    Enligt mina beräkningar är Nisses femhörning 123 rutor, tomtemors hjärta 111 rutor och tomtens stjärna bara 62 rutor.
    Även Vera och klass 4B i Kopperskola i Stenungsund och Klass 4B i Tingvallaskolan i Säffle tyckte att femhörningen var störst och stjärnan minst.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 21 december



    Oscar har 4 syskon. Äldst är Filip född år 1996, Lucas är född 8 år senare, Emma är 6 år äldre än Lucas, Ida 5 år yngre än Emma och Oscar själv 4 år äldre än Ida.
    Vilket år är Oscar född?


    Det finns tre sätt: Man kan beräkna födelseåren för var och en i tur och ordning eller hur mycket yngre Filips syskon är än Filip eller hur gammal var och en är i år.

    Jag tänkte att det skulle det vara svårt för de yngsta eleverna att räkna med fyrsiffriga tal och att de skulle föredra de senare sätten, men det var inte något problem för någon som skickade svar, alla räknade med födelseår eller blandade lite och alla fick rätt svar.

    Så framställer Monika sina beräkningar:
    Filip är född 1996
    Lucas 8 år senare dvs 2004
    Emma 6 år äldre än Lucas sålunda två år yngre än Filip 1998.
    Ida är 5 år yngre än Emma dvs född 2003
    Oscar 4 år äldre än Ida dvs 1999.

    Andra som svarade var Signe E, Vera, Astrid Lone Amanda, klass 4A i Solhemsskolan i Spånga, Amanda L i Fridaskolan, David, 4B i Tingvallaskolan 4B, Säffle och Philip.

    Lösning: Adventsproblem 22 december



    I cirkusmanegen finns vilda myror och tama elefanter. Varje myra har 6 ben, varje elefant 4. Alla tillsammans har de 100 ben.
    Vilken sorts ben är det flest av i manegen om elefanterna är 5 fler än myrorna?


    Här följer Davids lösning:
    Lösning utan ekvation: Ett par (en myra+en elefant) har 10 ben, förutom ett antal sådana par, finns 5 elefanter med sammanlagt 20 ben, alltså återstår 100-20=80 ben från 8 myror+8 elefanter. 8*6=48 myrben är mindre än 13*4=52 elefantben.
    Svar: 4 fler elefantben än myrben.

    Hilda A (dans) och Monica ställde upp och löste ekvationssystem.
    Det kom också lösningar från Vera och Philip.

    Lösning: Adventsproblem 23 december



    Jultomten provflyger sin släde innan jul. Han flyger i en triangel från nordpolen till ekvatorn, lika långt utefter ekvatorn och sedan hem igen.
    Hur stora är vinklarna i triangeln?
    Hur stor är vinkelsumman i triangeln?


    Svar: 270 grader.
    Det kom svar från: Vera, Philip, Hilda A (ES2c, dans), Rasmus J (ES2a, musik), Sandra H (ES2a, musik) och från David.
    Sandra tyckte att triangeln var likbent, alla andra att den var liksidig men David håller med Sandra om att den vinkeln där tomten svängde för första gången var 90 grader. Alla utom David visste att summan av vinklarna i en triangel alltid är 180 grader. Hilda tyckte dessutom att mycket berodde på hur rakt tomten flög.

    Jag passade på och frågade tomten i förrgår, hur hans provresa gick.
    Han berättade att det var svårt att hålla kursen i början. Renarna blev snurriga i huvuden när de såg Jorden snurra under sig och de försökte svänga till höger hela tiden. Det kallas corioliseffekten och är värst nära nordpolen, sedan avtar den och går över när man närmar sig ekvatorn. Sedan grävde tomten i sin säck och plockade ut en jordglob med världens alla länder och alla hav målade på. Den var rund som jordklotet och hade nordpolen uppe och sydpolen nere och ekvatorn gick mittemellan polerna runt hela globen. Det fanns också flera linjer som gick rakt från den ena polen till den andra. Ja, så rakt som man kan rita på ett klot. De kallas meridianer och egentligen är de halvcirklar när man tittar på dem från sidan. Tomten sa att han valde en av meridianerna från början och såg till att släden följde den hela vägen mot ekvatorn och på så sätt kunde han hålla rak kurs. Så här har vi svaret på Hildas tvivel, tomten flög med sin släde så rakt som man kan flyga över jorden. En riktigt rak linje från nordpolen till ekvatorn skulle gå djupt under jorden.

    Just när de skulle korsa ekvatorn, svängde de 90 grader för att följa den istället. Vi kunde se på jordgloben att alla meridianer korsade ekvatorn i 90 graders vinklar. Tomten förklarade att en väg som ansluter till ekvatorn i en sned vinkel, kan inte vara den kortaste vägen till ekvatorn eftersom då finns det alltid en kortare väg som går vinkelrät mot ekvatorn, en väg genom luften i alla fall. Där fick alltså Sandra och David rätt.

    Den kortaste vägen från nordpolen till ekvatorn är tusen mil lång, den är hälften av vägen mellan polerna och en fjärdedel av vägen runt jorden, alltså en fjärdedel av ekvatorns längd. Tomten flög sedan lika långt längs ekvatorn, en fjärdedels varv runt jorden, och svängde sedan 90grader igen för att ta en annan meridian som var den kortaste vägen hem till nordpolen. Vinkeln mellan meridianerna var också 90 grader. Det blev alltså tre vinklar om 90 grader var.

    Så här motiverar David sitt svar:
    ”Vinklarna vid ekvatorn är båda 90 grader, likaså polvinkeln eftersom tomten åker 1/4 varv längs ekvatorn.
    Vinkelsumman blir alltså 270 grader och inte 180, som för plana trianglar.”

    Vi har lärt oss på geometrilektionerna att alla trianglar har vinkelsumman 180 grader, men i den vanliga geometrin, när man talar om trianglar, så menar man plana trianglar medan den bana som tomten flög var en sfärisk triangel. Varje gång man ritar en triangel på marken, ritar man egentligen en sfärisk triangel, eftersom Jorden ju är ett klot. Men det är bara då det gäller väldigt stora trianglar eller då de är ganska stora och vi vill räkna med stor precision, som vi behöver tänka på att de inte är plana. Till exempel den sfäriska triangeln Stockholm-Göteborg-Malmö har vinkelsumman 180,045 grader eller 180° 2’ 40’’.

    Annandag jul 2011
    Leo

    Lösning: Adventsproblem 24 december



    De nio jämna heltalen från 2 till och med 18 ska placeras i rutnätet. Tre tal är ditskrivna.
    Placera ut de övriga så att summan av talen i varje rad, kolumn eller diagonal är lika.


    Det kom rätta svar från: Vera, David, Philip, Felix, Monica och Barbara R.

    Ett ifyllt rutnät med dessa egenskaper kallar man (som Monica gör) ”en magisk kvadrat”.
    Oftast börjar man söka efter en magisk kvadrat med givna tal genom att som Felix gör, beräkna ”den magiska summan”:
    Jämna heltal mellan 2 och 18 är 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18.
    Summan av alla de talen är 90.
    90/3 = 30. Alltså ska summan i varje kolumn vara lika med 30.
    30 är alltså den magiska summan. Vet man detta så ser man direkt vilka tal som ska stå i andra raden och efter ett par enkla tester och uteslutningar fyller man i resten av kvadraten.

    Nu är kalendern all.

    Vi tackar alla elever och andra som knäckte eller försökte knäcka våra nöter. De som lyckades bäst har nämnts. Vi tackar Christina Soldan för hennes engagerade insats, en kalendertävling, i Anderstorpskolan i Skellefteå och alla andra lärare som uppmuntrade sina elever och förmedlade deras lösningar till oss.

    God fortsättning på helgen!
    Leo Rubinstein och Nämnareredaktionen.

    Lösning: Adventsproblem 4 december



    I tomteverkstan fanns 1000 julklappar numrerade från 1 till 1000. Tomten har valt ut alla klappar sådana att han vet att han kan läsa numret rätt, även om han råkar hålla dem upp och ner och stoppat ner dem i sin säck.
    Hur många klappar har tomten nu i sin säck?


    En siffergåta igen. Lite svåre än i lucka 1.
    Rätt svar är 18, eller kanske 918, det beror lite på jultomten.

    Först med rätt svar kom Philip S.

    Det blir 18 paket tomten har i sin säck.
    De paket han har är 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101, 111, 181, 609, 619, 689, 808, 818, 888, 906, 916, 986.

    Och det kom flera. Några fel svar kom också. Flera missade siffrorna 6 och 9. När de vänds upp och ner och samtidigt byter plats med varandra så får man samma nummer tillbaka ändå.

    Om man sedan har t ex ett paket som det står 234 eller 57 på och man ser den upp-och-ner-vänd så klarar man kanske ändå att läsa av vad det är för nummer. Jag tror inte att jultomten klarar det. Men om …? Hur många klappar lägger han då i sin säck? Det är mycket svårare att beräkna.

    Första frågan är: Hur många nummer finns sådana att om man vänder dem upp och ner så ser de fortfarande ut som rättvända nummer? De måste bestå av enbart dessa 5 siffror: 0, 1, 6, 8 och 9 och varken den första eller den sista siffran i numret får vara 0.

    Det finns 4 ensiffriga sådana nummer: 1, 6, 8, 9.

    Jag använder en matematisk regel kallad ”multiplikationsprincipen” för att beräkna att det finns:
    4*4= 16 tvåsiffriga sådana nummer och
    4*5*4= 80 tresiffriga
    1000 är inte en sådan.

    De är alltså 4+16+80= 100 stycken. Det betyder att det finns 1000-100= 900 nummer mellan 1 och 1000 sådana att om man vänder dem upp och ner, så ser man att de är uppochnervända och då läser man dem på lämpligt sätt. Tillsammans med de 18 som man läser rätt trots an man inte vett att de är uppochnervända blir det 918.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 5 december



    Pontus är dubbelt så gammal som Marko och Kalle är dubbelt så gammal som Pontus.
    Hur gammal kommer Kalle att vara jämfört med Marko när Pontus är lika gammal som Kalle är nu?


    Pontus är äldre än Marko och Kalle är äldre än Pontus. Då måste också Kalle vara äldre än Marko och det kommer han alltid att vara. Så man kan säga att Kalle ska vara äldre än Marko, om man vill säga en sanning om deras ålder. Men det är inte hela sanningen.

    Kan man beräkna deras exakta ålder?
    Många försökte genom att först gissa hur gammal Marko är nu:

    Klass 3C2 i Sandsbro har föreslagit:
    Marko 2
    Pontus 4
    Kalle 8

    Det ger att Kalle är 12 år när Pontus är lika gammal som Kalle är nu. Sedan anser eleverna att det kan vara många lösningar här och talen har samma förhållanden till varandra.

    Andra började med en annan gissning och kom till andra resultat och de flesta tyckte att det inte handlar om att bestämma någons ålder utan bara om ett förhållande mellan åldrarna. Några svarade rent av att Kalle kommer att vara dubbelt så gammal som Marko.

    Kan man vara säker att det alltid blir så oberoende av Markos ålder nu?
    Några försökte med 2 olika gissningar och det stämde varje gång.

    Ett sätt att få ett resultat som man kan vara säker på att det alltid gäller är att ge Markos ålder ett namn t ex m (tal får ofta enbokstavsnamn) och sedan göra de beräkningar och förenklingar som det går att göra utan att veta hur mycket m är.

    Ungefär så här gjorde Vera P. i Lilla Adolf Fredriks skola och Olivia O. F. i åk 8, Ekhagaskolan, Mölndal:

    m=Markos ålder

    Pontus=2*m
    Marko=m
    Kalle=4*m

    Pontus ska alltså bli 4*m och det kommer att hända om 2*m år, så då lägger man på 2*m på alla så får man reda på hur gamla de blir:

    Pontus=4*m
    Marko=3*m
    Kalle=6*m

    Kalle kommer att vara dubbelt så gammal som Marko.

    (6*m är alltid dubbelt så stort som 3*m.)

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 6 december



    Tre tomtenissar delade på ett stort fat brysselkål. ”Nu är jag mätt”, sa den första nissen när fatet blev tomt. ”Jag har ätit precis en tredjedel av de vi hade att dela på.”
    ”Jag är proppmätt”, sa den andra nissen. ”Jag har ätit sjutton stycken.”
    ”Jag är också mätt”, sa den tredje nissen. ”Jag har ätit hälften av vad ni andra åt tillsammans.”
    Hur många brysselkål var det på fatet från början?


    Det var 51 brysselkål på fatet från början. Nästan alla som skickade in sina svar kom fram till detta på ett eller annat sätt.

    Jag tänkte så här: Har man ätit hälften så mycket som alla andra tillsammans har ätit, så har man ätit upp en tredjedel av det som blev uppätet. Alltså den tredje Nisse åt upp en tredjedel av det som låg på fatet, lika mycket som den första. Den andre Nisse då, han som åt upp 17,han åt upp resten alltså den tredje tredjedelen. En tredjedel var 17, så det hela var 51.

    Monica W. använder samma metod som vi använde i lösningen till lucka 5. Hon döper antalet brysselkål som från början låg på fatet till x. När man räknar med ett tal som man inte vet hur stor det är så säger man att man räknar med en obekant.

    Tre nissar äter brysselkål. Hur många fanns det? x st
    Nisse 1 äter en tredjedel. 1/3 x
    Nisse 2 äter 17 st
    Nisse 3 äter hälften av de andra tillsammans ( 1/3x + 17 ) / 2
    1/3 x + 17 + ( 1/3x + 17 ) / 2 = x
    2 x + 102 + x + 51 = 6 x
    3 x + 153 = 6 x
    3 x = 153
    x = 51
    Svar: Det fanns 51 brysselkål från början.

    1/3 x + 17 + ( 1/3x + 17 ) / 2 = x betyder: Det som den första nissen hade ätit + det som den andra nissen hade ätit + det som den tredje nissen hade ätit = det som låg på fatet från början.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 7 december



    En påse sega tomtar väger 110 gram. Tomtarna i påsen väger 100 gram mera än själva påsen.
    Hur mycket kommer påsen att väga när alla tomtar är uppätna?


    Svaret på frågan är att påsen väger 5 gram.
    Om påsen väger 5 g så väger tomtarna 105 g.
    Skillnaden mellan 105 och 5 g är 100 g.
    Inskickat av Philip S 9 år!

    Bra förklaring men du börjar med svaret och visar sedan att det stämmer. Vi vill helst se hur man tänker för att komma fram till det rätta svaret.

    Monica W. räknar med en obekant
    påsen väger x g
    tomtar väger 100+x g
    tillsammans 110g
    x + (100+x) = 110
    2x + 100 = 110
    2x = 10
    x = 5
    Alltså påsen väger 5 g och de sega tomtarna 105 g.

    David Ström behandlar frågan på flera sätt:

    Svar: Påsen väger 5 gram, utan tomtar.
    Med ekvation blir det enkelt: x+(x+100)=110, vilket ger svaret x=5. Kan man inte ekvationer så kan man ändå tänka att: En tom påse + (en tom påse+100g) = 110 g. Alltså väger två tomma påsar 10g och en påse 5g. Man kan också pröva sig fram: Första tanken är kanske 10g+100g=110g, men då väger tomtarna bara 90g mer än påsen. Minskar man då påsens vikt med 5g och ökar mängden tomtar med lika mycket, så får man: 5g+105g=110g.

    Jag tänkte så här: Om jag äter upp 100 g sega tomtar så ska jag ha lika mycket påse som sega tomtar kvar och allt ska väga 10 gram. Alltså 5 gram tomtar och 5 gram påse.

    Det roligaste av allt är att de flesta svarade 10g. Det är det första man tänker, som David har nämnt. Ge problemet till kompisar och bekanta och se vad de svarar. Förklara sen för dem om de svarar fel.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 8 december



    Beräkna utan miniräknare:


    Svar: tre och halv (3,5)

    Ett bråkstreck betyder att man ska dela (utföra division) men det säger mera än så, nämligen att man först ska beräkna värden av uttrycken i hela täljaren och i hela nämnaren och därefter utföra divisionen. Det visste Teodor, Jonatan, Axel och William i 4A i Käppala skola, Lidingö:

    Först räknade vi ut att 163x7=1141.
    Sedan räknade vi ut 163+163=326.
    Efter det tog 1141/326=3,5.

    Resultat av divisionen är ett svar på frågan
    ”Hur många gånger går 163+163 upp i 163+163+163+163+163+163+163?”
    Det är lätt att svara på den:
    Om man tar 163+163+163+163+163+163+163 och upprepade gånger drar 163+163 från det, så efter 3 gånger finns bara en 163 kvar, och 163 är ju en halv av 163+163. Då kan man säga att 163+163 går tre och halv gånger upp i 163+163+163+163+163+163+163 eller att 163+163+163+163+163+163+163 delat med 163+163 är 3,5 eller att bråkets värde är 3,5.

    När man har lärt sig lite mera om bråk så kan man några regler som underlättar beräkningar och då kan man komma till samma resultat på annat sätt.
    Så räknar Vera P.
    (163+163+163+163+163+163+163) / (163+163) = (7*163) / (2*163) = 7/2 = 3,5

    163 är både täljarens och nämnarens faktor. Så det kan tas bort från båda, (”kortas bort”) och kvar blir det bara 7/2.
    Ungefär likadant tänkte och räknade: Tobias K., Monika W., ”Kristoffer99”, David S. och Johan A.

    Räknedosan är onödig när man har så enkel beräkning att göra. Förresten, den som inte vet vad ett bråkstreck betyder, den klarar inte heller att mata in uppgiften i räknedosan på rätt sätt. Om man ändå vill se svaret på en räknedosa, så måste man få räknedosan att göra beräkningar i rätt ordning. Det gör man på olika sätt på olika räknedosor, oftast genom att använda parenteser, t ex med följande inmatning:

    (163+163+163+163+163+163+163) / (163+163) =

    Med en likadan inmatning men utan parenteser ger samma räknedosa ett helt tokigt svar.

    Leo

    Lösning: Adventsproblem 9 december



    I tomtens verkstad tillverkas kuddar. Två tygstycken som är 40cm x 60cm sys ihop och fylls med dun tills kudden är 20 cm tjock som mest.
    Hur stor volym har en sådan kudde? (Man kan komma fram till lite olika svar. Det viktiga är hur man resonerar.)


    Svar: Så där 16 liter.
    Av två tygstycken som är 40cm*60cm kan man sy ett kuddvar på olika sätt. De flesta lägger ett tygstycke på det andra, så att det täcker det och syr runt längs kanter, hörna mot hörna, långsida mot långsida och kortsida mot kortsida. Monika W. har beskrivit ett udda sätt. Man lägger tygstycken så att de korsar varandra vinkelrät och syr samman varje kortsida med mittdelen av en av det andra tygstyckets långsidor. När sedan de delar av långsidor som blev över sys samman, så bildas ett rätblock med kvadratisk bas 40cm*40cm*10cm med volym 16000 kubikcentimeter eller 16 liter. Fyller man sedan på extra för att göra kudden 20 cm hög, så har Monika beräknat, att volymen blir ungefär 17,3 liter.

    Simon H. och Carina C. har räknat 10cm*60cm*40cm= 24 liter. De har kanske tänkt att kudden ska vara 10cm hög i snitt eller lite mera eftersom när en kudde fylls på höjden så krymper den på längden och på bredden.

    Philip S. tog volym av rätblocket 20cm*20cm*40cm, det längta och bredaste rätblock med höjd 20cm som kan stängas i ett kuddvar med de givna måtten (och sydd på vanligt sätt). Volymen blir 16 liter.

    David S. försökte beräkna volym på en kudde med elliptiska tvärsnitt med omkrets 80cm och 120cm. Det blev för komplicerat, så han använde istället samma metod som Monika, fast på en avlång kudde, med resultat 16 liter. David antyder också en viktig sak. När man gör en överslagsberäkning (räknar på ett ungefär) så är det bra att se till att felen jämnar ut sig dvs. att man räknar ungefär lika mycket för lite som för mycket.

    Enligt mina beräkningar kan den avlånga kudden aldrig ha ett volym större än 23 liter om den har höjd begränsad till 20cm (Monicas kudde skulle kunna vara några liter större.) Slutar man fylla på så snart kudden har nått höjden 20cm så blir volymen några liter mindre.

    Jag har bortsett från att när man syr så brukar man vika ett par cm bred remsa i sömkanten. Gör man det så minskar kuddens volym med cirka 1,5 liter för varje centimeter.

    Sammanfattningsvis kan man säga att Monikas, Philips och Davids svar är rimliga medan Simons och Carinas svar ligger nära verkligheten.

    Leo

    Lösnng adventsproblem 14 december 2012



    Kan kanterna på en kub numreras med talen 1 till 12 så att summan av de fyra talen vid kanterna vid en sida blir densamma för alla kubens sidor?


    Lösning
    Hittills har det bara kommit ett rätt svar. Det kom från Erika R. 6B Fridaskolan och det var ett mycket kort JA! En lösning från Liljeborgsskolan klass 5g2 i Trelleborg var inte rätt men ett djärvt försök!

    Svar:Ja det går, och här kommer några exempel.

    Kubens kanter kan faktiskt se ut så här när man tittar från mycket nära håll in i kuben. De fyra parallelltrapetserna på bilden är i verkligheten kvadrater och de 4 sneda linjerna som sprättar åt fyra håll är i verkligheten parallella kanter. Det var svårt att hitta ett exempel men så småningom lär man sig knepen.
    Det underlättar om man, innan man börjar söka, tänker på vilka egenskaper en sådan kub med numrerade kanter har. Här kommer de viktigaste av dem:
    1. Summan av talen vid kanterna vid en sida måste vara 26.
    2. Summan av talen vid fyra parallella kanter måste vara 26.
    3. Summan av talen vid kanterna som möts i ett hörn måste vara lika mycket som summan av talen vid kanterna som möts i dess motstående hörn.
    4. Summan av talen vid kanterna som möts i ett hörn måste ligga inom intervallet 12 till 27.

    Liljeborgsskolans lösningsförsök ser vi i figuren till vänster:

    fyra sidor med kantsumman 30 och sidornas gemensamma kanter är: 12, 10, 11 och 9. Med vårt sätt att rita kuben blir de gemensamma kanterna som i figuren i mitten och de övriga kanske som i figuren till höger. Men i så fall har vi fyra sidor med kantsumman 30 och två med kantsumman 18.

    Matematiken som vetenskap och lärande i matematik

    Matematiken som vetenskap och lärande i matematik
     

    Matematik som vetenskap och lärande i matematik

    Denna uppsats är baserad på en populärvetenskaplig Högtidsföreläsning i samband med Årshögtiden vid Umeå universitet i oktober 2008. Föreläsaren är professor emeritus Hans Wallin vid Umeå universitet, Fakulteten för lärarutbildning (numera Umeå School of Education).

    Läs uppsatsen...

    Stämmer inte måtten när du skrivit ut? Kontrollera att pdf:en inte skrivs ut med sidskalning.

    Månadens problem

    Välkommen till månadens problem! Här presenteras tre problem av olika svårighetsgrad för olika åldrar. Problemen är oftast hämtade från Kängurutävlingen. Lösningar och kommentarer publiceras följande månad.

    Problemen i Kängurutävlingen har alternativsvar att välja mellan. Här har vi valt att ta bort alternativen utom i de fall då de är väsentliga för lösningen på något sätt.

    »»» Här finns september månads problem!

    »»» Maj månads lösningar

    Skicka in lösningar
    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev. Skicka era bidrag till:
    manadens_problem@ncm.gu.se

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Läs mer om Kängurun ...

    problemen ...
    lösningarna ...
    Innehåll: UD

    Månadens problem, april 2007

    Problem 1

    John lägger ett mönster av stickor. På bilden syns hur John har lagt en, två och tre våningar. Hur många stickor behöver han för att lägga 4 våningar?

     


     




    Problem 2

    Robert paketerade blå och röda leksakskängurur, med högst tio i varje låda. Om han hade 178 kängurur av den ena färgen och 121 av den andra, hur många lådor skulle han behöva för att packa ner dem alla utan att blanda färgerna?



    Problem 3

    Figuren visar graferna för funktionerna f och g. Vilken likhet gäller för alla x?

     


     


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, december 2006

    Problem 1



    En känguru passerar genom en byggnad. Hon går bara genom trekantiga rum. Vid vilken öppning kommer hon ut? [Ecolier 2001, uppg 1]



    Problem 2

    Några kajor sitter på några stolpar i en trädgård, en kaja på varje stolpe. Tyvärr blir en kaja utan stolpe. Senare sitter samma kajor två och två på samma stolpar. Nu blir det en stolpe över. Hur många stolpar finns det i trädgården? [Cadet 2001, uppg 15]



    Problem 3

    Ta ett tal, fördubbla det och dra bort 1. Efter att ha upprepat denna procedur ytterligare 98 gånger (hela tiden utgående från föregående resultat) hamnar man på talet 2100+1. Vilket var talet man startade med? [Junior 2004, uppg 24]

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, februari 2007

    Problem 1

    På bilden ser du vägen mellan Annas hus och Berts. Den är ritad med en heldragen linje. Just nu pågår ett vägarbete så Anna och Bert måste ta en omväg för att hälsa på varandra. Då går de den väg som är ritad med en streckad linje. Hur mycket längre blir det att gå omvägen? [Ecolier 2004, uppg 3]




    Problem 2

    Vilket tal ska stå istället för frågetecknet? [Cadet 2004, uppg 8]




    Problem 3

    Bilden föreställer tre halvcirklar. Ändpunkterna A och B på den övre halvcirkeln ligger rakt ovanför mittpunkterna E och F till de två undre halvcirklarna. Om varje halvcirkel har radien 2 cm, hur många cm² är arean av det skuggade området? [Junior 2005, uppg 15]

    A: 2π    B: 7    C: 2π+1    D: 8    E: 2π+2

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, februari 2008

    Problem 1

    Eva tar ett heltal och fördubblar det. Därefter fördubblar hon det igen, sen en gång till. Vilket av följande tal kan vi vara säkra på inte är hennes slutresultat?

    48, 80, 84, 880, 1200





    Problem 2

    I den engelska staden Newbury går solen en dag upp sju minuter i fem på morgonen och ner klockan fem minuter i halv tio på kvällen. Mitt emellan dessa klockslag infaller den lokala middagstiden. Vilken är det?




    Problem 3

    Den här piltavlan består av en inre svart cirkel omgiven av en vit och en svart ring. Bredden på varje ring är lika med radien hos den inre cirkeln. Hur många gånger större är den svarta ringens area än den svarta cirkelns area?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, februari 2009

    Problem 1

    Daniela har kubiska klossar. De är alla lika stora. Hon har lagt ner några av klossarna i en kubisk låda så som du ser på bilden. Hur många fler klossar kan hon få ner i sin låda?






    Problem 2

    Lajka och hennes husse är på hunduppvisning. Från punkt A till punkt O går en rak bana. Den är 24 m lång. Lajka springer i snön från A till B. Sen springer hon vidare till C, D, E, F osv ända till punkten O. Tillsammans med banan bildar hennes spår kvadrater. Hur långt springer Lajka?






    Problem 3

    En hund är bunden med ett 10 meter långt rep vid hörnet av ett hus. Vad är omkretsen på det område dit hunden kan nå?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, januari 2007

    Problem 1

    Fyra personer får plats runt ett kvadratiskt bord när de sitter på varsin sida. Inför skolfesten ställer eleverna ihop sju sådana bord efter varandra till ett enda långt bord. Hur många personer får plats runt detta långbord? [Ecolier 2006, uppg 6]



    Problem 2

    Två sidor i en triangel är 7 cm vardera. Den tredje sidans längd är ett helt antal centimeter. Vilken är den största möjliga omkrets en sådan triangel kan ha? [Cadet 2006, uppg 8]



    Problem 3

    En kvadrat är uppdelad i 18 mindre kvadrater av vilka 17 har sidlängden 1. Hur stor area har den stora kvadraten? [Student 2004, uppg 7]

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, maj 2007

    Problem 1

    En rektangulär grusplan är 80 meter lång och dess area är 3200 kvadratmeter. En gräsplan är hälften så bred som grusplanen och har en area som är hälften så stor som grusplanens. Hur lång är gräsplanen?



    Problem 2

    En koalaunge äter upp löven från ett eukalyptusträd på tio timmar. Hans mamma och pappa äter dubbelt så fort. Hur lång tid tar det för familjens tre medlemmar att tillsammans äta upp löven från ett eukalyptusträd?



    Problem 3

    En liksidig triangel ABC har sidlängden 4. Vilken är radien hos den cirkel med medelpunkt i A som delar triangeln i två delar med samma area?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, mars 2007

    Problem 1

    Familjen Paddlare är mamma, pappa och Benjamin. De hyrde en kanot för tre personer. På hur många olika sätt kan de sitta i kanoten?[Ecolier 2001, uppg 5]



    Problem 2

    Till och med när kamelen Desirée är törstig utgörs hennes vikt till 84% av vatten. När hon har druckit sig otörstig stiger vikten till 800 kg varav nu 85% är vatten. Hur mycket väger kamelen Desirée när hon är törstig? [Cadet 2001, uppg 16]



    Problem 3

    En tankspridd bergsklättrare passerade en bergsrygg längs den profil som syns i figur 1. Han gick från punkt A till punkt B. Ibland tappade han saker längs vägen och blev tvungen att går tillbaka och hämta dem. Figur 2 visar hans höjdposition som funktion av tiden. Hur många gånger gick han tillbaka? [Junior 2004, uppg 20]


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, mars 2008

    Problem 1

    Fem kamrater placerade ut sina badlakan på stranden så att det blev en stor kvadrat. Anna och Bodil har lika stora kvadratiska badlakan, som vardera har omkretsen 480 cm. Cilla, Doris och Elsa har rektangulära badlakan som alla är lika stora. Vilken är omkretsen på Elsas badlakan?




    Problem 2

    En grupp vänner ska köpa en present tillsammans. Om var och en av dem bidrar med 140 kr så fattas det 40 kr. Men om var och en istället ger 160 kr så blir det 60 över. Hur mycket ska var och en betala för att det precis ska räcka till presenten?




    Problem 3

    En kvadrat med arean 125 cm² har delats in i fem delar, fyra kvadrater och ett L-format område som på bilden. Alla har samma area. Hur lång är den korta sidan, x, på det L-formade området?

    A) 1 cm    B) 1,2 cm    C) 2((√5)-2) cm    D) 3((√5)-1) cm    E) 5((√5) -2) cm

    problemen ...
    lösningarna ...
    Innehåll: UD

    Månadens problem, november 2006

    Svar och lösningar till november månads problem ...

    Problem 1



    Figurerna föreställer talen 2, 3 och 4 med sina spegelbilder. Hur ska nästa figur se ut? [Ecolier 2006, uppg 4]



    Problem 2

    En digitalklocka visar timmar (två siffror) och minuter (två siffror). Hur många gånger mellan en minut över midnatt (00:01) och en minut i midnatt (23:59) visar klockan en tid som blir densamma om den läses baklänges (t ex 15:51)? [Cadet 2005, uppg 6]



    Problem 3



    Arean av det skuggade området i figuren är 2π. Hur lång är sträckan AB? [Student 2005, uppg 21]

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, november 2007

    Problem 1



    Hur stor del av figuren är blå?




    Problem 2

    Hur många timmar är en halv tredjedel av ett kvarts dygn?




    Problem 3

    Om både a och b är tal större än 1, vilken av följande kvoter är störst?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, oktober 2007

    Problem 1

    Jorma har fått pengar för att köpa tennisbollar. Om han köper fem bollar så får han 10 kronor kvar, men för att köpa sju bollar måste han låna 20 kronor.
    Hur mycket kostar en tennisboll?




    Problem 2

    Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade rektanglar.



    Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm.
    Hur stor area har kvadraten KLMN?




    Problem 3

    En kvadrat är indelad i 25 likadana smårutor.



    Hur stor är summan av de fem vinklarna MAN, MBN, MCN, MDN och MEN?

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, september 2007

    Problem 1

    Det ligger fem kort på bordet. De ligger så här:



    Det gäller att få korten ordnade 1, 2, 3, 4, 5. Varje gång måste man låta två kort byta plats med varandra.
    Hur många omgångar behövs?



    Problem 2

    Du har ett stort antal byggblock som alla har längden 1 dm, bredden 2 dm och höjden 3 dm.



    Hur många sådana block går det minst åt för att bygga en kub?



    Problem 3

    På bilden är förhållandet mellan cirkelsektorns radie och den inskrivna cirkelns radie 3:1.



    Då är förhållandet mellan deras areor

    A) 3:2    B) 4:3    C) 5:3    D) 6:5    E) 5:4


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, april 2007

    Problem 1

    John lägger ett mönster av stickor. På bilden syns hur John har lagt en, två och tre våningar. Hur många stickor behöver han för att lägga 4 våningar?

    Svar: För varje större figur ökar antalet stickor som behövs i nedersta våningen med 3. Det behövs alltså 11 stickor till för det fjärde huset.

     


     




    Problem 2

    Robert paketerade blå och röda leksakskängurur, med högst tio i varje låda. Om han hade 178 kängurur av den ena färgen och 121 av den andra, hur många lådor skulle han behöva för att packa ner dem alla utan att blanda färgerna?

    Svar: Robert stoppar 10 av en färg i varje låda. Till de blå kängururna behövs 18 lådor och till de röda 13 dvs. totalt 31 lådor.



    Problem 3

    Figuren visar graferna för funktionerna f och g. Vilken likhet gäller för alla x?

    Svar: C.

     


     


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, december 2006

    Problem 1



    En känguru passerar genom en byggnad. Hon går bara genom trekantiga rum. Vid vilken öppning kommer hon ut?

    Svar: Utgång E. För att nå andra utgångar måste man passera rum med fler än tre väggar.



    Problem 2

    Några kajor sitter på några stolpar i en trädgård, en kaja på varje stolpe. Tyvärr blir en kaja utan stolpe. Senare sitter samma kajor två och två på samma stolpar. Nu blir det en stolpe över. Hur många stolpar finns det i trädgården?

    Lösning: Kajorna är en fler än stolparna. Stolparna är en mer än hälften av antalet kajor.Beteckna antalet kajor med k och antalet stolpar med s. Då gäller: s = k – 1 och s = k/2 + 1.



    Problem 3

    Ta ett tal, fördubbla det och dra bort 1. Efter att ha upprepat denna procedur ytterligare 98 gånger (hela tiden utgående från föregående resultat) hamnar man på talet 2100+1. Vilket var talet man startade med?

    Lösning:
    steg 1: 2x – 1 = 2(x – 1) + 1.
    steg 2: 2(2x – 1 ) – 1 = 4x – 3 = 22x – 3 = 22(x – 1) + 1.
    steg 3: 2(22x – 3) – 1 = 23x – 7 = 23(x – 1) + 1 osv. sammanlagt 99 gånger ger
    steg 99: 299(x – 1)+1=2100+1 ger x – 1 = 2 , dvs. x = 3.

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, januari 2007

    Problem 1

    Fyra personer får plats runt ett kvadratiskt bord när de sitter på varsin sida. Inför skolfesten ställer eleverna ihop sju sådana bord efter varandra till ett enda långt bord. Hur många personer får plats runt detta långbord? [Ecolier 2006, uppg 6]

    Svar: 16. Vid ett bord får 4 plats. För varje ytterligare bord blir det 2 platser till. Det får rum två vid varje bord, plus en vid varje kortsida på långbordet.



    Problem 2

    Två sidor i en triangel är 7 cm vardera. Den tredje sidans längd är ett helt antal centimeter. Vilken är den största möjliga omkrets en sådan triangel kan ha? [Cadet 2006, uppg 8]

    Svar: 27 cm. Den tredje sidan måste vara kortare än 14 cm, dvs maximalt 13 cm.



    Problem 3

    En kvadrat är uppdelad i 18 mindre kvadrater av vilka 17 har sidlängden 1. Hur stor area har den stora kvadraten? [Student 2004, uppg 7]

    Svar: 81. Kvadraten har två vinkelräta sidor med vardera 9 småkvadrater (tillsammans 17)

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, maj 2007

    Problem 1

    En rektangulär grusplan är 80 meter lång och dess area är 3200 kvadratmeter. En gräsplan är hälften så bred som grusplanen och har en area som är hälften så stor som grusplanens. Hur lång är gräsplanen?

    Lösning: Eftersom arean är 3200 m² och längden är 80 m så är bredden 40 m (3200/80). Gräsplanen har arean 1600 m² (3200/2) och bredden 20 m (40/2). Gräsplanen får då längden 80 m (1600/20). Rita gärna upp planerna och visa.



    Problem 2

    En koalaunge äter upp löven från ett eukalyptusträd på tio timmar. Hans mamma och pappa äter dubbelt så fort. Hur lång tid tar det för familjens tre medlemmar att tillsammans äta upp löven från ett eukalyptusträd?

    Lösning: På tio timmar har familjen Koala satt i sig löv från 1 + 2⋅2 = 5 eucalyptusträd. Det gör 2 timmar för ett träd.



    Problem 3

    En liksidig triangel ABC har sidlängden 4. Vilken är radien hos den cirkel med medelpunkt i A som delar triangeln i två delar med samma area?

    Lösning: Triangelns area är 4√3. Cirkelsektorn har medelpunktsvinkeln π/3 och arean 2√3.
    A=(v•r²)/2 ger (π/3•r²)/2 med lösningen r=√((12√3)/π).

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, mars 2007

    Problem 1

    Familjen Paddlare är mamma, pappa och Benjamin. De hyrde en kanot för tre personer. På hur många olika sätt kan de sitta i kanoten?[Ecolier 2001, uppg 5]

    Svar: 6 sätt. Lösning: 3!=3*2*1=6, (123), (132), (213), (231), (312) och (321) där mamma är 1, pappa 2 och Benjamin 3.



    Problem 2

    Till och med när kamelen Desirée är törstig utgörs hennes vikt till 84% av vatten. När hon har druckit sig otörstig stiger vikten till 800 kg varav nu 85% är vatten. Hur mycket väger kamelen Desirée när hon är törstig? [Cadet 2001, uppg 16]

    Svar: 750 kg. Lösning: Antag att Desirées vikt när hon är törstig är x kg. 0,16x är Desirées "kroppsvikt utan vatten" när hon är törstig. 0,15*800 är Desirées "kroppsvikt utan vatten" när hon är otörstig. Det leder fram till ekvationen 0,16x = 0,15*800 med lösning x = 750.



    Problem 3

    En tankspridd bergsklättrare passerade en bergsrygg längs den profil som syns i figur 1. Han gick från punkt A till punkt B. Ibland tappade han saker längs vägen och blev tvungen att går tillbaka och hämta dem. Figur 2 visar hans höjdposition som funktion av tiden. Hur många gånger gick han tillbaka? [Junior 2004, uppg 20]

     




    Svar: 3 gånger. Lösning: Kalla spetsarna i fig.1 för C, D och E. Samma höjdnivåer återfinns i fig.2. Första gången han går tillbaka är innan han kommer fram till höjd C, då går han ner till nivå D för att därefter gå upp till nivå C. Nästa gång han är på nivå D vänder han och går tillbaka till en högre höjd. Han går tillbaka en tredje gång, när han har kommit till nivån lägre än D.

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, november 2006

    Problem 1



    Figurerna föreställer talen 2, 3 och 4 med sina spegelbilder. Hur ska nästa figur se ut?

    Svar: C




    Problem 2

    En digitalklocka visar timmar (två siffror) och minuter (två siffror). Hur många gånger mellan en minut över midnatt (00:01) och en minut i midnatt (23:59) visar klockan en tid som blir densamma om den läses baklänges (t ex 15:51)?

    Svar: Om man skriver upp de tider som uppfyller villkoret får man 15 olika.



    Problem 3



    Arean av det skuggade området i figuren är 2π. Hur lång är sträckan AB?

    Lösning: Beteckna den stora cirkelns radie med r, den stora vita cirkelns radie med r1 och den lilla vita cirkelns radie med r2. Då gäller r = r1 + r2 och πr ² − πr1² − πr2² = 2π som efter förenkling leder fram till r1 · r2 = 1

    Dra radien r från den stora cirkelns medelpunkt till A och låt x beteckna längden av halva AB. Avståndet från den stora cirkelns medelpunkt till tangeringspunkten mellan de två vita cirklarna är r1 – r2. Pythagoras sats ger x = 2.

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, november 2007

    Problem 1



    Hur stor del av figuren är blå?

    Lösning
    Förflytta den vita triangeln längst ner i högra hörnet parallellt med baslinjen så att hypotenusorna för trianglarna i rutan sammanfaller med varandra (Alt spegla den vita triangeln) Det framgår då enklare att det blå området upptar halva arean av en kvadrat.

    Resultat: 5 1/2 ruta är vit och 1/2 ruta är blå, dvs 1/12 är blå




    Problem 2

    Hur många timmar är en halv tredjedel av ett kvarts dygn?

    Lösning
    Ett kvarts dygn: 24/4 = 6
    En tredjedel av ett kvarts dygn: 6/3 = 2
    En halv tredjedel av ett kvarts dygn: 2/2 = 1 timme




    Problem 3

    Om både a och b är tal större än 1, vilken av följande kvoter är störst?




    På Carlsons skola i Stockholm finns möjlighet att ägna sig åt matematisk problemlösning som elevens val. Från Enigma-gruppen, som den kallas, har vi fått en lösning på problem 3, (pdf) ...


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, oktober 2007

    Skicka in era lösningar!

    Den här månaden har vi fått lösningar från Carlsons skola i Stockholm, till uppgift 1 och 2 har vi fått olika lösningar gjorda av skolans elever samt till uppgift 3 en lösning av en av lärarna. Tack för det! Vi hoppas att detta kan stimulera er andra att också skicka in era lösningar.

    Problem 1

    Jorma har fått pengar för att köpa tennisbollar. Om han köper fem bollar så får han 10 kronor kvar, men för att köpa sju bollar måste han låna 20 kronor.
    Hur mycket kostar en tennisboll?

    Lösning
    Ett sätt att fördjupa förståelsen för problemställningen är att variera priser och antal och gör egna liknande problem. Reflektera över vad det finns för nödvändig information i problemet.

    Från Carlsons skola
    Jag har fem bollar och 10 kr. När jag köper 7 bollar måste jag låna 20 kr. Dvs jag har mina 5 bollar från tidigare och 10 kr och lägger till 2 bollar och 20 kr. Jag har fem bollar i båda fallen. Det som är annorlunda är 2 bollar, 10 kr och 20 kr. Då måste 2 bollar kosta 30 kr, dvs en boll kostar 15 kr.





    Eller med hjälp av en ekvation: Antag att en boll kostar x kr
    5x + 10 = 7x - 20
    5x + 10 - 5x = 7x - 20 - 5x
    10 = 2x - 20
    10 + 20 = 2x - 20 + 20
    30 = 2x
    15 = x
    Svar: En boll kostar 15 kr




    Problem 2

    Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade rektanglar.



    Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm.
    Hur stor area har kvadraten KLMN?

    Lösning
    Observera att halva omkretsen av en rektangel är lika med längden på den yttre kvadratens sida. Intressant att undersöka är vilken längd och bredd som rektanglarna kan ha? Hur stor area kan den inre vita kvadraten ha?

    Från Carlsons skola
    Lösning 1:
    Varje rektangel har en omkrets på 40 cm. Hur man än väljer rektangelns bas och höjd så får halva rektangeln en omkrets på 20 cm. Dvs en bas och en höjd tillsammans blir 20 cm. Runt om kvadraten KLMN stöter man på en kortsida och en långsida fyra gånger.

    Varje sida i kvadraten består av en bas och en höjd
    tillsammans och är 20 cm lång.
    Kvadratens area blir då 20 x 20 = 400 cm²
    Svar: kvadratens area är 400 cm²

    Lösning 2:



    Om hela omkretsen är 40 cm då måste halva omkretsen vara 20 cm.
    Kvadraten begränsas av fyra sådana bitar.
    20 x 4 = 80 cm
    Dvs varje sida är 80/4= 20 cm

    A= S x S
    = 20 x 20
    = 400 cm²
    Svar: kvadratens area är 400 cm²

    Lösning 3:



    A= S x S
    = (x+y)(x+y)
    = 20 x 20
    = 400 cm²
    Svar: kvadratens area är 400 cm²



    Problem 3

    En kvadrat är indelad i 25 likadana smårutor.



    Hur stor är summan av de fem vinklarna MAN, MBN, MCN, MDN och MEN?

    Lösning
    För att lösa problemet kan vi tänka oss att vi flyttar triangeln MAN så att A hamnar i hörnet E. Flytta på samma sätt triangeln MBN så att B hamnar i hörnet och gör på liknande sätt med trianglarna MCN och MCD. Då ser vi att summan av vinklarna är 45°. Olika lösningsmetoder kan diskuteras, t ex laborativt genom att ha fem rutnät med en vinkel markerad per rutnät och ett tomt rutnät. Då kan man klippa ut vinklarna och flytta dem på lämpligt sätt.

    Här kan du ladda ner en pdf med en lösning från Cecilia Christiansen, lärare på Carlsons skola ...

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Svar och lösningar, september 2007

    Problem 1

    Det ligger fem kort på bordet. De ligger så här:



    Det gäller att få korten ordnade 1, 2, 3, 4, 5. Varje gång måste man låta två kort byta plats med varandra.
    Hur många omgångar behövs?

    Lösning: Ett förslag är att byta kort 2 och 5, sedan 1 och 2 samt 3 och 4.


    Vi har också fått en lösning från Alice och Alva i Halmstad:
    Hej vi har kommit på ett sätt, vi flyttar runt lapparna 3 gånger.
    4:an byter plats med 3:an,
    2:byter plats med 1:an,
    och 5:an byter plats med 1:an.
    Det här var en av lösningarna vi kom på några fler.
    Alice och Alva




    Problem 2

    Du har ett stort antal byggblock som alla har längden 1 dm, bredden 2 dm och höjden 3 dm.



    Hur många sådana block går det minst åt för att bygga en kub?

    Lösning: Volymen på ett byggblock är 6. Kubens volym är något tal upphöjt i 3, men måste också vara delbart med 6. Sidorna, 1, 2, 3, 4 och 5 dm är alltså inte möjliga. En kub med sidan 6 går dock att bygga genom att bygga en kvadratisk bottenplatta med höjden 1 dm av 6 byggblock och sedan lägga sex sådana kvadrater ovanpå varandra. För att få en kub behövs det sex sådana plattor, dvs 6 x 6 = 36 tegelstenar.




    Problem 3

    På bilden är förhållandet mellan cirkelsektorns radie och den inskrivna cirkelns radie 3:1.



    Då är förhållandet mellan deras areor

    A) 3:2    B) 4:3    C) 5:3    D) 6:5    E) 5:4

    Lösning:



    Anta att den inskrivna cirkeln har radien r och arean πr². Då har cirkelsektorn radien R=3r. Dra radien R i cirkelsektorn genom den inskrivna cirkelns medelpunkt M. Den rätvinkliga triangeln OAM är en halv liksidig triangel. Det ger att cirkelsektorns medelpunktsvinkel är 60°, och dess area är π(3r)²/6=3πr²/2. Förhållandet mellan areorna är 3:2.


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, april 2008

    Problem 1

    Hur många gram väger kängurun?




    Problem 2

    Vid ett glasstånd säljs glass av sju smaker. En grupp matematiklärare kommer till ståndet och alla köper en strut med två olika smaker, men ingen vill välja samma smakkombination som någon annan. Hur många olika kombinationer är möjliga?




    Problem 3

    Man har tre primtal a,b,c med a>b>c. Om a+b+c = 78 och a–b–c = 40 så är abc =
    A) 438    B) 590    C) 1062    D) 1239    E) 2006

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, april 2009

    Problem 1

    Greta promenerar längs stigen från vänster till höger. När stigen delar sig måste hon välja den ena stigen. Hon vänder inte och går tillbaka. Längs stigen hittar hon lappar med bokstäver på. Dem plockar hon upp och lägger i sin korg. Vilka bokstäver kan hon få i korgen?






    Problem 2

    Fyra pojkar köpte en present till sin far. Ett av barnen gömde presenten. Modern frågade dem vem som hade gömt presenten. De fyra pojkarna kom med följande påståenden:
    Alfred: ”Det var inte jag! ”
    Benjamin: ”Det var inte jag! ”
    Christian: ”Det var Daniel! ”
    Daniel: ”Det var Benjamin! ”
    Precis en av pojkarna lurades. Vem hade gömt presenten?




    Problem 3

    Om man vet att log(√2005 +√1995 )=n, vilket värde har då log(√2005 – √1995 )?

    A: n – 1    B: 1 – n    C: 1n    D: n + 1    E: Omöjligt att avgöra

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, april 2010

    Problem 1

    Räkneorden för 1 till och med 10 på Hawaiianska är (i oordning):
    Ewalu
    Umi
    Ekolo
    Elima
    Eono
    Ekahi
    Ehiku
    Elua
    Eiwa
    Eha

    I matteboken har någon skrivit följande:
    Ekahi+Ekahi=Elua
    Ekahi+Elua=Ekolu
    Ekolu+Ekolu+Ekolu=Eiwa
    Elua+Elua+Elua+Elua+Elua=Umi
    Elua+Elua=Eha
    Elima+Elima=Umi
    Elima+Ekolu=Ewalu
    Eono+Elua=Ewalu
    Ehiku+Ekolu=Umi

    Kan ni fundera ut vilka hawaiianska räkneord som motsvarar de svenska räkneorden?




    Problem 2

    Ali har hittat en gammal bok där det fattas en del sidor. Efter en vänstersida med nummer 24 kommer en högersidan som har nummer 45. Hur många blad fattas däremellan?




    Problem 3

    På en frågesport med 20 frågor ges 7 poäng för varje rätt svar, 2 minuspoäng för varje felaktigt svar och noll poäng för varje överhoppad fråga. Anna fick 87 poäng. Hur många frågor hade hon hoppat över?

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, april 2011

    Problem 1

    Sex tal står skrivna på korten här intill. Vilket är det minsta tal man kan bilda genom att lägga korten efter varandra?





    Problem 2

    Boris är född 1 januari 2002 och han är 1 år och 1 dag äldre än Irina. Vilken dag föddes Irina?




    Problem 3

    Talen 1, 4, 9, 16, 25 etc kallas jämna kvadrater. Hur många procent av de tio tusen första positiva heltalen 1, 2, 3, ... , 9999, 10 000 är jämna kvadrater?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, april 2012

    April, vårmånad. Gå ut och sola näsan, det är nyttigt. Men det också nyttigt att motionera hjärnan, för såväl ung som gammal. Lös månadens problem! Många skickar in lösningar på alla tre problemen, vilket vi naturligtvis tycker är roligt. Försök du också!

    Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner april månads problem som pdf ...





    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, april 2013

    Här kommer tre nya problem från den problematiske Leo. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner april månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, april 2014

    Här kommer tre vårproblem. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner april månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    problemen ...

    lösningarna ...

    Innehåll: LR

    Månadens problem, december 2008

    Problem 1

    Sofia knyter en rosett intill sitt högra öra. Hon ställer sig framför en spegel. Hur många av bilderna nedan är det möjligt att hon kan se i spegeln?
    A: ingen    B: 1    C: 2    D:3    E: alla fyra




    Problem 2

    Du har sex pinnar med längderna 2 cm, 5 cm, 10 cm, 1997 cm, 2000 cm och 2003 cm. Välj ut tre av pinnarna och gör en triangel av dem. Hur många olika val av pinnar finns det som fungerar?




    Problem 3

    Med längden av ett positivt heltal n, menar vi antalet primtalsfaktorer i n. Längden av talet 90 är exempelvis lika med 4, eftersom 90=2·3·3·5. Hur många udda tal under 100 har längden 3?

    A: 2    B: 3    C: 5    D: 7    E: inget av dessa svar

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, feb 2010

    Problem 1

    Daniela har kubiska klossar. De är alla lika stora. Hon har lagt ner några av klossarna i en kubisk låda så som du ser på bilden. Hur många fler klossar kan hon få ner i sin låda?





    Problem 2

    Lajka och hennes husse är på hunduppvisning. Från punkt A till punkt O går en rak bana. Den är 24 m lång. Lajka springer i snön från A till B. Sen springer hon vidare till C, D, E, F osv ända till punkten O. Tillsammans med banan bildar hennes spår kvadrater. Hur långt springer Lajka?





    Problem 3

    Två halvcirklar är uppritade i figuren. Kordan CD, som har längd 4, är parallell med den stora halvcirkelns diameter AB och tangerar den mindre halvcirkeln. Hur stor area har det skuggade området?



    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, feb 2011

    Problem 1

    När tränaren visslade i sin pipa ställde cirkusaporna upp sig på 6 led. I varje led fanns det 4 apor. Sen blåste han igen och aporna flyttade sig så att det blev 8 led istället. Hur många apor fanns det då i varje led?




    Problem 2

    På två parallella linjer är sex punkter markerade. På den ena linjen ligger fyra punkter och på den andra linjen ligger två punkter. Hur många trianglar finns det som har sina hörn i tre av de sex punkterna?





    Problem 3

    Alla invånare i en by har olika antal hårstrån. Ingen av dem har precis 2007 hårstrån. Kim är den bybo som har flest hårstrån. Antalet bybor är fler än Kims hårstrån. Vilket är det största möjliga antalet bybor?



    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, feb 2014

    Här kommer tre problem att lösa så här i sportlovstider. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner februari månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, februari 2012

    Nu är det dags Månadens problem igen, nu för februari. Glöm inte att du kan ladda ner problemen i pdf-format. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner februari månads problem som pdf ...











    Skicka in lösningar
    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg
    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: LR

    Månadens problem, februari 2013

    Välkommen tillbaka till Månadens problem från juluppehållet. Här kommer tre nya problem. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner februari månads problem som pdf ...





    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, jan 2010

    Problem 1

    Undersök när summan av tre positiva heltal är delbara med 3 om:
    a) alla tre talen är lika stora
    b) precis två av talen är lika stora
    c) talen är konsekutiva, dvs är i ordningsföljd



    Problem 2

    Medelvärdet av tio olika positiva heltal är lika med 10. Hur stort kan det största av talen vara som mest?




    Problem 3

    Placera en punkt inuti en liksidig triangel så att summan av avstånden från punkten till triangelns sidor blir så liten som möjligt. Motivera lösningen.


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, jan 2011

    Problem 1

    I hålet passar två pusselbitar. Vilka?




    Problem 2

    Summan av fem på varandra följande heltal är 2005. Vilket är det största av de fem talen?





    Problem 3

    Bilden föreställer tre halvcirklar. Ändpunkterna A och B på den övre halvcirkeln ligger rakt ovanför mittpunkterna E och F till de två undre halvcirklarna. Om varje halvcirkel har radien 2 cm, hur många cm² är arean av det skuggade området?





    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, jan 2011

    Problem 1

    I hålet passar två pusselbitar. Vilka?




    Problem 2

    Summan av fem på varandra följande heltal är 2005. Vilket är det största av de fem talen?





    Problem 3

    Bilden föreställer tre halvcirklar. Ändpunkterna A och B på den övre halvcirkeln ligger rakt ovanför mittpunkterna E och F till de två undre halvcirklarna. Om varje halvcirkel har radien 2 cm, hur många cm² är arean av det skuggade området?





    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, jan 2011

    Problem 1

    I hålet passar två pusselbitar. Vilka?




    Problem 2

    Mittpunkten i kvadraten KLMN är punkten O. Vinklarna AOB och COD är båda räta. Kvadratens sidlängd är 2 cm. Vilken area har den skuggade delen?
    A) 1 cm²    B) 2 cm²   C) 2,5 cm²    D) 2,25 cm²   E) det beror på hur man väljer punkterna B och C





    Problem 3

    I en låda ligger tre röda kort, tre gröna kort, tre gula kort och tre blå kort. De tre korten av respektive färg är numrerade 1, 2 och 3. Tre kort tas på måfå ur lådan. Vilket av följande händelse är mest sannolik?
    A) De tre korten är av samma färg
    B) De tre korten har alla olika nummer
    C) De tre korten är alla av olika färg
    D) De tre korten har samma nummer
    E) Alla uppräknade utfall är lika sannolika


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, jan 2014

    Gott nytt år! Här kommer tre problem att lösa i början av terminstart. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner januari månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, januari 2008

    Problem 1

    Josef bor vid en gata där husen är numrerade från 1 till 24. Varje hus har en brevlåda med husets nummer på. Hur många tvåor finns det på brevlådorna längs Josefs gata?




    Problem 2

    Ett bi rör sig genom kupans celler enligt en bestämd regel. Till vilken cell, A–E, flyttar sig biet härnäst?







    Problem 3

    Motsatta sidor på en tärning har alltid 7 ögon tillsammans. En tärning rullas så som figuren visar. I startläget har den tre ögon uppåt. Hur många ögon kommer upp i slutläget?




    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, januari 2009

    Problem 1

    Fyra gråsparvar sitter på ett staket. De heter Leo, Olle, Moa och Ida. Leo sitter mitt emellan Olle och Moa. Avståndet mellan Olle och Leo är detsamma som avståndet mellan Moa och Ida. Leo sitter 4 meter från Ida. Hur långt från Ida sitter Olle?




    Problem 2

    Hur mycket kostar en boll?






    Problem 3

    Rektangeln på bilden är indelad i 7 kvadrater. De tre grå kvadraterna till höger har sidlängden 8 cm. Vilken sidlängd har den stora vita kvadraten?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, januari 2012

    Efter upphållet i december för att ge Adventskalendern utrymme kommer nu Månadens problem för januari. Glöm inte att du kan ladda ner problemen i pdf-format. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner januari månads problem som pdf ...











    Skicka in lösningar
    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg
    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: LR

    Månadens problem, maj 2008

    Problem 1

    På bordet ligger det papperstrianglar och pappersrektanglar utspridda. De ligger inte kant emot kant och inte på varandra. Tillsammans har de 17 hörn. Hur många trianglar ligger det på bordet?

    A) 1    B) 2     C) 3     D) 4     E) 5




    Problem 2

    Hur lång är den stora kvadratens sida, märkt med ” x ”?




    Problem 3

    Hur många olika kvadrater finns det som har ett av sina hörn i punkten (−1, −1) och minst en av koordinataxlarna som symmetriaxel?

    A) 2    B) 3    C) 4    D) 5    E) 6

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, maj 2009

    Problem 1

    Agnes är 10 år. Hennes mamma Lisa är 4 gånger så gammal. Hur gammal är Lisa när Agnes är dubbelt så gammal som hon är nu?




    Problem 2

    Den hemliga kombinationen till ett kassaskåp är ett tresiffrigt tal där alla siffror är olika. Hur många sådana kombinationer kan du göra med siffrorna 1, 3 och 5? Utveckling av problemet, hur många kan man göra med siffrorna 0 till 9?




    Problem 3

    Man startar med en kvadrat ABCD med sidlängd 1. Sedan ritar man ut alla kvadrater som har två hörn gemensamt med kvadraten ABCD. Hur stor area har området som täcks av (minst en av) dessa kvadrater?

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, maj 2010

    Problem 1

    Det finns fem hus utefter varandra på Färgvägen: ett blått, ett grönt, ett gult, ett rosa och ett rött. Husen är numrerade från 1 till 5 som på bilden.


    • Det blå och det gula huset har jämna nummer.
    • Det röda huset har bara det blå huset som granne.
    • Det blå huset ligger mellan det gröna och det röda.

    Vilken färg har huset med nummer 3?




    Problem 2

    Kalle har skrivit ner ett tiosiffrigt tal. Om man lägger ihop alla siffrorna i detta tal får man 9. Vad får man om man multiplicerar ihop alla siffrorna i detta tal?




    Problem 3

    Ett visst år var det fler torsdagar än tisdagar. Vilka dagar fanns det flest av under året därpå? Inget av de två åren var ett skottår.

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, maj 2011

    Problem 1

    Theresa har 37 CD-skivor. Hennes kamrat Claudia säger: ”Om du ger mig 10 av dina skivor så har vi lika många var.” Hur många CD-skivor har Claudia?




    Problem 2

    Ann har åtta stycken femcentsmynt och hennes bror Dan har nio stycken tvåcentsmynt. De ska byta mynt mellan sig så att de får lika mycket pengar. Vilket är det minsta antal mynt som måste byta ägare för att de båda ska ha lika mycket pengar?




    Problem 3

    Det ligger sju kort i en låda. Korten är numrerade från 1 till 7. Först tar Sofia upp tre kort. Sen tar Ali upp två kort. Det ligger alltså två kort kvar i lådan. Sofia säger sedan till Ali: ”Jag vet att summan av talen på dina kort är ett jämnt tal.” Vilken summa har talen på Sofias kort?

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, maj 2012

    Maj! Sommaren är snart här. Men för den sakens skull bör vi inte tappa stinget. Fortsätt oförtrutet att lösa månadens problem! Många skickar in lösningar på alla tre problemen, vilket vi naturligtvis tycker är roligt. Men om du lyckas med ett eller två så skicka lösningen till oss i alla fall!

    Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner maj månads problem som pdf ...





    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, maj 2013

    Här kommer tre nya problem från den problematiske Leo. Deta blir de sista problemen innan sommaren. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner maj månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, maj 2014

    Här kommer tre majproblem. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner maj månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    problemen ...

    lösningarna ...

    Innehåll: LR

    Månadens problem, mars 2009

    Problem 1

    Robert bygger en tunnel av små likadana klotsar. När han tröttnar på tunneln bygger han en pyramid istället. Hur många av klotsarna från tunneln blir över när han har byggt sin pyramid?






    Problem 2

    De tre skålarna P, Q och R är ordnade från vänster till höger efter stigande vikt. Var ska den fjärde skålen placeras för att viktordningen ska behållas?






    Problem 3

    En låda äpplen kostar 2 euro, en låda päron kostar 3 euro och en låda plommon kostar 4 euro. Åtta lådor frukt kostade 23 euro. Vilket är då det största möjliga antalet lådor med plommon?

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, mars 2010

    Problem 1

    Harry har tre systrar och fem bröder. Hur många systrar och bröder har hans syster Sally?




    Problem 2

    Femton karameller delas ut bland ett antal kängurur. Varje känguru får minst en karamell. Inga kängurur får samma antal karameller. Hur många kängurur kan det vara som mest?



    Problem 3

    Hur många olika vägar finns det från punkten A till punkten B i figuren, om ingen punkt får passeras mer än en gång?



    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, mars 2011

    Problem 1

    Maria viker ett papper fem gånger som figuren visar.
    Sedan sticker hon hål genom det hopvikta papperet, så som sista bilden visar. Därefter viker hon ut pappret igen. Hur många hål har det utvikta papperet, dvs hela det stora papperet?




    Problem 2

    Madame Dupont tar en 2 timmars promenad. Först går hon en sträcka på plan mark, därefter går hon uppför en backe. Sedan vänder hon och går tillbaka samma väg hem igen. Hennes hastighet är 4 km/h på plan mark, 3 km/h i uppförsbacken och 6 km/h nedför backen. Hur lång sträcka går Madame Dupont sammanlagt?





    Problem 3

    Summan av fem på varandra följande heltal är lika med summan av de tre närmast efterföljande heltalen. Vilket är det största av dessa åtta tal?



    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, mars 2012

    Mars, mars måne, jag kan lura dig till Skåne! En gammal ramsa, som ni kanske känner igen? Fast lugn, vi lurar ingen, alla problemen är på riktigt och kan lösas med lite hjärnaktivitet. Många skickar in lösningar på alla tre problemen, vilket vi naturligtvis tycker är roligt. Försök du också!

    Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner mars månads problem som pdf ...











    Skicka in lösningar
    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg
    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: LR

    Månadens problem, mars 2013

    Här kommer tre nya problem från den problematiske Leo. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner mars månads problem som pdf ...





    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, mars 2014

    Här kommer tre vårproblem. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner mars månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, nov 2010

    Problem 1

    Alla barn i Adams och Evas klass har ställt upp sig på ett led efter varandra. Bakom Adam står 16 barn. Ett av dem är Eva. Framför Eva står 14 barn. Ett av dem är Adam. Mellan Adam och Eva står det 7 barn. Hur många barn står uppställda i ledet?




    Problem 2

    Summan av fem på varandra följande heltal är 2005. Vilket är det största av de fem talen?





    Problem 3

    Bilden föreställer tre halvcirklar. Ändpunkterna A och B på den övre halvcirkeln ligger rakt ovanför mittpunkterna E och F till de två undre halvcirklarna. Om varje halvcirkel har radien 2 cm, hur många cm² är arean av det skuggade området?





    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, nov 2013

    Här kommer tre problem innan vintern och vår adventskalender kommer. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner november månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, november 2011

    Här kommer nu Månadens problem för november. Glöm inte att du kan ladda ner problemen i pdf-format. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner november månads problem som pdf ...











    Skicka in lösningar
    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg
    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: LR

    Månadens problem, november 2012

    Nu höjer vi ribban. Klarar du alla tre problem? Annars skicka lösningar på det eller de 2 som du klarar.

    Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner november månads problem som pdf ...





    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, okt 2009

    Problem 1

    A+B=43. Hur mycket är A+B+2?




    Problem 2

    Vilket av talen A, B, C, D och E är störst? Minst?
    A-1 = B+2=C–3=D+4=E–5
    Förklara hur du tänker.




    Problem 3

    Vilket är störst, 2n eller n+2? Förklara.


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, okt 2010

    Problem 1

    I rutnätet ska det stå ett tal i varje ruta. Om du lägger samman talen i den övre raden blir summan 3. I den nedre raden är summan 8. Summan av talen i den vänstra kolumnen är 4. Vilken är summan i den högra kolumnen?





    Problem 2

    Det tar 40 minuter för Mowgli att först gå till fots från sitt hem till havet och sedan direkt rida tillbaka hem på en elefant. Om han istället rider på elefanten till havet och direkt rider hem igen så tar det 32 minuter. Hur lång tid skulle det ta för honom att gå hela vägen till fots?





    Problem 3

    Vilket är det största möjliga antalet siffror i ett tal om varje par av siffror som står intill varandra ska bilda ett kvadrattal?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, okt 2013

    Här kommer tre nya höstproblem nu när hösten gjort entre´ på allvar. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner oktober månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, oktober 2008

    Problem 1

    Lilla Ru köper karameller. Det finns röda, gula och blå. Röda karameller kostar 4 kronor styck, gula kostar 2 kronor styck och de blå 1 krona styck. Lilla Ru köper minst en karamell av varje sort. Hon betalar 16 kronor för 10 karameller. Hur många röda karameller får hon?




    Problem 2

    Den största kvadratens area är 16 cm², och den minsta kvadraten, i mitten, har arean 4 cm². Hur stor area har den snedställda kvadraten?






    Problem 3

    Bilden visar en rektangel ABEF och en triangel ABC. Man vet att vinkeln ACF är lika med vinkeln CBE. Om FC=6 och CE=2, vilken är arean av ABC?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, oktober 2011

    Här kommer nu Månadens problem för oktober. Glöm inte att du kan ladda ner problemen i pdf-format. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner oktober månads problem som pdf ...











    Skicka in lösningar
    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg
    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: LR

    Månadens problem, oktober 2012

    Oktober och höstrusket är här. Vad passar då inte bättre än att kura upp sig och ägna sig åt lite problemlösning! Många skickar in lösningar på alla tre problemen, vilket vi naturligtvis tycker är roligt. Men om du lyckas med ett eller två så skicka lösningen till oss i alla fall!

    Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner oktober månads problem som pdf ...





    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, sep 2009

    Problem 1

    Bettan tycker om att räkna ut siffersumman på sin digitala klocka. Till exempel, när klockan visar 21.17 får hon summan 11. Vilken är den största summa hon kan få?




    Problem 2

    Ta två av talen 1, 2, 3, 4 och 5 och lägg ihop dem. Hur många olika summor kan du få, om du gör det på alla möjliga sätt.




    Problem 3

    Rita ut fyra sträckor på ett papper och räkna antalet skärningspunkter. Vilket högsta antal är det möjligt att få?
    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, sep 2010

    Problem 1

    I varje ruta på brädet ska en av siffrorna 1, 2 eller 3 skrivas in. Varje rad och varje kolumn ska innehålla alla tre siffrorna. Harry har börjat fylla i rutorna. Vad kan han skriva i rutan med frågetecknet?





    Problem 2

    Bilden innehåller sex lika stora cirklar som precis får plats i en rektangel. En mindre rektangel har sina hörn i fyra av cirklarnas mittpunkter. Denna mindre rektangel har omkretsen 60 cm. Vilken omkrets har den större rektangeln?





    Problem 3

    Vilket av följande tal kan skrivas som produkten av fyra olika heltal som alla är större än 1?
    A: 625    B: 124     C: 108     D: 2187     E: 2025

    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, sep 2013

    Här kommer tre nya höstproblem från den problematiske Leo. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner september månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    Innehåll: LR

    Månadens problem, sep 2014

    Här kommer tre problem i sensommartider. Du kan ladda ner alla problemen som en pdf. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner september månads problem som pdf ...




    Skicka in lösningar

    Vi utmanar alla enskilda, grupper och klasser att skicka in lösningar, kommentarer eller förklaringar till hur ni löst problemen. Bidragen kan vara digitala eller på papper. Inkomna lösningar publiceras ibland och kan fungera som underlag för diskussion om problemen. Tala om om ni inte vill att ditt namn skall publiceras, tala gärna också om om ni är lärare eller elev.

    Skicka era bidrag ...

    eller

    Nämnaren/NCM
    Göteborgs universitet
    Box 160
    405 30 Göteborg

    problemen ...

    lösningarna ...

    Innehåll: LR

    Månadens problem, september 2008

    Problem 1

    Runt en rektangulär trädgård finns en grusgång som är lika bred överallt. Om du går runt trädgården längs gångens ytterkanter går du 8 m längre än om du går längs gångens innerkanter. Hur bred är grusgången?






    Problem 2

    En skattkista innehåller 5 skrin. Varje skrin innehåller 3 askar. I varje ask finns 10 guldpengar. Skattkista, skrin och askar är alla låsta. Hur många lås måste du öppna för att få tag på 50 guldpengar?






    Problem 3

    På hur många olika sätt kan du välja en vit och en svart ruta på ett schackbräde, så att de två rutorna ligger både i olika rader och i olika kolumner?


    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: UD

    Månadens problem, september 2011

    Nu finns det nya problem att ta itu med. Nytt för i höst är en ny layout och att du kan ladda ner problemen i pdf-format. Glöm heller inte att skicka in dina lösningar! Vi publicerar lösningar och kommentarer vid nästa månadsskifte.

    Ladda ner september månads problem som pdf ...










    problemen ...
    Array
    lösningarna ...
    Array
    Innehåll: LR

    Nämnaren debatt

    Hör gärna av dig med dina synpunkter och idéer! Vill du göra ett inlägg i någon diskussion eller lämna en synpunkt på något, använder du detta enkla webbformulär.

    Nämnaren nr 1, 2007

    Nämnaren nr 1, 2009

    Nämnaren nr 1, 2009

    Info i nr 1

    Extramaterial kopplat till numret

    Rättelse
    I Anette Jahnkes artikel har upptäckts ett skrivfel i formlerna på s 56.
    Ladda ner ny version här.

    På grund av ett tekniskt missöde har den gula markeringen fallit bort i bilden på sidan 46 i artikeln "Matematik och det nya medialandskapet". Här finner du en justerad version ...

    Omslagsbilden: Cikador

    Länkar ...
    ... i nr 1

     
    Vad finns i Nämnaren nr 1?

    TIMSS 2007 – En djupanalys av svenska elevers matematikkunskaper
    Per-Olof Bentley
    Detta är den första i en serie artiklar där de svenska resultaten från TIMSS 2007 diskuteras. Analysen av elevernas lösningar visar att många fel på uppgifterna i aritmetik uppstår då elever använder beräkningsstrategier i fel sammanhang.

    Metoden påverkar elevens matematiska beredskap
    Joakim Samuelsson
    Här sammanfattas en studie om sambandet mellan vad och hur elever lär sig. Elever har i början av åk 7 undervisats på tre olika sätt: traditionellt, via problemlösning och med enskilt arbete. Effekterna på deras utveckling inom aritmetik och på deras attityder till matematik har studerats.

    Viljan att utveckla sin undervisning
    Anette Jahnke & Görel Sterner
    Här beskrivs lärarlyftskurserna som NCM genomförde under 2008 inrättade vid Göteborgs universitet och upphandlade av Skolverket.

    Att diagnostisera elevers kunskaper och missuppfattningar
    Marie Mäkiranta
    Författaren har i ett fördjupningsarbete under en kurs i Lärarlyftet arbetat med boken ”Förstå och använda tal – en handbok” av Alistair McIntosh. Boken bygger på resultat från forskning och utvecklingsarbete och syftar till att ge lärare ett verktyg för att förebygga och reda ut elevers svårigheter och missuppfattningar när det gäller taluppfattning. I artikeln undersöker författaren elevernas kunskaper om bråk.

    Att sätta lärares och elevers lärande i fokus
    Höjman, Larsson, Persson, J-Nilsson & Cajander
    I denna artikel beskrivs ett sätt att arbeta med ”learning study”. En lärargrupp har arbetat med ett moment inom bråkräkning, och studerat kritiska aspekter som var avgörande för att eleverna skulle lära sig att subtrahera delar från en helhet.

    Matematikutveckling i Huddinge
    Färjsjö, Öhlund, Jatko Kraft & Thelander
    För ca tre år sedan utsåg Huddinge kommun två matematikutvecklare, Eva Färjsjö och Linda Öhlund. För att verkligen satsa på att utveckla undervisningen bestämde kommunen att även Veronica Jatko Kraft och Lena Thelander skulle vara med i arbetet. Här berättar de om hur de lagt upp sitt arbete.

    Ett förskoleprojekt
    Pesach Laksman
    Författaren vill visa hur samarbete mellan elever på olika stadier kan stärka en god inställning till matematikämnet. Han önskar även att lärare på olika stadier ska kunna mötas och diskutera matematikundervisning för att kunna grundlägga och bibehålla elevernas positiva syn på matematik genom åren.

    Uppslaget: Jämförelse av kroppar
    Pi-dagen
    Per Berggren, SMaL
    För att ge inspiration och stöd gör Sveriges matematiklärarförening, SMaL, en nationell satsning för att Pi-dagen ska uppmärksammas. De hoppas att matematikutvecklare och andra intresserade i samarbete med SMaL ska ge alla elever möjlighet att njuta av lustfylld matematik på Pi-dagen.

    GeoGebra – för de yngre
    Thomas Lingefjärd
    Det här är en fortsättning på artikeln Samspelet mellan algebra och geometri i Nämnaren nr 4, 2008. Sedan dess har GeoGebra kommit med en ny version, version 3.2, och författaren visar här exempel på hur funktionaliteten och antalet verktyg inom GeoGebra utvecklats.

    Matematik och det nya medialandskapet
    Jönsson, Aasa, Svingby, Heath, Åresund & Gjedde
    Medialandskapet ändras i en rasande takt. Bland det nya som dykt upp hittar man t ex gräsrotsvideo (YouTube), kollektiva forum på nätet, mobiltelefoner med GPS och bredband. Innovationer och utveckling inom detta område ställer stora krav på lärarna, men erbjuder också nya spännande möjligheter för matematikundervisningen. Här rapporteras om MLE-projektet, där mobiltelefoner och handhållna datorer används för att utforska matematik på grundskolan och gymnasiet.

    Dali och Larsson i matematikundervisningen
    Marianne Rönnbom
    I denna artikel behandlas hur vi kan utveckla språket och bygga upp begreppsförståelse i matematik med hjälp av konst. I olika situationer får eleverna kommunicera kring matematik och lära sig använda adekvata ord. Med hjälp av bilder skapas förståelse.
    På hal is med Bambipedagogik
    Anette Jahnke
    Detta är en fortsättning på artikeln Varför förenkla när vi kan förkrångla? i Nämnaren 4, 2008. Författaren delar med sig av fler aktiviteter i klassrummet och avslutar med reflektioner kring sin egen undervisning.

    DPL 40 - Tre principer och fyra tankevanor
    Diana Lambdin & Frank Lester
    Ett nytt tema dök upp i Nämnarens nummer 1, 1998: Dialoger om problemlösning, DPL. Syftet var att ge möjlighet för våra läsare att arbeta med problem och utbyta personliga reflektioner kring problemlösning. E fter 10 års publicering av problem och tänkande är det dags att avrunda serien. För att göra detta har Nämnaren bjudit in Diana Lambdin och Frank Lester. De gav inspiration till och medverkade i de allra första dialogerna.

    Kängurusidan: Räkna med 2009
    Susanne Gennow

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 1, 2010

    Nämnaren nr 1, 2010

    Info i nr 1

    Extramaterial kopplat till numret

    Omslagsbilden: Laterna

    Länkar ...
    ... i nr 1

      Vad finns i nr 1?

    Är den svenska skolan bara bäst i Sverige?
    Peter Nyström
    Sverige deltog 2009 i den internationella jämförelsestudien TIMSS advanced. Vi får här ta del av resultatet och en diskussion om några av de tänkbara anledningarna till de svenska elevernas svaga prestation.

    Elevers kunskaper i mätning och geometri
    M Löwing & W Kilborn
    I Nämnaren nr 4, 2009, finns en artikel som beskriver svenska elevers kunskaper i aritmetik. Den beskriver första delen av ett projekt som kallas Att våga se – och kunna ta ansvar. I den här artikeln beskrivs motsvarande kartläggning av elevers kunskaper i mätning och geometri.

    En kvart om dagen
    Sara Dahlsberg
    Författaren diskuterar hur föräldrasamverkan skulle kunna underlätta barns matematiska utveckling. Denna artikel har sitt ursprung i en fördjupningsuppgift från en kurs i Lärarlyftet 2009.

    Nyutbildade lärares möte med sitt yrke
    Elisabeth Persson
    Här presenteras resultat från en aktuell avhandling som vidrör frågor om lärarutbildning och lärares första tid i yrket. Ett intressant resultat är att flera av de intervjuade lärarstudenterna är mer nöjda med sin utbildning efter en tid i yrket än de var när utbildningen just avslutats.

    Effektiv population – möte i en fjäderfäförening
    Pesach Laksman
    Tamfåglar kan - som här - ge upphov till en diskussion kring formler och modellering. I denna artikel får vi ett exempel på hur man kan modellera den genetiska variationen i en grupp djur och dessutom diskutera användningen av formler.

    Laborativ matematikundervisning – vad vet vi?
    E Rystedt & L Trygg
    Ny kunskapsöversikt om laborativ matematik.

    Uppslaget: X-kuber

    Räkna och häpna
    Lennart Undvall
    Att själv som elev kunna lägga till rimliga fakta till ett problem kan ge nya utmaningar. Varför är sådana öppna uppgifter värdefulla för eleverna? Vi får här fem exempel med överraskande svar att ta med till klassrummet.

    Farfar har kommit! Matematikverkstad med dagstidningar på Silverfågeln
    Mats Hemberg
    Ett uppskattat inslag på Matematikbiennalerna brukar vara arbetsseminarium med Tidningen i skolan. Här beskrivs exempel från ett arbete med dagstidningar i en grupp med förskoleklass, ettor och tvåor. Eleverna får möjlighet att arbeta med tal, bekanta sig med koordinater och utveckla diagram. Dessutom görs intressanta iakttagelser om barnens uppfattningar.

    Talens dag – Dia del Numero – att skapa lust för matematiklärande
    Salvador Vidal Raméntol
    Talens dag är en endagsaktivitet som genomförs varje år i Katalonien. Här får vi ta del av en konkret metod att med lekar och spel motivera elever i alla
    åldrar att lära sig mer matematik.

    Matematik och det nya medialandskapet – nationell webbplats för IKT
    P Jönsson, T Lingefjärd & S Mehanovicl
    Möjligheterna att använda informations- och kommunikationsteknologi (IKT) som en resurs i matematikundervisningen ökar alltmer. Samtidigt är många
    lärare osäkra på hur man på bästa sätt utnyttjar denna resurs. För att stödja, stimulera och utveckla användningen av IKT kommer NCM i samarbete med projektet Matematik för den digitala generationen att bygga upp en ny webbplats med inriktning mot IKT i matematikundervisningen.

    Interaktiva skrivtavlor

    Information om interativa skrivtavlor, IST.

    Matematikbiennalen 2010

    Myra på villovägar
    Niclas Larson
    Att modellera praktiska sammanhang i termer av matematik och att kunna använda olika representationer och se samband mellan dessa är grundläggande förmågor som behövs vid matematiskt arbete. Kanske är det något som även vi som lärare behöver praktisera ibland, inte bara undervisa om. En krypande myra ger oss ett konkret exempel.

    Vi har läst

    Kängurusidan

    Problemavdelningen

    Pedagorien news

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 1, 2011

    Nämnaren nr 1, 2011

    Info: nr 4
    Extramaterial kopplat till numret

    Om omslagsbilden

    Länkar i nr 4

     

    Vad finns i nr 1?

    Information från NCM: Ny läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet
    Anette Jahnke
    Regeringen fastställde den 1 oktober 2010 en ny läroplan, Lgr11, som träder i kraft höstterminen 2011. Bakgrunden till förändringarna ligger i kritik av att de nuvarande kursplanerna inte är tillräckligt tydliga.
     
    Information från NCM: Tid och förändring i förskolans läroplan
    Anette Jahnke & Görel Sterner
    I vår serie med information om den förtydligade läroplanen för förskolan har vi i det här numret valt att lyfta fram arbete med tid och förändring.
     
    Snart, om en minut, nästa år
    Camilla Åslund
    Vad betyder tid för barn i förskoleåldern? Hur kan vi vidga och utveckla barns förståelse av olika tidsbegrepp? Här beskrivs hur de dagliga samlingarna kring ett konkret årshjul kompletteras med lockande uppdrag från Pippi Långstrump i ett längre temaarbete kring tid.
     
    Snö och andra kristaller
    Annika Persson
    I förskoleklassen kan barnen få göra intressanta iakttagelser och undersökningar som ger värdefulla erfarenheter att bygga vidare på och fördjupa längre upp i skolåren. Det lekfulla mötet med geometriska former och kopplingen till vackra formationer i naturen väcker förundran och intresse hos barnen. I det här arbetet har snökristaller varit utgångspunkten för ett arbete med geometri där begrepp som linje, spegling, symmetri, polygoner och polyedrar har behandlats.
     
    Matematiklyft i Uppsala
    Karin Stacksteg
    I Uppsala kommun har genomfört kompetensutveckling i matematik under en rad år. Här presenteras projekten och de tre följande artiklarna ger klassrumsnära exempel på utveckling av geometriundervisningen.
     
    Sex geometrilektioner som gjorde skillnad
    Gunilla Essén & Ulla Hägglund
    Författarna beskriver och delar med sig av erfarenheter från ett av de projekt som nyligen har genomförts i Uppsala. Utgångspunkten var kursplanens mål i geometri för årskurs 3 och 5.
     
    Geometri på golvet
    Torun Paulsson
    Deltagande i projekten i Uppsala har påverkat undervisningen genom bland annat nya klassrumsaktiviteter. Här berättar en lärare om ett konkret resultat av kompetensutvecklingen.
     
    Bland medianer och bisektriser
    Rosi-Anne Bergling & Erica Lundkvist
    För att skapa kontinuitet och progression i geometriundervisningen har en arbetsplan för åk 1–9 tagits fram. Artikelns båda författare har varit projektledare och de har haft hjälp av en arbetsgrupp med lärare som representerar var sin årskurs.
     
    Tolka visualiseringar
    Kajsa Bråting
    ilken roll kan visualiseringar ha i skolmatematiken? Några elever på gymnasiet tar sig an ett historiskt problem som handlar om att utifrån en visualisering avgöra om den så kallade hornvinkeln existerar och i så fall hur stor den är.
     
    Uppslaget: Tyck till om trianglar
     
    Perlesnor og tom tallinje
    Hanne Hafnor Dahl & May Else Nohr
    Från Tangenten i Norge har vi fått följande artikel om talföljden, på norska talrekka, och hur man kan arbeta för att utveckla barns taluppfattning. Författarna använder ett konkret material, ”perlesnoret” för att visualisera talföljden och som stöd för elevernas ”inre” talrad.
     
    Räkna på hawaiianska
    Ola Helenius
    Gestaltningen av ett begrepp kan vara avgörande för förståelsen av dess matematiska innehåll. Med utgångspunkt i ett till synes komplicerat ekvationssystem och hawaiianska räkneord diskuteras hur konkretiseringar och abstraktioner inverkar på hur matematiken uppfattas.
     
    Aktiva elever med interaktiv skrivtavla
    Patrik Gustafsson
    Responssystem som används tillsammans med interaktiv skrivtavla kan fungera som verktyg för att uppmärksamma missförstånd kring idéer och begrepp. Den direkta återkopplingen från eleverna kan utnyttjas för att effektivt skapa intresse och underlag för matematiska samtal.
     
    Vi har läst

     
    Intensivundervisning
    A Pilebro, K Skogberg & G Sterner
    I Sundbyberg har några elever som riskerade att inte nå målen i matematik i årskurs 9 erbjudits intensivundervisning under våren 2010. Denna undervisning i matematik, I-ma, innebär att en elev undervisas enskilt en lektion om dagen under en begränsad period. Innehållet är anpassat till den enskilda elevens behov och ges utöver elevens ordinarie matematiklektioner.
     
    Göran Emanuelssonstipendiet 2010
     
    Att göra rika problem rika
    Ulrihca Malmberg
    Att använda rika problem och utnyttja deras potential är inte helt lätt. Här behandlas några svårigheter och problem som visat sig och som varit utgångspunkt för ett examensarbete. Erfarenheter från detta och från klassrumsarbetet har lett till förändrade arbetsformer vid arbete med rika problem.
     
    Kängurusidan
    Susanne Gennow
     
    Problemavdelningen
     

    Se också innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 1, 2011

    Nämnaren nr 1, 2011

    Info: nr 1
    Extramaterial kopplat till numret

    Om omslagsbilden

    Länkar i nr 1

     

    Vad finns i nr 1?

    Det handlar om symmetri
    Anette Jahnke
    Här ges en inledande presentation till en grupp artiklar i detta nummer som behandlar symmetri och hur vi kan arbeta med det i klassrummet. Vi får också utdrag ur de nya kursplanerna, där olika motiv för att arbeta med symmetri uttrycks. Även problemavdelningen tar upp symmetri. På Nämnaren på nätet finns ytterligare en artikel med klassrumsexempel och också en lista med förslag till läsning om symmetri och med länkar. Tillsammans hoppas vi att detta ger en bra grund för arbetet med symmetri.
     
    Symmetri – skön matematik för många sinnen
    Thomas Martinsson
    Symmetri förekommer inom bilder och att skapa symmetriska bilder kan berika undervisningen i matematik. Med hjälp av bilderna kan förståelsen öka. I denna artikel behandlas några symmetrier i bilder.
     
    Symmetrier i islamiska mönster
    Frode Rønning
    Att se på konst med matematiska ögon ger enligt författaren nya möjligheter att tränga in i konsten. Konst ger också andra möjligheter att tränga in i matematiken. I denna artikel behandlas symmetrier utifrån islamsk konst.
     
    Benoit Mandelbrot (1924–2010)
    Ulf Persson
     
    Klart som kristall att varje flinga är unik
    Karin Bojs
    I Nämnaren nummer 4, 2010, beskrev A nnika Persson hur en förskoleklass i Södertälje arbetade med kristaller och då utgick från snökristaller. I en artikel i DN i december skrev vetenskapsredaktör Karin Bojs om professor Kenneth Liebbrecht från Caltech i USA som ägnat en stor del av sitt arbetsliv åt just snökristaller. Nämnaren har fått DN:s tillstånd att återge denna artikel.
     
    Matematikkunskaper växlas mot språkkunskaper
    Lisa Valtersson
    I Järfälla får ingenjörer som studerar svenska som andraspråk medverka som lärare i matematik för en dag. De leder lektioner kring enheter för en grupp vuxna som läser grundläggande matematik och får själva en språkutvecklande dag.
     
    Återblick på adventskaledern 2010
     
    Uppslaget: Smarta handdukar
    Hugo Christensen
     
    Information från NCM: Antal, ordning och talbegrepp i förskolans läroplan
    Elisabet Doverborg
     
    Antalet prickar på en tärning
    Anna Hedlund
    På förskolan får barnen uppleva tal med flera sinnen och de få representera tal. De gör det på olika sätt som de kan jämföra. Barnens olika strategier ger läraren kunskap om elevernas utveckling och underlag för vidare utmaningar.
     
    Antalet barn vid varje bord
    Gunilla Thorén
    Genom att använda en daglig rutinsituation som att duka till lunch har vi i förskolan en möjlighet att utveckla och utmana barns matematiska tänkande och lärande. Jag har i mitt fördjupningsarbete fokuserat på barns förståelse för antal och som ett exempel ska vi följa två flickor i femårsgruppen, Therese och Rinesa, när de hjälper till att duka.
     
    Intensivundervisning med gott resultat
    P Lundqvist , B Nilsson, E-G Schentz & G Sterner
    Vid Timmersdala och Lerdala skolor i Skövde kommun pågår ett utvecklingsarbete med intensivundervisning i matematik. Insatsen är ett erbjudande till eleven och elevens föräldrar eller vårdnadshavare och riktar sig till elever i årskurs 2, men insatser görs på flera nivåer och utvecklingsarbetet omfattar all matematikundervisning i förskola, förskoleklass samt årskurserna 1–6.
     
    Ökad måluppfyllelse i Borås
    A-C Fredriksson, Å Lövnord Lord & C Berg Andersson
    Borås har ca 100 000 invånare uppdelade i tio kommundelar. M åluppfyllelsen för grundskolan är lägre än riksgenomsnittet och nu är matematik ett av de prioriterade utvecklingsområdena. Här beskriver de tre utvecklingspedagogerna kort sitt arbete.
     
    Utan utbildning blir tavlorna bara en jippopryl
    Mats Hemberg
    På Carlssons skola i Stockholm finns Interaktiva skrivtavlor, IST, i alla klassrum. Författaren har träffat Cecilia Christiansen, matematiklärare på skolan och diskuterat förutsättningarna för att arbete med att införa IST ska bli framgångsrikt. Han har även fått exempel på hur tavlorna kan användas.
     
    Vi har läst

     
    Matematik i arbetslivet
    Lars Gustafsson
    Här presenteras boken Improving mathematics at work. The need for techno-mathematical literacies som är skriven av av Cecilia Hoyles, Richard Noss, Phillip Kent och Arthur Bakker.
     
    Kängurusidan
    Susanne Gennow
     
    Problemavdelningen
     
    Pedagorien
     

    Se också innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 1, 2012

    Nämnaren nr 1, 2012

    Info: nr 1
    Kompletteringar till Nämnaren nr 1

    Länkar i nr 1

     

    Vad finns i nr 1?

    Läs våra föregångares debatt i Skolmatematiskt arkiv
    Sverker Lundin
    Ett historiskt perspektiv på undervisning kan ge oss en djupare förståelse för vår roll som lärare. De frågor som diskuteras idag, däribland lärobokens roll, förståelse kontra färdighet och den grundläggande räkneundervisningen, har lärare diskuterat under lång tid. Möjligheten att få insikt i våra föregångares diskussioner har ökat, då vi nu kan läsa texter från den svenska skolmatematikens historia på nätet. I Skolmatematiskt arkiv, förkortat SMA, ligger drygt 700 dokument från mitten av 1800-talet och framåt.

    Hur kan lärare lära av historien?
    Anders Tengstrand
    Matematikens historia kan vara en källa till såväl nya infallsvinklar på matematikundervisningen som en ökad förståelse för matematikens fundamentala begrepp och samband. Författaren ger exempel från Galilei och Fermat och efterlyser även en insats för att tillgängliggöra historiskt källmaterial, kanske på nätet?

    Recknekonsten
    Reza Hatami
    Hans Larsson R izanesander skrev i början av 1600-talet den första matematikläroboken på svenska. Den trycktes aldrig på grund av bristande ekonomiska resurser. Originalhandskriften förvaras idag på Uppsala universitetsbiblioteks handskriftsavdelning. Arbete pågår för närvarande med att för första gången ge ut boken.

    Subtraktionsberäkningar
    Kerstin Larsson
    I förra numret av Nämnaren beskrev författaren olika situationer inom subtraktion och addition. Här fortsätter hon att behandla beräkningsstrategier för subtraktion samt hur de kan tydliggöras genom några olika didaktiska modeller. Dessutom diskuteras terminologifrågor.

    Upptäck det enkla i beräkningar: roliga bråk
    Svante Silvén
    Här är några uppgifter som har använts för att göra elever uppmärksamma på hur man kan förenkla bråk.

    Divisionsalgoritmer – om man förstår principen kan man använda vilken som helst
    Svante Silvén
    Av dem som jag har frågat, unga som gamla, lärare och elever, har endast några få kunnat förklara varför de olika divisionsalgoritmerna, stege, trappa, liggande stol osv är korrekta. Vilken algoritm som är bäst, enklast att handha, har ju stötts och blötts under decennier. Men om eleven förstår den gemensamma principen för all division, torde det spela mindre roll vilken algoritm eleven lär sig [...]

    Skriftlig huvudräkning – framsteg eller katastrof?
    Birgitta Rockström
    Birgitta Rockström diskuterar här skriftlig huvudräkning och gör därmed ytterligare ett inlägg i debatten kring räknemetoder och olika typer av algoritmer. Som vi kan läsa i Sverker Lundins artikel, som inleds på s 3 i detta nummer, är det en debatt som pågått under mycket lång tid, vilket kan ses som ett exempel på lärares engagemang i matematikundervisningen. På Nämnaren på nätet finns fler inlägg.

    Återblick på adventskalendern
    Leo Rubinstein
    Adventskalendern 2011 blev, tycker jag, mycket lyckad. Det kom sammanlagt cirka 400 svar. Mest från grundskoleelever, ofta från hela klasser och förmedlade av lärare men några svar förmedlades av föräldrar [...]

    Uppslaget: Procent i vardagen
    Ulrika Gustafsson
    Idén till detta arbete växte fram när författaren, Ulrika Gustafsson, själv bytte bank och funderade på omläggning av lån och nytt sparande. Varför inte göra detta till ett arbetsområde med niorna som snart ska arbeta med procent och framförallt ränta? Om eleverna möter matematiken i kända situationer blir möjligheterna bättre för dem att använda sitt praktiska förnuft och att utveckla kunskaper som är användbara för dem.

    Konst och matematik
    Gunnel Berlin
    Matematikbiennalen i Umeå 2012 har temat Matematik i kulturens tecken. Kultur är ett brett begrepp och denna artikel behandlar den konstnärliga aspekten. Konst erbjuder en möjlighet att bredda intresset för matematik hos såväl unga som gamla. Sedan 2002 har författaren drivit ett konstpedagogiskt projekt Eureka i Sotenäs kommun.

    Matematik för den digitala generationen
    Ulrika Ryan
    Kan digitala verktyg vara ett redskap i yngre elevers matematiklärande? Den frågan ställdes när Byskolan i Södra Sandby strax utanför Lund påbörjade ett projektarbete. Artikeln beskriver hur en klass har arbetat kring tal och taluppfattning med digital teknik som hjälpmedel.

    Från arbetet till skolan – Ett forskningsprojekt om vuxnas matematik
    Tine Wedege & Lisa Björklund Boistrup
    Vetenskapsrådet har beviljat 4,5 miljoner till det internationella forskningsprojektet Vuxnas matematik: Från arbetet till skolan. Syftet med projektet är att beskriva, analysera och förstå vuxnas informella matematikkompetens och att därigenom skapa en vetenskaplig grund för en positiv förändring av matematikundervisningen i yrkesprogram, övriga
    ungdomsskolan och vuxenundervisningen.

    Rapport från ett Mattebromöte
    Anna Svärd
    Mattebron hade i november 2011 ett nationellt möte. Här ges en sammanfattning från en av deltagarna.

    Kleindagarna 2011
    Samuel Bengmark
    Kleindagarnas syfte är att låta gymnasie- och universitetslärare i matematik träffas och dela erfarenheter. I praktiken utvecklar de tillsammans lektioner för gymnasieelever. Läs gärna denna artikel i anslutning till den föregående om Mattebron.

    Kängurusidan
    Jessica Håkansson
    Ett syfte med Kängurutävlingen är att sätta matematiken i centrum, åtminstone för en dag. På Nydalaskolan i Malmö har skolan fått stöd av det omgivande samhället för att kunna göra en riktig fest av tävlingen. Stödet har också lett till viktiga kontakter med bostadsområdets husvärd.

    Problemlösning i kursen Kreativ matematik
    Lotta Råberg
    I förra numrets Problemavdelning delade lärarutbildare i Karlstad med sig av aktiviteter som de använder vid en kursstart. Här fördjupar lärarlaget sitt resonemang om problemlösning och berättar om sina erfarenheter.

    Problemavdelningen
    Göran Emanuelsson
    Problemavdelningen är denna gång konstruerad av Göran Emanuelsson. Problemen handlar om att bli vän med talen. Uppmuntra eleverna att resonera med varandra kring olika lösningar och att diskutera hur de tänker. Ofta är det bra att lösa liknande problem med mindre eller större tal med tanke på elevers ålder eller för att testa och lära sig en framgångsrik strategi.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 1, 2013

    Nämnaren nr 1, 2013

     

    Vad finns i nr 4?

    ”Hej, och välkommen till NCM och Nämnaren!”
    Peter Nyström
    NCMs nya föreståndare ger sin syn på matematikundervisning, första tiden på sin nya arbetsplats och hans bild av NCMs roll.

    Leken i förskolans läroplan
    Ola Helenius
    Lek är ett av de mest fundamentala begreppen i förskolans läroplan. Ett medvetet bruk av leken för att främja varje barns utveckling och lärande ska prägla verksamheten i förskolan, heter det bland annat. Det betyder givetvis att de av förskolans mål som handlar om matematik också måste ses ur ett perspektiv där lek och lärande går hand i hand.

    Matematikkarusell och matematikverkstad
    Anna-Karin Frelin & Camilla Proos
    På matematikbiennalen i Umeå 2012 fick två lärare från Lövsta förskola i Östersund stipendium för sin idéutställning ”Matematikverkstad i förskolan”. Juryns motivering löd: ”Utställningen tar upp ett område som är särskilt aktuellt och visar en i läroplanen förankrad matematikkarusell som kan fungera som ett pedagogiskt verktyg i matematikinlärning”.

    Siffrorna som försvann
    Botéus Abrahamsson, Hermansson & Thorbäck
    I leken kan barn möta siffror, färger och geometriska figurer. Följ med när barnen på Tvets förskola på Orust upplever ett sagoäventyr i Urskogen där de löser mysteriet med de försvunna siffrorna.

    Abakus – ett möjligt mattelyft?
    Pelle Lindblå
    Elever som arbetar med abakus grundlägger en god taluppfattning, menar artikelförfattaren, som här berättar om sin mångåriga erfarenhet av att undervisa med hjälp av detta uråldriga kinesiska räknehjälpmedel.

    Kul med abakus
    Mats Hemberg
    Läsåret 2011/12 fick Umeå medel från Skolverket för att genomföra ett projekt där lärare i årskurserna 1–3 under två år ska utvärdera vilken effekt användningen av abakus i matematikundervisningen har på taluppfattning och huvudräkning. Vidare vill man se om lärarna härigenom förbättrar sin förmåga att både löpande och formativt följa sina elevers kunskapsutveckling.

    Konsten att simulera sannolikheter
    Birgit Aquilonius
    Hur sannolikt är det att två straffkast i basketboll går i? Författaren delar här med sig av erfarenheter från laborationer om sannolikheter som hon använt i sin undervisning i Kalifornien men även i den svenska lärarutbildningen. Fokus ligger på introduktion av sannolikheter i grundskolan.

    1 250 000 lösta uppgifter i internationell gemenskap
    Majvor Strålenstam
    Elever i grundskolan i Mörbylånga kommun på Öland bjöds under februari 2012 in till www.worldmathsday.com för att möta världen och praktisera sina matematikkunskaper.

    Uppslaget: Problemlösning och möbeldesign
    Calle Flognman

    Elevers uppfattningar om filmad undervisning
    Mikael Bondestam
    Det finns bland elever och lärare ett allt större intresse för filmad undervisning. Exempel kan vi finna på bland annat Youtube och Vimeo. Här diskuteras vilka möjligheter och begränsningar som finns med detta pedagogiska verktyg, knutet till en undersökning av elevers uppfattningar om filmad undervisning på området logaritmer. Innehållet och metodiken har betydelse.

    Regnvädersmatematik
    Poul Græsbøll
    En morgon när jag cyklade till skolan strilade regnet stilla ner från en grå himmel. Samtidigt som jag höll på att bli riktigt blöt sa jag till mig själv att tänka positivt. Vad kan regn användas till på en matematiklektion?

    Föränderliga och harmoniska rektanglar
    Pesach Laksman
    Det finns mycket spännande att upptäcka i en rektangel. I artikeln beskrivs hur elever från tidiga grundskoleår och upp på gymnasiet kan träna sin problemlösningsförmåga med hjälp av rektanglar.

    Matematiska strövtåg - Religion, matematik och serier
    Barbro Grevholm
    Med ålderns rätt har jag slutat läsa serierna i dagstidningen. Ibland händer det ändå att jag trots allt fastnar för Kalle och Hobbe. När Kalle pratar om matematik sker det bestämt. Nyligen hade min dagliga morgontidning en serie som började som i bilden här intill. Kalle tar upp en fråga många forskare har diskuterat under långa tider. Vad är matematik? Är det en vetenskap? Vilka objekt sysslar matematiken med? Finns talen? Upptäcker vi matematik eller uppfinner vi den?

    Från modern konst till skolmatematik
    Juan Parera-Lopez
    Hur kan man utgå från modern konst för att arbeta med matematik? Verk av den spanske konstnären Gerardo Rueda används som inspirationskälla och geobräden används som redskap.

    Vi har läst

    Känguruproblem i mina klasser
    Maria Asplund
    I kursplanen för matematik är problemlösningsförmåga både ett syfte och en del av det centrala innehållet. Maria Asplund berättar här hur hon använder känguruproblem som ett kreativt, reflekterande och problemlösande lektionsinnehåll i årskurserna 5, 6 och 7.

    Problemavdelningen
    Göran Emanuelsson

    Från lärobok till reflekterande lärande
    Maria Forss
    Här beskrivs hur lärare i Trelleborgs kommun prövat idéer och besökt varandras klassrum för att utveckla undervisningen. Eleverna använder idag reflektion som ett verktyg i sin kunskapsutveckling och man ”pratar matte” på lektionerna.

    Taluppfattning med sifferlådor
    Kerstin Fritiofson & Ann-Christine Nilsson
    Författarna till denna artikel är matematikutvecklare för årskurs 1–3 i Arvika kommun. Med stöd från Matematiksatsningen har de genomfört ett projekt om taluppfattning. De har utvecklat en låda med arbetsmaterial för varje siffra. Till varje sifferlåda hör även en barnbok som handlar om det aktuella talet.

    Dansa vektorer!
    Britta Olsson
    Att röra sig öppnar nya möjligheter för lärandet. Reflektioner från en deltagare på kursen Estetiska lärprocesser i matematikundervisning vid Stockholms Musikpedagogiska Institut.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 1, 2013

    Nämnaren nr 1, 2013

     

    Vad finns i nr 1?

    Matematik för förskolebarn – idéer och material från Norge

    I Trondheim finns NCM:s norska motsvarighet, Natsjonalt senter for matematikk i opplæringen, www.matematikksenteret.no.
    Här tittar vi närmare på vad som finns under webbplatsens flik Barnehage. Förutom information om ’Rammeplan for barnehagen’, motsvarigheten till vår Lpfö 98, finns mycket annat att ta del av.

    Strukturerad intensivundervisning i aritmetik
    Susanne Lantz & Helena Roos
    I en undervisning som är inkluderande betraktas olikheter som tillgångar och alla elever ges möjligheter att vara aktiva. Här beskriver författarna ett examensarbete, på speciallärarprogrammet, om strukturerad intensivundervisning där utgångspunkten var att alla elever skulle arbeta i klassrummet.

    När kan elever börja räkna med kvadratrötter?
    Natalia Karlsson & Wiggo Kilborn
    När i elevernas skolgång är det lämpligt att introducera kvadratrötter? Tecknet i sig och användningen av irrationella tal kan skymma intressanta och angelägna användningsområden för kvadratrötter. I denna artikel ifrågasätts varför många lärare dröjer så länge med att introducera kvadratrötter. Vi får också förslag på hur area kan användas för att grundlägga en förståelse för begreppet.

    Konkretisering av begrepp
    Karin Kairavou
    Denna artikel om konkretiseringar är ett resultat av en skandinavisk samverkan. Författaren har i många år varit en av de drivande på Mattelandet i Helsingfors. Artikeln har tidigare publicerats i norska Tangenten och är här bearbetad för Nämnarens läsare.

    Den dolda ettan
    David Taub
    Den matematiska notationen och det sätt som elever förväntas skriva på är konventioner som kan ställa till problem. En sådan konvention är att inte skriva ut en etta på vissa ställen. Författaren presenterar några dolda ettor och motiverar varför dessa bör synliggöras.

    Meningsfullt – även för den som hatar matte
    Annica Andersson
    Under ett års tid, läsåret 2008–09, följde jag två klasser på samhällsvetenskapliga programmets dåvarande Matematik A. Under denna period strävade den ansvariga matematikläraren Elin och jag med att samhällsanpassa matematikundervisningen så långt det var möjligt. Vi diskuterade matematikens roll i samhället och hur vi kunde komplettera läroboksundervisningen med projektarbeten.

    Diamantdiagnoser för hela grundskolan
    Marie Fredriksson & Madeleine Löwing
    Diamantdiagnoserna har nu anpassats till Lgr 11 och är utvidgade till att omfatta kursplanens matematikinnehåll till och med årskurs 9. Författarna har också gjort mindre justeringar och bytt namn på några diagnoser i det tidigare materialet. En positiv nyhet är att hela materialet kommer att vara klickbart och därmed enklare att använda.

    Uppslaget: Hur rund är en kvadrat?
    Håkan Lennerstad

    Sagt & gjort: Sannolikhet från början
    Pirjo Repo
    I början av oktober, när eleverna gick i årskurs 1, började vi prata om ifall det var sannolikt, troligt, att det skulle snöa just den dagen. Det var bara en elev som trodde det. Vi funderade på om vi hade fått andra svar om vi ställt samma
    fråga i början av december – och det trodde alla. Att det skulle regna krokodiler tyckte däremot alla var väldigt osannolikt. Ordet ’sannolikt’ var inte bekant för eleverna och jag använde det parallellt med orden ’troligt’ och ’möjligt’.

    Statistisk signifikans och Armageddon
    Olle Häggström
    När någon påstår att en utsaga är statistiskt säker finns ofta skäl att tänka kritiskt. Vi får här följa med författaren på en bildningsresa om sannolikheter och statistisk signifikans från den enklaste slantsinglingen ända till det bittra slutet för mänskligheten, domedagen.

    Sagt & gjort: D som i diameter
    Teresia Brzokoupil
    Ibland kommer man som lärare på ett bra knep för att förklara något som gör att eleverna förhoppningsvis minns eller förstår något bättre. Jag tror att de flesta av oss som undervisar helst inte använder ”genvägar” utan vill att eleverna ska förstå och kunna använda kunskapen, men det här är ett knep för att skilja termer åt som annars kan vara svåra för många elever att hålla isär och förstå härledningen till.

    Alla elever har rätt till ledning och stimulans
    Eva-Stina Källgården & Krister Larsson
    Det är spännande när en nyskriven text kan sätta fart på tankar om ett projekt som var aktuellt för flera decennier sedan. Det är precis vad som beskrivs i denna artikel. Författarna började bland annat resonera om vad som hade hänt med alternativkursproblemet sedan de engagerade sig i frågan under 1980-talet.

    Sagt & gjort: Tre medelvärden som trio
    Bengt Ulin
    Nämnaren har i två artiklar av Pesach Laksman, i nr 2011:4 och senast i 2012:4, givit utrymme åt tre medelvärden, det aritmetiska, det geometriska och det harmoniska. Jag vill här ge ett delvis musikaliskt komplement till dessa artiklar
    och medelvärden.

    Strövtåg: Dosimong-promenaden
    Sten Rydh
    När jag promenerar till Mattesmedjan längs den vackra sjön Lelången brukar jag ofta tänka på matematiska problem. En dag kom jag att tänka på hur det skulle kännas för våra lärare om de, precis som eleverna, måste lära sig taluppfattning
    och räkning alldeles från början. Vore det inte nyttigt att uppleva vilka problem en nybörjare har?

    Vi har läst

    Kängurusidan
    Susanne Gennow & Karin Wallby

    Problemavdelningen
    Göran Emanuelsson

    Pedagogiska caféer på Tjörn
    Ann-Sofie Johansson & Hanna Johansson
    Två lärare i Tjörns kommun har arbetat med att med hjälp av laborativt material minska sitt läroboksberoende. Ett inslag i lärarnas stöd till sina kollegor är dialogcaféer där man med jämna mellanrum diskuterar matematikdidaktiska frågor och provar laborativt material tillsammans.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 1, 2014


     

    Linda Mannila, Mia Peltomäki & Ralph-Johan Back
    Erfarenheter av strukturerade härledningar i undervisningen
    Artikeln Strukturerade härledningar ökar förståelsen i Nämnaren 2010:3 beskriver principerna bakom strukturerade härledningar, ett sätt att presentera beräkningar och bevis. I denna uppföljande artikel beskrivs hur metoden har använts i undervisningen och vi får ta del av resultat från några studier som gjorts kring strukturerade härledningar i klassrummet.

    Katarina Kjellström
    Ett bedömningsstöd för grundskolans matematiklärare
    På Skolverkets webbplats finns nu ett fritt tillgängligt bedömningsstöd. Artikelförfattaren har deltagit i arbetet med att ta fram materialet och berättar här vad det innehåller och hur man som lärare kan använda sig av det.

    Karin Landtblom
    Läget? Tja, det beror på variablerna
    Oklarheter i elevers kunnande om olika lägesmått kan visa sig när eleverna får konstruera egna uppifter och besvara dem. En genomgång av läromedel visar att elever sällan uppmanas att föra resonemang om olika typer av varibler eller argumentera för de lägesmått de använder.

    Andreas Olsson
    Från enskild räkning till kollegialt lärande
    Under våren 2013 mottog matematiklärarna på Stöpenskolan i Skövde kommunens kunskapspris för hög kvalitet i undervisningen och bra resultat. Vi får här följa med på en utvecklingsresa genom problemlösning i en kommunikativ miljö på väg till ett gott resultat.

    Ewa Bergqvist & Magnus Österholm
    Språkbrukets roll i matematikundervisningen
    Det språk vi använder oss av i matematikklassrummet kan fokuseras på många olika sätt. Språket är också nödvändigt att förhålla sig till vid utvecklingen av sitt matematiska tänkande. Författarna diskuterar här relationer mellan språk och lärande.

    Uppslaget: Okända grafer
    Ett sätt att närma sig såväl linjediagram som grafer, och på sikt även enkla funktioner, är att arbeta med ”okända grafer”. I detta Uppslag presenteras en aktivitet som lägger grunden till förståelse för att tolka linjediagram.

    Jenny Henriksson
    Blöjbytets möjligheter
    Vad ryms det för matematik i dialogen mellan förskolebarn och pedagog under
    ett blöjbyte? Här får vi ta del av en undersökning av de små barnens matematik.

    Anna Holmlund
    Lärobokens betydelse vid lektionsplanering
    Finlands framgångar i internationella kunskapsmätningar och de relativtsvaga svenska resultaten förklaras ofta med läroböckernas dominerande ställning i matematikundervisningen. Vi får här ta del av en jämförelseav lärares användning av läroboken i Sverige och Finland. Detta arbete belönades med Göran Emanuelssonstipendiet 2013.

    Mona Røsseland
    Vägen till standardalgoritmer
    Denna artikel tar sin utgångspunkt i ett samarbetsprojekt mellan en lärare somville utveckla sin undervisning och en aktionsforskare som ville undersöka om det var möjligt att göra detta genom att använda flera representationer i matematikundervisningen. Artikeln har tidigare publicerats i Nämnarens norska syskontidskrift Tangenten nr 4 2013.

    Håkan Lennerstad
    Falta tärningarna!
    Att slå en vanlig, sexsidig tärning är väl skolmatematikens allra vanligaste exempel på tillämpad sannolikhet, liksom att slå två eller tre. Om man tittar närmare på det så dyker en operation upp som är viktig på många håll i matematiken: att falta. Den gör det ganska lätt att räkna ut sannolikheterna. Men vad är då att falta?

    Erland Runelid
    Byggnader, djur och deras skalor
    Vi får här ta del av ett arbetsmaterial kring skala som handlar om hurbyggnader är konstruerade och hur djur är uppbyggda, med en yttreverklighet som grund för resonemang om skala och hållfasthet.

    Matematikbiennalen 6–7 februari 2014

    Susanne Gennow
    Kängurusidan 189

    Leo Rubinstein
    Problemavdelningen 189

    Helena Karis
    Matematiklyftet på Matematikbiennalen 2014
    Här ges förslag på aktiviteter på Matematikbiennalen som har direkt koppling till Matematiklyftet, särskilt om John Mason och att notera.

    Lars Mouwitz
    Att leda och organisera matematiska diskussioner – fem utvecklingssteg
    Hur kan lärare kommunicera med sina elever i, med och om matematik? Vi får här ta del av en femstegsmetod för att förbättra den matematiska kommunikationen i klassrummet. Texten är ett artikelreferat framtaget för Matematiklyftet och fritt tillgänglig på Lärportalen för matematik.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 2, 2006

    Kommentarer och material som utlovats.

    Problemavdelningen
    Billösningar Peter Mogensen

    Algoritmdebatt

    Ljuset från öster s 60 – 61
    Problemlösning och teori i skolan! Bengt Ulin
    Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen? Dan Laksov

    Nämnaren nr 2, 2007

    Nämnaren nr 2, 2008

    Nämnaren nr 2, 2008

    Länkar ...
    ... i nr 2

    Info i nr 2
    Artiklar kopplade till numret

    I Olof Magnes artikel inbjuds du till debatt kring målen i årskurs 3.
    Läs inläggen...

    Omslagsbilden: Orgel

     
    Vad finns i Nämnaren nr 2?

    Matematik och slöjd
    Lena Trygg
    Matematikämnet kan, i olika omfattning, samverka med alla övriga skolämnen. Det finns ett stort intresse bland lärare att samverka men många gånger är det orsaker av praktisk natur som gör att samverkan inte kommer igång. På NCM:s webbplats finns nu en ingång med rubriken Matematik och slöjd, se ncm.gu.se/slojd. Dessa sidor är tänkta som ett stöd, antingen för samverkan mellan lärare eller då tvåämneslärare ”samverkar med sig själva”.

    Uppnår grundskolans elever målen i matematik?
    Olov Magne
    Här diskuterar Olof Magne mål i matematik, med anledning av det pågående arbetet med mål och prov i årskurs 3. Vi hoppas att fler av våra läsare vill delta i diskussionen med inlägg på nätet, namnaren.ncm.gu.se

    Hur hänger lässvårigheter och matematiksvårigheter ihop?
    Görel Sterner & Ingvar Lundberg
    I denna artikel diskuteras sambanden mellan matematik och läsning. Samma tema behandlades i Nämnaren nr 4, 2007 då Arne Engström skrev under rubriken ”Varför är textuppgifter så svåra?”.

    Kastanjematematik
    Ulla Wennerlund
    Att fånga matematiken i ögonblicket och utgå från elevernas intressen är något vi strävar efter. Här ges ett exempel från ett arbete med kastanjer, som givit möjligheter att diskutera bl a tal och mätning.

    Schack-matt(e)projekt
    Anders Lundquist & Michael Lööf
    Kan schackspelande vara ett sätt att nå bättre resultat i skolan? Det är en av de frågor som studeras i ett forskningsprojekt som pågår i Enköping. Elever i åk 1 – 5 deltar i undervisning i schack och de spelar också på raster och på fritidshemmet.

    Utmaningar för understimulerade
    Simon Wigzell & Anna Palbom
    Att räkna före i boken är ett vanligt sätt att möta de elever som är speciellt intresserade och duktiga i matematik. Ofta saknas dock de utmaningar som kan behövas för att hålla intresset vid liv. Här ges förslag på ett arbetsområde som avser att fördjupa och vidga kunskaperna och också stimulera intresset hos dessa elever.

    Virka stora pi
    Ola Helenius
    Med utgångspunkt i en felvirkad mössa studeras begreppet krökning. Genom att studera ytor med olika typer av krökning ges en antydan om varför kvoten mellan omkretsen och diametern hos en cirkel i planet blir konstanten pi.

    Uppslaget: För ovanlighetens skull
    Kerstin Hagland
    På Uppslaget presenteras två problem som är tänkta att uppmuntra till matematiska resonemang och kristallklar argumentation. I dessa och liknande problem är det viktigt att elevernas lösningar accepteras om de har bra argument för dem.

    DPL 37: Tre problem
    DPL är tar denna gång sin utgångspunkt i tre problem med anknytning till Matematikbiennalen 2008.

    Samma summa
    Katalin Földesi
    En uppgift om att dela upp en mängd tal i grupper så att summan i varje grupp är densamma visar sig ha många lösningar.

    Buss på ekvationen
    Kerstin Hagland
    Bara ordet ekvation kan få många, både elever och vuxna, att direkt tänka på något som är svårt och obegripligt. I artikeln presenterar författaren några idéer om hur man skulle kunna avdramatisera detta begrepp i undervisningen. Det finns möjligheter till historisk anknytning och på Nämnaren på nätet finns några relaterade länkar.

    Retorisk-resonerande matematik
    Reza Hatami
    I artikeln diskuterar och exemplifierar författaren relationen mellan retoriskt resonerande och symbolisk matematik. Genom att införa symbolisk matematik utan att förankra den i den retoriska kan arbetet med matematik lätt förlora den så viktiga resonerande aspekten och reduceras till mekanisk tillämpning av algoritmer.

    Geometri i samarbete
    Ingemar Karlsson
    Här beskriver författaren hur geometriundervisning kan genomföras i grupparbete med hjälp av information från internet. Inspirationen kommer från The Cooperative Learning Center vid University of Minnesota.

    Så gör vi i Ovanåkers kommun
    Agneta Persson
    Genom samplanering av skolornas konferensscheman och i samverkan med högskolorna i regionen har Ovanåker hittat en modell för kompetensutveckling som man hoppas ska fungera. Kommunens matematikutvecklare beskriver här processen.

    En bro mellan forskning och vuxenutbildning
    Johan Forssell
    Här presenterar projektgruppen bakom Cormea ett pågående nordiskt projekt. Det syftar till att överbrygga klyftan mellan lärare i matematik och forskare i matematikdidaktik och har ett speciellt fokus på vuxnas lärande. Det vill också medverka till att skapa framtida mötesplatser mellan lärare och forskare och generera nya projekt baserat på vunna erfarenheter.

    Det kom ett brev till Nämnaren: Validering – en rättvisare betraktelse
    Gerd Brandell

    Att dela en triangel
    Jonas Hall
    Lärartävlingen Kappa 2007 engagerade många lärare runt om i landet, se Nämnaren nr 1, 2008. Här är en lösning på en extrauppgift som även finns publicerad på Eduard Baumanns webbplats som ”modified Hall”. Det visar att även en högstadielärare med relativt enkla verktyg, tillgängliga för alla, kan bidra till den matematiska utvecklingen.

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 2, 2009

    Nämnaren nr 2, 2009

    Info i nr 2

    Extramaterial kopplat till numret

    Omslagsbilden: Ormbunkar

    Länkar ...
    ... i nr 2

     
    Vad finns i Nämnaren nr 2?

    TIMSS 2007 – en djupanalys av svenska elevers matematikkunskaper
    Per-Olof Bentley
    Här får den artikel om svenska elevers prestationer i TIMSS 2007 som publicerades i förra numret av Nämnaren en uppföljning. Författaren diskuterar feltyper och ger exempel på svårigheter med areabegreppet.

    Lära genom problemlösning
    Katarina Cederqvist
    Författaren har i ett fördjupningsarbete under en kurs i Lärarlyftet arbetat med temat problemlösning. Hon ställer frågan om man kan utgå från problemlösning vid lärandet istället för att låta problemlösning enbart vara tillämpning av redan inlärda teorier eller underhållande aktiviteter. För att få svar testade hon själv detta arbetssätt på en klass i åk 9.

    Problemlösning med olika representationsformer
    Ulrika Gunnarsson
    Här beskrivs undervisning med problemlösning, där inriktningen på arbetet var att eleverna skulle använda flera olika representationsformer. Arbetet som redovisas i den här artikeln, tog fart efter en kursuppgift i problemlösning inom lärarlyftet. Kursen beskrevs i Nämnaren nr 1, 2009.

    Inspiration från Kina
    Göran Kvist
    I Nämnaren nr 1, 2009 skrev vi om lärarlyftskursen som NCM genomförde 2008. Detta är ytterligare en artikel som härrör från ett fördjupningsarbete under kursen. Här berättar Göran Kvist om sin erfarenhet om att undervisa gymnasiematematik på kinesiskt vis.

    Ämnesprovet för årskurs 3
    I. Ingemansson, A. Skytt & L. Björklund Boistrup
    Under flera års tid har det genomförts nationella prov i grundskolan varje vår, bland annat i matematik. Vårterminen 2009 genomförs för första gången nationella prov i årskurs 3, i matematik, svenska och svenska som andraspråk. PRIM-gruppen vid Stockholms universitet har på uppdrag av Skolverket konstruerat ämnesprovet i matematik. I denna artikel beskrivs kortfattat provets syfte och struktur samt arbetet med att konstruera det.

    Uppslaget: Kalendern
    Uppslaget i detta nummer är en övning som passar som utmaning i grundskolan. Elever som tycker att matematik är roligt och som slukar alla möjliga extrauppgifter får här något att bita i. För de flesta eleverna tar uppgiften ett antal timmar och stor möda att lösa. Uppgiften är lösbar men svår för elever i åk 6 – 7, här kan man verkligen tala om en extrauppgift. Den är en lagom utmaning för elever i åk 8 – 9 med goda kunskaper i matematik. Uppslaget kommer från Tomas Fridström i Åkersberga.

    Laborativa inslag och gripbara bevis
    Mats Ydman
    I Nämnaren nr 2, 2008 inbjöds alla som har goda idéer och erfarenheter från samverkan matematik – slöjd att dela med sig av dem. Mats Ydman på Bäckadalsgymnasiet i Jönköping hörde av sig och berättade om sin undervisning med laborativa inslag och gripbara bevis.

    Interaktiva skrivtavlor – en möjlighet till ökad lust och lärande i matematik?
    Patrik Gustafsson
    FInteraktiva skrivtavlor är på väg mot ett genombrott i Sverige, men leder användandet till en ökad lust och bättre lärande i matematik? I artikeln redogör författaren för ett lyckat försök med areaundervisning med hjälp av en interaktiv skrivtavla. Artikeln får en fortsättning i Nämnaren nr 3. Det finns även kompletterande material på Nämnaren på nätet.

    Geogebra i gymnasieskolan
    Thomas Lingefjärd
    En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser. Författaren har i tidigare artiklar i Nämnaren visat hur Geogebra kan användas i grundskolans matematikkurser och i den här artikeln ges förslag på hur programmet kan användas inom olika delar av gymnasiets matematikkurser.

    Spegling i plan geometri
    Bengt Ulin
    En vanlig spegel presenterar en avbild av oss när vi tittar i den. Vissa geometriska konstruktioner kan kallas speglingar, när ett objekt avbildas på ett annat i relation till ett plan, en linje eller en punkt. Vi får här stifta bekantskap med speglingar i plan geometri. Vi får också exempel på utmanande problem.

    Motivation för matematik
    Mikaela Thorén
    Författaren ger här en bild av vilka faktorer som kan påverka elevers motivation för att lära matematik. Artikeln bygger på författarens examensarbete som belönades med 2008 års Göran Emanuelsson-pris.
    Matematikbiennalen 2010
    K. Larsson, K. Kjellström & N. Larson
    Kängurusidan
    Anders Wallby & Ulrica Dahlberg
    Reportage från olika skolor som genomförde Kängurutävlingen 2009.

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 2, 2010

    Nämnaren nr 2, 2010

    Info i nr 2

    Extramaterial kopplat till numret

    Omslagsbilden: Blockering

    Länkar ...
    ... i nr 2

    Rättelse
    I artikeln "10 sätt att göra bråk levande" har det smugits in ett fel. På sid 41, åttonde raden, jämförs bråken 3/8 och 5/8, det ska i stället vara 3/7 och 5/8.

      Vad finns i nr 2?

    Hur gick det?
    Ämnesprov i matematik för årskurs 3, 2009

    Astrid Pettersson & Anette Skytt
    Under våren 2009 genomfördes för första gången nationella ämnesprov i matematik och svenska för årskurs 3. E ftersom det var första gången var det en utprövningsomgång. Denna artikel bygger på en sammanställning av resultaten från provet som finns på Skolverkets och PRIM-gruppens hemsidor. Ä mnesprovet i matematik beskrevs i Nämnaren 2009 (2).

    Utvärderingar av satsningen på matematikutvecklare
    Anders Palm & Elisabeth Rystedt
    Satsningen på kommunala matematikutvecklare har pågått i snart 3,5 år. Vad har hänt?

    Utmaningen
    Carina Holm
    I gymnasiets yrkesprogram kan matematiken integreras i yrkesämnena. Läs om ett lyckat arbete med byggelever, ett arbete som tilldelades Nämnarens stipendium för bästa idéutställning på matematikbiennalen 2010.

    Så arbetar vi på Freinetskolan Mimer
    Ann S Pihlgren & Elisabeth Wanselius
    Kungl. vetenskapsakademin delade i år ut Ingvar Lindkvistpriset i klassen matematik till en av författarna. Här får vi ta del av lektioner och det utvecklingsarbete som lett fram till dem.

    Subtrahera utan att kunna addera
    Ulf Persson
    Kan man verkligen subtrahera något som inte låter sig adderas? I denna betraktelse får vi fundera på vad vi egentligen gör när vi beräknar tidsintervall. Vi får också fundera på betydelsen av olika konventioner som vi har för datering. Varför har vår tionde månad oktober ett namn som tyder på att det är den åttonde och varför det just är februari som har 28 dagar?

    Fram och tillbaka och tvärsom
    Pesach Laksman
    Det förekommer ibland ”onödiga” beräkningar och här följer några exempel på detta. Diskutera lösningarna på problemen. Finns det alternativ? Kan två räkneoperationer ta ut varandra? Får man förkorta?

    Ta med bilen till klassrummet
    Marianne Rönnbom
    Artikelförfattaren berättar hur studiet av bilars registreringsnummer under barndomen senare ger uppslag för innehåll i matematikundervisningen. Många av de förslag på framgångsfaktorer som skrevs fram i rapporten Lusten att lära sammanfaller med det beskrivna arbetssättet.

    Uppslaget: På parkeringsplatsen

    Vindens dag
    Danmarks matematiklärarförening beslutade efter klimattoppmötet i Köpenhamn 2009 att försöka bidra till skolornas deltagande i debatten om jordens klimat och samhällets energiförsörjning. För detta ändamål tog man fram undervisningsmaterialet och evenemanget Vindens dag.

    Tio sätt att göra bråk levande
    Doug M Clarke, Anne Roche & Annie Mitchell
    I denna artikel presenteras några förslag på hur vi kan arbeta med bråk så att det inte bara handlar om att utföra beräkningar utan också leder till djupare förståelse för rationella tal.

    Skilda lösningar på ett självdifferentierande problem
    Niclas Larson
    En självdifferentierande uppgift kan angripas på olika sätt, den differentierar arbetet. Utgående från rika problem får vi här se hur en sådan uppgift lösts av elever och att de i sina lösningar visar olika kunskapsnivåer.

    Procesorienteret opgaveløsning i matematik
    Annette Lilholt & Karsten Enggaard
    Att kunna kommunicera med och om matematik är både ett mål med matematikundervisningen och ett sätt att arbeta matematiskt för att utveckla sitt matematikkunnande. Ett processorienterat arbetssätt passar bra för detta. I denna danska artikel behandlas några aspekter av sådant arbete. En kortare sammanfattning på svenska finns.

    Matematik och vuxna – rapport från en konferens
    Lars Gustafsson
    I november 2009 anordnade Vuxenutbildning i samverkan (ViS), NCM och Åsö vuxengymnasium en konferens med rubriken Problemlösning och vuxnas matematiklärande. Vi får här ett kort referat från konferensen med en avslutande reflektion över dagsläget för matematikutbildning för vuxna.

    Ta till en tabell
    Kerstin Hagland
    Tabeller används traditionellt som stöd för minnet, men de kan även utgöra ett bra verktyg vid problemlösning. Med hjälp av en tabell kan man systematiskt undersöka givna uppgifter, hitta matematiska mönster och därmed förenklingar och generaliseringar. Här presenteras några exempel på detta. Fler liknande problem återfinns på Nämnaren på nätet.

    Vi har läst

    Kängurusidan

    Problemavdelningen

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 2, 2011

    Nämnaren nr 2, 2011

    Info: nr 2
    Extramaterial kopplat till numret

    Om omslagsbilden

    Länkar i nr 2

     

    Vad finns i nr 2?

    Det handlar om mönster
    Anette Jahnke

     

    Olivias klänning
    Cecilia Nyström
    Barnen i en förskoleklass har utvecklat sin uppfattning om mönster. Från att se mönster som enbart dekoration har de fått hjälp att se att mönster också kan vara något som upprepas regelbundet.
     
    Talmönster från början
    Lene Christensen
    Redan i tidiga skolår kan elever undersöka mönster. I denna danska artikel får vi flera exempel på hur man kan få in talmönster i klassrummet med hjälp av bildserier, rörelser, tabeller och modellering.
     
    Från Fibonacci till algebra
    Per Berggren
    I denna artikel beskrivs hur elever i sitt möte med Fibonacci-serier själva börjar efterfråga algebra som ett verktyg vid problemlösning. Efter hand blir de allt mer medvetna om att de använder sig av ett algebraiskt tänkande även då de möter andra problem.
     
    Mönster i Fibonaccis talföljd
    Mogens Hestholm
    Som matematiklärare blir man extra glad när ens elever blir fascinerade av matematik. Här får vi följa en norsk elevs resonemang om mönster i Fibonaccis talföljd. Han gjorde spännande upptäckter då han undersökte hur talföljden ter sig grafiskt.
     
    Okända skrymslen i Pascals triangel
    Michael Naylor
    Pascals triangel, som har varit känd av indiska, persiska, arabiska och kinesiska matematiker i mer än tusen år, fick sitt nuvarande namn i mitten av 1600- talet då den återupptäcktes av den franske matematikern och fysikern Blaise Pascal. Kan triangeln utvidgas till att också rymma negativa rader? Vart leder i så fall det? Följ med författaren på en hisnande resa in i triangelns mer okända skrymslen.
     
    Talet 41 – dolda mönster och en överraskande egenskap
    Torgeir Onstad
    Om ett femsiffrigt tal är delbart med 41 så är de femsiffriga tal som bildas vid cyklisk omflyttning av siffrorna också delbara med 41. Hur kan det komma sig? Här följer en undersökning av talmönster som leder till oväntade upptäckter. Artikeln kommer från Nämnarens norska syskontidskrift Tangenten.
     
    Mönsterproblem i dubbel bemärkelse
    Astrid Karlsson
    Med utgångspunkt i det rika problemet ”Stenplattor” synliggörs skillnader i elevers lösningar och hur problem som behandlar mönster kan leda in eleverna i ett algebraiskt tänkande.
     
    Matematik i kubik
    Maria Wærn
    I denna artikel beskrivs ett problem som är tänkt för gymnasieelever. Det är möjligt att låta grundskoleelever, ganska långt ner i åldrarna, arbeta med problemet men de behöver då mer hjälp med de generella resonemangen.
     
    Uppslaget: Grodhopp


    Om omslagsbilden: Polycyttaria
    Anton Thorsson


    Stjärnmönster
    David Fielker
    Från den danska Matematik kommer denna artikel som behandlar mellanrummen som uppstår när vi lägger stjärnor intill varandra. Olika antal spetsar på stjärnorna och olika sätt att placera dem ger upphov till olika former på hålen. Hur ser mönstren ut? Vilken roll spelar vinklarnas storlek?
     
    Det finns mer på nätet

    Tatamimattor som mått
    Gert M Hana
    I denna artikel som vi fått från norska Tangenten, behandlas ett traditionellt sätt att inreda japanska hus. Med utgångspunkt i en annan kultur kan vi utveckla förståelsen för vad det innebär att mäta area och betydelsen av areaenheter. Texten kan vara utgångspunkt för exempelvis undersökningar av storleken på golvet i klassrummet och i elevernas hem, för arbete i bild, för beräkningar av areor med olika enheter och för diskussion om betydelsen av standardiserade måttenheter.
     
    Räkning – en kul historia
    K. Larsson & N. Larson
    Att arbeta med att synliggöra olika talsystem öppnar möjligheter att beakta ett (kultur)historiskt perspektiv på matematiken. Författarna ger konkreta exempel på hur en medveten variation av skilda talsystem i undervisningen också bidrar till elevers förståelse av vårt tiobassystem.
     
    Det cirklar runt cirklar
    B. Bergius & L. Emanuelsson
    Genom att utmana elevernas fantasi och upptäckarglädje via olika uppdrag, ges eleverna möjlighet att känna igen cirklars egenskaper, utveckla sitt språk och använda sitt kunnande vid problemlösning. Elevers erfarenheter och tankar tas på allvar och ses som viktiga byggstenar i lärandet.
     
    Matematik i kulturens tecken
    Matematikbiennal i Umeå 26 – 27 januari 2012
     
    Får vi presentera de nya Strävorna ...
    PISA 2009 – resultatet i matematik
    I. Ingemansson & A. Pettersson
    Denna artikel behandlar resultaten i matematik för PISA-undersökningen, som genomfördes våren 2009. Liksom år 2000 var huvudområdet läsförståelse. I artikeln behandlas också vad det innebär att vara matematiskt litterat samt de skilda syften som PISA och våra ämnesprov har.
     
    Bedömning av kompetenser
    H. Skagerlund & T. Vegerfors
    Denna artikel är en bearbetning av ett examensarbete som fick Göran Emanuelssonstipendiet 2010. I undersökningen har några lärares beskrivningar av sin bedömning samt deras prov analyserats med avseende på matematiska kompetenser. Resultatet har sedan jämförts med en motsvarande undersökning av Skolverkets diagnosmaterial Diamant. Hela arbetet finns tillgängligt på Nämnaren på nätet.
     
    Lite digitalromantiskt godis
    Bengt Ulin
    Inspirerad av ett föredrag fortsätter Bengt Ulin att här inspirera till rolig och undersökande algebraundervisning utifrån ett bilnummer.
     
    Kängurusidan
    Kängurudag på förskolan Fjärilen i Kungsbacka.
     
    Problemavdelningen
     
    Pedagorien
     

    Se också innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 2, 2012

    Nämnaren nr 2, 2012

     

    Vad finns i nr 2?

    Bengt Johansson professor i matematikämnets didaktik
    Göran Emanuelsson & Lars Mouwitz
    NCM:s föreståndare har utsetts till Göteborgs universitets förste professor i matematikämnets didaktik.

    Matematikbiennalen 2012
    Den 26–27 januari genomfördes den 17:e matematikbiennalen. Umeå universitet var, första gången i biennalens historia, värd för arrangemanget ...

    Information från NCM – Mäta i förskolans läroplan
    Elisabet Doverborg
    Syftet med matematikarbetet i förskolan är att genom lust och glädje engagera barn
    i grundläggande aktiviteter om exempelvis tal, geometri och mätning. I vår informationsserie om förtydligandet av förskolans läroplan kommer vi här att lyfta fram mätning ...

    Hedda mäter
    Ola Helenius
    Barn lär sig mäta när de deltar i sammanhang där mätning har en central roll. Att mäta växter som växer är fängslande. I artikeln möter vi Hedda som tar hjälp av vinkelhake, linjal, tumstock och kartongark när hon ska mäta sina växter och dokumentera tillväxten.

    Begreppsbubblor
    Karin Andrén & Matilda Östman
    Författarna har arbetat med en serie bilder som kallas begreppsbubblor och funnit att en genomtänkt undervisning med dessa kan synliggöra vanliga missförstånd. Eleverna pratar matematik och de stimuleras till diskussion, argumentation och laboration. Undervisningen är lärarledd och alla elever ges möjlighet att utveckla sina förmågor.

    Meningsfull matematik genom verkliga problem
    Bertram Stenlund Fridell & Martin Snickars
    En alltför läroboksstyrd undervisning och elever som ifrågasatte nyttan med den matematik som de jobbade med på lektionerna, gjorde att författarna ville utveckla ett alternativt arbetssätt. Effekterna av att presentera problem i korta filmer blev större än vad de hade förväntat sig.

    Lika och olika långa sträckor på geobrädet
    Pesach Laksman
    Geobrädet ger möjligheter att arbeta med tal, såväl heltal som irrationella tal. Man kan visa att sträckor mellan punkter kan vara lika eller olika långa med hjälp av Pythagoras sats. Här ges förslag på hur man kan arbeta med sträckor och även med en elevs upptäckt.

    Vad varje matematiklärare borde kunna – Geogebra för nybörjare
    Jonas Hall & Thomas Lingefjärd
    Här ges i tre enkla och tydliga steg en handledning för de lärare som vill börja använda Geogebra i sin undervisning. Exemplen är från gymnasiet men artikeln kan läsas av alla lärare som undervisar i matematik.

    Blomstrande matematik med digitala imitationer
    Juan Parera-Lopez & Tâm Vũ
    Digitala verktyg kan i gymnasiets högre kurser öppna möjligheter för ett kreativt arbete med trigonometriska funktioner. Här får vi exempel på hur växter kan modelleras i polära koordinatsystem.

    Ett mentorprojekt för gymnasieelever i Luleå
    B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wall
    Hur får vi fler gymnasieelever intresserade av att börja läsa matematik vid universitetet? Den frågan har många matematiklärare länge grubblat över. Vid Luleå tekniska universitet, LTU, stannade inte frågan vid grubblande utan konkreta planer sattes i verket genom ett mentorprojekt som påbörjades 2009. En fullständig rapport finns att hämta på Nämnaren på nätet.

    Uppslaget: Algebra-sudoku
    Per Berggren
    För många elever i grundskolan är algebra ett förvirrande avsnitt i matematikundervisningen. Genom läroböckerna ställs de snabbt inför uppgifter som handlar om att skriva uttryck eller att förenkla uttryck, formuleraekvationer till problem och lösa ekvationer av typen 3x + 4 = 2x – 2. Detta ger få ledtrådar till vad algebra är. Det vore önskvärt om eleverna fick närma sig algebra mer strukturerat.

    Gunga med Galileo – matematik för hela kroppen
    Ann-Marie Pendrill
    På en lekplats eller i en nöjespark finns möjlighet att påtagligt uppleva begrepp från fysik och matematik med den egna kroppen. Med hjälp av tidsmätningar kan man få förståelse för gungans pendelrörelse och även en matematisk modell. Innehållet presenterades på Matematikbiennalen i Umeå.

    Länkstenen
    Calle Flognman
    Genom att använda marksten kan elever få lösa verkliga matematikproblem som de tidigare inte har mött. Detta undersökande arbetssätt kan väcka elevernas engagemang och ger även läraren möjlighet att ställa sig frågan Vilka förmågor kommer till uttryck när de redovisar sitt arbete?

    Praxisnära forsknings- och utvecklingsarbete
    Attila Szabo & Sanna Wettergren
    Stockholms stad erbjöd från januari 2010 till december 2011 sina lärare att arbeta med praxisnära utvecklingsarbete. En uttalad strävan var att ta tillvara lärarnas professionalitet för att utveckla undervisningen. Tillsammans med tolv forskare och forskarstuderande från Stockholms universitet arbetade 37 lärare, varav 12 matematiklärare, i ett antal nätverk kring ämnesdidaktiska utvecklingsfrågor.

    Har introduktionsordningen någon betydelse?
    G. Axelsson, K. Hedberg, J. Svahlin & U. Westfelt
    Går det att förebygga svårigheter med att förstå geometri om begrepp införs i en annan ordning än den som är vanligt förekommande? Det ville artikelförfattarna undersöka genom undervisningen i sin förskoleklass.

    Språkets betydelse för invandrarelever – är det språket eller matematiken?
    M. Akgün, S. Hersen, D. Petrovic & E. Yousef
    Varför har svenska grundskoleelever med utländsk bakgrund sämre resultat i matematik än infödda? Denna fråga blev utgångspunkt för den undersökning som fyra matematik- och modersmålslärare har gjort med elever i årskurs 8 och 9.

    Undervisningen har betydelse – elevers kunskaper om algebraiska uttryck
    M. Däcker, F. Hollsten, E. Kaminski & L. Rådvall
    Inom ramen för Stockholmsprojektet har fyra lärare på högstadiet och gymnasiet undersökt hur elever hanterar algebraiska uttryck och hur dessa färdigheter utvecklas av undervisningen.

    Vi har läst

    Kängurusidan
    Torsdagen 15 mars deltog alla elever på friskolan Metis i Skara i Kängurutävlingen. Nämnaren besökte tre klasser.

    Problemavdelningen
    Göran Emanuelsson
    Problemen här handlar om att bli vän med talen. Uppmuntra eleverna att resonera med varandra kring olika lösningar och att diskutera hur de tänker. Ofta är det bra att lösa liknande problem där talstorlekarna ökas eller minskas för att ge rätt utmaningar beroende på elevernas kunskaper eller för att testa och lära sig en framgångsrik strategi.

    Matematiksatsningen 2009 –2011: Information från Skolverket
    Anders Palm
    Mot bakgrund av TIMSS-resultaten 2007 och Skolverkets nationella utvärdering av grundskolan (NU 03) tog regeringen initiativ till ett skolutvecklingsprojekt, Matematiksatsningen, där kommuner och fristående skolor gavs möjlighet att ansöka om bidrag för att förstärka sitt utvecklingsarbete kring en förbättrad matematikundervisning i grundskolan och motsvarande skolformer.

    Bra öppna frågor engagerar
    Lotta Hovne & Anki Gomér Jonasson
    Öppna frågor ger alla elever möjlighet att utveckla förmågor som att resonera och lösa problem. Eleverna kan i de öppna frågeställningarna även visa vilka kunskaper de redan har erövrat.

    Matematikutmaningen – en satsning på duktiga och intresserade elever i åk 9
    Ann-Sofie Solman & Tina Åkegårdh
    Skaras matematikutvecklare berättar om ett påbörjat projekt som senare fick medel till en fortsättning från Matematiksatsningen.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 2, 2013

    Nämnaren nr 2, 2013

     

    Vad finns i nr 2?

    Barn möter matematik i leken
    Anna Kärre
    I artikeln ger en förskollärare exempel på hur hon och hennes kollegor använder barnens spontana lek för att uppmärksamma dem på matematik genom att ställa nyfikna och utmanande frågor. Att fånga dessa tillfällen, utan att ha planerat för dem i förväg, krävs kunnande om förskolans matematik.

    Ingalunda – inte bara en ö
    Anna Hedlund
    På Svejserdalens förskola är de estetiska lärprocesserna centrala delar i verksamheten. Under ett helt år fick boken Tre droppar regn ge inspiration till avdelningen Kullerbyttan, där det fanns barn i åldrarna 3 till 6 år. Barnen lekte och byggde med utgångspunkt från en av bilderna i boken. De använde sina kroppar för att skaffa sig erfarenheter av rum, läge och avstånd. När de ritade och byggde fick de uppleva att vi kan betrakta något ur olika perspektiv.

    Är du redo för Matematiklyftet?
    Anette Jahnke
    När vi njutit av en efterlängtad sommar och är redo att starta upp igen i augusti väntar Matematiklyftet för många lärare. Samtal inleds i lärargrupper med stöd av både nytt material och kunniga handledare kring matematikundervisning som skett, sker och kommer att ske. I artikeln beskrivs Matematiklyftets uppläggning och mål.

    Matematiklyftet har prövats ut
    Berit Bergius, Ulrica Dahlberg, Karin Wallby
    I höst startar huvudomgången av den stora satsningen Matematiklyftet. Under läsåret 2012–2013 har modellen prövats av 316 lärare och 31 handledare på 33 grundskolor. Dessa har arbetat med modulerna inom området Tal och tals användning. NCM har utvecklat innehållet i provomgångens moduler och har också följt arbetet på några skolor. Erfarenheterna från utprövningen är värdefulla för utvecklingen av Matematiklyftet.

    Sagt & gjort: 100-dagarsdagen
    Kerstin Åkerlöf Hartog
    Från första dagen på höstterminen har alla 102 ettor i Skarpnäcks skola räknat skoldagarna. Varje dag fick ett eget tal och vi har illustrerat dagens tal på flera sätt. Vi plastade in ett A4-ark med tre utskurna rektanglar för ental, tiotal och hundratal, som vi satte på tavlan. För varje dag satte vi ett streck och skrev dagens tal.

    Även kvadraten är en rektangel
    Åsa Brorsson
    Vad innebär det att arbeta med geometriska objekt och deras egenskaper i årskurs 1–3? Hur kan vi använda det centrala innehållet i geometri för att utveckla de matematiska förmågorna som lyfts fram i Lgr11? Här berättar författaren hur hon gör för att utveckla sina elevers kunskaper i geometri.

    Tystnad – ett didaktiskt verktyg i matematikundervisningen
    Bengtsson, Bertilsson, Grundström, Järvstråt, Samuelsson & Björklund Boistrup
    Här redovisas ett forskningsprojekt som genomförts av fyra lärare tillsammans med två forskare i matematikdidaktik. Författarna beskriver varför studien genomförts, vad som studerats och hur de arbetat. Resultatet handlar dels om vilka svar de fått på sina frågeställningar, dels om hur deltagarna har utvecklats som lärare. Avslutningsvis görs några reflektioner som författarna hoppas ska inspirera andra som vill arbeta på liknande sätt.

    Skogen som klassrum
    Märta Berg & Birgitta Sang
    Nyfiken på att utvidga klassrummet? Följ med en utomhuspedagog till skogen. Här beskrivs ett projekt som gett lärare och fritidspedagoger möjlighet till fortbildning i hur skogen kan användas i undervisningen.

    Vi har läst

    Uppslaget: Tal kors och tvärs

    Inför Matematikbiennalen 2014
    Projektgruppen för Matematikbiennalen 2014

    Alla dessa möjligheter – kombinatorik och resonemang
    Karin Landtblom
    I denna artikel diskuteras övningar i kombinatorik. Vilka tankegångar kan väckas vid arbete med dem och hur kan eleverna resonera? Idéer presenteras om hur observationerna i kombinatorikövningarna också kan leda till resonemang om sannolikhet. Parallellt ges även förslag på IKT-stöd med interaktiv skrivtavla och länkar till undervisningsmaterial.

    En jämförelse av skolkulturer
    Natalia Karlsson & Wiggo Kilborn
    I denna artikel jämförs svenska och ryska kursplaner. Syften, förmågor och centralt innehåll diskuteras. Författarna menar att den vaga skrivningen av kursplanen i Lgr 11 inte ger lärare tillräckligt stöd för att skriva lokala arbetsplaner, något som i sin tur kan leda till otydliga mål för undervisningen och dålig kontinuitet från förskoleklass till gymnasiet.

    Hitta de superrika talen
    Håkan Lennerstad
    Tal kan inte bara vara jämna, udda, positiva eller negativa. De kan även vara perfekta, fattiga eller rika. Vi får här gå på upptäcksfärd bland de superrika talen. Vad utmärker dessa, hur många är de och hur finner man dem?

    Kängurusidan
    Zarah Lellky Palmqvist, Aezam Ghaemi & Merita Selmani

    Visst kan man faktorisera x^4+1
    Per-Eskil Persson
    Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare på gymnasiet. Vi får här ta del av hur man med hjälp av lättillgängliga datoralgebrasystem, appar och nätresurser kan erbjuda elever vägar till förståelse och färdigheter i polynomfaktorisering.

    Problemlösning som en del i matematikundervisningen
    Alma Gullbrand
    Problemlösning i matematikundervisningen har under de senaste decennierna varit ett aktuellt ämne. Forskare från olika delar av världen har visat att arbete med matematiska problem främjar elevernas lärande och i Sverige är problemlösning en viktig del i kursplanen för matematik. Alma Gullbrand presenterar här resultaten från sin uppsats, en studie som belönades med förra årets Göran Emanuelsson-stipendium.

    Problemavdelningen
    Leo Rubinstein

    Att inte tvingas avsluta halvvägs för att rusa till lektion
    Clas Asp
    Åtta matematiklärare på Slottskolan i Borgholm har genomfört ett projekt som inleddes med en enkät om elevernas syn på matematik. Videoinspelning och besök på varandras lektioner gav perfekta underlag för pedagogiska diskussioner. De lokala arbetsplanerna har utvecklats till hjälp för att göra undervisningen mer varierande.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 2, 2014


     

    Ann Heirdsfield
    Att knyta forskning till praktik – huvudräkning och taluppfattning
    Denna artikel med ursprung i Australien redovisar ett projekt där en forskare, författaren, och två lärare samarbetade. De använde resultat från forskning och omsatte det till konkret klassrumspraktik med syfte att eleverna skulle utveckla huvudräkningsstrategier och en god taluppfattning.


    Barbro Grevholm
    Begrepp i kartor eller bubblor?
    Begreppsförståelse är grundläggande för att elever ska erhålla ett gott matematikkunnande. Här beskriver författaren likheter och skillnader mellan tankekartor, begreppskartor och begreppsbubblor. Hon diskuterar också deras styrkor och svagheter samt hur de kan användas i undervisningen.


    Cecilia Kilhamn
    Tallinjen som ett didaktiskt redskap
    För att elever ska kunna dra verklig nytta av en tallinje i sitt matematiklärande behöver de få undervisning om hur den kan användas både som en modell av talen och som ett stöd för tänkande och matematiska resonemang.


    Karin Landtblom
    Läget? Tja, det beror typ på vad du frågar efter
    I förra numret av Nämnaren beskrev författaren några problem som elever kan ställas inför då det handlar om medelvärde och median. Här följer en fortsättning där lägesmått och spridningsmått kommer än mer i fokus.


    Anders Lotsson
    Miljard eller biljon?
    Det svenska språket är inte alltid så entydigt, inte ens när det kommer till matematikens domäner. Vad menar vi när vi säger en biljon? Läs mer här om det och andra stora tal. Artikeln har tidigare publicerats i Språktidningen nr 8, 2013.


    Berit Bergius & Lena Trygg
    Uppslaget: Position – vad innebär det?
    Detta Uppslag handlar om två skilda saker. Dels tar innehållet upp rumsuppfattning där position är ett betydelsefullt inslag och dels beskrivs en förändring som håller på att införas i Strävorna.


    Oskar Cervin & Isak Holmquist
    Matematik i musiken
    Musiken från hörlurarna, bullret från gatan och rösten från rummet intill, alla är de ljud och alla kan de beskrivas matematiskt. Särskilt musik kan enkelt och tydligt formuleras med hjälp av matematik, och det finns tydliga samband mellan vad som är välljudande och inte. Här delar två gymnasieelever med sig av sitt arbete i gränslandet mellan matematik och musik.


    Bengt Ulin
    Galilei och musiken
    I Nämnaren 2012:2 finns en artikel med rubriken Gunga med Galileo. Artikeln utgår från Galileis upptäckt att svängningstiden för en pendel är oberoende av utslagsvinkeln, om denna inte är särskilt stor. Forskning av Stillman Drake har visat att Galilei med stor sannolikhet begagnade sång när han inledde de experiment som ledde till den banbrytande formeln för likformigt accelererad rörelse. Ulin utvecklar detta i sin artikel.


    Alan Schoenfeld
    Summativ bedömning och formativ klassrumspraktik
    I USA pågår ett arbete som kan leda fram mot en nationell kursplan. En viktig del i det arbetet är att främja en formativ klassrumspraktik. Vi kan känna igen resonemangen i de diskussioner vi för om de matematiska förmågorna.


    Tommy Lucassi
    En formativ dialog med elever
    Att göra eleverna delaktiga i den formativa processen kan ge många positiva effekter, inte minst att de blir varse sitt eget lärande. Här beskriver en lärare sitt arbete med att låta eleverna delta i bedömningen, ett arbete som lyfter såväl elevernas som lärarens kommunikativa förmåga.


    David Taub & Harald Raaijmakers
    Socrative för matematiklärare – erfarenheter från användare
    Socrative är ett elevresponssystem som kan bidra till att utveckla matematikundervisningen. Systemet är enkelt att använda och uppskattas av eleverna. Författarna delar med sig av sina erfarenheter och förklarar hur de använder det i klassrummet. En fördel är att man inte är beroende av ett visst verktyg utan det fungerar med såväl datorer och surfplattor som smarta mobiltelefoner.


    Jonas Hall & Thomas Lingefjärd
    Differentialekvationer och komplexa tal med GeoGebra
    Författarna som vid det här laget är väl kända för Nämnarens läsare ger här ytterligare konkreta förslag på hur GeoGebra kan användas i matematikundervisningen. Denna gång berör matematikinnehållet de senare kurserna i gymnasieskolan.


    Anders Karlsson & Svetlana Yushmanova
    Visuell matematik
    Det finns generella problem i matematikundervisningen som tycks löpa över tid. Två gymnasielärare frågade sig vad de kunde göra och berättar här hur de försöker förbättra möjligheterna att komma tillrätta med problemen genom att kombinera erfarenheter från sin egen undervisning med IKT.


    Vi har läst
    Fritidshem – Matematik i aktiviteter och vardagliga situationer, Anna-Lena Lindekvist
    Med matematiska förmågor som kompass, Lisen Häggblom
    Innehåll i behov av särskilt stöd – erfarenheter från lesson/learningstudies i matematik, Margareta Enoksson
    Developing essential understanding of statistics – grades 9–12, National Council of Teachers of Mathematics


    Susanne Gennow
    Kängurusidan
    2014 års Kängurutävling är genomförd och vi hoppas att problemen har uppskattats av både elever och lärare. Nu återstår det roliga arbetet med att ta upp problemen i undervisningen och låta eleverna resonera om lösningsmetoder. Använd förslagen i Arbeta vidare eller egna idéer. Om det inte räcker tar vi här upp några av de problem som hade valts ut i det internationella arbetsmötet men som vi inte använde i någon av våra tävlingsklasser.


    Leo Rubinstein
    Problemavdelningen: Siffervågor
    Att räkna med stora och små tal med lagom precision har länge varit matematikkunnande med breda tillämpningsområden. Att undersöka mycket stora heltal utan att göra avkall på precision motiverades i äldre tider med talens magiska egenskaper och med djupa sanningar dolda i talen. I Problemavdelningen finns några problem som kretsar runt tal i decimalform och som kan lösas utan användning av avancerad talteori.


    Anette Jahnke
    Ett läsår med Matematiklyftet – är du redo att fortsätta?
    Det som bland annat upptar författaren, som är projektledare för NCM:s arbete med Matematiklyftet, är hur vi gemensamt finner former för att fortsätta utveckla undervisningen i matematik nästa år. Och nästa år. Hur får vi till ett hållbart utvecklingsarbete som även inkluderar andra områden och ämnen i skolan? Målen i Matematiklyftet är höga; att vidareutveckla undervisnings- och fortbildningskulturerna, vilket i slutändan ska ge högre måluppfyllelse. Ordet ”kultur” indikerar att det kommer att ta tid.

    Nämnaren nr 3, 2007

    Nämnaren nr 3, 2007
     
    Vad finns i Nämnaren nr 3?

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Länkar i nr 3 ...

    Nämnaren nr 3, 2008

    Nämnaren nr 3, 2008

    Info i nr 3

    Extramaterial kopplat till numret

    Omslagsbilden: Trumpet

    Länkar ...
    ... i nr 3

    Rättelse
    I artikeln "Även mästare kan fela" har det smugits in ett fel. I första stycket under rubriken "Ett långt kliv framåt i tiden" står det i parentesen 8,2 i stället för 7 enheter. Det ska stå 8,6 i stället för 7 enheter.

     
    Vad finns i Nämnaren nr 3?

    På tredje plats i mitten
    Katarina Brännström & Åsa Pesula
    Personalen på Karungi förskola arbetar med barnens känsla för lägesbegrepp med hjälp av sånger, teckningar och andra material. Med fokus på matematik kan de utmana barnen i vardagens lek.

    Problemlösning med resultat
    Ola Helenius
    Anette Sternefors var lärare i en klass som presterade mycket bra på Kängurutävlingen 2007. Nämnaren har träffat henne och diskuterat hennes undervisning som bland annat innnehåller mycket problemlösning.

    Alla dessa IG – kan dyskalkyli vara förklaringen?
    Gunnar Sjöberg
    Vad säger forskningen om elever som har svårigheter med matematik? Författaren gör några reflektioner utgående från det egna avhandlingsarbetet och anser bl a att ytterligare forskning krävs för att få en tydlig definition av begreppet dyskalkyli. Han argumenterar också för att man bör utreda en rad andra orsaker till en elevs matematiksvårigheter innan diagnosen dyskalkyli ställs.

    Konkretion av matematik i de senare årskurserna
    Frida Wirén & Åsa Hammarlund
    Två matematiklärare i Helsingborg erhöll 2005 ett Gudrun Malmer-stipendium. Här beskriver de hur ett nytt laborativt arbetssätt växte fram i deras undervisning. Arbetet ledde också till att de fick ett Nämnarenstipendium på Matematikbiennalen 2008.

    Elever med särskilda förmågor
    Linda Mattsson & Paul Vaderlind
    Här är en rapport från en internationell konferens kring undervisning av elever med särskilda förmågor och fallenhet i matematik.

    Den kinesiske bonden och hans skatt
    Andreas Hernvald
    Hur kan ett klassiskt problem om tillväxt användas i klassrummet? Författaren har använt uppgiften för grupparbete i en åk 8. Han ger även förslag på hur arbetet kan utvecklas.

    Geometri med snöre
    Pesach Laksman
    Vilket samband råder mellan omkrets och area för de enkla geometriska formerna triangel och rektangel? Vi får här ta del av ett sätt att arbeta sig fram till vissa resultat med en laborativ metod.

    Uppslaget: Laborera med rektanglar
    Stefan Löfwall
    Uppslaget kommer från Stefan Löfwall vid Karlstad universitet. Läs också artikeln Geometri med snöre på s 28–31.

    Något man vänjer sig vid
    Sten Kaijser
    Efter pensioneringen från tjänsten som professor i matematik är Sten Kaijser tillbaka i skolan. Med erfarenheter från sin egen utbildningstid och efter mötet med dagens skola reflekterar han över några frågor om lärande i matematik. Hur lär man sig matematik? Vad innebär det att förstå och kan man verkligen förstå allt inom matematik?

    Missuppfattningar i algebra
    problem för läraren eller eleven?

    Anders Palm
    Elevers kunskaper i algebra vid övergången från grundskola till gymnasieskola är ett område som diskuteras flitigt. Författaren, som är matematiklärare på gymnasiet, tycker sig se samma missuppfattningar år från år. Författaren redogör för några vanligt förekommande missuppfattningar samt hur de kan uppfattas beroende på vilken didaktisk utgångspunkt lärare har.

    Varför misslyckades det?
    Tine Wedege
    I den verksamhetsförlagda tiden i utbildningen, VFT, hamnade Anders och Mikkel i samma situation som andra lärarstuderande. Deras föreställningar om en ny undervisning visade sig vara svår att realisera. Då de försökte med utforskande matematik upplevde de motstånd från både elever och lärare. I en kritisk återblick på praktikperioden kom de fram till en teoretisk förståelse för svårigheterna.

    Även mästaren kan fela – en historisk uträkning
    Björn Leonardz
    Hur bedömer man ett slutresultat och hur avgör man om det är rimligt? Är inte dessa frågor rentav ännu viktigare i dag än när den här berättelsen utspelade sig?

    Debatt: Gymnasieskolans matematik
    Gerd Brandell
    Här fortsätter diskussionen om kursinnehållet i gymnasieskolans matematik. Vad är syftet med matematik i skolan?

    DPL 38: Heureka!
    Lars Mouwitz

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 3, 2009

    Nämnaren nr 3, 2009

    Info i nr 3


    Extramaterial kopplat till numret

    Omslagsbilden: Radiolarier

    Länkar ...
    ... i nr 3

      Vad finns i nr 3?

    Kunskapsöversikterna
    J. Boesen, G. Sterner, I. Lundberg, G. Dippe
    Här ges en kort presentation om två av de fem forskningsbaserade kunskapsöversikter som tagits fram på NCM. Områdena behandlar dyskalkyli och fortbildning på distans.

    Förskolans yngsta utforskar
    I. Gunnarsson & C. Thempo
    Här beskrivs ett arbete i en grupp med barn i åldrarna 1–2,5 år. Arbetet har tagit sin utgångspunkt i en bilderbok om två harar. Grundläggande begrepp har undersökts på flera olika sätt. E n intressant iakttagelse görs om hur barnens tänkande kring föremål påverkas av den egna relationen till föremålen.

    Subtraktion i läromedel för årskurs 2
    Susanne Frisk
    Elever kan uppleva subtraktion som svårt när de möter det i skolan. Här kategoriseras olika situationer eller problem som leder till en subtraktion och läromedel analyseras med avseende på dessa kategorier.

    Analysschema i förändringstider
    L. Björklund Boistrup & M. Nordlund
    Det har skett några förändringar i ”Analysschema i matematik. För användning före årskurs 6”. Här beskrivs dessa förändringar. Dessutom diskuteras betydelsen av att ge eleverna återkoppling och hur analysschemat kan användas i det syftet.

    Kris i skolan eller i skolpolitiken?
    Daniel Pettersson
    I ett par nummer har de svenska resultaten i TIMSS diskuterats. Här ges en kort bakgrund till internationella kunskapsmätningar, deras ursprung och syften.
    Summaspelet– ett spel för lärande i sannolikhet
    Per Nilsson
    Summaspelet är ett tärningsspel som innehåller element av slumpkaraktär. Författaren har utvecklat och använt olika varianter av spelet för att studera hur elever resonerar om och tänker kring olika aspekter av sannolikhet i sammansatta slumpförsök. Vi får en presentation av spelet och diskussion om varianter av spelet.

    Interaktiva skrivtavlor 2– en möjlighet till ökad lust
    Patrik Gustafsson
    Interaktiva skrivtavlor är på väg mot ett genombrott i Sverige, men leder användningen till ökat lärande i matematik? En första artikel i ämnet, som publicerades i Nämnaren nr 2, 2009, baserar sig på en studie genomförd under en lärarlyftskurs. I denna andra artikel ger författaren fler
    lektionsexempel och resultaten av studien redovisas och analyseras.

    Uppslaget: Matematiska pärlarmband
    Calle Flognman


    Matematikbiennalen 2010
    K. Kjellström, N. Larson & K. Larsson


    Mattesherpa
    Samuel Bengmark
    Som lärare i matematik har man den utmanande uppgiften att hantera elevgruppens spännvidd både förmåga och ambition. I ett och samma klassrum finns elever som har svårt att hänga med och därför behöver extra stöd, men också den större gruppen med elever som är med på noterna och är redo att föras vidare. Utöver detta skall man som lärare se till att elever med stor förmåga och fallenhet för matematik stimuleras på sin nivå.

    Hvor mange kanter har en firedimensjonal terning?
    Frode Rønning
    Ett begrepp kan representeras på olika sätt. Här ges ett exempel på en övning utifrån begreppet tärning, med olika representationer och symboler. Från det konkreta arbetet med klossar, går vi vidare mot symboliskt arbete och ytterligare dimensioner. Här finns också kopplingar till Eulers formel och historisk anknytning. Liknande arbete kan göras med andra begrepp. På Nämnaren på nätet finns sedan material för ytterligare fördjupning.

    Metatrianglar – trianglar med ögon
    Håkan Lennerstad
    Trianglar känner vi alla till. Vi får här en undersökning av trianglar ur ett ovanligt perspektiv. Håll ut genom beteckningarna så kommer nya, intressanta resultat.

    Vi räknar tillsammans
    Mats Andersson
    Som alternativ till läroboksorienterat lärande i matematik får vi här ta del av undervisning som inspirerats av musikundervisning i årskurserna 7–9.

    En uppgift med fyra lösningar
    Katalin Földesi
    Ett problem kan få många, olika och ibland oväntade lösningar. Två lärarstuderande har här löst ett och samma problem på fyra olika sätt.

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 3, 2010

    Nämnaren nr 3, 2010

    Info: nr 3
    Extramaterial kopplat till numret

    Omslagsbilden: Perre

    Länkar i nr 3

     

    Vad finns i nr 3?

    Hur diskuterar du egentligen med dina elever?
    Stefan Löfwall
    I boken How to solve it presenterade George Pólyas sina idéer om problemlöning. Han gav där råd som ofta sammanfattas i fyra steg: förstå problemet, gör upp en plan, genomför lösningen och se tillbaka. Dessa steg kan också ses som råd om hur matematikläraren ska angripa problem tillsammans med sina elever. I artikeln diskuteras dessa råd.
     
    Burkexperimentet
    Pirjo Repo
    Genom att förse elever med konkret material och låta dem arbeta fritt med en frågeställning kan vi få ta del av hur de resonerar. En undersökning av burkar ger här en inblick i hur 8-åringar resonerar om volym.
     
    Verktyg och kvalitet – bedömning i två dimensioner
    Torodd Lunde
    Med hjälp av mål, kriterier och matriser kan lärare utveckla sin bedömarkompetens. Modellen som presenteras här använder metaforen verktyg för de kunskaper som avses. Det som ska bedömas blir då både de verktyg som eleven kan hantera och hur funktionella verktygen är för användaren, oavsett matematiskt område.
     
    Strukturerade härledningar ökar förståelsen
    Linda Mannila
    Strukturerade härledningar är ett specifikt format för att presentera beräkningar och bevis på ett klart och tydligt sätt som dessutom lämpar sig ypperligt för elektronisk representation. Modellen har visat sig fungera bra i undervisningen vid försök i Finland.
     
    Information från NCM: Förtydligande av förskolans läroplan
    E Doverborg, G Sterner & O Helenius
    Kommentar kring regeringens förtydligande av förskolans läroplan.
     
    Den är rund runt hela – konstruera och förklara med Pinneman
    Monica Kable
    Med utgångspunkt i en saga har en grupp barn i åldern 5-6 år undersökt geometriska former. De har undersökt formerna och resonerat om likheter och skillnader. Barnen har också letat efter former i omgivningen och gemensamt dokumenterat sina iakttagelser. Arbetet är gjort som en del i en lärarlyftskurs så lärarens egen utveckling behandlas också.
     
    Uppslaget: Bilmärken – ellipser och vinklar
    Marianne Rönnbom
    Här presenterar författaren ytterligare aktiviteter med koppling till bilar. Denna gång handlar det om logotyper och dessas geometri.
     
    Multiplikation och division av bråk
    G Martinussen & B Smestad
    Räkneoperationer med bråk kan visualiseras för att ge stöd åt resonemang som annars kan upplevas som abstrakta. I denna artikel visar författarna hur detta kan gå till och ger exempel på division och multiplikation av bråk. Artikeln är tidigare publicerad i den norska tidskriften Tangenten.
     
    Lös mordgåta med matematik
    Agneta Beskow
    En dramatisk historia kan öka elevernas motivation. Låt dem bli detektiver för att lösa mord med hjälp av matematik. Här presenteras en spännande uppgift som kan användas på gymnasiets kurser.
     
    Det blir ju pi!
    A Berglund & P-O Nilsson
    Att ge elever utmaningar som inte hör ihop med ett visst avsnitt i läroboken erbjuder tillfälle att söka samband, leta efter mönster och hitta egna ingångar till problemlösning. Newtontävlingen är ett sätt att organisera sådana utmaningar för gymnasiet och den går att anpassa till alla åldrar.
     
    WolframAlpha – dynamiskt verktyg på nätet
    Thomas Lingefjärd
    WolframAlpha är ett webbverktyg som kan stödja matematikundervisningen på olika sätt. Av speciellt intresse är programmets förmåga att visa alla stegen i en lösning av ett matematiskt problem, vilket gör att eleverna när som helst har tillgång till ett dynamiskt facit till många av matematikbokens uppgifter.
     
    Filminspelning på lärarutbildningen
    N Larson, S Stenbom & A Szabo
    Under vårterminen 2010, har lärarstudenter i Stockholm haft som uppgift att spela in en filmsekvens där de förklarar ett matematiskt begrepp eller löser någon uppgift från gymnasiets kurs C eller D. Filminspelningarna är ett samarbetsprojekt mellan fyra lärosäten avseende digital kompetens i lärarutbildning. Uppgiften har ingått i det kursmoment som rubriceras ”Planering och genomförande av undervisning”.
     
    Vi har läst

     
    Matematiksatsningen 2009 – 2011
    A Palm & L Furness
    Skolverket har för 2009 beviljat 86,5 miljoner kronor i bidrag till 237 projekt och för 2010 har 144,5 miljoner kronor fördelats till 377 projekt som syftar till att höja kvaliteten i matematikundervisningen. Ytterligare en sökomgång kommer att genomföras i början av 2011.
     
    Om omslagsbilden
    Richard Ahlin
    är slöjdlärare, hantverkare och konstnär, och skriver om numrets omslagsbild och hur den kom till.
     
    Matematiska uppdrag i nytt NTA-tema
    M Andersson, P Berggren & L Trygg
    Naturvetenskap och teknik för alla, NTA, erbjuder sedan starten 1997 ett program för skolutveckling inom naturvetenskap och teknik. Från och med hösten 2010 utökas det till att även omfatta matematik genom temat Mönster och algebra.
     
    Kängurusidan
    Denna gång behandlas lösningsfrekvenser och lösningar till några av årets problem. Utifrån ett större antal insamlade svarsblanketter diskuteras några tänkbara förklaringar till att elever ibland svarar fel.
     
    Problemavdelningen
    I det här numret hämtas problemen ur den nyligen avlidne Martin Gardners (1914-2010) rika produktion. Ulf Persson tecknar hans livsgärning.
     
    Pedagorien
     

    Se ocksåinnehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 3, 2011

    Nämnaren nr 3, 2011

    Info: nr 3
    Extramaterial kopplat till numret

    Om omslagsbilden

    Länkar i nr 3

     

    Vad finns i nr 3?

    På kurs med nya planer
    Ola Helenius & Anette Jahnke
    Förskolan har fått en uppdaterad läroplan, grundskolan nya kursplaner och gymnasieskolan nya ämnesplaner i matematik. Innehållet är huvudsakligen bekant från de föregående dokumenten, men i de nya lyfts den matematiska verksamheten fram tydligare med hjälp av begreppet matematiska förmågor. Var finns dessa förmågor, egentligen?

    Sverige har fått en ny lärarutbildning
    Yvonne Liljekvist
    En ny lärar- och förskollärarutbildning startar under hösten vid landets lärosäten. Istället för en generell examen innehåller den fyra yrkesexamina: förskollärare, grundlärare, ämneslärare och yrkeslärare. [...]

    Information från NCM: Strävornamatrisen som affisch
    Med anledning av de nya kursplanerna i Lgr 11 och Gy 2011 har Strävorna reviderats. Formen är densamma men istället för att koppla till mål att sträva mot anknyter de nya Strävorna till kursplanernas centrala innehåll och de förmågor som eleverna ska utveckla. [...]

    Forskningsbaserad matematikundervisning – möjligt i teorin, men går det i praktiken?
    Gunnar Sjöberg, Mike Bergström & Cicki Nyberg
    Elevens tro på sin egen förmåga visade sig vara en av nyckelfaktorerna när skolkontoret i Umeå kommun, Specialpedagogiska skolmyndigheten samt det matematikdidaktiska forskarnätverket vid Umeå universitet samarbetade i ett utvecklingsprojekt för undervisning av elever med särskilda undervisningsbehov i matematik. Med hjälp av bland annat mental träning i matematik tog eleverna steget från att vara en som inte kan – till att vara en som faktiskt kan lära sig matematik.

    Resonera, argumentera och kommunicera
    Bengt Drath
    Lärare behöver få möjlighet att reflektera över den egna verksamheten, enskilt och tillsammans med sina arbetskamrater. I denna artikel ser författaren tillbaka på 15 års undervisning med matematiksamtal som en viktig del. Genom att systematiskt arbeta med problemlösning i grupp har eleverna fått möjlighet att utveckla flera av de kompetenser som nu uttrycks i kursplanen. Arbetet har utvecklats under tiden liksom lärarnas kunnande.

    Hur gick det 2010? Ämnesprov i matematik för årskurs 3
    Anette Skytt
    Ämnesprovet i matematik för årskurs 3 har nu genomförts under tre år. Här redovisas några av de resultat som framkommit liksom några tankar som provkonstruktörerna har då nuvarande prov baserade på Lpo 94 ska anpassas till Lgr 11.

    Fermiproblem och klassrumskultur
    Calle Flognman
    Med hjälp av väl valda antaganden kan ett till synes olösligt problem lösas och eleverna får på vägen utveckla sin problemlösningsförmåga. En särskild typ av öppna problem och deras möjliga roll för elevernas förväntningar på undervisningen diskuteras.

    Hur många katter finns det på Hasslö?
    Ing-Marie Karlsson & Ulla Petersson
    Hitta ett nästan olösbart problem – ställ en fråga – och låt eleverna utifrån detta utveckla sin problemlösningsförmåga. Elever i Fk–6 löser ett fermiproblem och resonerar kring sina lösningar.

    Uppslaget: Att arbeta med skala
    Inger Bäckström
    Vackra höstdagar lockar till att förlägga en del av undervisningen utomhus. Eleverna får möjlighet att arbeta praktiskt med uppskattning och mätning samt även reflektera över sambanden verklighet – bild – skala. I detta Uppslag ges ett konkret exempel på hur ett sådant arbete organiserades, genomfördes och följdes upp.

    Omslagsbilden – Lings gym
    Thérèse Gennow
    Fönstren på omslaget tillhör ett stall som den svenska gymnastikens fader Pehr Henrik Ling (1776–1839) lät göra om till en gymnastikbyggnad. Byggnaden ligger i Frösundavik, nära Hagaparken i Stockholm. Att jag ens hittade den här byggnaden är tack vare geocaching. [...]

    Matematiska uttrycksformer och representationer
    I-M Gustafsson, M Jakobsson, P Jönsson, T Lingefjärd, I Nilsson, G Svingby, M Zippert
    I denna artikel ger författarna exempel på hur IKT kan användas för att arbeta med både matematiska uttrycksformer och representationer. Ofta skiljer vi inte på uttrycksformer och representationer, utan de får stå för samma sak. För tydlighetens skull diskuteras de dock här var för sig. Artikeln innehåller även exempel på tillämpningar hämtade från gymnasiet.

    Ma A på förskolan
    Linda Jarlskog
    Små barn behöver uppleva att de kan förankra tidiga möten med matematik i sin egen värld. Även gymnasieelever behöver uppleva att undervisningen känns relevant för dem. Här berättar en gymnasielärare hur hon låter sina elever prova matematikaktiviteter tillsammans med barn under sin praktik i förskolan.

    Föräldrainblick Ma B
    Urban Haglind
    På Karolinska skolan i Örebro har föräldrar till elever som läser Ma B erbjudits en kurs för att bättre kunna stötta sina ungdomar. Föräldrarnas roll är viktig, men de har olika förutsättningar att kunna hjälpa till. Det handlar inte bara om att förklara matematiken, utan också om att ge stöd och visa intresse.

    Lärarutbildare på festival
    Vetenskapsfestivalen är ett årligt återkommande arrangemang som ägt rum i Göteborg sedan 1997. Festivalens olika delar riktar sig mot allmänheten, forskare och skolor. I skolprogrammet får klasser boka upp sig på olika aktiviteter. Cecilia Kilhamn, Kerstin Larsson och Niclas Larson, lärarutbildare från Göteborg och Stockholm, var delaktiga i några av skolprogrammets punkter med fokus på matematik, när festivalen 15-årsjubilerade under första halvan av maj. [...]

    Varifrån kommer matematiken?
    Bengt Ulin
    I januari 2011 blev matematiken uppmärksammad i radioprogrammet Filosofiska rummet som ställde frågan: Var finns matematiken? I denna matematiskt filosofiska artikel delar Bengt Ulin med sig av sina tankar om både var matematiken finns och om matematikens ursprung.

    Kängurusidan
    Susanne Gennow
    I år genomfördes den trettonde omgången av Kängurutävlingen. Antal redovisade deltagare i de fem officiella tävlingsklasserna är drygt 90 000 och när vi även räknar med Milou har mer än 120 000 elever deltagit i år. Fullständiga resultat är inrapporterade från ca 30 % av deltagarna i Ecolier, Benjamin och Cadet. För gymnasieklasserna, som dock har betydligt färre deltagare, får vi in fler resultat, från Junior MaB hela 85 %. En sammanställning av lösningsfrekvenser på varje uppgift, baserad på de inrapporterade resultaten, finns på Kängurusidan på nätet. Där kan ni se om de problem som era elever hade svårt med också var svåra för andra. [...]

    Problemavdelningen
    Calle Flognman
    Det förra numret av Nämnaren hade mönster som tema. Här finns ytterligare några mönsterproblem. Två av dem är analoga, dvs lösningarna har väsentligen samma matematikinnehåll. Dessutom ryms bland annat en saga och ett fermiproblem, en form av problem som tas upp i två artiklar i detta nummer. Mycket nöje!

    Pedagorien News

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 3, 2012

    Nämnaren nr 3, 2012

     

    Vad finns i nr 3?

    Algebra för lågstadiet
    Åsa Brorsson
    I denna artikel beskriver en lärare hur hon arbetar med algebra redan i de tidiga skolåren. Det är ett arbete som hjälper elever att förstå likhetstecknets betydelse, att bygga och se mönster. Det handlar också om variabelbegreppet och att använda algebra i problemlösning.

    Yngre barns förståelse av mätning
    Tamsin Meaney & Troels Lange
    Barn bör ges möjlighet att förstå de begrepp som ligger bakom färdigheten att mäta. Kroppen, flaskor, pennor och chokladpulver kan bli mätinstrument. Vi får här ta del av dialoger mellan barn och vuxna om mätning samt en diskussion om hur problemlösning kan vara en väg till förståelse.

    Att få de rätta felsvaren
    Jorryt van Bommel
    Erfarna lärare har kunskaper om elevers vanliga missuppfattningar i matematik. Genom att på ett klokt sätt ta hänsyn till det då diagnostiska frågor konstrueras, kan elevers svar avslöja en del om hur de tänker. I artikeln finns exempel på sådana svar och missuppfattningar.

    Elever med särskilda matematiska förmågor
    Eva Pettersson
    Får nyfikna och vetgiriga barn det stöd och den stimulans som de har rätt att förvänta sig då de börjar skolan? Barn och ungdomar som har exceptionell fallenhet för matematik är sinsemellan olika men de har ett gemensamt: intresse för matematik och att få ägna sig åt matematiska aktiviteter.

    Att tillvarata och utveckla elevers talang och matematikintresse
    Cecilia Eriksson
    ”Cecilia Eriksson, Alfaskola i Solna, tilldelas 2012 års Ingvar Lindqvistpris i matematik för sitt framgångsrika arbete med att få elever att tillvarata och utveckla sin matematiska talang och förmåga. Hennes stora engagemang och skicklighet leder eleverna till såväl breda kunskaper som djup förståelse”, så löd juryns prismotivering och här berättar pristagaren om sitt arbete.

    Elev i Finland och i Sverige – berättelse från en delad skolgång
    Caroline Dahlberg
    Författaren berättar om sina erfarenheter från sin skolgång i både Sverige och Finland.

    Framställningen av multiplikation påverkar taluppfattningen Multiplikation i läromedel för årskurs 1 – 3
    Maria Flodström & Lina Johnsson
    Här ger 2011 års Göran Emanuelssonstipendiater sin analys av hur multiplikation presenteras i läromedel och hur denna presentation påverkar elevernas möjligheter att utveckla sin taluppfattning.

    Uppslaget: Mått – förr och nu
    Eva-Lena Jinneryd

    Förståelse för tal i bråkform
    C. Lindegren, I. Welin & W. Sönnerhed
    Två lärarstudenter på HLK i Jönköping undersökte elevers förståelse för tal i bråkform. De såg att elever många gånger har likartade missuppfattningar. Här diskuterar de vilka strategier eleverna använder och hur undervisningen kan dra nytta av att känna till hur elever tänker om bråk.

    Bråk, bananer och glupska algoritmer
    Lars Mouwitz
    Några tankar och funderingar kring begreppen runt bråk.

    Geometri med spagetti
    Pesach Laksman
    Genom att undersöka månghörningars och cirklars egenskaper ges elever möjlighet att upptäcka samband och få en glimt av hur några matematiska idéer har utvecklats. De använder spagetti som konkret stöd för sina tankar då de undersöker figurer och för matematiska resonemang.

    Florence Nightingale – en statistikpionjär
    Bengt Ulin
    Den historiskt berömda sjuksköterskan och kvinnorättskämpen Florence Nightingale var också en av statistikens förgrundsgestalter. Vi får här ta del av hur hon med hjälp av skickligt använda diagram lyckades få genomslag för sina idéer som räddade liv. Inledningsvis ges även exempel på hur man kan missbruka statistik.

    Vad varje matematiklärare borde kunna Geogebra för nybörjare – del 2
    Jonas Hall & Thomas Lingefjärd
    I en tidigare artikel beskrevs de första stegen på vägen till att använda Geogebra som ett verktyg i matematikundervisningen. Författarna har nu kommit fram till steg 4 och 5 där de nu på allvar låter eleverna arbeta med Geogebra.

    SigmaÅtta – en nationell problemlösningstävling
    Bengt Åhlander
    Matematiktävlingen SigmaÅtta är en unik tävling i matematik eftersom klassen samarbetar om att lösa problemen.

    Kängurusidan
    Susanne Gennow
    Här ges en kort rapport från årets tävling och några av problemen diskuteras. Låt dina elever lösa dem och jämför olika lösningar. På Kängurusidan på webben finns alla årets problem, med lösningar och förslag till hur man kan arbeta vidare med dem i undervisningen. Där finns också resultat och lösningsfrekvenser. En längre version av denna redovisning, med fler exempel, finns på Nämnaren på nätet.

    Problemavdelningen
    Göran Emanuelsson

    Matematiksatsningen 2009–2011
    Under åren 2012–2013 kommer Nämnaren att uppmärksamma utvecklingsprojekt från Matematiksatsningen. Dessa artiklar och reportage är tänkta att tjäna som inspiration och erfarenhetsspridning från lokala nivå. I artikeln på nästa sida beskriver fem lärare i Hallsberg hur de har arbetat med en Learning study och de erfarenheter det arbetet har gett dem.

    Tallinjen – en bro mellan konkreta modeller och abstrakt matematik
    K. Drageryd, M. Erdtman, U. Persson & C. Kilhamn
    Fem matematiklärare från Transtenskolan i Hallsberg har under handledning av Cecilia Kilhamn från Göteborgs universitet arbetat med en Learning study i årskurs 6 och 7. De har fokuserat på elevers förmåga att storleksordna tal i bråkform och här berättar de om sina erfarenheter och lärdomar.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 4, 2007

    Nämnaren nr 4, 2007
     
    Vad finns i Nämnaren nr 4?

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Länkar ...
    ... i nr 4

    Tryckfelsnisse ...
    ... har varit framme. På sidan 38, högerspalten, har en 4 blivit en 3. Vi ber om ursäkt!

    Hämta en korrekt version ...

    Nämnaren nr 4, 2008

    Nämnaren nr 4, 2008

    Info i nr 4
    Tryckfelsnisse i adventskalendern

    Extramaterial kopplat till numret

    Länkar ...
    ... i nr 4

     
    Vad finns i Nämnaren nr 4?

    Bengt Johansson hedersdoktor i Uppsala
    Göran Emanuelsson
    NCM:s föreståndare promoveras 23 januari 2009 till hedersdoktor vid Samhällsvetenskapliga fakulteten, Uppsala universitet.

    Vad betyder orden? Om några terminologiska glädjeämnen och vedermödor
    Lars Mouwitz
    Projektet att skriva en bok om matematikterminologi för skolan har letts av matematikern Christer Kiselman, tillsammans med Lars Mouwitz. Ett stort antal andra personer har dessutom i olika omfattning deltagit med specialistkunskap i den kommande bokens utformning. De har bidragit med historiska och etymologiska utblickar. I denna artikel kåserar Lars Mouwitz om några glädjeämnen och vedermödor under projektets gång.

    Kan 8 –12-åringar lösa ekvationer?
    Maria Dahlin & Eva-Lena Eriksson
    Genom att inte på förhand bestämma att ekvationer är ”för svårt” för eleverna beskriver författarna hur de med rätt stöd fick sina elever i årskurs 2 och årskurs 6 att både lösa ekvationer och att använda dem vid problemlösning. Deras slutsats är att vi lärare inte ska vara rädda för att ha höga förväntningar på våra elever.

    Att tala och skriva matematik - redskap för bedömning
    Maria Asplund
    Folkparksskolan i Norrköping arbetar sedan åtta år med Tankeverkstad i åk F – 5. Arbetssättet utvecklas ständigt och det senaste är att arbeta med tydliga mål. I artikeln ges exempel på hur läraren kan bedöma elevernas matematikkunskaper genom att lyssna när de talar och läsa det de skriver i reflektioner och sammanfattningar.

    Tänk - nik
    Räkna med olika företag – Räkna på riktigt

    Pierre Jamot
    Artikeln beskriver hur man kan utnyttja lokal verksamhet för att motivera elever att lära sig matematik. De får möjlighet att se matematiken på ett annat sätt än som den framträder i många läromedel. Författaren är projektledare för ett tekniksamarbete med näringslivet i Vårgårda.

    Att använda tankenötter för att utveckla kritiskt tänkande
    Rita Barger
    Framgångsrik problemlösning kräver att man har tillgång till olika strategier och att man har ett matematiskt och kritiskt tänkande. Detta kan utvecklas genom ett strukturerat arbete med tankenötter. Artikeln behandlar amerikanska förhållanden.

    Delbarhetsregler
    Jöran Peterssonn
    Mikael Passare beskrev i Nämnaren nr 1, 2008 ”Mormors glasögon” i termer av kongruensräkning. Den kan användas för att exempelvis undersöka delbarhet med 3 och 9. Men hur undersöker man om ett tal är delbart med exempelvis 7, 11 eller 13?

    Samspelet mellan algebra och geometri
    Thomas Lingefjärd
    GeoGebra är ett program som bland annat kan hantera algebra och geometri. Programmet är gratis, plattformsoberoende och finns översatt till ett flertal språk. Det kan användas på hela grund- och gymnasieskolan.

    Uppslaget: Tankeläsaren
    Lena Trygg
    Varför förenkla när vi kan förkrångla?
    Anette Jahnke
    Denna artikel handlar om att variera arbetssätt på gymnasiets kurser. Med exempel från geometri, algebra och talteori och med historisk anknytning berättar författaren om sin undervisning.

    Fraktaler – en fråga om upprepning
    Lasse Berglund
    Fraktaler är intressanta både ur matematiskt och historiskt perspektiv. Författaren ger exempel på fraktaler som fått namn efter kända matematiker samt uppgifter att lösa i samband med detta.

    Förbannade lögner, skruvade siffror och tillrättalagd statistik
    Peeter-Jaan Kask
    Världen runt omkring oss kan i många fall beskrivas med statistik, men tolkningen kan göras på många olika sätt. Opinionsbildare kan ”bevisa” att deras åsikter är de rätta genom att använda ett perspektiv som gynnar dem. Här får vi ta del av varför vi bör vara försiktiga med hanteringen av statistik.

    Allting är relativt
    Kerstin Hagland
    I artikeln beskriver författaren en variant av sudoku som förutom de vanliga sudokureglerna även tar hänsyn till de ingående talens storleksrelation. Förslag ges på hur spelet kan varieras och anpassas efter elevernas behov.

    Frågesport i historiens tecken
    Jonas Hall
    Vid matematikbiennalen 2008 presenterade Jonas Hall denna frågesport. För alla er som inte hade möjlighet att lösa den på plats publicerar vi den här. Låt eleverna arbeta med den eller gör en gemensam aktivitet med dina kollegor. Nöj er inte med att finna svaren, utan låt frågor och svar vara utgångspunkt för vidare arbete. Hör gärna av er och berätta om hur arbetet utvecklats. Svaren finner ni på Nämnaren på nätet.

    Ett dilemma
    Arne Engström
    Hur ska den normala spridningen i klasserna hanteras när regelverket tycks utgå från att klassen är homogen, och att alla kan ungefär lika mycket? Författaren ger en bakgrund utifrån sin egen forskning.

    Studentmatte satsar på kommuner
    Efter Kunskapspriset satsar studentorganisationen Individuell Kunskapsutveckling på samarbeten med kommuner för att öka – och ta tillvara – ungdomars matematikintresse.

    Kängurusidan: Geometriproblem
    Susanne Gennow
    I föregående nummer presenterades några av de 34 problem med anknytning till geometri som fanns i årets Kängurutävling. Det är ca 30 % av samtliga problem, vilket är betydligt mer än den omfattning som geometrin har i skolan. Problemen spänner över många områden, bl a geometri som redskap för att visualisera aritmetik och algebra, för att finna mönster och exempel på klassisk geometri.
    DPL 38: Geometri
    Sture Sjöstedt
    I DPL 39 presenterar vi några geometriska problem som vi fått av Sture Sjöstedt i Hallsberg. De är av lite olika karaktär men flera av dem uppmuntrar till undersökande aktiviteter. T ex kan ett kinaschackbräde användas för att undersöka hur man kan vända trianglar upp och ned.

    Matematikbiennalen 2010 - Matematikentusiasm i världsklass
    Kerstin Larsson, Katarina Kjellström & Niclas Larson

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 4, 2009

    Nämnaren nr 4, 2009

    Info i nr 4


    Extramaterial kopplat till numret

    Kommentar till problemavdelningen
    Till problem 3625 har upptäckts ännu en lösning av Mikael Hansson. En annan variant till operationen a@b är 2ab+1.

    Omslagsbilden: Krill

    Länkar ...
    ... i nr 4

      Vad finns i nr 4?

    Matteväskan – ett sätt att arbeta med föräldrasamverkan
    R. Stuguland & S. Söderström
    Två förskolelärare i Östersund delar här med sig av sina erfarenheter av en väska packad med matematiska aktiviteter. Väskan kan barnen ta hem och arbeta med tillsammans med sina föräldrar. VI får även ta del av föräldrarnas reaktioner.

    Matematiken i förskoleklassen
    Marie Fredriksson
    Här presenteras resultatet från en undersökning av tal- och antalsuppfattning hos elever i förskoleklass. Denna kartläggning utgick från en fördiagnos i Diamant–diagnoser i matematik.

    Elevers kunskaper i aritmetik - en kartläggning med utgångspunkt i Diamant-diagnoserna
    Madeleine Löwing
    Elever som kommer från förskoleklass verkar väl förberedda för vidare lärande
    i matematik när de kommer till första klass, men vad händer sen? Elevers
    kunskaper i aritmetik i årskurserna F–8 har kartlagts och diskuteras här.

    Arbeta med styrdokumenten
    Anna Grödevik
    Hur kan styrdokumenten levandegöras och bli en självklar utgångspunkt för utformningen av klassrumsaktiviteter? Här får vi ta del av tankar kring denna fråga och hur man som lärare tydliggör målen i dokumenten.

    En resa i matematikens Indien
    L. Carlson, M. Mjörnestrand & C. Svensson
    Åtta lärare från Vara kommun fick 2008 möjlighet att resa till Andra Pradesh i Indien för att ta del av hur matematikundervisningen går till där. Vi får följa med och dela deras erfarenheter av muntlig kommunikation kring centrala begrepp och ”opposite questions”.

    Ett utvecklande nätverk
    Gustafsson, Holmquist, Lundh, Persson, Strååt & Sällström
    De kommunala matematikutvecklarna i regionen runt Växjö universitet har ett väl utvecklat samarbete. I samarbete med RUC utbyter de idéer och låter sig inspireras av gästföreläsare, även internationella. De delar här med sig av erfarenheterna från detta nätverk.

    Samspel mellan algebra, geometri, statistik och talteori
    Thomas Lingefjärd
    Det här är en fortsättning på tre tidigare artiklar om GeoGebra i Nämnaren. Sedan dess har GeoGebra kommit med en ny version, version 3.2, och författaren visar här exempel på hur funktionalitet och verktyg i programmet utvecklas. GeoGebra är fortfarande helt gratis och kan hämtas från www.geogebra.org. Programmet är översatt till svenska.

    Vad kan vi lära av IB?
    Maria Wærn
    I vissa gymnasieskolor i Sverige kan elever studera vid International Baccalaureates Diploma program, IB. I denna debattartikel diskuteras betygsinflation, likvärdighet vid betygssättning samt hur bedömning av elevers kunskaper sker inom IB jämfört med i den svenska gymnasieskolan.

    Vad händer på matematikbiennalen?
    K. Kjellström, N. Larson & K. Larsson


    Matematiken – var finns den?
    L. Mouwitz & O. Helenius


    Problem och matematik – några favoriter
    Stephen Krulik
    Den amerikanska matematiklärarföreningen, NCTM, höll sin stora kongress i Washington i april. En av föreläsarna var Stephen Krulik, som presenterade och utvecklade några av sina favoritproblem. Rika problem ger oss möjlighet
    att låta eleverna arbeta med intressant och värdefull matematik samtidigt som de utvecklar sin problemlösningsförmåga.

    Se innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 4, 2010

    Nämnaren nr 4, 2010

    Info: nr 4
    Extramaterial kopplat till numret

    Om omslagsbilden

    Länkar i nr 4

     

    Vad finns i nr 4?

    Information från NCM: Ny läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet
    Anette Jahnke
    Regeringen fastställde den 1 oktober 2010 en ny läroplan, Lgr11, som träder i kraft höstterminen 2011. Bakgrunden till förändringarna ligger i kritik av att de nuvarande kursplanerna inte är tillräckligt tydliga.
     
    Information från NCM: Tid och förändring i förskolans läroplan
    Anette Jahnke & Görel Sterner
    I vår serie med information om den förtydligade läroplanen för förskolan har vi i det här numret valt att lyfta fram arbete med tid och förändring.
     
    Snart, om en minut, nästa år
    Camilla Åslund
    Vad betyder tid för barn i förskoleåldern? Hur kan vi vidga och utveckla barns förståelse av olika tidsbegrepp? Här beskrivs hur de dagliga samlingarna kring ett konkret årshjul kompletteras med lockande uppdrag från Pippi Långstrump i ett längre temaarbete kring tid.
     
    Snö och andra kristaller
    Annika Persson
    I förskoleklassen kan barnen få göra intressanta iakttagelser och undersökningar som ger värdefulla erfarenheter att bygga vidare på och fördjupa längre upp i skolåren. Det lekfulla mötet med geometriska former och kopplingen till vackra formationer i naturen väcker förundran och intresse hos barnen. I det här arbetet har snökristaller varit utgångspunkten för ett arbete med geometri där begrepp som linje, spegling, symmetri, polygoner och polyedrar har behandlats.
     
    Matematiklyft i Uppsala
    Karin Stacksteg
    I Uppsala kommun har genomfört kompetensutveckling i matematik under en rad år. Här presenteras projekten och de tre följande artiklarna ger klassrumsnära exempel på utveckling av geometriundervisningen.
     
    Sex geometrilektioner som gjorde skillnad
    Gunilla Essén & Ulla Hägglund
    Författarna beskriver och delar med sig av erfarenheter från ett av de projekt som nyligen har genomförts i Uppsala. Utgångspunkten var kursplanens mål i geometri för årskurs 3 och 5.
     
    Geometri på golvet
    Torun Paulsson
    Deltagande i projekten i Uppsala har påverkat undervisningen genom bland annat nya klassrumsaktiviteter. Här berättar en lärare om ett konkret resultat av kompetensutvecklingen.
     
    Bland medianer och bisektriser
    Rosi-Anne Bergling & Erica Lundkvist
    För att skapa kontinuitet och progression i geometriundervisningen har en arbetsplan för åk 1–9 tagits fram. Artikelns båda författare har varit projektledare och de har haft hjälp av en arbetsgrupp med lärare som representerar var sin årskurs.
     
    Tolka visualiseringar
    Kajsa Bråting
    ilken roll kan visualiseringar ha i skolmatematiken? Några elever på gymnasiet tar sig an ett historiskt problem som handlar om att utifrån en visualisering avgöra om den så kallade hornvinkeln existerar och i så fall hur stor den är.
     
    Uppslaget: Tyck till om trianglar
     
    Perlesnor og tom tallinje
    Hanne Hafnor Dahl & May Else Nohr
    Från Tangenten i Norge har vi fått följande artikel om talföljden, på norska talrekka, och hur man kan arbeta för att utveckla barns taluppfattning. Författarna använder ett konkret material, ”perlesnoret” för att visualisera talföljden och som stöd för elevernas ”inre” talrad.
     
    Räkna på hawaiianska
    Ola Helenius
    Gestaltningen av ett begrepp kan vara avgörande för förståelsen av dess matematiska innehåll. Med utgångspunkt i ett till synes komplicerat ekvationssystem och hawaiianska räkneord diskuteras hur konkretiseringar och abstraktioner inverkar på hur matematiken uppfattas.
     
    Aktiva elever med interaktiv skrivtavla
    Patrik Gustafsson
    Responssystem som används tillsammans med interaktiv skrivtavla kan fungera som verktyg för att uppmärksamma missförstånd kring idéer och begrepp. Den direkta återkopplingen från eleverna kan utnyttjas för att effektivt skapa intresse och underlag för matematiska samtal.
     
    Vi har läst

     
    Intensivundervisning
    A Pilebro, K Skogberg & G Sterner
    I Sundbyberg har några elever som riskerade att inte nå målen i matematik i årskurs 9 erbjudits intensivundervisning under våren 2010. Denna undervisning i matematik, I-ma, innebär att en elev undervisas enskilt en lektion om dagen under en begränsad period. Innehållet är anpassat till den enskilda elevens behov och ges utöver elevens ordinarie matematiklektioner.
     
    Göran Emanuelssonstipendiet 2010
     
    Att göra rika problem rika
    Ulrihca Malmberg
    Att använda rika problem och utnyttja deras potential är inte helt lätt. Här behandlas några svårigheter och problem som visat sig och som varit utgångspunkt för ett examensarbete. Erfarenheter från detta och från klassrumsarbetet har lett till förändrade arbetsformer vid arbete med rika problem.
     
    Kängurusidan
    Susanne Gennow
     
    Problemavdelningen
     

    Se också innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 4, 2011

    Nämnaren nr 4, 2011

    Info: nr 4
    Kompletteringar till Nämnaren nr 4

    Om omslagsbilden

    Länkar i nr 4

     

    Vad finns i nr 4?
    Information från NCM: Lokalisera i förskolans läroplan
    Görel Sterner
    En grundläggande idé som varit central för människans överlevnad är att kunna orientera sig. Vi orienterar oss i omgivningen i förhållande till vår egen kropp och till olika objekt, på land, till havs och i luften och i det lilla rummet i hemmet eller i förskolan. Det handlar alltså om en slags rumsuppfattning i stort och smått. Denna är grundläggande för att vi ska utveckla förståelse för perspektiv, vinklar, skala och objekt i olika dimensioner. [...]

    Med kartor från det lilla rummet till den stora världen
    Annette Brown
    Här beskrivs ett temaarbete med syftet att barnen på ett lustfyllt och lekfullt sätt skulle få möjlighet att utveckla sin rumsuppfattning och sin förmåga att orientera sig inomhus och i den närmaste omgivningen. Arbetet genomfördes med en grupp med sju 4–5-åringar. Med hjälp av olika kartor fick de upptäcka och utforska sin närmiljö och reflektera över avstånd mellan olika platser och objekt. Arbetet innebar också att barnen fick erfarenheter av två- och tredimensionella perspektiv.

    Analysera mera i geometri
    Britt Holmberg
    Inom undervisningen i geometri behöver vi utmana elevernas nyfikenhet med frågeställningar och ge dem tid att undersöka geometriska objekt. Praktiskt arbete där eleverna själva upplever och upptäcker samband ökar möjligheten att förstå geometri. Eleverna behöver många tillfällen att få resonera, diskutera och göra egna erfarenheter.

    Cirklar, liksidiga trianglar och rymdfigurer
    Gjert-Anders Askevold
    Genom att konstruera geometriska kroppar med hjälp av liksidiga trianglar formade av utklippta cirklar, får eleverna möjlighet att upptäcka matematiska samband. Det laborativa arbetet utmynnar i modeller och de kan utifrån dessa resonera om vinkelsummor, ytor, hörn och sidor. Denna artikel har tidigare varit publicerad i vår norska systertidskrift Tangenten.

    Medelvärdenas släktskap och gestaltning
    Pesach Laksman
    Det finns flera sorters medelvärden. Samband mellan tre av dessa diskuteras här samt åskådliggörs geometriskt. På Nämnaren på nätet finns uppgifter som kan användas i undervisningen.

    Göran Emanuelssonstipendiet 2011
    Göran Emanuelssonstipendiet delas även i år mellan två arbeten. [...]

    Vi har läst
    Ansvar för matematiklärande – Effekter av undervisningsansvar i det flerspråkiga klassrummet, av Åse Hansson
    Voices on learning and instruction in mathematics, red: J. Emanuelsson, L. Fainsilber, J. Häggström, A. Kullberg, B. Lindström & M. Löwing
    Grundläggande geometri. Matematikdidaktik för lärare, av Madeleine Löwing

    Ett EU-projekt via webben
    Inger Lilljebjörn
    Genom att använda en gemensam webbsida och genom att besöka varandra har elever i sex länder kunnat presentera olika matematikaktiviteter med fokus på taluppfattning och de fyra räknesätten.

    Möt andra kulturer på Biennalen i Umeå
    Anette Jahnke
    Jag grät av skratt när föreläsaren läste högt ur kapitlet Aritmetik ur Alf Henrikssons Vägen genom A. Det handlade om matematik i litteraturen. Jag fick springa som dy/dx medan kollegor agerade x och y i ett gigantiskt levande koordinatsystem som en annan föreläsare arrangerade på mässgolvet. Jag bläddrade i oändligt många böcker, lunchade med forskare, utbytte erfarenheter i toakön och fick ont i fötterna. Omtumlad återvände jag till klassrummet på Hvitfeldtska gymnasiet. Det var min andra vecka på det nya jobbet som lektor i matematik. Året var 2000 och jag hade för första gången upplevt en Matematikbiennal. Ärligt talat har jag nog aldrig riktigt återhämtat mig.

    Matematik i kulturens tecken: Vad händer på Matematikbiennalen?
    Den 26 och 27 januari nästa år går Matematikbiennalen 2012 av stapeln på campusområdet vid Umeå universitet. Det är den sjuttonde biennalen sedan starten på Folkets Hus i Stockholm 1980. [...]

    Om omslagsbilden – På äventyr längs mattestigar
    Brita Olsson-Lehtonen
    Allra först, för att undvika missförstånd: Med ordet mattestigar avses inte här naturstigar med matematiska problem. Innan jag visste att ordet används i den bemärkelsen, hade tanken, att med ordet mattestigar beskriva ett sätt att syssla med matematik, fötts – och blivit en vana. Så fastän jag gärna strövar längs naturstigar också, har jag hållit fast vid att mina mattestigar är ett slags tankestigar. [...]

    Uppslaget: Lek med tärningar
    Ann-Marie Eriksson
    Med stöd av sexsidiga pricktärningar får förskolebarn undersöka hur talet 7 kan delas upp på olika sätt. Aktiviteten kan sedan utvecklas för att vara en övning då elever i årskurs 1 arbetar med att dela upp talen 1–10 och kan så småningom även leda vidare till en algebraisk uppgift.

    Elever räknar lokalt i Ljungby
    Linda Stenkilsson
    Detta läsår använder Astradskolan, Kungshögsskolan och Åbyskolan i Ljungby kommun en ny lokal lärobok i matematik i årskurs 7–9. Här berättar initiativtagaren om arbetet med att ta fram det nya läromedlet.

    Läromedel som stöd eller hinder
    Per-Åke Lundström
    Vilka förmågor, eller kompetenser, ges eleverna möjlighet att utveckla vid eget arbete med lärobokens uppgifter? En undersökning av två ofta använda läromedel för årskurs 5 visar att enbart arbete med bokens uppgifter kan vara otillräckligt. Resultatet kan användas i arbetet med att utveckla undervisningen.

    Verkliga och konstruerade problem
    Bengt Ulin
    Ambitionen att anknyta matematiken till verkligheten och att försöka konkretisera med realistiska exempel kan ibland leda till mindre lyckade och ibland absurda frågeställningar, menar Bengt Ulin i denna artikel.

    Subtraktion
    Kerstin Larsson
    Vad är egentligen subtraktion? Vad behöver en lärare veta om subtraktion och subtraktionsundervisning? Om elevers förståelse av subtraktion och om elevers vanliga missuppfattningar? Om hur subtraktion kan användas? Finns det forskning om subtraktion som kan hjälpa lärare att planera sin undervisning mer effektivt? Den här artikeln kommer inte att ge svar på alla ovanstående frågor, men förhoppningsvis belysa att det finns en hel del kunskap om subtraktion som kan vara användbara utgångspunkter för lärares planering av undervisning.

    Proportioner och reguladetri
    Lucian Olteanu
    I denna artikel uppmärksammas en uppställning i proportioner med anor från medeltiden. Författaren framhåller att denna metod ligger nära vårt vardagliga tänkande och att den stimulerar till problemlösning. Samspelet mellan metod och idé är ofta komplext då man ska försöka lösa ett problem. Reguladetrins typiska uppställning kan leda till ett kreativt sökande efter passande proportioner i problemställningen inom flera skilda matematikmoment.

    Datorer på nationella prov
    Malin Christersson & Thomas Lingefjärd
    Oavsett vilket tekniskt hjälpmedel som används i undervisningen reagerar eleverna ofta med frågan om de också får använda hjälpmedlet på provet. Hur hanterar vi provsituationer för de elever som använder datorstöd i sitt lärande? Forskning runt om i världen har sedan länge pekat på att om elever inte får använda ett visst verktyg under prov, vill varken lärare eller elever tillmäta ett sådant verktyg speciellt mycket betydelse i undervisningen. I artikeln redovisas erfarenheter från Katedralskolan i Lund.

    Lärare kan lära från elevers misstag
    David Taub
    Eleverna gjorde ett misstag som deras lärare inte kunde släppa tanken på. Detta ledde till nya matematiska insikter. Exemplet visar betydelsen av att betrakta misstag som något vi kan lära oss av, både elever och lärare. Det visar också att även bakom ett till synes korrekt svar kan det finnas missuppfattningar.

    Kängurusidan: Att arbeta vidare med Kängurun
    Tommy Jansson
    Det kom ett brev från Tommy Jansson som arbetar i klass fyra i Rödabergsskolan i Stockholm. Han beskriver hur elever och lärare arbetar med känguruproblem och vilka tankar som problemen väckt kring matematik och matematikundervisning.

    Problemavdelningen: Dramatisering som problemlösningsstrategi
    Lotta Råberg
    Här följer några problem, som vi har fått från Lotta Råberg vid lärarutbildningen i Karlstad. De har använts vid kursstarter på lärarprogrammet och dramatisering kan vara en början på eller en del av lösningen. I de flesta problem räcker det att eleverna bara agerar själva, men till några kan det vara bra att även använda material. Problemen är också sådana att det är möjligt att antingen förenkla eller göra dem mer utmanande. I ett kommande nummer av Nämnaren berättar några av lärarutbildarna i Karlstad hur de arbetar med problemen på kurserna och vilka erfarenheter de har gjort.

    Pedagorien News

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 4, 2012

    Nämnaren nr 4, 2012

     

    Vad finns i nr 4?

    ”Hej, och välkommen till NCM och Nämnaren!”
    Peter Nyström
    NCMs nya föreståndare ger sin syn på matematikundervisning, första tiden på sin nya arbetsplats och hans bild av NCMs roll.

    Leken i förskolans läroplan
    Ola Helenius
    Lek är ett av de mest fundamentala begreppen i förskolans läroplan. Ett medvetet bruk av leken för att främja varje barns utveckling och lärande ska prägla verksamheten i förskolan, heter det bland annat. Det betyder givetvis att de av förskolans mål som handlar om matematik också måste ses ur ett perspektiv där lek och lärande går hand i hand.

    Matematikkarusell och matematikverkstad
    Anna-Karin Frelin & Camilla Proos
    På matematikbiennalen i Umeå 2012 fick två lärare från Lövsta förskola i Östersund stipendium för sin idéutställning ”Matematikverkstad i förskolan”. Juryns motivering löd: ”Utställningen tar upp ett område som är särskilt aktuellt och visar en i läroplanen förankrad matematikkarusell som kan fungera som ett pedagogiskt verktyg i matematikinlärning”.

    Siffrorna som försvann
    Botéus Abrahamsson, Hermansson & Thorbäck
    I leken kan barn möta siffror, färger och geometriska figurer. Följ med när barnen på Tvets förskola på Orust upplever ett sagoäventyr i Urskogen där de löser mysteriet med de försvunna siffrorna.

    Abakus – ett möjligt mattelyft?
    Pelle Lindblå
    Elever som arbetar med abakus grundlägger en god taluppfattning, menar artikelförfattaren, som här berättar om sin mångåriga erfarenhet av att undervisa med hjälp av detta uråldriga kinesiska räknehjälpmedel.

    Kul med abakus
    Mats Hemberg
    Läsåret 2011/12 fick Umeå medel från Skolverket för att genomföra ett projekt där lärare i årskurserna 1–3 under två år ska utvärdera vilken effekt användningen av abakus i matematikundervisningen har på taluppfattning och huvudräkning. Vidare vill man se om lärarna härigenom förbättrar sin förmåga att både löpande och formativt följa sina elevers kunskapsutveckling.

    Konsten att simulera sannolikheter
    Birgit Aquilonius
    Hur sannolikt är det att två straffkast i basketboll går i? Författaren delar här med sig av erfarenheter från laborationer om sannolikheter som hon använt i sin undervisning i Kalifornien men även i den svenska lärarutbildningen. Fokus ligger på introduktion av sannolikheter i grundskolan.

    1 250 000 lösta uppgifter i internationell gemenskap
    Majvor Strålenstam
    Elever i grundskolan i Mörbylånga kommun på Öland bjöds under februari 2012 in till www.worldmathsday.com för att möta världen och praktisera sina matematikkunskaper.

    Uppslaget: Problemlösning och möbeldesign
    Calle Flognman

    Elevers uppfattningar om filmad undervisning
    Mikael Bondestam
    Det finns bland elever och lärare ett allt större intresse för filmad undervisning. Exempel kan vi finna på bland annat Youtube och Vimeo. Här diskuteras vilka möjligheter och begränsningar som finns med detta pedagogiska verktyg, knutet till en undersökning av elevers uppfattningar om filmad undervisning på området logaritmer. Innehållet och metodiken har betydelse.

    Regnvädersmatematik
    Poul Græsbøll
    En morgon när jag cyklade till skolan strilade regnet stilla ner från en grå himmel. Samtidigt som jag höll på att bli riktigt blöt sa jag till mig själv att tänka positivt. Vad kan regn användas till på en matematiklektion?

    Föränderliga och harmoniska rektanglar
    Pesach Laksman
    Det finns mycket spännande att upptäcka i en rektangel. I artikeln beskrivs hur elever från tidiga grundskoleår och upp på gymnasiet kan träna sin problemlösningsförmåga med hjälp av rektanglar.

    Matematiska strövtåg - Religion, matematik och serier
    Barbro Grevholm
    Med ålderns rätt har jag slutat läsa serierna i dagstidningen. Ibland händer det ändå att jag trots allt fastnar för Kalle och Hobbe. När Kalle pratar om matematik sker det bestämt. Nyligen hade min dagliga morgontidning en serie som började som i bilden här intill. Kalle tar upp en fråga många forskare har diskuterat under långa tider. Vad är matematik? Är det en vetenskap? Vilka objekt sysslar matematiken med? Finns talen? Upptäcker vi matematik eller uppfinner vi den?

    Från modern konst till skolmatematik
    Juan Parera-Lopez
    Hur kan man utgå från modern konst för att arbeta med matematik? Verk av den spanske konstnären Gerardo Rueda används som inspirationskälla och geobräden används som redskap.

    Vi har läst

    Känguruproblem i mina klasser
    Maria Asplund
    I kursplanen för matematik är problemlösningsförmåga både ett syfte och en del av det centrala innehållet. Maria Asplund berättar här hur hon använder känguruproblem som ett kreativt, reflekterande och problemlösande lektionsinnehåll i årskurserna 5, 6 och 7.

    Problemavdelningen
    Göran Emanuelsson

    Från lärobok till reflekterande lärande
    Maria Forss
    Här beskrivs hur lärare i Trelleborgs kommun prövat idéer och besökt varandras klassrum för att utveckla undervisningen. Eleverna använder idag reflektion som ett verktyg i sin kunskapsutveckling och man ”pratar matte” på lektionerna.

    Taluppfattning med sifferlådor
    Kerstin Fritiofson & Ann-Christine Nilsson
    Författarna till denna artikel är matematikutvecklare för årskurs 1–3 i Arvika kommun. Med stöd från Matematiksatsningen har de genomfört ett projekt om taluppfattning. De har utvecklat en låda med arbetsmaterial för varje siffra. Till varje sifferlåda hör även en barnbok som handlar om det aktuella talet.

    Dansa vektorer!
    Britta Olsson
    Att röra sig öppnar nya möjligheter för lärandet. Reflektioner från en deltagare på kursen Estetiska lärprocesser i matematikundervisning vid Stockholms Musikpedagogiska Institut.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnaren nr 4, 2013


     

    Flera lösningar på ett problem - den japanska metoden
    Yoshinori Shimizu
    Japanska matematiklärare organiserar ofta en hel lektion kring ett fåtal problem och med fokus på elevernas olika lösningar. I den här artikeln ges en översikt över hur lärare i Japan undervisar i matematik med hjälp av problemlösning men även en bild av hur de vanligen organiserar en sådan lektion. Här diskuteras också de underliggande synsätt som lärarna baserar sin undervisning på, speciellt på hur de låter matematiken vara svår för eleverna, hur de fokuserar på problemlösningsmetoderna och på att säga rätt saker vid rätt tillfälle.

    Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck
    Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg
    Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i hur de ska gå från ett mönster de ser till att uttrycka det algebraiskt? Artikelförfattarna jämför hur introduktionen av att skriva algebraiska uttryck kan se ut i Sverige och i Japan.

    Bedömning som redskap
    Jenny Lundin Jakobsson & Mia Öberg
    Problemlösning är centralt för artikelförfattarnas undervisning. Men hur ska man gå tillväga för att bedöma elevernas kunskaper? Här ges exempel på när eleverna själva får delta i bedömingen, stödda av bedömningsmatriser. Bedömning är något som sker ständigt i klassrummet. Återkoppling, kamrat- och egenbedömning är värdefulla verktyg för framgångsrikt lärande. Bedömningen kan också bidra till att elevens medvetenhet om den egna utvecklingen ökar.

    Statistiska begrepp och uttrycksformer
    Kristina Juter
    Statistik är ett matematikinnehåll som inbjuder till såväl tematiskt arbete som ämnesintegrerat. Redan i statistikens historiska barndom insåg man vikten av presentationen. I den här artikeln som främst riktas till åk 4-6 diskuteras olika uttrycksformer i undervisningen om statistik.

    Hur sannolikt är det?
    Karin Landtblom
    Uttrycket ”Hur sannolikt är det på en skala …?” använder många till vardags, ofta med viss ironi. I denna artikel om grunder för begreppet sannolikhet åskådliggör författaren begreppet, bland annat genom att pricka in olika sannolikheter på en skala från noll till hundra procent och använder sig av tallinjen, detta mångsidiga undervisningsverktyg. Artikeln riktar sig främst till dig som undervisar yngre elever.

    Uppslaget: Stjärnor för stora och små.

    Stjärnor – tema för julmatematiklektioner
    G Majgaard, M Misfelt & A Rønne
    Denna artikel om läs- och surfplattor i matematikundervisningen kommer ursprungligen från den danska tidskriften Matematik 2013:3.

    Logikens nyckfullhet
    Juan Parera-Lopez
    Stjärnor är en vanligt förekommande symbol i vardagen, särskilt i adventstider. Förutom
    att de lyser upp när vi har det som mörkast kan de ge rika uppslag till innehåll i geometriundervisningen. Artikelförfattaren ger oss här en guidad tur bland såväl två- som tredimensionella stjärnor för gymnasiet.

    Att kommunicera om likamedtecknet
    Charlotta Blomqvist & Sharada Gade
    I denna artikel beskriver en lärare och en forskare sitt arbete med att utveckla den muntliga kommunikationsförmågan inom matematik i en fjärdeklass. Aktionsforskning utgör bakgrunden för arbetet och likamedtecknet står i fokus när eleverna utmanas i sitt matematiska tänkande med hjälp av lappar.

    Lärarhandledning för inspiration och kompetensutveckling
    Linda Ahl, Lena Hoelgaard & Tuula Koljonen
    Lärarhandledningar till matematikläromedel har stor potential. De kan stödja och inspirera läraren i planeringsarbetet och användas för att utveckla undervisningen. Artikelförfattarna ville veta hur handledningar används och frågade blivande och verksamma lärare vad de vill att handledningar ska innehålla.

    Matematikbiennalen 6–7 februari 2014

    Vi har läst

    Problemavdelningen

    Kängurusidorna

    Matematiklyftets utprövningsomgång
    Anders Palm
    Mellan oktober 2012 och mars 2013 genomfördes en utprövningsomgång av Matematiklyftet i liten skala. Syftet med utprövningsomgången var att se hur modellen, modulerna, lärportalen och utbildningsinsatserna för handledare och rektorer fungerar. I denna artikel lyfts de mest centrala resultaten från en utvärdering.

    Matematiklyftets moduler
    Korta presentationer av modulerna för samband & förändring 4-6 samt 7-9, problemlösning 7-9 samt sannolikhet & statistik 4-6.

    Se även innehållsförteckning i artikeldatabasen ...

    Nämnarens stipendium 2010

    Under matematikbiennalen 2010 delades Nämnarens stipendium för bästa idéutställningar ut och delas
    mellan två vinnare.

    Carina Holm, verksam vid Nobelgymnasiet i Karlstad prisades för ”Utmaningen – Entreprenörskap”. Hennes beskrivning av utställningen:

    Ett projekt om ämnesintegration på byggprogrammet med syftet att på ett bra sätt motivera eleverna att redovisa sina beräkningar. Min idé är att jobba ämnesövergripande med kärnämne och yrkesämne. Eleverna ska se vilken praktisk nytta de har av matematiken i yrket. Jag uppmanar eleverna att se sig själva som entreprenörer under sina yrkeslektioner. Utmaningen har varit att skriva en egen offert på ett valt jobb inom sin yrkesinriktning. Vi avslutar projektet med att dela ut ”Årets entreprenörspris på byggprogrammet” för bästa offert.

    Juryns motivering:
    ”Utmaningen bygger på en konkret, ämnesövergripande idé i kurs A, som visar på rika tillämpningsmöjligheter i realistiska sammanhang och där matematiken kommer in på ett naturligt sätt.”


    Sara Heister, Théreés Eklund och Carina Irlander är lärare för de yngre åren på Helenelundsskolan i Sollentuna kommun och mottog det andra priset för sin utställning ”Matematiklådan lyfter hemläxan”. De beskriver sin idé:

    Målet med matematikläxorna är att de ska vara en länk mellan skola och hem. Läxorna bygger på den princip som beskrivs i ”Familjematematik”. För att skapa intresse för läxorna och tillgodose att alla elever har möjlighet att göra sina läxor får barnen en kartong, kallad matematiklådan, som de själva dekorerar. Till lådan vinner eleverna ”priser” som består av laborativt matematikmaterial t ex måttband, kortlek, spelpjäser och tärningar. Eleverna tar hem matematiklådan och använder den när de gör sina läxor. Till föräldrarna lägger vi ner boken ”Alla kan lära sig matematik”.

    Juryns motivering:
    ”Utställningen visar hur delaktighet mellan skola och hem kan ökas. Uppdragen som eleverna får ger stora möjligheter till utveckling och individualisering.”

    Juryn gav även två hedersomnämnanden till bidrag "Matematikikidéer till förskolan" som presenteras av Gloria Romlin, Ingrid Blomqvist, Aghavnie Ohanessian och Maria Brunfelter, samt "Matte på lek - med största allvar" av Ann Nyqvist Graf, Josephine Diener, Heléne Carlsson (och Maria Gullquist Ma-utvecklare Åtvidabergs kommun).

    Juryns motivering:
    "Juryn vill ge ett hedersomnämnande till dessa utställningar där pedagogerna skapar tillsammans med barnen och där barnens frågor är utgångspunkten till ett gemensamt utforskande".

    Stipendium för bästa matematikidé ...

    Om Nämnaren 2007, nummer 1

    Nu har första numret av Nämnaren kommit ut och vi hoppas att distributionen fungerat till alla prenumeranter. Här gör vi några nedslag i numret. Vår tanke är att det ska kunna fungera som inspiration. Kanske kan vi ge några idéer om hur ni kan arbeta vidare med artiklarna och frågor ni kan diskutera i arbetslag och på konferenser. Här presenteras bara något av innehållet, men vi hoppas förstås att resten också ska engagera er.

    Årets färg är grön och omslagstemat är symboler. Vi tar gärna emot idéer kring symboler, t.ex. artiklar som handlar om att förstå, lära sig använda och tolka, om övergång till symboler mm. Kontakta någon i redaktionen om du vill diskutera eller skicka ditt förslag till någon av oss.

    Artikeln Kommunikationens betydelse är ett resultat av ett examensarbete. Kanske skulle du få ett annat resultat om du undersökte klassrumssamtalet i din klass, men det tål ändå att diskuteras. Har vi andra krav numer beträffande korrekt terminologi? Hade vi kanske för stora krav tidigare? Spelar det någon roll vilka ord vi använder? Det finns mycket att diskutera kring samtalets betydelse, både för att kommunicera och för att utveckla förståelse.

    I Varför räknar du just så? vill Timea Dani uppmärksamma oss på de svårigheter och möjligheter som olika räknetraditioner kan innebära. Tyvärr har två streck på sid 13 hamnat fel, men det har ni säkert redan förstått och kan bortse från. Med ett stort utbud av metoder ökar visserligen möjligheten att välja en metod som passar den enskilde eleven, men framför allt ger det möjlighet att jämföra, analysera och finna det som är generellt. Var siffror och streck placeras är ju bara "bokföringskonst", det är de grundläggande räkneoperationerna och tankarna som är intressanta. Låt eleverna utföra en beräkning, gärna en som är "något för svår", med så många olika metoder de kan och jämför dem. Vilka likheter och skillnader finner ni? Se sen också efter om någon metod är känd sen tidigare i historien. Pesach Laksmans Historien upprepar sig handlar också delvis om detta. Räkning kan vara både roligt, undersökande och begreppsutvecklande.

    Även Kurt Klunglands Talpyramider tar upp att färdighetsträning inte behöver stå i motsats till undersökande arbetssätt. Vi har nog en tendens att se mycket i antingen eller, inte minst i skolsammanhang. Ordning och reda - eller trivsel; faktakunskaper - eller förståelse. Pendeln kanske skulle svänga mindre om vi såg fler möjligheter i både och.

    Med anledning av Kurt Klunglands artikel vill jag berätta hur vi tänker om norska texter. Artikeln är skriven på norska, eftersom Kurt är norrman. Det kan synas besvärligt att läsa, och för de allra flesta tar det också längre tid att läsa en norsk text än en svensk. Vissa ord kanske vi inte heller förstår. Men det är inte alltid nödvändigt att exakt förstå alla ord. I Norden har vi mycket annat också gemensamt och vi vill gärna bidra till den nordiska gemenskapen. Att förstå varandras språk, åtminstone någotsånär, ökar denna gemenskap. Så om vi kan bidra genom att understundom publicera kortare texter på grannspråken så vill vi gärna göra det. Jag hoppas att vi ska kunna fortsätta att publicera texter på skandinaviska språk och att ni vill försöka läsa dem.

    Hemmafrun som lyckades (- där matematikerna misslyckades) handlar om tessellering. Vi har tidigare haft artiklar kring detta och säkert har flera av er arbetat med tessellering. Vi tar gärna emot artiklar om det också! Förutom att tessellering ofta engagerar eleverna eftersom det är konkret och estetiskt finns det möjligheter att behandla matematiska begrepp, t.ex. omkrets och area, vinklar, speglingar, rotationer och symmetrier. På Nämnaren på nätet finns det en uppgift som anknyter till artikeln. Den kan ni hämta ner och arbeta med. Låt oss sen gärna få vet hur det gick.

    Nu är det hög tid att anmäla klassen till Kängurun 2007! Ni har väl inte glömt det? Problemen är som vanligt roliga och utmanande. En del riktiga godbitar finns det, sådana som man verkligen blir glad när man ser hur elegant de kan lösas, utan krångligheter. Kanske ni kan ordna Kängurun även med era kollegor. Bjud in allihop till problemlösning en eftermiddag, t.ex Kängurudagen 15 mars, bjud dem på något gott och uppiggande och låt dem välja tävlingsklass. Sen kan ni också diskutera problem, problemlösning och möjligheter att använda problemen i olika åldrar. Och, det finns fler utmaningar. Som ni ser på s 58-59 finns det en chans för er i Kappa - en tävling för lärare. Lycka till i den!

    Redaktionen

    Om Nämnaren

    Tidskriften Nämnaren kommer ut fyra gånger per år och vänder sig till lärare, lärarutbildare, lärarstuderande, forskare och andra som berörs av matematikutbildning i sin verksamhet. Målet med Nämnaren är att medverka till en förbättrad matematikutbildning i förskolan, grundskolan, gymnasieskolan, vuxenutbildningen och lärarutbildningen genom att sprida goda exempel och relevant forskning som rör matematiklärande och -undervisning.

    Innehåll: UD

    Om Nämnaren på nätet

    Vår tanke är att Nämnaren på nätet ska vara ett komplement till den tryckta tidskriften.

    Här finner du ...

    • Information om aktuellt nummer av Nämnaren >>>
    • Artiklar och annat som publiceras exklusivt på Nämnaren på Nätet. Dessa återfinns efter publikation under rubriken ArkivX-tra.>>>
    • ArkivN – material från Nämnaren, fritt tillgängligt på nätet >>>

    Vi hoppas att du får nytta och nöje av Nämnaren på Nätet. Hör gärna av dig till oss i redaktionen med idéer och synpunkter på webbplatsens innehåll.
    Maila oss gärna ...
     

    Omslagsbilden - Helande

    Nämnaren nr 1, 2010
     

    Omslagsbilden - Helande

    När jag var ung och nyutbildad skulle man inte göra symmetriska bilder. Symmetri är onaturligt, det finns varken hos växter, djur eller människor, påvisade man – och ändå är hela universum uppbyggd av symmetrier. Visserligen inte exakt symmetri men nästan exakt, en mängd små brutna symmetrier tillkommer.

    Egendomliga konstregler har man varit med om förut. Under 1700-talet uttalade sig Joshua Reynolds, chefen för Englands Konstakademi i London, om färg i bildkompositioner. Bland annat predikade han att blå färg endast kunde användas som bakgrundsfärg, förmodligen för att luftperspektivet fungerar så, blått och ljust far in i bildrummet. Thomas Gainsborough, en samtida stor engelsk målare svarade omedelbart med The Blue Boy som har den blå gestalten alldeles i förgrunden. Bilden blev mycket uppskattad och såldes senast 1921 till USA för 640 000 dollar vilket i dagens värde motsvarar ca 54 miljoner kronor. Så visst kan man bryta mot ”regler”.

    Jag har gjort många bilder med symmetri, men inte alltid symmetriska till 100 %. Förmodligen därför att jag tycker att rytmen är så viktig. Med rytm menar jag när liknande, men för den skull inte identiska moment, upprepas periodiskt. En för mig mycket viktig kompositionsfaktor.

    Så till omslagsbilden Helande. Det enda som bryter den från en absolut spegelsymmetri är min logotyp under ”operationsbordet”. Jag skriver operationsbordet för bilden ingår i en svit av fem bilder som har ett sjukdomsförlopp som inspirationskälla. Under sensommaren 2007 upptäckte man en stor tumör i min vänstra njure vilket hos mig resulterade i stor oro. Då kom snart bilden Sjunkande med sina SOS-signaler, därefter Oroande, Förberedande, Helande och Stigande.

    I bild nr 1 Sjunkande, syns ett strålknippe av ljus illustrerande SOS-signalen, vilken består av tre korta, tre långa och tre korta markeringar, antingen som ljud eller som ljus. Ängslan och oron visas i bild nr 2 Oroande. Så småningom efter många provtagningar
    och datortomografiundersökningar, bild 3 Förberedande, blev det operation där min vänstra njure inklusive tumör avlägsnades. Under tiden före och under operation blev jag också behandlad med healing. Det var en konstnär i min vänkrets som utförde den, bild 4 Helande. Den lodräta strålen symboliserar både healingen och kirurgens kniv. De blå banden i bilden associerar till det identitetsband man får runt handleden vid operation.

    Sista bilden, nr 5 Stigande, är motsatsen till Sjunkande. Nu har det gått bra och jag är där på väg att friskna till. Samtliga bilder i denna svit med undantag av nr 2 Oroande är symmetriskt uppbyggda. Mer om min produktion, inklusive flera axialt symmetriskt eller nästan symmetriskt uppbyggda målningar samt lite om de tekniker jag använder hittar du på min webbplats www.bjorn-carlen.se.





    Björn Carlén

    Omslagsbilden - Lings gym

    Nämnaren nr 3, 2011
     

    Omslagsbilden - Lings gym

    Fönstren på omslaget tillhör ett stall som den svenska gymnastikens fader Pehr Henrik Ling (1776–1839) lät göra om till en gymnastikbyggnad. Byggnaden ligger i Frösundavik, nära Hagaparken i Stockholm.

    Att jag ens hittade den här byggnaden är tack vare geocaching. Det är en typ av skattjakt med GPS. Via geocaching.com kan man hämta koordinater och den information man behöver för att sedan ge sig ut på jakt efter ”gömman”, som kallas geocache. GPS:en behöver minst tre satelliter för att kunna
    bestämma positionen och kan då ge en riktning och ett avstånd till geocachen. Anledningen till att det behövs minst tre satelliter är följande:

    Med en satellit får man endast avståndet till satelliten, dvs positionen kan ligga någonstans utefter en sfär med radien lika med avståndet mellan GPS:n och satelliten (bild A). Med två satelliter bildas två sfärer som skär varandra i en cirkel, och då befinner jag mig med min GPS utefter cirkelns rand (bild B). Men med tre satelliter, dvs tre sfärer får man två möjliga punkter i skärningarna som
    utgör GPS:ens position. Den ena är där jag befinner mig, medan den andra är uppe i luften (bild C).
    Detta räcker för att kunna använda GPS:n utefter jordens yta. Skulle vi behöva veta höjden, krävs en fjärde satellit. Detta är emellertid inga problem, då det oftast är 10–12 satelliter i samverkan, vilket gör positionsbestämningen exakt, på metrarna när. Detta kan behövas de gånger då geocachen är av storleken ”nano”!

    Det finns olika typer av geocacher, med den vanligaste ska man bara ta sig till koordinaten hämtad från nätet och sedan leta rätt på lådan. Men det finns även flerstegsgeocacher, sk multi, då man under vägens gång ska få fram siffror och sedan räkna fram slutkoordinaten. En annan variant är mystery, där man inte får några koordinater alls utan ska lösa ett problem eller gåta redan innan
    man beger sig ut.

    Koordinaterna till geocachen Lings gym ...

    Omslagsbilden - Polycyttaria

    Nämnaren nr 1, 2010
     

    Omslagsbilden - Polycyttaria

    Ett papper kan tyckas platt och slätstruket, i dubbel bemärkelse. Vik det, skrynkla, skär eller riv i det och pappret får genast liv.

    I omslagsbilden har jag lekt med kontraster i papprets uttryck. Den organiska röda formen av en skrynklad servett mot en kall, blå, strikt, geometrisk yta av vikt bakplåtspapper. Figurerna är upphängda framför en lampa och fotograferade med digitalkamera för att sedan efterbehandlas i datorn.

    Bilden har jag valt att kalla Polycyttaria, en benämning på en sorts mikroskopiska kolonilevande organismer. Den röda servettformationen för nämligen mina tankar till en uppförstorad spor eller mikroorganism som hämtad från en av biologen Ernst Heackels planscher.

    Jag jobbar med set design och rekvisitamakeri för bland annat reklamfoto. Mycket av min inspiration finner jag i olika typer av hantverk. Genom åren har jag prövat många olika tekniker och material. Papper är ändå det jag använt mig mest av. Det är ett lätt, formbart och billigt material med tusen möjligheter.

    Jag har alltid pysslat, klippt, klistrat och vikt med papper. När jag var elva år såg jag en häpnadsväckande utställning av världsmästarna inom den japanska papperskonsten origami. Då fick jag på riktigt upp ögonen för detta fantastiska material. Under några år vek jag pappersfigurer i smyg under skolbänken,något som min mattelärare uppmuntrade, om än ej under lektionstid. Sedan dess har jag ofta fallit tillbaka till origami och hittat nya användningsområden för de klassiska teknikerna. Ett papper, hopvikt till en abstrakt form efter ett matematiskt konstruerat mönster, kan bli allt från ett hustak till en haute couture-hatt. Endast fantasin sätter gränserna.

    Anton Thorsson

    Se mer av Anton Thorssons arbete på: www.soderbergagentur.com/propmakers/anton-thorsson

    Omslagsbilden

    Nämnaren nr 1, 2010
     

    Omslagsbilden

    Mitt intresse för matematik gjorde att jag efter att ha läst kemiteknikpå
    KTH även studerade matematik på Stockholms universitet. Studierna, både på KTH och på SU fördjupade mitt matematikintresse.

    Jag har även haft fotografering som stort intresse ända sedan jag var barn. Min första kamera var en mycket enkel pocketkamera Agfamatic 4000 med engångsblixtar. Efter den kameran sparade jag ihop till en halvautomatisk systemkamera och köpte även till extra objektiv och blixt. Efterhand kom priset för filmer och framkallningar på något vis att kyla ned fotointresset. Då kom räddningen – de digitala systemkamerorna. I och med detta teknikgenombrott återuppväcktes mitt intresse för fotografering.
    Är man som jag fascinerad av matematik och geometriska figurer, samt har ett stort intresse för fotografering, så kändes det självklart att denna lykta, som jag fotograferat en kulen höstkväll, skulle bli ett bidrag till omslagstävlingen. Den symboliserar för mig, genom sina geometriska former och symmetrier, två av mina stora intressen – matematik och fotografering.

    Dessutom tycker jag att lyktan i sin enkelhet är ett mycket trevligt motiv – en källa till ljus och värme i höstens så ofta kalla mörker. I många fall kan man vid bildkomposition ta hjälp av enkel matematik för att få bilden lite mer estetiskt tilltalande. Ett par exempel på detta är att försöka få en dragning in i bilden genom att hitta geometriska figurer eller att försöka placera linjer i bilden utefter en tänkt diagonal. Man kan även försöka att placera huvudmotivet i närheten av Gyllene snittet, vilket av många anses göra bilden mer tilltalande.
    Mattias Wiklund
    Mer om gyllene snittet i foto och diagonala kompositioner kan du läsa om på
    http://www.fotonord.se/fotokurs/komposition.html

    Omslagsbilden: Blockering

    Nämnaren nr 1, 2010
     

    Omslagsbilden: Blockering

    Balans, rytm, renhet, ordning, helhet, absolut klarhet, men ändå mångtydighet. Symboliska bilder ofta med geometriskaformer. Så står det under rubriken karaktäristik överst på mitt CV. Jag har varit verksam som konstnär, målare och grafiker i ca 55 år. Min utbildning var på Konstfackskolan i Stockholm 1953–1959 och redan då var jag inriktad på bilder med ”rena” former.

    Den bild som är omslag till detta nummer är nyligen gjord som ett datorgrafiskt blad och har titeln Blockering.

    – Att vara med i EU eller inte. Så började arbetet med bilden för ett antal år sedan. De två kuberna genomskär varandra och vi får en vacker tredimensionell form. Dubbelkuben blir en helhet men varje kub har förlorat sin egen form och har blivit helt fastlåst, blockerad. Att bli vackrare och kraftfullare till priset av sin självständighet var ingången. Den bild som är på omslaget är gjord från en annan synvinkel. 1984 gjorde jag alla mina perspektivritningar (skisser) på ett 2 x 1 meter stort ritbord enligt metoden ”Indirekt perspektiv”. Det var en konstruktion med hjälp av ögats placering, distans och ögonhöjd. Man hade redan under renässansen förstått hur det hela hängde ihop och använde då ofta ett rutnät som fungerande bildplan mellan motivet och sig själv.

    Så småningom utarbetades perspektivlagarna. Florenskonstnären Masaccio (1401–1428) var en av de första som tillämpade dem. Leonardo da Vinci ansåg att det var det århundradets största upptäckt. En enda av mina ”skisser” kunde ta en dag i anspråk och inte förrän i slutet av arbetet såg jag att den estetiska verkan (rytm, mellanrumsformer etc) inte blev vad jag hade hoppats på. Nästa dag fick jag börja om igen och var jag inte nöjd då heller så blev det ett nytt försök dag 3 etc. Det var alltså mycket tidskrävande med alla dessa konstruktionslinjer, varför jag funderade på om man skulle kunna göra detta skissarbete med en dator. Vid den tiden lanserade Commodore sin folkdator C64. Jag kunde då inget om datorer men investerade i en C64 och började med möda att programmera.

    Det var då jag upptäckte att jag var tvungen att fräscha upp mina matematikkunskaper, så att datorn kunde begripa mina rittekniska kunnigheter. Under min utbildning hade jag ju fått gedigna kunskaper i olika typer av projektionsritning och ”indirekt perspektiv” skulle nu översättas i matematiska formler, så att datorn kunde utföra mina idéer. Med stor tillfredsställelse fixade jag det. I min ungdom hade jag inte varit särskilt intresserad av matematik men nu fick jag en stark motivation att praktiskt kunna tillämpa den. Jag behövde inte speciellt avancerade kunskaper i ämnet. Det räckte med vad som stod i gymnasiets läroböcker och med logiskt tänkande. Det mesta handlade om att beräkna vinklar, cirklar och ellipser. Vid den tiden kom också Commodores efterföljare till C64, Amiga 1000 och så småningom Amiga 4000 T, en fantastisk bilddator. I takt med den tekniska utvecklingen blev mitt 3D-program också alltmer utvecklat och idag kan jag använda det till hur stora och komplicerade bilder som helst. Även till stereobilder som den ovan på denna sida använder jag det här programmet. Jag är nog ensam om att idag sitta och göra mina skisser på en Amigadator. Vid sidan av den datorn använder jag också flitigt min PC. På bildsidan arbetar jag där med Photoshop och Indesign. Jag gör alltså mina linjeskisser i Amigan och arbetar sedan från en svart eller vit botten fram bilderna i Photoshop. Det är alltså inga reproduktioner av inskannade målningar. Samtidigt med denna omslagsbild gjorde jag också några varianter på temat. En av dessa, Frigörelse, syns här till höger.


    Mer om min produktion, tekniken Digital Print och om stereoskopiska bilder hittar du på min webbplats www.bjorn-carlen.se.

    Omslagsbilden: Krill

    Nämnaren nr 3, 2009
     

    Omslagsbilden: Krill – ett litet djur med stora tal

    Krill är namnet på en grupp skaldjur som lever i våra stora oceaner. De kan bli 6 cm långa, väga 2 gram och de äter fytoplankton som de silar ut från vattnet. Det betyder att de kan livnära sig direkt av näringsvävens producenter som i sin tur fångar energi från solljuset för sin överlevnad. Krillen är utrustad med silar som har ovanligt små öppningar, endast 1 µm i diameter, som den använder för att fånga plankton. Den kan också skrapa av den gröna alghinnan på packisens undersida med en hastighet av 1,5 kvadratcentimeter per sekund.

    Krillen har dessutom ganska slarviga matvanor. De spottar ut bollar av halvsmälta plankton och har en riklig avföring. Båda dessa innehåller kolföreningar som faller till havsbotten. Detta gör krillen till en viktig art för klimatet, då den med sin ineffektiva matsmältning bidrar till att lagra undan kol från atmosfärens koldioxid på djuphavens botten där det kan stanna i uppemot 1000 år.

    Många djur, bland andra bardvalar, livnär sig på krill. Blåvalen är en av bardvalarna och räknas som det största nu levande däggdjuret. En 30-meters blåval beräknas kunna väga uppemot 200 ton. Krillen har här en ovanlig ekologisk roll. Från de encelliga algerna till jordens största däggdjur finns endast ett mellanled i näringskedjan, krill.

    En av krillarterna, antarktisk krill, lever i stora svärmar i vattnen som omger Antarktis. Dessa svärmar kan ha en densitet på 10 000 – 30 000 individer per kubikmeter. Om total biomassa används som mått på hur framgångsrik en djurart är, är den antarktiska krillen en vinnarkandidat med sina uppskattningsvis 500 miljoner ton.

    Omslagsbildens krill är en Norsk lysräka (Meganyctiphanes norvegica) fotograferad av Øystein Paulsen, Mar-Eco.

    Omslagsbilden: Laterna

    Nämnaren nr 1, 2010
     

    Omslagsbilden: Laterna

    Den omslagstävling som Nämnaren utlyste i förra numret är nu avgjord. Tävlingskategorierna var dels geometriska kroppar, dels symmetri. Ett av de vinnande bidragen pryder nu omslaget till detta nummer. Dess upphovsman är Anton Thorsson och bilden bär titeln Laterna. Såhär skriver Thorsson om sin bild:


    Omslaget till detta nummer är en lek med färg, form, ljus och skugga. Jag har fotograferat origamifigurer och deras intressanta skuggor, kastade på underlaget
    likt ur en laterna magica.

    Origami är en urgammal japansk tradition och konstart. Av ett enda papper kan man utan vare sig sax eller lim vika de mest fantastiska figurer, allt från fåglar och blommor till abstrakta geometriska strukturer. En modern form av konstarten är så kallad modulär origami. Genom att vika ett flertal enkla moduler som man sedan sammanfogar till större figurer kan man lätt skapa exempelvis polyedrar och geometriska kroppar.

    Ringen och polyedern på omslaget är exempel på sådan origami. De är sammansatta av så kallade ”PHiZZ-units”. Dessa är designade av Tom Hull och hur du viker dem och fogar samman dem till ringar eller polyedrar beskrivs på hans webbsida kahuna.merrimack.edu/~thull/phzig/phzig.html. Vidare läsning som borde intressera såväl origaminördar som matematiknördar hittar du på andra delar av sidan mars.wnec.edu/~th297133/combgeom/combgeom.html.

    Polyedern på omslagsbilden är sammansatt av nittio moduler och formar en stympad ikosaeder, en kropp bestående av 20 hexagoner (sexhörningar) och 12 pentagoner (femhörningar). Denna form hittas i naturen i molekylstrukturen hos kolföreningarna fullerener och är även modellen för den numera klassiska fotbollen Telstar. Ett exempel på hur så vitt skilda ämnen som naturvetenskap, konst och idrott kan förenas av matematikens lagar.

    Omslagsbilden: Ormbunkar

    Nämnaren nr 3, 2008
     

    Länkar kopplade till omslagsbilden:
    Afrikanska fraktaler
    Fraktal-film

    Omslagsbilden: Ormbunkar
    Bilden på omslaget föreställer ormbunkar en vacker dag i maj månad. Granskar man ett sådant ormbunksblad kan man se att bladet består av en stjälk med många mindre blad som sticker ut åt sidorna. Varje sådant mindre blad liknar det större bladet. Det lilla bladet har en egen liten stjälk och på denna ännu mindre blad, och så vidare. Växtmönstret upprepar sig i allt mindre skala. Detta fenomen kan kallas en självliknande struktur.

    Inom matematiken kan vi finna självliknande strukturer hos fraktaler. En fraktal kan något förenklat beskrivas som ”ett självliknande mönster med struktur i alla skalor”, vilket antyder att fraktalen liknar sig själv när man tittar på den i förstoring, på samma sätt som ormbunken, fast i det oändliga.

    Fraktala mönster i plan geometri eller fraktala strukturer i tre dimensioner kan skapas genom att ett antal beräkningar upprepas, itereras, ett stort antal gånger, ofta med relativt enkla regler för itereringarna. Svaret från en beräkning förs tillbaka in i nästa beräkning och så vidare. Resultatet blir en uppsättning punkter som kan synliggöras med datorns hjälp.

    Med en relativt enkel uppsättning regler som kallas ett itererat funktionssystem, IFS, kan man åstadkomma en bild av en ormbunke som har slående likheter med de vi finner i naturen. Den förste som undersökte den här typen av itererade funktionssystem var Michael Barnsley vid Georgia intitute of technology och den fraktala ormbunken kallas ofta Barnsleys ormbunke.

    På nätet finns det gratis programvara att hämta för den som själv vill undersöka fraktaler. En fraktalgenerator för Excel finns på www.bmeijer.com/software/fractal_generator/index.html.Med denna kan du laborera med olika värden för just den ormbunke som visas här intill.

    Chaospro är en kraftfull och fri programvara för att göra bilder i 2 eller 3 dimensioner av fraktaler. Det finns att hämta på www.chaospro.de. Barnsleys ormbunke och dess itererade funktionssystem.

    Omslagsbilden är tagen av Hanna Magnusson. På www.hannamagnusson.com/photography finns fler av hennes bilder.


    Calle Flognman

    Omslagsbilden: Perre

    Nämnaren nr 1, 2010
     

    Omslagsbilden: Perre

    På personalrummet i Stora Mellby skola, där jag en dag i veckan arbetar som slöjdlärare, såg jag inbjudan till omslagstävlingen och ja, varför inte. Mitt intresse för bilder av olika slag har genomsyrat mitt liv. Måleri har periodvis varit ett av mina stora intressen, precis som hantverk, snickeri och smide. När jag på nittiotalet upptäckte datorns möjligheter att göra bilder blev jag mycket upptagen av att utforska detta. En god vän hade installerat programmet Corel Draw på sin dator och jag uppfattades troligen som mycket asocial när jag var hos honom över en helg. Jag blev helt enkelt sittande vid datorn för att utforska möjligheterna i programmet. Jag var fast.

    Fjärran från dagens asfalterade skolgårdar fanns, när jag var liten, grusgården och dess möjligheter. Man kunde göra gropar eller pyramider ”perra”, möjligen ”perre”, med stenkulor och spela kula. Somliga hade välfyllda påsar, några hade kulor i fickorna. Att sikta och pricka en ”tjuga” var höjden av lycka. För det mesta var det dock ”fyror” som gällde. Det var så jag fick idén till min omslagsbild, minnen från tiden på Centralskolan i Sjuntorp.

    Bilden är alltså skapad i Corel Draw 12, bearbetad i Corel Photo Paint 12. Den innehåller flera geometriska former och kroppar, cirkeln, sfären, triangeln och pyramiden. Jag placerade kulorna (cirklarna) med trianglar och parallella hjälplinjer, alltså med ögat som mätverktyg. Att skapa sfären är lätt med funktionen kaskadfyllning och färgerna som jag kom ihåg dem. En kula i rörelse skall illustrera spelet med kulor som verkar vara ett minne blott.

    Richard Ahlin

    Se vidare http://www.r-art.se

    Ord, termer och begrepp som rör tal i bråkform

    Tal i bråkform

    Etymologiskt kommer bråk från det lågtyska brok ’brytning, brott’, ett översättningslån från latinets fractio, taget från arabiskans kasr ’brytning, brott’, översatt från sanskritens bhinna ’bruten’.

    Brutet tal: rationellt tal som inte är ett heltal. Termen är numera mindre bruklig.

    Bråk: ett uttryck av formen a/b eller a ”över” b

    Tal i bråkform: ett tal uttryckt som ett bråk sägs vara i bråkform

    Bråken 2/5 och 40/100 är olika bråk, men representerar samma tal

    Rationellt tal: tal som är en kvot av två hela tal, varav det andra inte är noll

    Bråkdel: reellt tal minus heltalsdelen

    Bråkstreck: ett av tecknen – (vågrätt bråkstreck) och / (snett bråkstreck). Snett bråkstreck används företrädelsevis då man i löpande text vill skriva täljare och nämnare på samma rad.

    Stambråk: bråk som har täljaren 1

    Egentliga bråk: täljaren mindre än nämnaren

    Oegentliga bråk: täljaren lika stor eller större än nämnaren

    Allmänna bråk: gemensam beteckning för egentliga och oegentliga bråk

    Decimalbråk: tal i decimalform

    Tal i blandad form: tal som är skrivet som ett heltal och ett tal mindre än 1 uttryckt i bråkform

    Proportion: (förhållande mellan två eller flera storheter) relation uttryckt som ett bråk. Bråket skrivs traditionellt med kolon i detta fall. Om Sara betalar 2/3 och Lovisa 1/3 så har de betalat i förhållandet 2:1 (”två till ett”).

    Andel: kvot som anger förhållandet mellan en del och en helhet. Ex: Andelen salt i havsvattnet är 0,03 eller 3 %. Andelen röstande var 4/5 eller 80 %.


    Länkar
    Kiselman, C. & Mouwitz, M. (2009). Matematiktermer för skolan. NCM, Göteborgs universitet.

    Praxisnära forsknings- och utvecklingsarbete

    Problemavdelningen

     
    2013
    Nr 1
    Nr 2

    2012
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2011
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4
    2010
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2009
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2008
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4
    2007
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2006
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2005
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4
    2004
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2003
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2002
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4
    2001
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    2000
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4

    1999
    Nr 1
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4
    1998
    Nr 2
    Nr 3
    Nr 4
       

    För att du ska kunna läsa en pdf-fil behöver du programmet Acrobat Reader. Skulle du inte ha det så finns det att hämta kostnadsfritt här. Vi har även en informationssida där du kan få veta mer om pdf-filer.

    Innehåll: UD

    Redaktion och ansvarig utgivare

    Redaktion
    Calle Flognman
    031 786 6989
    Kontakt ...

    Lena Trygg
    031 786 6982
    Kontakt ...

    Ansvarig utgivare
    Peter Nyström
    031 786 6837
    Kontakt ...

    Innehåll: UD

    Rika matematiska problem

    Svara på inlägget...


    Inlägg från Thomas Ålander:

    I en bok, Rika matematiska problem (Liber 2005), som jag funnit mycket bra, finns bl. a. en arbetsuppgift med titeln Klippa gräs.

    Texten lyder:
    Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Mona gör det på 4 timmar.
    a) Hur lång tid tar det om de hjälps åt?
    b) Hitta på ett liknande problem och lös det. (B-uppgiften lämnas utan avseende här.)

    Jag har vid några tillfällen läst/skrivit upp problemet inför en klass och bett den lösa det. Jag har ofta snabbt fått svaret 3 timmar. (Det av mig – och boken - önskade svaret är 80 min, 4/3 timmar, vilket också förekommit, men då efter en stunds räknande.)

    På frågan hur man nått svaret 3 timmar har (hittills) nämnts att det
    1) är medelvärdet (vilket ju spontant kan kännas rätt för ett första, snabbt elevsvar)
    2) tar en timme för Jenny att klippa sin halva av gräsmattan och därefter tar det två timmar för Mona att klippa sin.
    Det senare förutsätter antingen tillgång till endast en gräsklippare, ty om båda har varsin klippare och startar samtidigt med att klippa varsin halva blir ju tiden två timmar(Mona klipper ensam andra timmen), eller att endast en av flickorna är igång i taget. (Bokens bild av två flickor var med sin klippare hade man inte sett.)

    På min fråga varför man skulle be Mona om hjälp när det då skulle ta längre tid att klippa än om Jenny fick göra det ensam har man flera gånger sett frågande ut. (Det har synts som en ny idé.)
    Samtliga klasser är/har varit gymnasieklasser i ma A/B.

    Problemformuleringen kan ses som oprecis eftersom flera tolkningar är möjliga. Men det som är intressant är varför det är/har blivit så? För tjugo år sedan skulle eleverna nog ansträngt sig mera för att få fram ett svar(det önskade) även om det tagit längre tid, medan eleverna nu snabbt tycks inne på ”rättvisan”, båda skall klippa lika stor areal, inte lika lång tid. Mina referensramar och elevernas är inte desamma (längre, tycks det). För mig är det självklart att om man/jag hyr in en extra klippare, så är det för att få jobbet snabbt gjort. Eleverna tycks se det som en hjälp att dela upp pensumet och kunna sluta efter att ha klippt sin ”rättvisa” del av gräsmattan(”Jag skall då f-n inte klippa större del än brorsan” sades det.) Eleverna tycks sätta sig in i uppgiften så långt att deras personliga tyckanden och kännanden tar över. Problemet blir inte ”bara” matematiskt längre, men kanske lättare att lösa, ty man slipper räkna så mycket.
    Samma tendens kan man se i matematik B på gymnasiet, där det på nationella prov ofta förekommer en uppgift av karaktären: En idrottsklubb funderar på att bygga en klubbstuga. Klubben gör en enkät/håller ett medlemsmöte där ganska få svarar/är närvarande varvid svaret blir: Ja, stugan bör byggas. En undersökning av bortfallet ger sedan att svaret som helhet bör vara: Nej den bör inte byggas. Och eleven svarar sedan: Jag tycker att man skall bygga stugan ändå.

    Skall man ta hänsyn till personliga tyckanden, vilket vi till vardags ofta gör av personliga eller andra skäl? Är det t ex självklart att dricks skall ingå vid betalning av restaurangnotor, och till vilken procentsats? Hur verklighetsanknutna blir avrundningsreglerna i sådana sammanhang - om man nu konstruerar ”realistiska” uppgifter? Vilket/vilka svar bör/skall godkännas på problemet med gräsklippningen i ämnet matematik? Skall svaret vara annorlunda om problemet skulle lösas i t ex ämnet samhällskunskap?

    För att få fram en mera matematisk behandling kanske vi bör göra uppgifter där man refererar till fysikaliska lagar som inte ger något spelrum för enskilda åsikter det klarare framgår att det underförstådda/referensramarna är enahanda.

    Thomas Ålander


    Svara på inlägget...

    Innehåll: UD

    Samverkan

    Mattis
    Samverkansprojektet Mattis, där ett antal lärare på grundskolan deltog, gav bl a upphov till ett häfte som du hittar i Olika sidor av matematik.

    I ett pågående projekt , NäTiS, deltar lärare på grundskolans senare del och i gymnasieskolan.

    Mer information om TiS verksamhet i Göteborg finns på: TiS Göteborg.

    Släpp på sekretessen

    Svara på inlägget ...


    Svar från Bengt Ulin:

    Hur lyfter man skolmatematiken?
    Krister Larsson, matematiklärare i Söderköping, föreslår att sekretessen kring tidigare nationella prov tas bort så att lärare och elever i större utsträckning kan få träna på uppgifter av den kreativa typ som förekommer i sådana prov. Att de prov som lärarna själva anordnar mer går ut på procedurer enligt recept beror enligt Larsson ”till stora delar på att lärare är överbelastade med diverse pålagor in absurdum”.

    Förmodligen drabbar överbelastningen inte endast proven utan lärarnas undervisning som helhet. Med tanke på att den tid som de nationella proven upptar av den totala undervisningstiden inte utgör mer än några procent är det avgörande i vilken mån lärarna kan engagera eleverna i det löpande arbetet och i de prov som de själva komponerar.

    Brett upplagda undersökningar har visat att skolmatematiken, trots stimulerande åtgärder sedan början av 80-talet, upplevs som tråkig av många elever. ”Läraren har huvudrollen” framhåller våra elever på frågan om hur skolmatematiken ska kunna få ett lyft. Larssons förslag är förvisso värt att följa upp, men man måste gå till roten med det onda: skär bort betungande pålagor och ge lärarna mer resurser för fortbildning. Det är absolut nödvändigt att ge lärarna den tid som behövs för att de ska kunna arbeta kreativt, vilket innebär att de kan undervisa med en suveränitet gentemot läromedlen.

    Vi erfar gång på gång vad en inspirerande couch betyder för idrotten, inte bara på elitnivå utan runtom i landet. Detsamma gäller i klassrummet: lärare som själva konstruerar problem och själva löser matematikproblem gör ständigt nya erfarenheter och de får en entusiasm som smittar av sig på eleverna.
    Vi har fortfarande för mycket av fornegyptiskt präglad matematik i skolan: man lär sig recept. Visst bör ett mått av efterhärmning ingå i all skolning, från körkortsteori till matematik och fiolspel, men det är kreativitetsträning som skapar entusiasm, självtillit och reell förmåga.

    Ge alltså lärarna tid till förberedelser av den dagliga undervisningen och ge dem utvidgade möjligheter att delta i stimulerande fortbildning.

    Bengt Ulin


    Inlägg från Krister Larsson:

    Ta bort sekretessen på ”gamla” nationella prov i matematik!
    Svenska elevers matematikkunskaper lever inte upp till de mål som kursplanen och betygskriterier ställer. På förra vårens nationella prov i matematik kurs B fick 33 % icke godkän